5.1 矩形（题型专练，6基础5提升题型+培优）数学新教材浙教版八年级下册

5.1 矩形 题型一、利用矩形的性质求角度 1．翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称呼，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，图1是翻花绳的一种图案，可以将其简化成图2，在矩形中，，的度数为（   ） A． B． C． D． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故选：C． 2．在矩形中，点E是的中点，连接，，点F是上一点，且平分交于点G，平分，则________． 3．如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，恰好经过点，连接、． (1)由作法可知　　，　　； (2)求和的度数． 题型二、利用矩形的性质求边长 4．两个矩形纸片A，B按如图的三种位置放置，测量数据如图所示，已知矩形纸片A，B的长相等，下列判断错误的是（    ） A．矩形A的长与宽的差为 B．矩形B的长与宽的差为2 C．矩形A的周长为10 D．矩形B的周长为12 5．如图，在矩形中，点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 6．如图，四边形中，对角线相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的周长． 题型三、利用矩形的性质求面积 7．如图，已知矩形面积为，，，，，则阴影部分的面积（　　） A． B． C． D． 8．如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 9．如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为____________． 题型四、利用矩形的性质证明 10．如图，在矩形中，点是边上一点，，于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 11．如图，已知四边形是矩形，延长至点，连接、，且，过点作于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 12．如图，在矩形中，，为边上的点，为边上的点，与交于点．现给出三个关系：①；②；③． (1)从三个关系中选择两个作为条件，剩下的一个作为结论，形成一个真命题，写出所有的真命题． (2)选择其中的一个真命题进行证明． 题型五、矩形的判定问题 13．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 14．如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．这种检测方法用到的数学依据是（　　） A．两条对角线互相平分的平行四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线平分每组对角的平行四边形是矩形 15．如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是（   ） A． B． C． D． 16．四边形ABCD的对角线相交于点O，且，则当OD的长为________时，四边形ABCD是矩形． 17．下列对矩形的判定： （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有四个角是直角的四边形是矩形； （5）四个角都相等的四边形是矩形； （6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形； （7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形； （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有___________．（只填写序号） 18．如图，在中，E，F为对角线上的两点（点E在点F的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，下列条件能判定四边形为矩形的是__________（多选）． A． B． C． D． (3)当时，且，，求B，D两点之间的距离． 19．如图，点M在的边上，．请从以下三个条件中选择一个作为已知条件，使为矩形． ①；②；③． (1)你添加的条件是________（填序号）． (2)添加条件后，请证明为矩形． 20．如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)已知_____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①和条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 题型六、矩形的证明 21．如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 22．如图，在中，，D为中点，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于点H，若，求的长． 23．如图，在中，为的中点，连接，并延长至点，使得点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接、． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并说明理由． 题型一、矩形的折叠问题 24．如图，矩形的边在x轴上，且过原点，连接．将沿翻折，点B的对应点恰好落在边上．若点的坐标为，则点C的坐标为____________． 25．如图，点是矩形的边上的一点（点不与点C，D重合），将沿直线翻折得到，边，分别与边相交于点G，H，若图中阴影部分的周长为14，，点是矩形的对称中心，则___________． 26．如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接． (1)若点恰好落在上，求的长； (2)若，判断的形状，并说明理由． 题型二、矩形背景下的尺规作图问题 27．如图，在矩形中，连接对角线，分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线，分别交边，于点，，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，的周长为，求线段的长． 28．如图，是矩形的对角线，，． (1)尺规作图：作的中垂线l，垂足为O，l与相交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，求线段的长． 29．如图，在矩形中，为延长线上一点，为的中点，以为圆心，长为半径的圆弧经过与的交点，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 题型三、矩形与一次函数的综合 30．如图，点、分别在直线和直线上，、是轴上两点，若四边形是矩形，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 31．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为___________． 32．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为，点C为线段的中点． (1)求点B的坐标； (2)点P为直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，设点P的横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数解析式； (3)当点P在直线上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型四、矩形性质与判定的综合应用 33．如图，在中，，，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段长的最小值为（   ）    A． B． C． D． 34．如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 35．如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，． （1）线段和的数量关系为__________； （2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是__________． 36．在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 37．已知：点、、、在同一直线上，，，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 38．如图，在四边形中，，，，，．点P从点B出发，沿射线方向以每秒4个单位长度的速度运动，同时点Q从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点D运动，当点Q到达点D时，点P、Q同时停止运动．设点Q的运动的时间为t秒． (1)的长为________． (2)求的长（用含t的代数式表示）． (3)直接写出是以为腰的等腰三角形时t的值． 题型五、矩形背景下的动点问题 39．如图，矩形中，，，点、分别、边上的动点，且，点为的中点，点为上一动点，则_____；的最小值为_____． 40．如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，，，点是线段上一动点（不与点重合），连接，过点作的垂线交射线于点，连接． (1)求的大小； (2)问题探究：动点M在运动的过程中，是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由． (3)问题解决：如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度． 41．如图，在矩形中，．动点P、Q分别从点A、C以的速度同时出发．动点P沿向终点B运动，动点Q沿向终点D运动，交对角线于点O．设点P的运动时间为t（秒）．    (1)用含t的式子表示：______，______； (2)运动过程中，无论t为何值，四边形的面积都______； (3)当四边形是矩形时，求出t的值． (4)当是等腰三角形时，直接写出t的值． 42．如图，在矩形中，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，则的值为（　　） A．5 B． C． D． 43．如图，长方形中，、分别为边、上任意一点，、分别为线段、的中点，若的面积为的面积为，则阴影部分面积等于（    ）    A． B． C． D． 44．如图在平面直角坐标系中，多边形的顶点坐标分别是．若直线将多边形分割成面积相等的两部分，如直线，则还有满足条件的直线的函数表达式是_________． 45．如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点P，Q．的延长线交于点M． (1)试判断与的数量关系，并证明； (2)当时，如图2，连接，射线交于点N． ①请判断与的数量关系，并证明； ②若的两直角边的比为，请直接写出的值． 46．如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接， (1)求证：； (2)求证：； (3)若，直接写出___________． 47．如图，在中，是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角的平分线于点． (1)用圆规在图中画出点：要求圆规只画一段弧； (2)连接，若，，求的长； (3)连接，，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？请说明理由． 48．已知，中，是边的中线． 阅读：学习全等三角形知识后，我们知道，当出现三角形的中线时，通常用倍长中线构造“X”型全等的方法来解决问题． 如图1，延长到点E，使，连接，则有以下两个常见结论：①； ②．利用这两个结论解决下列问题． (1)如图1，若，直接写出的取值范围为：__________； (2)如图2，在中，．求证：． (3)如图3，点G在的上方，点F在的延长线上，连接，若．求证：． 49．综合与实践 如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积． 50．如图，在长方形中，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿的路径运动，连接．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)写出的长（用含的代数式表示）． (2)当线段将长方形分割为两个长方形时，______． (3)若点到达点后，以原速度的2倍返回到点，同时点以原速度继续向点运动．在点的整个运动过程中： ①当线段平分长方形的周长时，求的值； ②作点关于点的中心对称点，直接写出的面积是面积的时的值． 试卷第2页，共69页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 矩形 题型一、利用矩形的性质求角度 1．翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称呼，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，图1是翻花绳的一种图案，可以将其简化成图2，在矩形中，，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理是解题的关键．由矩形的性质可得，进而可得；再根据三角形内角和定理可得；然后再证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由对顶角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵矩形中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 故选：C． 2．在矩形中，点E是的中点，连接，，点F是上一点，且平分交于点G，平分，则________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 延长，相交于点，根据矩形的性质和，易证，得，则，根据角平分线，可得，，再利用，易证，得，，从而，得是等腰三角形，进而得，根据角之间的关系求出的度数，最后利用三角形内角和计算即可求解． 【详解】解：如图，延长，相交于点， 矩形， ，，， 点E是的中点， ， ()， ，则， 平分， ， ， ，则 平分， 在和中， ， ， ， ， ，即是等腰三角形， ， ， ， ， ． 故答案为：. 3．如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，恰好经过点，连接、． (1)由作法可知　　，　　； (2)求和的度数． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，， （2）根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质分别算出和，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵以点为圆心，长为半径画弧，交于点， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，恰好经过点， ∴， 故答案为：；； （2）四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ． 题型二、利用矩形的性质求边长 4．两个矩形纸片A，B按如图的三种位置放置，测量数据如图所示，已知矩形纸片A，B的长相等，下列判断错误的是（    ） A．矩形A的长与宽的差为 B．矩形B的长与宽的差为2 C．矩形A的周长为10 D．矩形B的周长为12 【答案】D 【分析】设矩形纸片A的长为，宽为，矩形B的宽为，由图得，，，分别计算，即可求解． 【详解】解：设矩形纸片A的长为，宽为，矩形B的宽为，则矩形B的长为， 由图得，，， 解得，，， ， 故A结论正确，不符合题意； ， 故B结论正确，不符合题意； ， 故C结论正确，不符合题意； ， 故D结论错误，符合题意． 5．如图，在矩形中，点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】连接并延长交于点G，连接，根据中点定义，矩形的性质得到，，再证，得到，根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接并延长交于点G，连接 ． ∵M，N分别是，的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ， ∴， ，即N是的中点． ∴是的中位线． ． ∵点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，，， ∴，，． 在中， ． ． 6．如图，四边形中，对角线相交于点O，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明四边形是平行四边形，根据三角形外角的性质和已知条件可证明，得到，则可证明，据此可证明结论； （2）根据矩形的性质可得，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∴四边形的周长． 题型三、利用矩形的性质求面积 7．如图，已知矩形面积为，，，，，则阴影部分的面积（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质和割补法求不规则图形面积．通过割补法将阴影面积转化为四个直角三角形的面积和是解题的关键． 根据四个直角三角形的面积和即可求得阴影部分面积． 【详解】解：设矩形的长，宽， 矩形面积， ，，，，如图， ， 阴影部分的面积 ， 故选B． 8．如图，矩形中，，对角线和相交于点O，且，过点D作的平行线，过点C作的平行线，两平行线交于点E，那么四边形的面积是_________． 【答案】 【分析】证明出是等边三角形，得到，利用勾股定理求出，然后求出矩形的面积，得到，证明出四边形是平行四边形，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴． 9．如图，是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】12 【分析】利用矩形的性质和面积转化思想，通过证明三角形面积相等，将分散的阴影部分面积整合为一个规则图形的面积来计算． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点，则四边形、四边形、四边形和四边形都是矩形． ∴，，，，，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质和面积转化思想，解题关键是通过三角形面积相等的关系，将分散的阴影面积整合为可直接计算的矩形面积． 题型四、利用矩形的性质证明 10．如图，在矩形中，点是边上一点，，于点． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）证明，得到，即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理得出，即，求出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：设，则， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 11．如图，已知四边形是矩形，延长至点，连接、，且，过点作于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的性质和矩形的性质证出，由证明，即可得出结论； （2）由全等三角形的性质得出，再根据即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ． ∵四边形是矩形， ，， ， ， ， 在和中，， ， ； （2）解：由（1）知， ． ∵四边形是矩形， ， ∵， ， ． 12．如图，在矩形中，，为边上的点，为边上的点，与交于点．现给出三个关系：①；②；③． (1)从三个关系中选择两个作为条件，剩下的一个作为结论，形成一个真命题，写出所有的真命题． (2)选择其中的一个真命题进行证明． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查命题的书写与证明，涉及矩形性质、两个三角形全等的判定与性质、直角三角形判定与性质等知识，熟练掌握命题定义、两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）选①②作为条件，③作为结论；选①③作为条件，②作为结论；选②③作为条件，①作为结论；由两个三角形全等的判定与性质即可确定三个命题均为真命题； （2）由（1）中三个真命题，分情况，由两个三角形全等判定与性质逐个判定即可得到答案． 【详解】（1）解：选①②作为条件，③作为结论：若，时，则，为真命题； 选①③作为条件，②作为结论：若，时，则，为真命题； 选②③作为条件，①作为结论：若，时，则，为真命题； （2）证明：①若，时，则， 在矩形中，， 在和中， ， ， ， 在中，，则， 即， ； ②若，时，则， 在矩形中，， ， ， 在中，， ， 在和中， ， ， ； ③若，时，则， 在矩形中，， ， ， 在中，， ， 在和中， ， ， ． 题型五、矩形的判定问题 13．兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定方法“有三个角是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形”即可求解． 【详解】解：A、对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、图形中无法判断角是直角，不一定是矩形，故该选项符合题意； 14．如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．这种检测方法用到的数学依据是（　　） A．两条对角线互相平分的平行四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D．对角线平分每组对角的平行四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形可作出选择． 【详解】解：需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断是矩形的理论依据是对角线相等的平行四边形是矩形， 故选：B． 15．如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，要使四边形是矩形，则四边形只需要满足一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定条件寻找使平行四边形有一个角为直角的四边形的条件． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 同理，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴且， ∴四边形是平行四边形． 同理，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 结合图形，要使平行四边形为矩形，需有一个内角为． A选项，若，则，平行四边形为菱形，不符合题意； B选项，若，无法得到的内角为直角，不符合题意； C选项，若，无法得到内角为直角，不符合题意； D选项，若，则，平行四边形为矩形，符合题意； 故选：D． 16．四边形ABCD的对角线相交于点O，且，则当OD的长为________时，四边形ABCD是矩形． 【答案】2.5 【分析】本题考查了矩形的判定，能正确运用知识点进行推理是解此题的关键． 根据矩形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：当时，四边形是矩形． 理由如下：，且， ， 即， 四边形是平行四边形， 又，， ， 四边形是矩形． 故当时，四边形是矩形． 故答案为：． 17．下列对矩形的判定： （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有四个角是直角的四边形是矩形； （5）四个角都相等的四边形是矩形； （6）对角线相等，且有一个直角的四边形是矩形； （7）对角线相等且互垂直的四边形是矩形； （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，正确的有___________．（只填写序号） 【答案】（2）（4）（5）（8） 【分析】本题考查了矩形的判定方法；熟练掌握矩形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．根据矩形的判定方法逐一进行判断即可，由矩形的判定方法得出（2）（4）（5）（8）正确，（1）（3）（6）（7）不正确，即可得出结论． 【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴（1）不正确； ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴（2）正确； （7）不正确 ∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴（3）不正确； ∵有三个角是直角的四边形是矩形，∴（4）正确； ∵四边形的内角和等于360°，∴四个角都相等的四边是矩形，∴（5）正确；（6）不正确； ∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， ∴一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形，∴（8）正确； 故答案为：（2）（4）（5）（8）． 18．如图，在中，E，F为对角线上的两点（点E在点F的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，下列条件能判定四边形为矩形的是__________（多选）． A． B． C． D． (3)当时，且，，求B，D两点之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)AC (3) 【分析】（1）连接，交于点O，根据平行四边形的性质得到，，结合得到，即可根据对角线互相平分得证四边形是平行四边形； （2）根据矩形的判定方法逐项判断即可； （3）根据勾股定理求出，再由平行四边形的性质得到，，进而求出，从而，即可解答． 【详解】（1）证明：连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：A、∵， ∴， ∴为矩形， 故选项A能判定四边形为矩形． B、∵， ∴为菱形， 故选项B不能判定四边形为矩形． C、∵， ∴为矩形， 故选项C能判定四边形为矩形． D、∵， ∴为菱形， 故选项D不能判定四边形为矩形． （3）解：∵，，， ∴在中，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴B，D两点之间的距离为． 19．如图，点M在的边上，．请从以下三个条件中选择一个作为已知条件，使为矩形． ①；②；③． (1)你添加的条件是________（填序号）． (2)添加条件后，请证明为矩形． 【答案】(1)①（答案不唯一） (2)见解析 【分析】（1）选一个条件即可； （2）先由平行四边形的性质得到，证明，得到，根据平行线的性质得到，即，即可证明为矩形． 【详解】（1）解：添加的条件是①， 故答案为：①（答案不唯一）； （2）证明：四边形是平行四边形， ． 在和中， ， ． 又， ， 为矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 20．如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)已知_____（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形的形状，并证明你的结论． 条件①：； 条件②：． （注：如果选择条件①和条件②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】(1)见解析 (2)选择条件①，四边形是矩形；选择条件②，四边形是矩形．证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据平行四边形的性质，结合角平分线的定义，推出，进而得到，再根据线段的和差关系和数量关系即可得出结论； （2）选择①先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得证； 选择②先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ； （2）解：若选择条件①，四边形是矩形． 由（1）可知，，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是矩形． 若选择条件②，四边形是矩形． 由（1）可知，，， ， 又， 四边形是平行四边形 ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是矩形． 题型六、矩形的证明 21．如图，在中，于点，延长至点，使，连接，与交于点． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形为平行四边形，再证，即可得出结论； （2）根据矩形的性质可得，再利用勾股定理结合完全平方公式公式变形得出，进而求得，再结合，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， （2）解：四边形是矩形， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 22．如图，在中，，D为中点，四边形是平行四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)过点E作于点H，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）通过等腰三角形三线合一，可得，，结合四边形是平行四边形，，，从而得证； （2）不妨设，那么，先求得，接着通过外角求得，得到为等腰直角三角形，结合矩形的性质以及勾股定理，可求得，最后通过可求得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，D为的中点， ∴，． ∴，， ∴四边形是平行四边形． 又∵ ∴平行四边形是矩形． （2）解：不妨设，那么， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．如图，在中，为的中点，连接，并延长至点，使得点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接、． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)四边形是矩形，理由见解析． 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，由点是的中点，得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，再由（1）的全等的性质结合 ，推出四边形为平行四边形，最后结合推出四边形为矩形即可． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵和中， ， ∴． （2）四边形是矩形，理由如下： ∵， ∴为等腰三角形． ∵为的中点， ∴． ∵由（1）得， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为矩形． 题型一、矩形的折叠问题 24．如图，矩形的边在x轴上，且过原点，连接．将沿翻折，点B的对应点恰好落在边上．若点的坐标为，则点C的坐标为____________． 【答案】 【分析】由点的坐标得到和的长，根据勾股定理求出，由折叠得到，，设，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴，， ∴在中，， ∵将沿翻折，点的对应点恰好落在边上， ∴，， ∴， ∴在矩形中，，，， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 25．如图，点是矩形的边上的一点（点不与点C，D重合），将沿直线翻折得到，边，分别与边相交于点G，H，若图中阴影部分的周长为14，，点是矩形的对称中心，则___________． 【答案】 【分析】根据题意求得，再根据矩形的性质结合勾股定理求得． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 由折叠的性质知，，， ∵阴影部分的周长为 ， ∵图中阴影部分的周长为14，， ∴， ∴， 连接， ∵点是矩形的对称中心， ∴． 26．如图，在矩形中，，，点E是边上的一点，连接，将沿折叠，使点B落在点处，连接． (1)若点恰好落在上，求的长； (2)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠问题： （1）先根据勾股定理得出，由折叠得： ，根据折叠的性质得出，，，设，则 ，，在 中，由勾股定理得：，求解即可得出答案； （2）先求出，，由折叠得： ，，根据，得出在上，得出四边形是正方形，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解： 如下图， 在矩形中， ，，， ， 由折叠得： ， ，，， ，， 设，则 ，， 在 中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）是直角三角形，理由如下： ，， ，， 由折叠得： ，， ， 在上，如图所示， 四边形是正方形， ， 是直角三角形． 题型二、矩形背景下的尺规作图问题 27．如图，在矩形中，连接对角线，分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线，分别交边，于点，，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，的周长为，求线段的长． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定以及勾股定理的应用，熟练掌握相关性质与判定定理是解答本题的关键． （1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，结合矩形对边平行的性质，利用“角边角”（）判定定理证明； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，将的周长转化为，结合已知条件求出的长度，最后在中利用勾股定理计算对角线的长． 【详解】（1）证明：由作法得垂直平分， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形为矩形， ， 垂直平分， ， ， ， ， 在中， ． 28．如图，是矩形的对角线，，． (1)尺规作图：作的中垂线l，垂足为O，l与相交于点；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，求线段的长． 【答案】(1)见详解； (2)． 【分析】（1）分别以、为圆心，大于为半径画弧即可完成作图； （2）根据线段垂直平分线的性质得，设，则，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图； （2）连接，如图， 为的中垂线， ， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，， ， ， ． 29．如图，在矩形中，为延长线上一点，为的中点，以为圆心，长为半径的圆弧经过与的交点，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：由作法知，， 在矩形中，． 为中点． ． （2）． ． 在矩形中，． ． 题型三、矩形与一次函数的综合 30．如图，点、分别在直线和直线上，、是轴上两点，若四边形是矩形，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标为，根据点在直线上表示出点坐标及长，利用矩形性质和求出长，进而得到点的坐标，代入求解即可. 【详解】解：设点的坐标为（）， 点在直线上，且四边形为矩形 ， 点的横坐标为，纵坐标为，即， ， ， ， 点的横坐标为， 四边形是矩形 ， 点的横坐标为，纵坐标为，即 点在直线上 ， ， ， . 31．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，且轴，直线与线段交于点，当线段上有3个整点（包含线段端点）时，的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，一次函数与直线交点的计算，掌握交点的计算是关键． 根据题意得到点到点之间的整点有，结合题意得到点的横坐标的范围为，分别代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，顶点，且轴， ∴， ∴点到点之间的整点有， ∵线段上有3个整点（包含线段端点）时，即点的横坐标的范围为， 当，即点在直线上时，， 解得，， 当点，即点在直线上时，， 解得，， ∴的取值范围为， 故答案为： ． 32．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为，点C为线段的中点． (1)求点B的坐标； (2)点P为直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点Q，设点P的横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数解析式； (3)当点P在直线上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）把点A的坐标代入解析式可得n的值，进而可求解点B坐标； （2）由中点公式得点，则有直线的表达式为：，设点，则点，然后根据题意分类讨论进行求解即可； （3）设，点，而点、的坐标分别为、；由题意可分当是矩形的边时，当是矩形的对角线时，然后结合两点距离公式及中点坐标公式可进行求解． 【详解】（1）解：将点代入得：， ∴， 故直线的表达式为：， 令，则， ∴点； （2）解：点为线段的中点， 则由中点公式得，点，即， 设直线的表达式为：，则有：， ∴， 则直线的表达式为：， 设点，则点， 当点在轴右侧，且在点右侧时， ； 当点在轴右侧，且在点左侧时， ； 当点在轴左侧时， 同理可得：；故或； （3）解：设，点，而点、的坐标分别为、； ①当是矩形的边时， 则点与点A重合，故点，故点； ②当是矩形的对角线时， 由中点公式得：且①， 由矩形的对角线相等得：，即②， 联立①②并解得：， 故点，； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查矩形的性质及一次函数与几何的综合，熟练掌握中点坐标公式及一次函数的图象与性质是解题的关键． 题型四、矩形性质与判定的综合应用 33．如图，在中，，，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段长的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，易得四边形为矩形，进而得到，根据垂线段最短，得到当时，的长最小，利用勾股定理和等积法进行求解即可. 【详解】解：连接，    ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵D是斜边上的一个动点， ∴当时，的长最小， ∵，，， ∴， 当时，则：， ∴， ∴的最小值为. 34．如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，矩形的判定和性质，角平分线的计算，根据题意得到，，可判定①正确；根据平行四边形，矩形的判定方法得到四边形是矩形，由此可判定②③④，由此即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵平移到， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，故②正确； ∵四边形是矩形， ∴，，故④正确， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵平分，即， ∴， ∴平分，故③正确； 综上所述，正确的有4个， 故选：D ． 35．如图，和是两个全等的共斜边的直角三角形，，是的中点，连接，． （1）线段和的数量关系为__________； （2）分别过点，作于点，于点，连接，若，，则四边形的面积是__________． 【答案】 12 【分析】本题主要查了直角三角形斜边的性质，勾股定理，矩形的判定和性质． （1）根据直角三角形斜边的性质，即可求解； （2）过点M作于点N，由（1）得：，可得到，再由勾股定理可得的长，再证明四边形是矩形，即可求解． 【详解】解∶（1）∵，是的中点， ∴， ∴． 故答案为： （2）如图，过点M作于点N， 由（1）得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵和是两个全等的共斜边的直角三角形，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积是． 故答案为：12 36．在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)或或或 【分析】（1）过点作交于，延长交于，结合矩形的判定及性质，由判定，由判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）由点的运动路径得，设，由直角三角形的特征得，可求，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：过点作交于，延长交于， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 四边形是矩形， ， ， 点是上的一个动点（点不与端点重合）， ， ， 设， 是的中点， ， ， 解得， ， 线段的长为整数， 为或或或， 为或或或， 当时， ， 同理可求时，， 时，， 时，， 综上，的长为或或或． 37．已知：点、、、在同一直线上，，，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接、、、和，交于点，若，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中是面积3倍的所有三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，与三角形的高有关的计算： （1）证明，得到，进而求出即可； （2）证明四边形为矩形，根据同底三角形的面积比等于底边比，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上：满足条件的三角形有，，，． 38．如图，在四边形中，，，，，．点P从点B出发，沿射线方向以每秒4个单位长度的速度运动，同时点Q从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点D运动，当点Q到达点D时，点P、Q同时停止运动．设点Q的运动的时间为t秒． (1)的长为________． (2)求的长（用含t的代数式表示）． (3)直接写出是以为腰的等腰三角形时t的值． 【答案】(1)5 (2)当时，；当时， (3)或或 【分析】（1）D作，证明四边形是矩形，求出和，利用勾股定理即可求解； （2）分情况讨论进行求解； （3）分和两种情况，根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点D作，垂足为E， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由题意可得：当时，； 当时，， （3）解：①， 则， ∴， ∴； ②，则， ∴或， ∴或； 综上：当是以为腰的等腰三角形时，t的值为或或． 题型五、矩形背景下的动点问题 39．如图，矩形中，，，点、分别、边上的动点，且，点为的中点，点为上一动点，则_____；的最小值为_____． 【答案】 1 4 【分析】此题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短路径问题，先利用直角三角形斜边中线的性质得到，作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可得到答案，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ，点G为的中点， ∴， 作A关于的对称点，连接，交于P，当点，P，G，D共线时，的值最小，最小值为的长； ，， ， ∴， ∴； ∴的最小值为4； 故答案为：1，4．, 40．如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，，，点是线段上一动点（不与点重合），连接，过点作的垂线交射线于点，连接． (1)求的大小； (2)问题探究：动点M在运动的过程中，是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由． (3)问题解决：如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度． 【答案】(1)； (2)能，满足条件的的值为10或； (3)． 【分析】（1）取的中点O，连接，利用直角三角形的性质求得，证明是等边三角形，据此计算即可解决问题； （2）分两种情形：当时，当时，分别求解即可； （3）首先证明是等边三角形，再证明垂直平分线段，解直角三角形即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，取的中点O，连接， ∵矩形，，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：如图一（1）中，当时， ∵，，， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 如图一（2）中，当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的的值为10或； （3）解：如图二中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴，，， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 41．如图，在矩形中，．动点P、Q分别从点A、C以的速度同时出发．动点P沿向终点B运动，动点Q沿向终点D运动，交对角线于点O．设点P的运动时间为t（秒）．    (1)用含t的式子表示：______，______； (2)运动过程中，无论t为何值，四边形的面积都______； (3)当四边形是矩形时，求出t的值． (4)当是等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)24 (3)2 (4)或或 【分析】（1）由矩形，，可知，由勾股定理得，，则，，； （2）由题意知，根据，计算求解即可； （3）由四边形是矩形，可得，即，计算求解即可； （4）由题意知，是等腰三角形，分，，，三种情况求解：证明，则，①当时，，计算求解即可；②当时，与重合，，计算求解即可；③当时，如图，过点O作于点H，则是的中位线，，，中，由勾股定理得，，由，可得，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由题意知，， 故答案为：24； （3）解：∵四边形是矩形， ∴，即，解得，， ∴t的值为2； （4）解：由题意知，是等腰三角形，分，，，三种情况求解： 由题意知，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ①当时，，解得； ②当时，与重合， ∴，解得； ③当时，如图，过点O作于点H，则是的中位线，    ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∵， ∴，即，解得； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线，等腰三角形的性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 42．如图，在矩形中，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，则的值为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，，然后通过勾股定理得出，则有，然后通过即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在矩形中， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 43．如图，长方形中，、分别为边、上任意一点，、分别为线段、的中点，若的面积为的面积为，则阴影部分面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质以及三角形面积的相关知识，解题的关键是利用中点性质和三角形面积关系进行推导． 通过连接，分析三角形面积之间的关系，从而得出阴影部分面积． 【详解】解：连接．    在长方形中，和等底等高， ， 同理可证，， 是的中点，， 是的中点，， ， ． 故选：B． 44．如图在平面直角坐标系中，多边形的顶点坐标分别是．若直线将多边形分割成面积相等的两部分，如直线，则还有满足条件的直线的函数表达式是_________． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数则需要两组的值．也考查了矩形的性质、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征．延长交轴于点，连接、，它们相交于点，连接、，它们相交于点，如图，则四边形和四边形都为矩形，根据矩形为中心对称图形可判断直线平分多边形的面积；延长交于点，连接、，它们相交于点，连接、，它们相交于点，如图，则四边形和四边形都为矩形，根据矩形为中心对称图形可判断直线平分多边形的面积，然后利用待定系数法分别求出直线和直线的解析式即可． 【详解】解：延长交轴于点，连接、，它们相交于点，连接、，它们相交于点，如图1， ， 四边形和四边形都为矩形， ，， 设直线的解析式为 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为； 延长交于点，连接、，它们相交于点，连接、，它们相交于点，如图， ， 四边形和四边形都为矩形， ，， 设直线的解析式为 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为， 综上所述，满足条件的直线的函数表达式是或． 故答案为：或． 45．如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点P，Q．的延长线交于点M． (1)试判断与的数量关系，并证明； (2)当时，如图2，连接，射线交于点N． ①请判断与的数量关系，并证明； ②若的两直角边的比为，请直接写出的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①，证明见解析；②的值为或 【分析】（1）连接，证出即可； （2）①延长，交于点，先证出，再证出即可； ②设的两直角边长分别为，则，过点作于点，则四边形是矩形，再分两种情况：（Ⅰ）当时，（Ⅱ）当时，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图1，连接， ∵在中，，将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①，证明如下： 如图2，延长，交于点， 由（1）已证：， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ②由题意，设的两直角边长分别为， 则， 由旋转的性质得：， 如图3，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， （Ⅰ）当时，则， ∴， ∴在中，， 由（2）①已证：， ∴， ∴； （Ⅱ）当时，则， ∴， ∴在中，， 由（2）①已证：， ∴， ∴； 综上，的值为或． 46．如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接， (1)求证：； (2)求证：； (3)若，直接写出___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线性质证明即可； （2）先求出， 判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得， ， 从而得到，再求出是等腰直角三角形，求出， 然后利用“边角边”证明即可； （3）过点作于点，设， 则，根据等腰直角三角形的性质得到，然后表示和，再求出比值即可． 【详解】（1）证明：∵是矩形， ∴， ∵点为的中点， ∴； （2）证明∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：过点作于点，如图所示. ， ∴设， 则， ∵， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵为等腰直角三角形， ， ， ， ∴， 故答案为：． 47．如图，在中，是边上的一个动点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角的平分线于点． (1)用圆规在图中画出点：要求圆规只画一段弧； (2)连接，若，，求的长； (3)连接，，当点在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当点在边上运动到中点时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）以点为圆心，为半径，画弧交于点，点为所求； （2）根据角平分线的性质可推出，结合平行线的性质和等腰三角形的性质可推出，，进而得到，然后根据勾股定理求得，即可得到答案； （3）当点在边上运动到中点时，易证四边形是平行四边形，结合，可证平行四边形是矩形． 【详解】（1）解：以点为圆心，为半径，画弧交于点，连接，如图， 则， 交的平分线于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， 平分， 故如图所示点为所求， （2）解：如图， 交的平分线于点，交的角平分线于点， ，， ， ， ，， ，， ，， ； 在中，，，， ， ； （3）解：当点在边上运动到中点时，四边形是矩形， 理由如下：连接，，如图， 当为的中点时，， 由（2）可知，， 四边形是平行四边形， 由（2）可知：， 平行四边形是矩形 【点睛】本题考查了尺规作图作线段，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形和矩形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 48．已知，中，是边的中线． 阅读：学习全等三角形知识后，我们知道，当出现三角形的中线时，通常用倍长中线构造“X”型全等的方法来解决问题． 如图1，延长到点E，使，连接，则有以下两个常见结论：①； ②．利用这两个结论解决下列问题． (1)如图1，若，直接写出的取值范围为：__________； (2)如图2，在中，．求证：． (3)如图3，点G在的上方，点F在的延长线上，连接，若．求证：． 【答案】(1)1，5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质． （1）先证明，推出，，根据三角形的三边关系得到，进而推出； （2）延长至点F，使，连接，可得，推出，求出，同理，得到四边形是矩形，即可证得； （3）连接，延长至点E，使，则，，由此得到，,再证明，得到，推出，由，得到，求出即可． 【详解】（1）证明：如图， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）延长至点F，使，连接， 可得， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （3）如图，连接，延长至点E，使， 则，． ∴，, ∵． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 49．综合与实践 如图，在长方形纸片中，，P为长方形纸片边上的一动点，连接，将沿折叠，点B落在点处． (1)如图1，当点落在边上时，的长为________． (2)如图2，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图3，当点P与点C重合时，与交于点E，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定，灵活运用勾股定理列方程是解决问题的关键． （1）根据折叠的性质与勾股定理即可求解； （2）根据折叠的性质得，，，再设，则，由勾股定理列方程即可求解； （3）根据折叠的性质得出，再由长方形可得，则可得，设，则，由勾股定理列方程求解出，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∴在中，， ∴． 故答案为：． （2）解：∵四边形是长方形， ∴，, 由折叠可得，，，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴的长为． （3）解：由折叠可得， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，即， ∴， ∴的面积为． 50．如图，在长方形中，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿的路径运动，连接．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)写出的长（用含的代数式表示）． (2)当线段将长方形分割为两个长方形时，______． (3)若点到达点后，以原速度的2倍返回到点，同时点以原速度继续向点运动．在点的整个运动过程中： ①当线段平分长方形的周长时，求的值； ②作点关于点的中心对称点，直接写出的面积是面积的时的值． 【答案】(1) (2) (3)①或；②的面积是面积的时的值为或或． 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）分两种情况：当时，，当时，； （2）依题意可知，当线段将长方形分割后，所得两个图形是长方形，则，得到，即，求解即可； （3）①分两种情况：当时，当时，分别求解即可； ②分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，， ， ∵动点从点出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒 5 个单位长度的速度沿的路径运动， ∴点到达点的时间为：， 点到达点的时间为：， 点到达点的时间为：， 当时，， 当时，， ． （2）解：依题意可知，当线段将长方形分割后，所得两个图形是长方形，则，如图： ， ， 解得：， 故答案为：； （3）解：①点到达点后，以原速度的 2 倍返回到点的时间为：， 长方形的周长为：． 当平分周长时，， 当时，， 解得：， 当时，． 解得：； ②当时，，如图： ， ， ， ∵的面积是面积的， ， 解得：， 当时，，如图： ， ， ， ∵的面积是面积的， ， 解得：， 当时，， 如图：     ， ， ， ∵的面积是面积的， ， 解得：， 综上，的面积是面积的时的值为或或． 试卷第2页，共69页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $