限时预测01（A+B+C三组解答题）（大题专练）（全国二卷通用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

限时预测01（A组+B组+C组） （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 记的内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，求的面积. 16．（15分）设，. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，试讨论的单调性. 17．（15分）．如图，在圆柱中，点为底面圆周上四点，为圆柱的一条母线，为的中点，． (1)若，，证明：平面； (2)若，，且二面角的余弦值为，求． 18．（17分）已知为抛物线上的动点，为圆上的动点，若的最小值为． (1)求的值 (2)若动点在轴上方，过作圆的两条切线分别交抛物线于另外两点，，且满足，求直线的方程． 19．（17分）已知数列为个数的一个排列，其中，且．若在集合中至少有一个元素i使得，则称数列A具有性质T． (1)当时，写出4个具有性质T的数列A； (2)若数列和均为等差数列，且，证明：对于所有的偶数项数列不具有性质T； (3)在所有由的排列组成的数列A中任取一个，记具有性质T的数列的概率为，证明：对于任意． （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知数列的前项和为，若， (1)求； (2)若，为数列的前项和，求. 16． （15分） 已知线段，动点与点、的斜率之积为，点在线段上，且，过作两条互相垂直的直线和动点的轨迹分别交于点、和点、． (1)建立适当坐标系，求动点的轨迹的方程， (2)求四边形面积的最小值． 17． （15分） 高中数学标准化考试选择题分为单项选择和多项选择两种题型，按照现行评分标准，多项选择题一般从四个选项中选出所有正确的选项（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个正确选项的每个正确选项3分，三个正确选项的每个正确选项2分），有选错的得0分. (1)考生甲有一道正确选项为两个选项的多项选择题不会做，他随机挑选两个选项，求他猜对本题得6分的概率； (2)考生乙有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他得到分数的分布列和期望； (3)现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为；丙，丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得18分的概率. 18． （17分）如图，在多面体中，为等边三角形，，，为中点． (1)求证：、、、四点共面； (2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 19．（17分） 若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①存在，使得；②为单调数列，则称数列具有性质，注：若数列的各项满足（或，则称数列为递增（递减数列）.递增或递减的数列统称为单调数列. (1)若，判断数列是否具有性质，并说明理由； (2)已知离散型随机变量服从二项分布，记为奇数的概率为.证明：数列具有性质； (3)已知函数，试判断数列是否具有性质. （建议用时：60分钟 满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在等边三角形中，为边上一点，，点，分别是边上的动点（不包括端点），若，且设 (1)求证：不论为何值，为定值. (2)当和的面积相等时，求的值. 16．（15分） 如图，矩形是圆柱的轴截面，分别是上、下底面圆周上的点，且．    (1)求证：； (2)若四边形为正方形，求平面与平面夹角的正弦值 17． （15分） 盒中共有3个小球，其中1个黑球，2个红球.每次随机抽取1球后放回，并放入k个同（）色球. (1)若，记抽取n次中恰有1次抽中黑球的概率为，求的最大值； (2)若，记事件表示抽取第i次时抽中黑球. （ⅰ）分别求，，； （ⅱ）结合上述分析，请直接写出抽取n次中恰有2次抽中黑球的概率. 18．（17分） 焦距为的椭圆，如果满足，则称此椭圆为“等差椭圆”. (1)如果椭圆：是等差椭圆，求的值； (2)对于焦距为6的等差椭圆，点，分别为椭圆的左、右顶点，直线交椭圆于，两点，（，异于，，设直线AP，BQ的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出，不存在说明理由. 19．（17分）函数 (1)时，证明：； (2)讨论函数的零点个数； (3)当时，记所有零点之和为若无零点则，证明：参考数据： 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 限时预测01(A组+B组+C组) DPART A组 解答题限时练 （建议用时：60分钟满分：77分) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.。 15.(13分) 记ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=√2 a.sinB (1)求A; (2)若tanC=tanA+tanB,c=3,求ABC的面积， 【答案104-或好23 【详解】(1)由b=√2 asinB,及正弦定理得sinB=√2 sinAsinB,2 因为B为三角形内角，故sin8>0,故得sin4=2 2 又A为三角形内角，“4=开或奶 4 (2)tanC =-tan(4+B)tanA+tanB .5 得-tanA+tanB tanA+tanB, 1-tanAtanB 又tan4+ianB≠0：tan4anB=2,所以A.Be(0,受 8 由(1)得tanA=l,故tanB=2,∴.tanC=tanA+tanB=3, 而4,8，C为三角形内角，六sin4= 2,sinB=25 ,sinc=3v10 5 10 10 ndmC,有a=s45, 由正弦定理 sinC 12 25 故ABC的面积S=)acsinB=x5x3 =313 5 16.(15分)设f(x)=(x2+ax)lnx+。x2,aeR. (1)若a=0,求f(x)在x=1处的切线方程； (②)若a∈R,试讨论f(x)的单调性 【答案】()4x-2y-3=0(2)见解析 1/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)若a=0,则f)=r+号，f0= 1 又f'(x)=2xnx+x+x=2.x(lnr+1),故f'1=2,2 1 所以1)在x=1处的切线方程为)y-22(x-) 即4x-2y-3=0; ++ .4 (2)f'(x)=(2x+a)lnx+x+a+x=(2x+a)lnr+),x∈(0，+o),5 当a≥0时，2r+a>0,令fx到>0，即1r+1>0,解得x>,令f川到<0，解得0<x<,…7 e e 所以f)在(0，上单调递减，四)上单调递塔；8 当a=-2时，f八(x之0，j(x)在(0，+o)上单调递增，10 当号，甲名a<0院，◆>，潮得0号：成令对<0解精g a e 所以f)在Q,-分，合网)上单调递搭，（号之上单调递减： 12 当号，即a<-名时，令>0，解得0<x<日或x>分令八<0：解得<号 1 e 所以f)在0，日，（←号+四）上单调递增，合分上单调递减 a 14 综上：当a≥0时，所以f(x)在(0，马上单调递减，，+o)上单调递增 a e 当-名<a<0时，所以1)在0，受，合w)上单调递塔，（号之上单调递减： e e 当a=-2时，∫"(x)≥0，∫x)在(0，+o)上单调递增， 当a<-是时，所以f()在0,3，（←号四上单调递增，分上单调递减. 2 15 17.(15分)，如图，在圆柱O,O2中，点A,B,C,D为底面圆周上四点，AP为圆柱的一条母线，E为PC的 中点，AD=1. ●O E D (I)若AD∥BC,BC=2,证明：ED∥平面ABP; 2/20 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)若AD1DC,BA=BC=2,且二面角A-CP-B的余弦值为)，求AP. 【答案】(1)证明见解析(2)AP=√2， 【详解】(1) C----- D 如图，取PB的中点M,连接MA,ME.… 因为E,M分别为PC,PB的中点，所以EM∥BC,EM=二BC. 2 因为AD∥BC,AD=BC,所以EM∥AD,EM=AD.3 所以四边形ADEM为平行四边形，所以ED∥MA. 4 因为EDt平面ABP，MAC平面ABP,所以ED∥平面ABP.5 (2) E 02 A D 因为AD⊥DC,所以AC为底面圆的直径，所以AB⊥BC., 因为BA=BC=√2，AD=1,所以AC=2,CD=√3。 .7 由圆柱的特征可知PA⊥平面ABCD,则PA⊥AC, 故以A为坐标原点，分别以AC,AP所在直线为y轴，z轴，垂直于AC,AP的直线为x轴， 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz. 设AP=t,则B(1,1,0),P(0,0,,C(0,2,0),02(0,1,0） 所以BC=(-L,L,0),BP=（-1,-1,, 连接O2B,则O2B⊥AC,易知AP⊥O,B, 3/20 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又APOAC=A,AP,ACC平面ACP,所以OB⊥平面ACP,11 故平面ACP的一个法向量为O,B=(1,0,0). 设平面BCP的法向量为i=(x,,z), BC=0 则 -x+y=0 ，即 iBP=0 -x-y+z=0' 13 0,B.= 则cos(O,B,n〉 0,B 4=21 2+ 解得t=√2（负值舍去），故AP=√2 15 18.（17分)已知P为抛物线E:y2=2x上的动点，0为圆C:(x-a)2+y2=1(a>1)上的动点，若Pg的最 小值为3-1. B (1)求a的值： (2)若动点P在x轴上方，过P作圆C的两条切线分别交抛物线E于另外两点A,B,且满足PA=PB,求 直线AB的方程. 【答案】(1)2(2)9x+3V10y+1=0 【详解】(1)设P(x,yo),P四的最小值为V5-1,即PC的最小值为V5,2 则|pC=Vx-a)2+y=V。-a)2+2x,=Vx+1-a)2+2a-1x≥0) 当X0=0-1时，1PCnn=V2a-I=V5，a=2；4 (2) 4/20 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 连接AB,CP,设A(x,y),B(x2,2)，P(xo,y), 直线PA的斜幸，=二=当=2 x-。星_哈+%， .6 22 直线P4的方程为：y-人=2x-), vi+vo 7 即直线PA的方程为：2x-(y1+y)y+y+yo-2x。=0,化简得2x-(y+yg)y+y1=0,8 同理直线AB的方程为：2x-(y+y2)y+yy2=0, 则点C(2,0)到直线PA的距离为 4+y1y0 4+0y+y% =1，即（好-1y+6yo乃+12-听=0,10 同理(y哈-y3+62+12-y哈=0，… ......1 则片，是方程(y好-1y2+6yy+12-y=0的两根， 所以+为=经则宜线6的斜幸大如子 6y6 y+y2 3yo 12 因为PA,PB与圆C均相切， 所以由对称性可知PC平分∠APB, 又注意到PA=|PB, 所以有PC⊥AB, :1-5.%。=-1,注意到=2x 3%0x0-2 解得x=5,则y。=√0或y。=-10(舍去). 此时方程好-1y2+6yy+12-y好=0变为了9y2+610y+2=0, 2 然满足4=360-72=288>0，且y+为=-，少2 3 15 5/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 因为直线AB的方程为：2x-(y,+y2)y+yy2=0,即2x+ 210.2 3y+。=0, 9 即直线AB的方程为9x+3√10y+1=0. 17 19.(17分)已知数列A:a,4,,am为2m个数1,2,2m的一个排列，其中m∈N,且m≥3.若在集合 1,2,,2m-中至少有一个元素i使得a-a=m,则称数列A具有性质T. (1)当m=3时，写出4个具有性质T的数列A; (2)若数列a2-}和a2n}(n=1,2,,m)均为等差数列，且a1=1,a2m=2,证明：对于所有的偶数项数列 A:a,a,…,am不具有性质T; (3)在所有由1,2，，2m的排列组成的数列A中任取一个，记具有性质T的数列的概率为P(T),证明：对于 任意mm≥.PA> 【答案】(1)4个具有性质T的数列可以为：1,4,2,5,3,6；1,4,3,6,2,5；6,3,4,1,5,2；6,3,5,2,4,1 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】(1)数列A:1,4,2,5,3,6.分析：在这个数列中，1-4=3，满足在集合1,2,3,4,5}中至少有一个 元素使得引a,-a1=3,所以该数列具有性质T 数列A:1,4,3,6,2,5.分析：其中1-4=3，满足性质T的条件. 2 数列A:6,3,4,15,2.分析：这里|6-3=3，符合性质T. .4 数列A:6,3,5,2,4,1.分析：6-3=3，具有性质T .5 (2)因为数列{a2m-}和(a2n}(n=1,2,…,m)均为等差数列，且a1=1,am=2,所以数列 A:1,2m,3,2m-2,,2m-1,2, 7 所以任意相邻两项的差绝对值都是奇数， 所以当m为偶数时，在集合{1,2，…，2m-1}中不存在元素i使得引a,-a=m, 故对于所有的偶数，数列A:a,4,…,4m不具有性质T9 (3)设在所有由1,2，…，2m的排列组成的数列中，记具有性质T的数列的个数为M,不具有性质T的数列的 个数为B, 设数列A:a,a2,·,a2m为任意一个不具有性质T的数列， 因为a,a2,…,a2m为l,2,…,2m的一个排列， 6/20 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以在a,a4,…,a2m中有且仅有一项a,≥3)，使得|a1-a,=m 在数列A:a,a2,…,a2m中，将a,项移到a,项的前面，其余项的顺序保持不变，…412 得到新数列A:a2,a3,…,aj-,a,aj…,a2m,新数列为l,2,…,2m的一个新排列， 13 显然数列！具有性质T,且任意一个与A不同的不具有性质T的数列通过上述移动首项方法都得不到数列 N 结合数列A为任意一个不具有性质T的数列，且根据A可以构造一个符合题意的具有性质T的数列A,可 得M≥B .15 又因为数列D:1,m+1,2,m+2,…,m,2m具有性质T, 且任何一个不具有性质T的数列都不可能通过上述移动首项方法得到数列D, 所以M>B MM1 根据概率知识知道，对于任意m(m≥3)，P(M)= M+B M+M 2 则原命题成立 .17 PART B组 解答题限时练 (建议用时：60分钟满分：77分） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)己知数列{a}的前项和为Sn,若Sn=2an+1, (1)求Sn: an,n为奇数 (2)若cn= Sn,n为偶数’ T,为数列cn}的前项和，求Tn 【答案】（①S,=1-2(22。=n+1-4 【详解】(1)当n=1时，S,=a,=-1, 当n≥2时，an=Sn-Sn-1,所以Sn=2(Sn-Sn)+1, 2 所以Sn=2Sn1-1,所以Sn-1=2(S1-1, 又因为S,-1=-2≠0， 所以{S。-是以-2为首项，2为公比的等比数列， 4所以 Sn-1=-2×2"-,即Sn=1-2”, 7/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又n=1时也满足上式，所以S,=1-2”; .6 (2)因为S。=1-2”=2an+1,所以an=-2"-1, -2-,n为奇数 所以cn= 1-2外，为偶数8 所以T2n=C1+C2+C3+C4+…+C2m-1+C2n =(G+G3+…+C2m-+(C2+C4+…+C2n =(-2°-22-24-…-22m-2）+1-22+1-24+…+1-22 11-4+m4-4】 ..12 1-4 1-4 =n+1-4） 3 16.(15分) 已知线段AB=22,动点E与点A、B的斜率之积为-子，点s在线段AB上，且4S=V5-1,过s作两条 互相垂直的直线和动点E的轨迹C分别交于点M、N和点P、Q. ()建立适当坐标系，求动点E的轨迹C的方程， (②)求四边形PMQN面积的最小值. 【答案】0图见解折，号+产=幸列@9 【详解】(1)以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系如图所示， 则A-V2,0,B2,0,设E(x,y), ”+r2:*, 由a=得，55 3 化简整速，得2=-(-2小，即号+y= (2)由题意PO的斜率存在且不为0，设为k,S在线段AB上， 8/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AS=V5-1,则s-1,0),设PO:y=k(x+,MN:y=-x+1, y=k(x+1) 由 2+21 消元，得（2k2+1x2+4k2x+2k2-2=0, -4k2 2k2-2 1+x2= 2k2+1’x5= 2k2+1 .8 PO=v1+k2 16k4 8k2-82V2k2+1 2k2+1 2k2+1 2k2+1, 9 221+k2) 同理可得：MW= 2+k2 ..0 4k2+12 s-PIMNI-) 12 令k2=tt>0), 4t2+21+1 2t2+5t+2 14 :1>0,21+2之4，当且仅当1=1，即k=1时等号成立. 16 四边形PM0N面积的最小值为写15 17.(15分) 高中数学标准化考试选择题分为单项选择和多项选择两种题型，按照现行评分标准，多项选择题一般从 A,B,C,D四个选项中选出所有正确的选项（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部 选对的得6分，部分选对的得部分分（两个正确选项的每个正确选项3分，三个正确选项的每个正确选项2 分)，有选错的得0分 (1)考生甲有一道正确选项为两个选项的多项选择题不会做，他随机挑选两个选项，求他猜对本题得6分的 概率； (②)考生乙有一道答案为ABD的多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他得到分数的分布列和 期望； (3)现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得6分的概率为4，得3分的概率 9/20 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为；考生丁得6分的概率为。，得3分的概率为3：丙，丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不 1 6 影响，求这2道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得18分的概率 【答案】()22分布列见解析，183)8 6 【详解】(1)由题意得甲同学所有可能的选择答案有n=C:=6种， 而其中正确选项只有一个，设符合条件的事件为M,故PM)= h 3 (2)乙同学所有可能的选择答案有n=C4+C}=10种，即共有10个样本点， 设乙同学本题可能得分为X,则X的可能取值为0,4,6，…。 X=0-8-号PX=0- ,PX=6=i0 所以乙同学可能得分的分布列为 0 4 6 3 3 1 10 10 3 所以数学期望为E(X)=0x+4x了 9 +6× 1 =1.8 10 105 8 (3)由题意得丙得0分的概率为1-1-1=」 244 9 、丁得0分的概率为石-子=子一 .10 丙丁总分刚好得18分的情况包含： 事件A:丙得12分有6+6一种情况，丁得6分有6+0,0+6,3+3三种情况， 111111,11）5 则P(A)=二×二×二×二+二x+× 4*4(6*22×6+3*3288 l2 事件B：丙得9分有6+3,3+6两种情况，丁得9分有6+3,3+6两种情况， 则P(B)= 11,11)11.11)1 4224X633X63613 事件C：丙得6分有6+0,0+6,3+3三种情况，丁得12分有6+6一种情况， 11,11,11111 则PC)-4x44*4+2*2}6696 X一X一= 14 所以两总分好得18分的车P=4:8+G点广6文-8 15 18.(17分)如图，在多面体DABCE中，ABC为等边三角形，AB=AD=4, DB=DC=EB=EC=2V2,M为BC中点 10/20品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 限时预测01(A组+B组+C组) 参考答案 口PART A组 解答题限时练 (建议用时：60分钟满分：77分) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.。 15.(13分) 【答案】04=或受回3 【详解】(1)由b=√2 asinB,及正弦定理得sinB=√2 sinAsinB,2 因为B为三角形内角，故sinB>0,故得sin4=5 2 又A为三角形内角，A=及或3刀 4 (2)由tanC=-tanA+B）=tanA+tanB.5 得-tanA+tanB tan+tanB, 1-tanAtanB 又tan4+tanB≠0，.tan4tanB=2,所以A,B∈0， 8 由(l)得tanA=l,故tanB=2,∴.tanC=tanA+tanB=3, 而4，B,C为三角形内角，：sinA=2 5,sinc=310 10 10 sin4sinC,得a=csin 由正弦定理 =5, 12 sinC 政4BC的面积S=)acsinB=XV5x38 25 =3 2 13 16.(15分) 【答案】(1)4x-2y-3=0(2)见解析 【详解】(1)若a=0,则/=rhx+分，f0=方 1 又∫'(x)=2xhx+x+x=2x(hx+),故f'1=2,2 所以)在x=1处的切线方程为y-?2(x-D 即4x-2y-3=0;4 1/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)f'x=(2x+a)lnr+x+a+x=(2x+a)nr+l),x∈(0，+oo）, …5 当a≥0时，2x+a>0,令f"x)>0,即1nx+1>0,解得x>1,令fx)<0,解得0<x<,7 e e 所以f)在0，。上单调递减合，四)上单调递增： 8 当a=-2时，f"(x)≥0，f(x)在(0，+o)上单调递增， 10 当：，即-名<a<0时，令f>0,解得0<<-员，或x>。令f<0.解得<r日 1 e e 所以()在0分，日+网上单调递塔，号之上单调递减： 12 当号即a时，令1>0，解符0<x分成x号令川小0.解将 e e 2 所以1)在0,3，（←号，网）上单调递塔，合分上单调递减。 14 综上：当a≥0时，所以f(x)在(0，与上单调递减，+o)上单调递增： e 当-名<a<0时，所以1)在0，-分，日*上单调递墙，(23上单调递减： e 当a=-是时，f)20,f()在(0+o)上单调递增， 当a<-时，所以)在0，，（号+o)上单调递增，。分上单调递减。 15 17. (15分). 【答案】(I)证明见解析(2)AP=√2. 【详解】(1) ●O E BX D 如图，取PB的中点M,连接MA,ME. 因为E,M分别为PC,PB的中点，所以EM∥BC,EM= BC 2 因为AD∥BC,AD=BC,所以EM∥AD,EM=AD:3 所以四边形ADEM为平行四边形，所以ED∥MA. 4 因为ED文平面ABP,MAC平面ABP,所以ED∥平面ABP.5 2/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2) 因为AD⊥DC,所以AC为底面圆的直径，所以AB⊥BC. 因为BA=BC=√2，AD=1,所以AC=2,CD=V5.… .7 由圆柱的特征可知PA⊥平面ABCD,则PA上AC, 故以A为坐标原点，分别以AC,AP所在直线为y轴，z轴，垂直于AC,AP的直线为x轴， 建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz, 设AP=1,则B(11,0）,P(0,0,,C(0,2,0），020,1,0）9 所以BC=(-1,l,0),BP=(-1,-1,. 连接OB,则O3B⊥AC,易知AP⊥O2B, 又APAC=A，AP,ACC平面ACP,所以O2B⊥平面ACP,11 故平面ACP的一个法向量为O,B=(1,0,0). 设平面BCP的法向量为万=x,y,z, BC=0 即 -x+y=0 则 n.BP=0 -x-y+z=0' 取x=1,则y=1, 13 1 则lcos(O,B,i= O,B·i= 2+- o,B同V2+ 解得t=√2（负值舍去），故AP=√互 415 18.(17分) 【答案】(1)2(2)9x+3V0y+1=0 【详解】(1)设P(x,y),Pg的最小值为√5-1，即PC的最小值为V5,2 3/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则PC=V。-a}2+=Gx,-a)2+2x0=V+1-a+2a-1(,20) 当X0=a-l时，1 PCi=V2a-1=V5,0=2;4 (2) 连接AB,CP，设Ax,y),B(x2,y2),P(xo), 直线P1的斜幸，=二=上-片。2 22 直线PA的方程为：y-为= 2(x-xo), yi+yo 7 即直线PA的方程为：2x-(y+y)y+y,(1+yo)-2x。=0,化简得2x-(y1+o)y+yy1=0,8 同理直线AB的方程为：2x-(y+y2)y+yy2=0, 则点C(2,0)到直线PA的距离为 4+。=1,即(g-+6%y+12-=0,10 V4+(y+y)2 同理(y-1y吃+6y0y2+12-y听=0,11 则以，是方程（好-1y2+6yy+12-y后=0的两根， %,则直线B的斜率ka=21 所以八+1- y+23y ，12 因为PA,PB与圆C均相切， 所以由对称性可知PC平分∠APB, 又注意到PA=PB, 所以有PC⊥AB, 片·2山，淮意到8=2 4/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得x。=5,则y。=V0或y。=-0(舍去). 此时方程y-1y2+6yy+12-y=0变为了9y2+6V10y+2=0, 显然满足4=360-72=288>0，且y+乃= 210 52 15 3 9 因为直线AB的方程为：2x-(y1+y2y+y1y2=0,即2x+ 2V10 2=0 3 y+ 9 即直线AB的方程为9x+3V0y+1=0. 17 19.(17分) 【答案】(1)4个具有性质T的数列可以为：1,4,2,5,3,6；1,4,3,6,2,5；6,3,4,1,5,2；6,3,5,2,4,1 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】(1)数列A:1,4,2,5,3,6.分析：在这个数列中，1-4=3，满足在集合{L,2,3,4,5}中至少有一个 元素使得|a-a=3,所以该数列具有性质T 数列A:1,4,3,6,2,5.分析：其中1-4=3，满足性质T的条件.2 数列A:6,3,4,1,5,2.分析：这里引6-3=3，符合性质T.… ..4 数列A:6,3,5,2,4,1.分析：|6-3仁3，具有性质T5 (2)因为数列{a2-}和(a2n}(n=1,2,…,m)均为等差数列，且a=1,4m=2,所以数列 A:l,2m,3,2m-2,y2m-l,2,7 所以任意相邻两项的差绝对值都是奇数， 所以当n为偶数时，在集合{1,2，…，2m-中不存在元素i使得引a,-a=m, 故对于所有的偶数m,数列A:a,4,…,a2m不具有性质T .9 (3)设在所有由1,2，…，2m的排列组成的数列中，记具有性质T的数列的个数为M,不具有性质T的数列的 个数为B, 设数列A:a,a2,,am为任意一个不具有性质T的数列， 因为4,42，，a2m为l,2,…,2m的一个排列， 所以在a3,a4,,a2m中有且仅有一项a（≥3)，使得|a1-a;=m 在数列A:a,a2,,a2m中，将a项移到a,项的前面，其余项的顺序保持不变， 12 得到新数列4：a2,03…,0j-1,41,0,…,02m,新数列A为1,2，…，2m的一个新排列，13 5/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 显然数列！具有性质T，且任意一个与A不同的不具有性质T的数列通过上述移动首项方法都得不到数列 结合数列A为任意一个不具有性质T的数列，且根据A可以构造一个符合题意的具有性质T的数列A,可 得M≥B 15 又因为数列D:1,m+1,2,m+2,…,m,2m具有性质T, 且任何一个不具有性质T的数列都不可能通过上述移动首项方法得到数列D, 所以M>B 强程手知识知道，对于任意mm图，PM出月 则原命题成立 17 PART B组 解答题限时练 （建议用时：60分钟满分：77分) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【答案】05，=1-2”包=n+-4) 【详解】(1)当n=1时，S,=a=-1, 当n≥2时，an=Sn-Sn-1,所以Sn=2(S,-Sn-)+1, ..2 所以Sn=2Sn1-1,所以Sn-1=2(Sm-1-1, 又因为S-1=-2≠0， 所以{S。-1是以-2为首项，2为公比的等比数列， .4所以 Sn-1=-2×2",即Sn=1-2", 又n=1时也满足上式，所以Sn=1-2”； 6 (2)因为Sn=1-2”=2an+1,所以an=-2"-, -2-,n为奇数 所以cn= 1-2”,n为偶数” …8 所以T2n=C1+C2+C3+C4+…+C2m+C2n 6/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =(G+G3+…+c2m-)+(c2+C4+…+C2n =(-2°-22-24-…-2m-2）+1-2+1-24+…+1-20） 1(1-4"）。41-4"） .+n 12 1-4 1-4 13 16.(15分) 【答案】（①）图见解析， 乏+2=*列j@9 【详解】(I)以AB中点为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系如图所示， B衣 则A-2,0,BV2,0,设E(x,y), ). 3 化简整惠，得2时=--2小，可号+户=士列】 .5 (2)由题意PQ的斜率存在且不为O,设为k,S在线段AB上， 4S=2-1,则S-1,0),设PO:y=kx+,MN:y=x+1 y=k(x+1) 由 /2)+少2=1·消元，得（2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0, -4k2 2k2-2 1+x2= 2k2+1’5 ..8 2k2+1 PO=1+k2 16k4 8k2-82V2(k2+1 ..9 V(2k2+1 2k2+12k2+1, 22(1+k2) 同理可得：MW= 2*1 2+k2 10 7/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 s-P 4k2+12 .12 (2k2+1k2+2 令k2=11>0), 4t2+21+1 .14 :1>0,21+2之4，当且仅当1=1，即k=时等号成立， ·四边形PMQN面积的最小值为g… 16 .15 17.(15分) 【答案】0①2②分布列见解析，1.83)3 【详解】(1)由题意得甲同学所有可能的选择答案有n=C?=6种， 1 而其中正确选项只有一个，设符合条件的事件为M,故P(M)= 3 6 (2)乙同学所有可能的选择答案有n=C:+C:=10种，即共有10个样本点， 设乙同学本题可能得分为X,则X的可能取值为0,4,6，… PX=0-8Px=00x=0=0 1 所以乙同学可能得分的分布列为 X 0 4 6 3 3 1 5 10 10 所以数学期望为E(X)=0 3 3 19 +6× =1.8 10 0105 8 (3)由题意得丙得0分的概率为1-244 111 9 丁得0分的概率为1-11！ 632 .10 丙丁总分刚好得18分的情况包含： 事件A：丙得12分有6+6一种情况，丁得6分有6+0,0+6,3+3三种情况， 则-g 5 12 288 8/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 事件B：丙得9分有6+3,3+6两种情况，丁得9分有6+3,3+6两种情况， 则P(a)=}x+x11x111). 1 42+24(6*3+3*636 13 事件C：丙得6分有6+0,0+6,3+3三种情况，丁得12分有6+6一种情况， 则P(C)= 11,11,11111 44+442×266961 .14 所以丙丁总分刚好得18分的概率P=P(A+B+C)=,5++=1 288369618 15 18.(17分) 【答案】()证明见解析2 7 【详解】(1)：△ABC为等边三角形，M为BC中点， 则AB=AC,BM=MC,.BC⊥AM, 又DB=DC,BC⊥DM, 2 又：AM∩DM=M,AM、DMc平面AMD, .BC⊥平面AMD, 同理可证，BC⊥平面AME, :过M只有一个平面与BC垂直， A、D、M、E四点共面 6 (2) D 由(1)可知BC⊥AM,BC⊥EM, :,∠AME就是二面角A-BC-E所成的平面角， .∠AME=30°， AB=AD=4,DB=DC=EB=EC=22,BM=2, 则在△AMD中，AM=VAB2-BM2=2V5,DM=EM=√BE2-BM2=2, .AM2+MD2=16=AD2,∠AMD=90°， ….9 以M为坐标原点，MA为x轴，MB为y轴，MD为z轴建立空间直角坐标系， 则425,0,0，C(0,-2,0),D(0,0,2,EV5,0,-1, 则AE=-5,0,-1,AC=(-25,-2,0),AD=-25,0,2 9/17 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设i=(x,y,z是平面ACD的一个法向量， i-AC=-2V3x-2y=0 由 ,令y=√3可得i=-1,3,-V5, .13 i·AD=-2√3x+2z=0 设AE与平面ACD所成角为O, AE.n 25√2I 则sin AE 2×√77 l5 即直线AE与平面ACD所成角的正弦值为√ 17 19.(17分) 【答案】（①）{a,}不具有，{b}具有，理由见解析(2)证明见解析(3)xn}具有，{y}具有 【详解】(1)因为an=n-1单调递增，不存在正数M, 使得an<M恒成立，所以数列{a}不具有性质P 因为b 2 <1,又数列{bn}为单调递减数列，所以数列b}具有性质P4 (2)因为X=0,l,…,n,n∈N, 若X为奇数的概率为Pn,X为偶数的概率为9n, 则p。+q.=1=[1-p+p]”=Cp(1-p)”+Cp'(1-p)-, +Cp2(1-p)m-2+…+Cp1-p)°记为①， 6 [1-p)-p]°=C(-p)°(1-p)°+C(-p)'I-p), +C(-p)(1-p)-2+…+C(-p)"(1-p)°记为②， 而①，②=p,即p,.=-02p少 .8 2 2 所以当0<p<2时，0<1-2p<1, 故D随着的增大而增大，且卫。<2’即数列p.}具有性质P.10 o令--rr-+ 一x+ 则g1=3x-2x分g100,8付0 10/17