19.3.1 矩形的性质与判定（题型专练，8基础题型+7提升题型+培优）数学新教材沪科版八年级下册

19.3.1 矩形的性质与判定 题型一 矩形的认识与判定 1．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形． 故选：D． 2．如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（    ） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【答案】C 【详解】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意． 故选：C． 3．已知：线段，，．求作：矩形．    以下是甲同学的作业：       老师说甲同学的作图都正确． 则甲的作图依据是： ； 【答案】有一个角是直角的平行四边形是矩形 【分析】根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理解答． 【详解】解：由作图可知：甲的作图依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形； 故答案为有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键． 题型二 添加一个条件使四边形是矩形 1．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定， 根据判定定理逐项判断即可. 【详解】解：∵， ∴是菱形，则A不符合题意； ∵， ∴是矩形，则B符合题意； 当四边形是时，，则C不符合题意； ∵， ∴是菱形，则D不符合题意. 故选：B. 2．如图，平行四边形对角线交于点O，请添加一个条件：_____使得是矩形（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，熟悉矩形的判定定理是解题的关键；根据有一个角是直角或对角线相等的平行四边形是矩形即可作出判断． 【详解】解：根据对角线相等的平行四边形是矩形，添加，使得是矩形；其它选项的条件都不能使得是矩形； 故选：D． 3．如图，已知四边形为平行四边形，对角线与交于点，试添加一个条件 ，使为矩形． 【答案】或（或或或）（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，根据矩形的判定推理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形； 当（或或或）时，平行四边形是矩形； 故答案为：或（或或或）（答案不唯一） ． 4．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG=EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】或 【分析】由DE是中位线得出，又DG=EF表示的是对角线相等，根据：对角线相等的平行四边形是矩形；增加条件使四边形DFGE是平行四边形即可． 【详解】解：分别是的中点， ， 当时，四边形DFGE是平行四边形， ， 四边形DFGE是矩形； 当时，四边形DFGE是平行四边形， ， 四边形DFGE是矩形； 故答案为：或． 【点睛】本题考查矩形的判定、平行四边形的判定，根据：对角线相等的平行四边形是矩形；准确分析出平行四边形的判定是解题关键． 题型三 证明四边形是矩形 1．依据图所标数据，则四边形一定是（    ）    A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．四个角均不为的平行四边形 【答案】B 【分析】根据已知得线段、相等且平分，即可判断出为矩形． 【详解】解： ∵线段、相等且平分， ∴四边形为矩形． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定，掌握对角线相等且互相平分的四边形是矩形． 2．已知四边形，若，，且，则四边形为 ． 【答案】矩形 【分析】根据平行四边形和矩形的判定定理即可解答. 【详解】因为， 所以四边形是平行四边形 又因为 所以四边形为矩形. 故答案为矩形 【点睛】本题考查的是平行四边形及矩形的判定，熟练掌握平行四边形和矩形的判定定理是关键. 3．如图，在中，点为的中点，过点作直线，请利用尺规作图法在直线上作点，（在的左侧），连接，，，，使得四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键； 依据矩形的判定定理：对角线互相平分且相等的四边形是矩形．以O为圆心，长为半径画弧，交直线l于两点，左侧的点为E，右侧的点为F连接、、、，四边形即为所求矩形． 【详解】解：如图，点E、F即为所求 4．如图，在中，点E在边上，和分别是和的角平分线，以为对角线向外作四边形，使，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再结合角平分线的定义可得到，即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，． ∵，， ∴，． ∴，． ∴四边形是平行四边形． ∵和分别是和的角平分线， ∴，． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 5．如图，与关于点成中心对称，延长至点，使得，连接、、，，求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，等腰三角形的性质， 先说明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的性质可得答案. 【详解】证明：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴四边形是平行四边形. ∵，且， ∴， 即， ∴四边形是矩形. 题型四 矩形的性质理解 1．在下列结论中，不属于矩形性质的是（   ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．邻边互相垂直 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的性质，比较简单，熟记矩形的各种性质是解题关键．根据矩形的各种性质解答即可． 【详解】解：由矩形的性质可知：矩形的两组对边分别相等，两条对角线相等，邻边互相垂直．但矩形的两条对角线不一定互相垂直， 所以选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 2．如图，矩形中，对角线交于点．，则的长为（   ） A．4 B．8 C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质：矩形的对角线相等；利用此性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴； 故选：B． 3．如图，一个含有30°的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若，则 ． 【答案】/110度 【分析】已知，可求得，再由矩形的对边平行，根据两直线平行，同旁内角互补可得答案． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵矩形的对边平行， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平角的含义，矩形的性质，平行线的性质，熟练的掌握矩形的对边平行是解本题的关键． 题型五 利用矩形的性质求角度 1．李老师利用如图所示的教具讲解平行四边形及特殊的平行四边形的知识，四根木条可绕四边形四个顶点处的铆钉转动，当矩形变为（）的四边形时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质：对边平行，熟记相关结论是解题关键．根据即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴ 故选：C 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可． 3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（    ） A．40° B．35° C．30° D．25° 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得OA=OD，从而得到∠ADO=55°，再由，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD中，OA=OD， ∴∠ADO=∠DAO， ∵∠AOB=∠ADO+∠DAO，， ∴∠ADO=55°， ∵，即∠AED=90°， ∴∠DAE=35°． 故选：B 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键． 4．如图，矩形中，、相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E．已知，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、角的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由矩形的性质得出，再由已知条件得出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，最后再根据矩形的对角线互相平分且相等可得，进而可得，由此即可得出结果． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ∵， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ∴的度数为． 故答案为：． 5．如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧．交于点，再分别以点A、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若．则 ． 【答案】/22度 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了矩形的性质．利用基本作图得到由垂直平分，所以，则利用互余可计算出，设与相交于点，如图，根据矩形的性质得到，所以，然后计算即可． 【详解】解：由作法得垂直平分， ， ∵， ， 设与相交于点，如图， 四边形为矩形， ， ∴， ． 故答案为：． 题型六 利用矩形的性质求线段的长 1．如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握矩形的性质是关键． 根据矩形的性质得到，结合题意得到是等边三角形，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D ． 2．如图，矩形的对角线、相交于点，已知，则等于，（    ） A．5 B．6 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质．根据矩形的对角线相等且相互平分即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， 根据矩形的对角线相等且相互平分， ，，， ， ， 故选：B． 3．线段为矩形的对角线，若，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等，即可得出结果． 【详解】解：∵线段为矩形的对角线，， ∴； 故答案为：6． 4．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．先求出的长度，根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形为矩形， ． 故选：C． 5．在矩形中，对角线、相交于点，，则等于（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】A 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：A． 6．在矩形中，对角线相交于点O，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：如图， 由题意可得：， ∴． 故选：B． 7．如图，，点在上，四边形是矩形，且，连接交于点，连接．则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据矩形性质得，根据得为等边三角形，则，由此为等边三角形，则，进而得，然后在中由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形，对角线，交于点， ， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ． 故答案：． 题型七 直角三角形斜边上的中线性质定理 1．如图，在中，是边上的中线，且，则的长是（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查斜边上的中线，根据斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出结果． 【详解】解：∵是边上的中线，且， ∴； 故选D． 2．如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵公路与互相垂直， ∴， ∵公路的中点与点被湖隔开， ∴是的中线， ∴， 故选：B 3．如图，四边形是矩形，对角线相交于点，点分别在边上，连接交对角线于点．若为的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质得到，，由直角三角形的性质得到，推出，然后利用三角形内角和定理解答即可． 本题考查了矩形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵ 矩形的对角线，交于点O， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量直角三角形纸片的尺寸，点分别对应刻度尺上的刻度和 为的中点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线定理，解题思路是先由刻度尺求出的长度，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解；解题关键是识别为斜边中线，易错点是对定理的条件和结论理解不清，运用了几何定理的方法技巧． 【详解】解：因为点分别对应刻度尺上的刻度和， 所以， 因为，为的中点， 所以， 即； 故答案为：． 5.某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m． 【答案】4 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形， ∵E是斜梁的中点， ∴． 故答案为：4． 题型八 矩形的性质在求面积中的应用 1．如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为和，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，能够熟练运用矩形的性质进行一些面积的计算问题．由于矩形的面积与矩形的面积都等于2个的面积，即可得两个矩形的面积关系． 【详解】∵，， ∴． 故选：B． 2．长方形中，阴影部分也是长方形，依照图中标注的数据，图中空白部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由矩形性质求面积，长方形的面积两个阴影小长方形的面积阴影小长方形的公共正方形的面积，即可求解；能根据图形列出面积是解题关键． 【详解】解：由题意得 空白部分的面积为； 故选：A． 3．如图，在矩形中，分别为的中点，若，四边形的周长是40，则矩形的面积是 ． 【答案】192 【分析】由题意知，是全等三角形，由此可得，即四边形为菱形，由菱形的周长，可求其边长，根据勾股定理可求得和，即可求得和的值，从而求得矩形面积． 【详解】在和中， ∵， ∴， ∴， 同理，即四边形为菱形． 又∵四边形的周长是40cm， ∴ ． ∵， 设，则． 由勾股定理得，，即， ∴， 矩形的面积． 故答案为：192． 4．如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为 . 【答案】9 【分析】根据矩形是中心对称图形，可得阴影部分的面积是矩形面积的一半，求出矩形面积即可求解． 【详解】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为，所以阴影部分的面积9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了矩形是中心对称图形的性质．熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 5．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是 ．（结果精确到0.1，参考数据，，） 【答案】1.5 【详解】解：矩形内阴影部分的面积是 （+）•﹣2﹣6＝2+6﹣2﹣6＝2﹣2=1.5． 故答案为：1.5 题型一 矩形中的折叠问题 1．将长方形纸片按如图折叠，若，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质及含30的直角三角形的性质即可求解． 【详解】∵折叠 ∴，AB=AB’ ∵CD∥AB ∴ ∴ ∴AE=EC， ∴DE=EB’ ∵=3DE=DE+EC= DE+AE ∴AE=2DE ∵ ∴= 故选C． 【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知矩形的性质、折叠的特点及含30的直角三角形的性质． 2．如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得，由轴对称的性质可得，设，则，在中，由勾股定理可得，即，解一元一次方程即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由折叠可得，， 设，则， 在中，由勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，解一元一次方程等知识点，熟练掌握轴对称的性质及勾股定理是解题的关键． 3．如图，将矩形纸片沿折叠，使点A落在对角线上的处．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形和折叠的性质，得到的性质得和，再根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ，， 由折叠的性质可得： ，， ，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质；熟练掌握矩形性质和折叠的性质是解题的关键． 4．如图，在长方形中，，将沿对角线翻折，点C落在点处，交于点E，求线段的长． 【答案】的长为 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，平行线的性质；解题的关键是根据翻折变换的性质，勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．首先根据题意得到，然后根据勾股定理得到关于线段的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴，， ∴． 由折叠得， ∴， ∴． 设，则． ∴在直角中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴的长为． 5．如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕分别交于点、，连接，点的对应点为点，若． (1)求证：； (2)求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的应用． （1）可利用矩形的性质和折叠的性质，通过角相等得到边相等； （2）可设未知数，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ， ∵由此矩形折叠情况可知：点C与点A重合，折痕分别交于点， ， ， ． （2）∵四边形是矩形，， ， 由折叠得：，设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得：， ． 6．如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上． (1)若，求的度数； (2)若，，则问题：①求长；②求长． 请从以上问题中任选其一求解，并说明理由（两个都写以第一个为准）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查图形的翻折变换，勾股定理，注意折叠前后的对应关系是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到的度数，根据翻折变换的性质得到的度数，根据平角得到答案； （2）根据翻折变换的性质和勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解： 由翻折的性质可知： （2）①设由题意可知： ， 由勾股定理可得： 即 解得：， 即 ②设由题意可知： ， 由勾股定理可得： 即 解得：， 即 题型二 矩形与平面直角坐标系结合解决问题 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形OABC是矩形， ∴OC=AB，CB=OA， ∵点A，C的坐标分别是（6，0），（0，3）， ∴AB=3，OA=6， ∴点B坐标为（6，3）， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，矩形的位置如图所示，其中，点在第二象限，轴，，则顶点的坐标为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形是矩形 ，，，，且轴， 轴，轴， ，，， 点横坐标为3，点纵坐标为2， 点坐标为， 故选：． 3．如图，四边形是矩形，三点的坐标分别是，，，对角线交点为，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据题意，可得，由中点坐标公式直接求解即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形，三点的坐标分别是，，， ， 矩形对角线交点为， 由平面直角坐标系中中点坐标公式可得， 故答案为：． 4．如图所示，把长方形放在直角坐标系中，使、分别落在x轴、y轴上，点C的坐标为，将沿翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，交x轴于点E．则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据翻折的性质证明，由全等三角形的性质得到，设，则，再根据勾股定理解得，最后根据等积法解得，据此解得点D的坐标． 【详解】解：过点作于， 四边形是矩形，点， 将沿翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处， 在与中， 设，则， ， 故答案为：． 题型三 矩形的性质与判定综合求角度 1．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 2．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及性质，由平行四边形的性质得出，，得出，即可证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，进一步即可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键； （1）由，可得四边形是平行四边形，再由即可得四边形是矩形； （2）由题意求得，由矩形的性质得是等边三角形，由等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （2）解：，， ． 又矩形中，， ∴是等边三角形， ． 4．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于点E，连接OE． (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠OAE＝15°， ①求证：DA＝DO＝DE； ②直接写出∠DOE的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②75° 【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，再证AC=BD，即可得出结论； （2）①先证明△ADE是等腰直角三角形，再证得，即可得出结论； ②求出∠BDC=30°，得出∠DOE=75°，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵AD∥BC，AD＝BC ∴四边形ABCD是平行四边形      ∴BD＝2OB     ∵AC＝2OB ∴AC＝BD ∴四边形ABCD是矩形 （2）①证明： ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠DAB＝∠ADC＝90°，AO＝DO       ∵AE平分∠BAD ∴∠DAE＝45°      ∴∠DEA＝45 ∴DA＝DE      又∵∠OAE＝15° ∴∠DAO＝∠DAE+∠OAE＝60°      ∴DA＝DO＝AO ∴DA＝DO＝DE      ②解： ， ， ． 题型四 矩形的性质与判定综合求线段长 1．如图，在平行四边形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，矩形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 由，，，根据勾股定理逆定理可得，证明四边形是矩形，再由矩形的对角线相等可求出． 【详解】解：，，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ． 故选：． 2．如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】题目主要考查平移的性质及矩形的判定，理解题意，熟练掌握平移的性质是解题关键． 连接，根据 题意得出，，确定四边形是矩形，再由平移的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵平移， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，是正方形的对角线上的一点，连接AP，，，垂足分别是E，F，连接．若，，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．连接，证明，可得，再证得四边形是矩形， 可得，从而得到，然后在中，利用勾股定理可求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴在中，，， ∴． 故选：D 4．如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为 ．    【答案】 【分析】过A点作垂直于的延长线于F点，构造直角三角形，计算出的长，据此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 过A点作垂直于的延长线于F点，    则，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵点是的中点， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理．掌握相关知识是解题的关键． 5．如图，菱形的对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】对于（1），先说明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得，即可得出答案； 对于（2）根据菱形得性质得，再根据勾股定理得，进而得出，然后根据矩形的性质，结合勾股定理求出答案. 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形. ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：如图， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴. ∵四边形是矩形， ∴. 在中，由勾股定理得：. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理，理解特殊平行四边形之间的关系是解题的关键，勾股定理是求线段长的常用方法． 题型五 矩形的性质与判定综合求面积 1．如图，在中，，点D，E，F分别是三边的中点，，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，根据矩形的性质与判定求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明四边形是矩形，再根据矩形面积公式求解即可． 【详解】解：∵在中，点D，E，F分别是三边的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，， ∴四边形的面积是()， 故选：B． 2．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 过点，作于M，交于N．则有四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质得到，，，，，从而得出，即可求解． 【详解】解：过点，作于M，交于N． 则有四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，四边形的两条对角线互相垂直，是四边形各边的中点，如果，那么四边形，的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了中位线的判定和性质，矩形的判定和性质，理解中点四边形，掌握中位线的判定和性质，矩形的判定和性质是解题的关键． 根据是四边形各边的中点，可得四边形是平行四边形，，再由对角线互相垂直，可得平行四边形是矩形，由矩形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：在中，点是的中点， ∴， 在中，点是的中点， ∴， ∴， 同理，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 已知对角线互相垂直，即， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴的面积为， 故答案为： ． 4．在中，，，点在内，且，， 分别是的中点，则四边形的面积为 ． 【答案】70 【分析】连接并延长交于点P，得到是线段的垂直平分线，根据勾股定理得到是的中位线，四边形为平行四边形，即可得到四边形为矩形，即可得到结果． 【详解】解：连接并延长交于点P， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∵E、F分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形， ∴四边形的面积， 故答案为：70． 【点睛】本题主要考查了四边形综合．掌握矩形的判定定理和性质定理、勾股定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题的关键． 5．如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，再由是菱形的性质得，即可得出结论； （2）根据菱形的性质求出，，由勾股定理得出的长，再根据矩形面积公式即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB＝2，求△OEC的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）1 【分析】（1）证出∠BAD＝∠BCD，得出四边形ABCD是平行四边形，得出OA＝OC，OB＝OD，证出AC＝BD，即可解决问题； （2）作OF⊥BC于F．求出EC、OF即可解决问题； 【详解】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠BAD＝∠BCD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形． （2）解：作OF⊥BC于F，如图所示． ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD， ∴AO＝BO＝CO＝DO， ∴BF＝FC， ∴OF＝CD＝1， ∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°， ∴∠EDC＝45°， 在Rt△EDC中，EC＝CD＝2， ∴△OEC的面积＝•EC•OF＝1． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型． 题型六 矩形中的动点问题 1．如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质．由题意得，，，求得，根据等腰三角形的性质得到，再利用，列式计算即可求解． 【详解】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：D． 2．如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形的边运动．点P和点Q的速度分别为和，则最快 s后，四边形为矩形． 【答案】5 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，掌握其判定方法和性质的运用是关键，根据题意，只需，即，由此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ， 设最快后，四边形为矩形， 要使四边形为矩形， 只需，即， 解得， 故最快后，四边形为矩形， 故答案为：． 3．如图，矩形中，，，是对角线上的两个动点，分别从同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒，若分别是的中点，且，当为顶点的四边形为矩形时，的值为 ． 【答案】或 【分析】如图所示，连接，当为顶点的四边形为矩形时，则四边形的对角线相等，结合分类讨论即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵矩形中，，，分别是的中点， ∴， ∵是上的动点，速度均为，运动时间为秒， ∴， 当为顶点的四边形为矩形时，则， ∴①，解得，； ②，解得，； 综上所述，当为或时，为顶点的四边形为矩形， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握矩形的判定和性质是解题的关键． 4．如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ (2)若，当时，直接写出经过______秒后，． 【答案】(1)8或10 (2)8或12 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质和判定， 对于（1），设运动时间为t秒，表示出，即可得再根据两种情况得出方程，求出解即可； 对于（2），根据题意作出图形，再根据勾股定理求出，并表示出，然后结合得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒，可知，则 当时，四边形是平行四边形，即， 解得； 当时，四边形是平行四边形，即， 解得． 所以当时间为8秒或10秒时，其中一个四边形是平行四边形； （2）解：如图所示，过点D作，交于点E， 根据题意可知四边形是矩形， ∴， ∴． 在中，， 解得． 如图所示四边形是等腰梯形或平行四边形，即，此时， 即， 解得或， 所以当或时，． 故答案为：8或12． 5．如图，在四边形中，，，，， ，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)依题意，，则____________cm． (2)当t为何值时，四边形为平行四边形． (3)当t为何值时，四边形为等腰梯形（等腰梯形是两腰相等，两底角相等）． 【答案】(1)； (2)当时，四边形是平行四边形； (3)经过四边形是等腰梯形． 【分析】（1）根据题意可得，，则； （2）当时，四边形为平行四边形，可得方程，解此方程即可求得答案； （2）过点D作于点，过点P作于点，则，当时，四边形是等腰梯形．即，求出t的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，，则； 故答案为：；； （2）解：∵经过四边形平行四边形， ∴，即， 解得． 当时，四边形是平行四边形； （3）解：如图，过点D作于点，过点P作于点，则， ∴四边形是矩形， ∵四边形是等腰梯形， ∴，， ， ∴，， ∴， ∴． ∴经过四边形是等腰梯形． 【点睛】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 题型七 与矩形有关的最小值问题 1．如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．先根据勾股定理可得，连接，根据矩形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：，，， ， 如图，连接， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时， ， 即线段的最小值为， 故选：A． 2．如图，在 中，为边上的一个动点，于点，于点．动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ，， ， 又， 四边形是矩形， ， 当时，取得最小值， 此时，， ， ，，， ， ， ， 的最小值是， 故选：B． 3．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，且．则的最小值是（   ） A． B．8 C．10 D．34 【答案】C 【详解】解：构造出如图，将问题转化为求的最小值， 可以看作两直角边分别是x和3的的斜边长， 可以看作两直角边分别是y和5的的斜边长，故问题转化为求的最小值， 连接，当A，P，B共线时，的最小值为，作交延长线于点E，故四边形是矩形， ∵，即， ∴， ∵， ∴ ∴的最小值为10， 故选：C． 4．如图，在中，，，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理等知识，垂线段最短；利用矩形的性质转化为求的最小值是解题的关键．连接，证明四边形是矩形，则，当取得最小值时，取得最小值，此时，利用面积相等即可求得的最小值，从而求解． 【详解】解：连接，如图所示； ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 当取得最小值时，取得最小值，此时； ∵，，， ∴由勾股定理得：； ∵， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为； 故答案为：． 5．如图，在中，，点是线段上的动点（与，不重合），作于，于，连接，若，，则点从点运动到点的过程中，的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短的性质、勾股定理等知识，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程． 连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，，， ∴， ∵，，°， ∴四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， ∴， 即的最小值为， 故选：C． 6．如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接，已知线段，，，设． (1)用含x的代数式表示的长； (2)请问点C满足什么条件时，最小？最小为多少？ 【答案】(1) (2)的最小值是10 【分析】本题考查轴对称——最短路线问题和勾股定理，解题的关键是掌握轴对称——最短路线问题和勾股定理． （1）根据线段的和差，可得的长，根据勾股定理，可得答案； （2）根据两点之间线段最短，可得线段的最小值为的长，根据勾股定理，可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴都是直角三角形， ∵，， ∴， 在中， ∴， ， ∴； （2）解：当A、C、E三点共线时，的值最小，最小值为的长， 过A作交的延长线于F， ∴， ， 四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值是10． 1．如图，在矩形中，，，点E、F分别是边、上的动点（点E不与A、B重合）且，若点G在五边形内，且满足，．则以下结论正确的有（    ）个． ①与一定互补；②点G到边，的距离一定相等；③点G到边，的距离不可能相等；④点G到边的距离的最大值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定以及三角形内角和定理，关键是对知识的掌握和运用，根据矩形的性质得出，又，由四边形内角和为可判断①；过作，，分别交于，交于，根据同角的补角相等，可以求出，然后证明，可以判断②；由，和②的结论可以判断③；当四边形是正方形时，点到的距离最大，从而可以判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵，四边形内角和是， ∴， 故①正确； 过作，，分别交于，交于，如图所示： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 延长交于，延长交于， 根据题意可知，，从而得到，即分别为点到边的距离， ∵，， ∴，， ∴，， 由②知，则， 即点到边的距离不相等，故③正确； 在直角三角形中，，当点重合时最大， ∵， ∴，故④正确， 故选：D． 2．如图，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段最短的计算，掌握以上知识，数形结合，合理作出辅助线是关键． 如图所示，过点G作于点H，作，交于点M，交于点N，可证，得到，当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，再得到四边形，四边形都是矩形，则，，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点G作于点H，作，交于点M，交于点N， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，如图所示， 当点重合时，线段的值最小， 根据作图，， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为， 故选：B． 3．如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么 °． 【答案】或 【详解】解：是四边形的美丽线， 是等腰三角形． ， 如图，当时， ，， 是正三角形， ． ， ， ， ． 如图，当时， ． ， 四边形是正方形， ， 综上，的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了四边形的“美丽线”的定义和性质的运用，“美丽线”的判定，等边三角形的性质和判定的运用，矩形的性质与判定，正方形的性质和判定的运用，角的直角三角形的性质的运用． 4．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，O为对角线交点，且∠CAE=15°.则∠AEO的度数为 . 【答案】30° 【分析】根据∠BAD的平分线AE交BC于点E，可得∠BAE=45°，由AD∥BC，可得∠AEB=45°，然后由∠CAE=15°，可得∠BAC=60°，即△OAB是等边三角形，因此可得AB=BO=BE，可得 ∠BOE=75°，因此可得∠AEO=∠BEO-∠BEA=30°． 【详解】解∶∵四边形ABCD是矩形． ∴∠BAD=∠ABC=90°， AO=BO=BD=AC； ∵AE是∠BAD的角平分线； ∴∠BAE=45° ∵∠CAE=15° ∴∠BAC=60° ∴△AOB是等边三角形； ∴∠ABO=60°， ∴∠OBE=90°-60°=30°， ∵在Rt△ABE中，∠BAE=45°， ∴∠AEB=∠BAE=45°， ∴AB=BE， ∵△ABO是等边三角形， ∴AB= BO， ∴OB= BE， ∴∠BOE=∠BEO= ( 180°-30°) =75°， ∴∠AEO=∠BEO-∠AEB=75°-45°=30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形判定和性质等知识，熟练运用矩形的性质及等边三角形的判定及性质是解题的关键． 5．如图，四边形为矩形，，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．点，同时开始运动，当点到达点时，点，同时停止运动，设运动时间为秒．设的面积为，用含的式子表示，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，所对的直角边为斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 过点作于点，根据题意得：，，由矩形的性质可得，所对的直角边为斜边的一半，可得，代入数值，即可求解． 【详解】解：过点作于点， 由题意得：，， ∵四边形为矩形， ∴， ∵，，四边形为矩形， ∴， ∴， ∵ ∴在中，， ∴， 故答案为：． 6．如图，矩形中，．    (1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到． ①如图1，当平分时，求的长； ②如图2，连接，当时，求的面积； (2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长． 【答案】(1)① ；②的面积 (2)的长为或 【分析】（1）①根据折叠的性质以及F平分，得出，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，得出，即可求解；②延长交的延长线于点G，根据折叠的性质以及矩形的性质得出，进而在中，勾股定理求得的长，等面积法求得边上的高，进而根据三角形的面积公式即可求解； （2）分两种情况，①当E在的延长线上时，证明，②当E在线段上时，分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿直线翻折，得到， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴； ②如图所示，延长交的延长线于点G，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将沿直线翻折，得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴，， 设中边上的高为h，则， ∴， ∴的面积； （2）当点E、、D三点共线时，分两种情况： ①当E在的延长线上时，    ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当E在线段上时，    由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴； 综上所述，的长为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.3.1 矩形的性质与判定 题型一 矩形的认识与判定 1．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 2．如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（    ） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 3．已知：线段，，．求作：矩形．    以下是甲同学的作业：       老师说甲同学的作图都正确． 则甲的作图依据是： ； 题型二 添加一个条件使四边形是矩形 1．已知四边形是平行四边形，添加下列一个条件，能判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，平行四边形对角线交于点O，请添加一个条件：_____使得是矩形（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知四边形为平行四边形，对角线与交于点，试添加一个条件 ，使为矩形． 4．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG=EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 ．（写出一个即可） 题型三 证明四边形是矩形 1．依据图所标数据，则四边形一定是（    ）    A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．四个角均不为的平行四边形 2．已知四边形，若，，且，则四边形为 ． 3．如图，在中，点为的中点，过点作直线，请利用尺规作图法在直线上作点，（在的左侧），连接，，，，使得四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 4．如图，在中，点E在边上，和分别是和的角平分线，以为对角线向外作四边形，使，．求证：四边形是矩形． 5．如图，与关于点成中心对称，延长至点，使得，连接、、，，求证：四边形是矩形． 题型四 矩形的性质理解 1．在下列结论中，不属于矩形性质的是（   ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．邻边互相垂直 2．如图，矩形中，对角线交于点．，则的长为（   ） A．4 B．8 C． D．10 3．如图，一个含有30°的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若，则 ． 题型五 利用矩形的性质求角度 1．李老师利用如图所示的教具讲解平行四边形及特殊的平行四边形的知识，四根木条可绕四边形四个顶点处的铆钉转动，当矩形变为（）的四边形时，的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（    ）      A． B． C． D． 3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（    ） A．40° B．35° C．30° D．25° 4．如图，矩形中，、相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E．已知，则的度数为 ． 5．如图，矩形的对角线、，以点为圆心，长为半径作弧．交于点，再分别以点A、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为，作射线与交点为，若．则 ． 题型六 利用矩形的性质求线段的长 1．如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D．4 2．如图，矩形的对角线、相交于点，已知，则等于，（    ） A．5 B．6 C．4 D．8 3．线段为矩形的对角线，若，则的长为 ． 4．如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为1和5，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．在矩形中，对角线、相交于点，，则等于（    ） A．3 B．4 C．6 D．12 6．在矩形中，对角线相交于点O，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 7．如图，，点在上，四边形是矩形，且，连接交于点，连接．则 ． 题型七 直角三角形斜边上的中线性质定理 1．如图，在中，是边上的中线，且，则的长是（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．如图，公路与互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则两点之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是矩形，对角线相交于点，点分别在边上，连接交对角线于点．若为的中点，，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量直角三角形纸片的尺寸，点分别对应刻度尺上的刻度和 为的中点．若，则的长为 ． 5.某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m． 题型八 矩形的性质在求面积中的应用 1．如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为和，则和的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．长方形中，阴影部分也是长方形，依照图中标注的数据，图中空白部分的面积为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，分别为的中点，若，四边形的周长是40，则矩形的面积是 ． 4．如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为 . 5．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是 ．（结果精确到0.1，参考数据，，） 题型一 矩形中的折叠问题 1．将长方形纸片按如图折叠，若，则度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为 ． 3．如图，将矩形纸片沿折叠，使点A落在对角线上的处．若，则等于（    ）    A． B． C． D． 4．如图，在长方形中，，将沿对角线翻折，点C落在点处，交于点E，求线段的长． 5．如图，在矩形中，，将此矩形折叠，使点与点重合，折痕分别交于点、，连接，点的对应点为点，若． (1)求证：； (2)求线段的长度． 6．如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点与点重合，点落在点的位置上． (1)若，求的度数； (2)若，，则问题：①求长；②求长． 请从以上问题中任选其一求解，并说明理由（两个都写以第一个为准）． 题型二 矩形与平面直角坐标系结合解决问题 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的坐标是（    ）    A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，矩形的位置如图所示，其中，点在第二象限，轴，，则顶点的坐标为(　　) A． B． C． D． 3．如图，四边形是矩形，三点的坐标分别是，，，对角线交点为，则点的坐标是 ．    4．如图所示，把长方形放在直角坐标系中，使、分别落在x轴、y轴上，点C的坐标为，将沿翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，交x轴于点E．则点D的坐标为 ． 题型三 矩形的性质与判定综合求角度 1．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ． 3．如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 4．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，其中AD∥BC，AD＝BC，AC＝2OB，AE平分∠BAD交CD于点E，连接OE． (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠OAE＝15°， ①求证：DA＝DO＝DE； ②直接写出∠DOE的度数． 题型四 矩形的性质与判定综合求线段长 1．如图，在平行四边形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，是正方形的对角线上的一点，连接AP，，，垂足分别是E，F，连接．若，，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D． 4．如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为 ．    5．如图，菱形的对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 题型五 矩形的性质与判定综合求面积 1．如图，在中，，点D，E，F分别是三边的中点，，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于、，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．10 B．12 C．15 D．20 3．如图，四边形的两条对角线互相垂直，是四边形各边的中点，如果，那么四边形，的面积为 ． 4．在中，，，点在内，且，， 分别是的中点，则四边形的面积为 ． 5．如图，在菱形中，对角线，相交于点O．过点A作，过点D作交于点E．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB＝2，求△OEC的面积． 题型六 矩形中的动点问题 1．如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（   ） A． B．4 C． D． 2．如图，在矩形中，，点P和点Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形的边运动．点P和点Q的速度分别为和，则最快 s后，四边形为矩形． 3．如图，矩形中，，，是对角线上的两个动点，分别从同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒，若分别是的中点，且，当为顶点的四边形为矩形时，的值为 ． 4．如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ (2)若，当时，直接写出经过______秒后，． 5．如图，在四边形中，，，，， ，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为． (1)依题意，，则____________cm． (2)当t为何值时，四边形为平行四边形． (3)当t为何值时，四边形为等腰梯形（等腰梯形是两腰相等，两底角相等）． 题型七 与矩形有关的最小值问题 1．如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    ) A． B． C． D． 2．如图，在 中，为边上的一个动点，于点，于点．动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的最小值是（　　） A． B． C． D． 3．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．在复习二次根式时，老师提出了一个求代数式最小值的问题，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的最小值，运用此方法，请你解决问题：已知，且．则的最小值是（   ） A． B．8 C．10 D．34 4．如图，在中，，，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为 ． 5．如图，在中，，点是线段上的动点（与，不重合），作于，于，连接，若，，则点从点运动到点的过程中，的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 6．如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，，连接，已知线段，，，设． (1)用含x的代数式表示的长； (2)请问点C满足什么条件时，最小？最小为多少？ 1．如图，在矩形中，，，点E、F分别是边、上的动点（点E不与A、B重合）且，若点G在五边形内，且满足，．则以下结论正确的有（    ）个． ①与一定互补；②点G到边，的距离一定相等；③点G到边，的距离不可能相等；④点G到边的距离的最大值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么 °． 4．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，O为对角线交点，且∠CAE=15°.则∠AEO的度数为 . 5．如图，四边形为矩形，，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．点，同时开始运动，当点到达点时，点，同时停止运动，设运动时间为秒．设的面积为，用含的式子表示，则 ． 6．如图，矩形中，．    (1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到． ①如图1，当平分时，求的长； ②如图2，连接，当时，求的面积； (2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.3.1矩形的性质与判定（答案版) 基础达标题 题型一矩形的认识与判定 1.D.2.C.3.【详解】解：由作图可知：甲的作图依据是有一个角是直角的平行四边形是矩形： 故答案为有一个角是直角的平行四边形是矩形， 题型二添加一个条件使四边形是矩形 1.B.2.D.3.AC=BD或∠ABC=90°（或∠BCD=90°或∠ADC=90°或∠BAD=90°）（答案不 唯一).4.DE=FG或DF‖EG 题型三证明四边形是矩形 1.B.2.矩形 3.【详解】解：如图，点E、F即为所求 4.【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形， AD‖BC,ABl‖DC, ∴∠AEB=∠CBE,∠DEC=∠BCE,∠ABC+∠BCD=180°. :∠BCF=∠AEB,∠CBF=∠DEC, ∴.∠BCF=∠CBE,∠CBF=∠BCE. ∴CF‖BE,BFCE 四边形BECF是平行四边形. ,BE和CE分别是∠ABC和∠BCD的角平分线， ∠CBE=}∠ABC,∠BCE=3∠BCD. 1/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴LCBE+∠BCE=∠ABC+∠BCD=90O. ∴.∠BEC=180°-∠CBE+∠BCE=90°. 四边形BECF是矩形， 5.【详解】证明：：△ABC与△DEC关于点C成中心对称， ∴AC=CD,BC=CE, 四边形ABDE是平行四边形 .DF=2AC=AC+CD=AD,AB=BF, ∴BD⊥AF, 即∠ABD=90°， 四边形ABDE是矩形 题型四矩形的性质理解 1.C.2.B.3.110°. 题型五利用矩形的性质求角度 1.C2.A3.B4.45°.5.22°. 题型六利用矩形的性质求线段的长 1.D.2.B.3.6.4.C.5.A.6.B.7.33 题型七直角三角形斜边上的中线性质定理 1.D.2.B3.A.4.3.5.4. 题型八矩形的性质在求面积中的应用 1.B.2.A.3.192.4.9.5.1.5 B 能力提升题 题型一矩形中的折叠问题 1.c2导3.A 4.【详解】解：，四边形ABCD为长方形， ∴AD=BC=6,AB=CD=3,∠A=90°，AD‖BC, ∴LEDB=∠DBC, 由折叠得∠EBD=∠DBC, 2/12 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠EDB=∠EBD, ∴EB=ED 设EB=ED=X,则AE=6-X. 在直角△ABE中，由勾股定理，得BE2=AB+AE2, 即x2=9+(6-x)2, 解得x=3.75, ∴DE的长为3.75 5.【详解】(1)证明：：四边形ABCD是矩形， .'AD I BC, ∴.∠AFE=∠CEF, :由此矩形折叠情况可知：点C与点A重合，折痕分别交BC,AD于点E、F, .∠AEF=∠CEF ∴.∠AFE=∠AEF, ∴.AE=AF. (2):四边形ABCD是矩形，AB=4,BC=10, ∴.AD=BC=10,CD=AB=4,∠D=90°， 由折叠得：AD'=CD=4,D'F=DF,∠D'=∠D=90°，设DF=DF=x,则AF=10-X, t△ADF中，由勾股定理得，4+X2=10-X” 在 解得：X=4.2, ∴.DF=4.2 D 6.【详解】(1)解：，AD‖BC ∴.∠1=∠些i50 由翻折的性质可知： ∠些i∠BEF=50° ∴.∠BED=2∠i100° 3/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠2=180°-∠BED=180°-100°=80° (2)①设CF=X,由题意可知：C'F=X,BF=6-X,BC'=AB=CD=2 由勾股定理可得：BC'2+CF2=BF2 即2+x2=(6-x2 解得：x=8 31 G号 ②设ED=X,由题意可知：BE=X,AE=6-X,AB=2 由勾股定理可得：AB+AE=BE2 即22+(6-x)2=x2 解得：X=10 , 即ED= 3 题型二矩形与平面直角坐标系结合解决问题 182A.3.4.4D9-g》 题型三矩形的性质与判定综合求角度 1.A.2.40°. 3.【详解】(1)证明：，AO=CO,BO=DO, .∴.四边形ABCD是平行四边形. ,∠ABC=90°， .四边形ABCD是矩形 (2)解：.∠ABC=90°，∠ACB=30°， .∠BAC=60°. 又矩形ABCD中，OA=OB, △OAB是等边三角形， .∠AOB=60°. 4.【详解】(1)证明：，AE⊥BD,DF⊥AC, ∴.∠AEO=∠DFO=90°， 在△AEO和△DFO中， 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AEO=∠DFO ∠AOE=∠DOF AE=DF .△AEO≌△DFO AAS, ∴.AO=DO :四边形ABCD是平行四边形， ∴.AO=CO=DO=BO, ∴.AC=BD ∴四边形ABCD是矩形： (2)解：由(1)得：四边形ABCD是矩形， :∠BAE=90°x号=30°，A0=B0, 3 ∴.∠OAB=∠ABE, 在直角三角形ABE中，∠ABE=90°-∠BAE=60°=∠OAB, .∠AOE=180°-∠OAB-∠ABE=60°. 5.【详解】(1)证明：，ADBC,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 .∴.BD=2OB AC=20B ∴AC=BD 四边形ABCD是矩形 (2)①证明： 四边形ABCD是矩形 ∴.LDAB=∠ADC=90°，AO=DO .'AE平分∠BAD .∠DAE=459 ∴.∠DEA=45 B 0 E 5/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴DA=DE 又.∠0AE=15° ∴.LDAO=∠DAE+LOAE=60° .DA=DO=AO ,∴DA=DO=DE ②解：.'∠ADC=90°，∠AD0=60°， ∴.∠BDC=∠ADC-∠ADO=30 .DE=DO i∠D0E=∠DE0=180°-∠DBC=75 题型四矩形的性质与判定综合求线段长 1.B.2.A3.D4.25: 5.【详解】(1)证明：：BE‖AC,CE‖DB, 四边形BECO是平行四边形. :四边形ABCD是菱形， AC⊥BD, ∠BOC=90°， ∴.平行四边形BECO是矩形： (2)解：如图， ○ B :四边形ABCD是菱形，AC=6, ∴OA=OC=3,OB=OD,AC⊥BD, ∴OB=AB2-OA2=4, ∴BD=2OB=8. :四边形BECO是矩形， ∴BE=OC=3. 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE=BD+BE=64+9=V73. 题型五矩形的性质与判定综合求面积 1.B.2.A.3.20.4.70 5.【详解】(1)证明：，AE BD,DE‖AC, ∴四边形AODE是平行四边形， 四边形ABCD是菱形， AC⊥BD, ∴.∠AOD=90°， 平行四边形AODE为矩形： (2)解：四边形ABCD是菱形， ∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,AB=BC, ∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=2, :0A=号AC=1, OD=OB=VAB2-OA2=V3 由(1)可知，四边形AODE是矩形， .S矩形AODE=OA·OD=3. 6.【详解】(1)证明：，ADBC, ,∴.∠ABC+∠BAD=180°，∠ADC+∠BCD=180°， LABC=∠ADC, ∴LBAD=∠BCD, ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC,OB=OD, .'OA=OB, ∴AC=BD, ∴四边形ABCD是矩形. 7/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：作OF⊥BC于F,如图所示. 四边形ABCD是矩形， ∴.CD=AB=2,∠BCD=90°，AO=CO,BO=D0,AC=BD, ,∴.AO=B0=C0=DO, ∴BF=FC, 1 0F=2c0=1, DE平分∠ADC,∠ADC=90°， ∴.LEDC=45°， 在Rt△EDC中，EC=CD=2, 1 :△OEC的面积= ·EC0F=1. D E 题型六矩形中的动点问题 1.D.2.5.3.0.5或4.5.4.8或12. 5.【详解】(1)解：根据题意可得PA=tcm,CQ=3tcm,则PD=AD-PA=24-tcm: 故答案为：3t:24-t: (2)解：经过t(s)四边形PQCD平行四边形， ∴PD=CQ,即24-t=3t, 解得t=6, 当t=6s时，四边形PQCD是平行四边形； (3)解：如图，过点D作DE⊥BC于点E,过点P作PF⊥BC于点F,则CE=BC-AD=2cm, B E ∴四边形PFED是矩形， 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :四边形PQCD是等腰梯形， ∴PQ=DC,PF=DE, Rt△PQF≌Rt△DCEHL, .CE=QF=2,CQ-EF=CQ-PD=4, 3t-24-t=4, ∴t=7. 经过7s四边形PQCD是等腰梯形. 题型七与矩形有关的最小值问题 60 1.A.2.B.3.c.4.135.C 6.【详解】(1)解：AB⊥BD,ED⊥BD, △ABC,△CDE都是直角三角形， .BD=8,CD=x, BC=8-x 在Rt△ABC,Rt△CDE中， AC=VAB2+BC2=4+8-x CE=VCD2+DE2-Vx2+4 ∴AC+CE=16+8-x2+x2+4: (2)解：当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，最小值为AE的长， 过A作AF⊥DE交ED的延长线于F, D 图1 ∴AF‖BD ∴.∠B=∠BDF=∠F=90°， .四边形ABDF是矩形， 9/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DF=AB=4,AF=BD=8, ∴AE=82+4+22=10, AC+CE的最小值是10. 拓展培优题 1.D.2.B.3.135或90.4.30°.5.- +331 2 6.【详解】(1)解：①四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAD=90°， 将△ABE沿直线AE翻折，得到△AFE, ∴.∠BAE=∠FAE, :AF平分∠EAD, ·∠DAF=∠FAE, ∠BAE=∠DAF=∠FAE=1∠BAD=1x90=30, 3 3 2BE=AE,AB=AE2-BE2=3 BE BE=3AB=3x3=3: ②如图所示，延长EF交AD的延长线于点G, G B E :四边形ABCD是矩形， AD‖BC, ∴·∠GAE=∠AEB, ,将△ABE沿直线AE翻折，得到△AFE, ∴AF=AB=3,BE=EF=1,∠AEB=∠AEF, .∠GAE=∠AEG, 10/12