《5.1矩形》 同步练习题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 浙教版八年级数学下册《5.1矩形》同步练，分层梯度合理，从基础概念辨析到动态综合探究，适配新授课知识巩固与思维发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|矩形定义、性质（对角线、直角）|单选题1（判定）、填空题8（对角线计算），强化概念理解，培养抽象能力| |中档|性质应用（折叠、勾股定理）|填空题9（折叠求角）、解答题16（折叠作图与面积），发展几何直观与运算能力| |提高|动态综合与探究|解答题20（动点与等腰直角三角形），融合模型意识与推理能力，提升创新意识|

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《5.1矩形》自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．一个木匠制作了一块四边形的踏板．为了检验这块踏板是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（   ） A．测量踏板的对角线是否互相平分 B．测量踏板的对角是否相等 C．测量踏板的三个角是否都为 D．测量踏板的一组对边是否平行且相等 2．图是一块长为12米，宽为9米的长方形菜地，王老伯要从A处到C处，则沿比沿少走（   ） A．15米 B．7米 C．6米 D．3米 3．如图，矩形纸片中，，把纸片沿直线折叠，点落在处，交于点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，四边形和四边形都是矩形，点B在边上，若矩形和矩形的面积分别为、，则它们的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 5．如图，在长方形中，，，是上一个动点，于，于，则的值为（    ） A．4 B．4.6 C．4.8 D．5 6．如图，在矩形中，M为上一点，且，点P，Q分别为，的中点，连接．若，则四边形的周长为（    ） A．24 B．12 C．17 D．22 7．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，下列结论：；；；；，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 8．在矩形中，对角线交于点O，若，则的长为_______． 9．如图，矩形中，点E在边上，将矩形沿直线折叠，点A恰好落在边的点F处．若，则为______． 10．如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为_________． 11．如图，如果将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形的形状，并使它的面积为矩形面积的一半，那么这个平行四边形的最小内角等于__________． 12．如图，已知在梯形中，，，，平分，交边于点．如果是直角三角形，那么的长为_____． 13．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C的坐标分别为，，D是的中点，点P在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______． 14．如图①，动点以每秒的速度沿长方形的边按从的路径匀速运动，的面积与时间的关系如图②所示，若，则的值为_____． 三、解答题 15．如图，在矩形中，对角线与相交于点，于点，于点．求证：． 16．已知：如图，矩形． (1)尺规作图：在边上找一点E，将矩形沿折叠，使点C落在边上F点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，若，，求的面积． 17．如图，在中，E，F为对角线上的两点（点在点的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连接，下列条件能判定四边形为矩形的是___________． A．；B．；C．；D． 18．在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，若，直接写出所有等于的一半的角． 19．如图，矩形中，，，点P在边上，且不与点B，点C重合，直线与的延长线交于点E． (1)当点是的中点时，求证：； (2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①证明，并求出在（1）条件下的值； ②连接，求周长的最小值． 20．综合与实践 问题情境：如图1，M是线段上任意一点（不与点A，B重合），分别以和为斜边在同侧构造等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接．取中点E，中点F，连接． (1)猜想验证：如图2,当点M与点E重合时，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)延伸探究：如图3，当点M与点E不重合时，问题（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)如图3，若，线段是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．C 【分析】根据平行四边形和矩形的判定规则，逐一判断各选项即可得到结论． 【详解】解：A：对角线互相平分的四边形是平行四边形，无法判定是矩形，故该选项不合题意； B：对角相等的四边形是平行四边形，无法判定是矩形，故该选项不合题意； C：四边形内角和为，若三个角都为，则第四个角也为，四个角都是直角的四边形是矩形，故该选项符合题意； D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，无法判定是矩形，故该选项不合题意． 2．C 【分析】先明确沿的路径长度为；因长方形中为直角三角形，利用勾股定理求出对角线的长度；最后计算两条路径的长度差，即得沿比沿少走的距离． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 沿的路径长度为，已知米，米， 米， 在中，由勾股定理得：， 代入数值可得：， ∴米（边长为正数）． 则沿比沿少走的距离为米． 3．C 【分析】首先由折叠得到，然后结合平行线的性质得到，推出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：由折叠得，， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， 在直角三角形中，， ． 4．B 【分析】由于矩形的面积与矩形的面积都等于2个的面积，即可得两个矩形的面积关系． 【详解】解：∵，， ∴． 5．C 【分析】先连接，再利用矩形的性质和勾股定理，得出，，最后根据，即可解答． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形， ，，，， ， ． 在中，， ， ． ，，， ， 即， ． 6．D 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵点P，Q分别为，的中点， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴四边形的周长为． 7．C 【分析】①根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得 ，从而得到，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形两底角相等求出，根据平角等于求出，从而判断出①正确； ②求出，，然后根据等角对等边可得，判断出②正确； ③求出，，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断出③正确； ④利用全等三角形的性质得到，利用矩形的性质和证明，证明得到，然后结合，可得，判断出④正确； ⑤判断出不是等边三角形，从而得到，即，得到⑤错误． 【详解】解：∵在矩形中，平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴ 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 又∵， ∴， 又∵(对顶角相等)， ∴， ∴． ∵， ， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，，故③正确； ∵在矩形中，，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，所以④正确； ∵，， ∴不是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，故⑤错误； 综上所述：结论正确的是①②③④，共4个． 8．7 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，可得，代入的长度即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 9．/20度 【分析】由翻折变换得出相等的角：，再求出，即可求出 【详解】解：根据折叠的意义得：， 四边形是矩形， ， ， ， 10． 【分析】首先根据题意得出矩形的面积，然后结合矩形的性质证明（），得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 11．/30度 【分析】过点D作于，根据平行四边形的面积等于矩形面积的一半，得出，取的中点，连接，由直角三角形的性质得出为等边三角形，由等边三角形的性质可得，最后由计算即可得解． 【详解】解：过点D作于，则， 根据题意得，， ， 取的中点，连接，则， ， 为等边三角形， ， ， 即这个平行四边形的最小内角等于． 12．或 【分析】本题主要考查矩形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理等，分两种情况讨论：（Ⅰ）当时，过点作的垂线，交于点，容易证明，四边形为矩形，结合，即可求得的数值；（Ⅱ）当时，如图所示，过点作的垂线，交于点，容易证明，，可得，即可求得的数值． 【详解】（Ⅰ）当时，如图所示，过点作的垂线，交于点， 设，则， 因为平分， 所以， 又因为，， 所以， 所以，， 因为，， 所以， 又因为， 所以四边形为矩形， 所以，， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以 所以， 所以， （Ⅱ）当时，如图所示，过点作的垂线，交于点， 设，则， 同（Ⅰ）可证得， 所以，， 因为，， 所以， 又因为，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 综上所述，或． 13． 或 或 【分析】先求出，，然后根据题意分情况讨论：当时，当时，当时，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形的顶点、的坐标分别为，， ∴． ∵D是OA的中点， ∴． 过作于，则 ①当时，如图1所示： 由勾股定理得：， ； ②当时，如图1所示： 由勾股定理得：, ∴，这与矛盾，此种情况不存在； ③当时，如图2所示： 由勾股定理得：， ， ； 如图3所示： 由勾股定理得：， ， ； 综上，点的坐标为 或 或． 14． 【分析】由图②中点及，可得矩形另一边的长度，进而根据纵坐标为的点判断出动点所在的位置，求得相应的的面积即为的值． 【详解】解：观察图②可得：当点运动到点时，运动路程为，运动时间为秒， ∵动点以每秒的速度运动， ∴， ∵，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵观察图①、②可知， 当在上运动时，， 当在上运动时，， 当在上运动时，， ∴观察图②，即当在上运动时，不变，即． 15．见解析 【分析】根据矩形性质推出，进而证明，利用全等三角形性质即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ∴， ． 于点，于点， ． 在和中 ． 16．(1)见解析 (2) 【分析】（1）以点为圆心，以长为半径画弧交于点，连接，作的角平分线，交于点，点即为所求； （2）由矩形的性质可得，，由折叠的性质可得，由勾股定理可得，再由三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图：点即为所求； （2）解：∵四边形为矩形， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴， ∴的面积为． 17．(1)见解析 (2)AC 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到、，进而得到，从而得出结论； （2）根据矩形和菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】（1）证明：连接，与交于点， 四边形是平行四边形， 、， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）知，四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形，故A符合题意； ， 平行四边形是菱形，故B不符合题意； ， 平行四边形是矩形，故C符合题意； ， 平行四边形是菱形，故D不符合题意； 综上所述，条件能判定四边形为矩形的是AC． 18．(1)证明见解析 (2)，，， 【分析】（1）连接，先得出，，再证明，由此即可得证； （2）过点作于点，先得出，再证明，则可得，，然后证出，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点作于点， 由（1）已证：， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵，点为的中点， ∴，（等腰三角形的三线合一）， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 综上，所有等于的一半的角是，，，． 19．(1)见解析 (2)①证明见解析，；②12 【分析】（1）根据矩形的性质得，可得，，利用即可得出结论； （2）①根据平行线的性质和折叠的性质得出，等角对等边即可得，设，则，，在中，由勾股定理得，即； ②可得的周长，当点恰好位于对角线上时，最小，在中，由勾股定理得，则的最小值，即可得周长的最小值． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， 点是的中点， ， ； （2）解：①四边形是矩形， ， ， 由折叠得， ， ， 在矩形中，，， ， 点是的中点， ， 由折叠得，，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， 即； ②由折叠得， ， 的周长， 连接， ， 当点恰好位于对角线上时，最小， 在中，，， ， 的最小值， 周长的最小值． 20．(1)，理由见解析 (2)成立，证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）结论：．利用直角三角形斜边中线的性质证明即可． （2）结论成立．延长交的延长线于G，连接．利用矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质解决问题即可． （3）求出的最小值，可得结论． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图2中， ∵都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即． （2）解：结论成立． 理由：如图3中，延长交的延长线于G，连接． ∵都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵F是的中点， ∴F是的中点， 在中，F是的中点， ∴， ∴，即． （3）解：由（2）可知，， ∴， ∴， ∴的最小值为1， ∴的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $