2026年中考数学一轮复习检测卷（青岛专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026年中考数学一轮复习检测卷 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1 2 3 5 6 7 8 9 D C A B A D B B 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10.3+3/3+3 11. B 12.-4 1a95 14.4 15.38 126 三、作图题：（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16.(4分) 【详解】解：如图，点D即为所求。 (4分) 四、解答题：（本大题共9个小题，共71分） 17.(9分) 【详解】(1)解：解不等式组 >① 23 7x-8<9x② 解不等式①：两边同乘6去分母，得3x>2x, 移项，得3x-2x>0, 即x>0; 解不等式②：移项，得7x-9x<8, 合并同类项，得-2x<8, 两边同除以-2（不等号变向），得x>-4: 取两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为x>0. 即原不等式组的解集为x>0,(4分) 1/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解： 6 (x2 -4x+4x-2-2 8 x2-(x2-4) c-2(x-2 8 4 (x-2)2x-2 8 、2 -2:(7分) 由lx卡2得x=2, 又x≠2，故r=-2, 代入得：，2=1 -2-22 -2求值为 “化简结果为2， .(9分) 18.(6分) 【详解】(1)解：本次调查活动随机抽取了27÷54%=50（人）， n=50-27-3-5=15, a%=l5 ×100%=30%,b%=3×100%6=6%, 50 50 .a=30,b=6: 故答案为：50,30,6；(3分) (2)解：补全条形统计图如图所示： 个人数 3027 25 20 15 15 (4分) 10 3.- 5 04 纯电混动氢燃料油车车型 (3)解：360°x30%=108°， 答：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为108°.(5) (4)解：4000×(1-10%)=3600（人）， 估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人.(6分) ∠/1U 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 19.(6分) 【详解】(1)解：由题意，抽到的卡片上是数学家刘微邮票图案的是：(2分) (2)解：画树状图如下： 开始 A B D BCDACDABDABC 共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的有6种结果， 小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚啷票图案的概率为？，·《6分 20.(6分) 【详解】解：如图，延长DE交AB于点F. 由题意，得四边形DCBF为矩形. :CD BF=1.7,DF=CB. 在Rt△ACB中，∠ABC=90°，∠ACB=33.4°， an∠ACB=AB CB AB ∴.CB= ABAB .(2分) tan∠4CB tan33.4°0.66 在RtAADF中，∠AFD=90°，∠ADF=28.8°， tanZADF=AF ..DF= AF AF tan∠4DF tan28.8°0.55 .(4分) 设AB=x, BF=1.7, AF=x-1.7. x_x-1.7 0.660.55 解得x=102. 3/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 答：点A到地面的距离AB的长约为102米.(6分) 21.(8分) 【详解】(1)解：设A品牌电车x万元/辆，B品牌电车y万元/辆，根据题意， 3x+4y=76 依题意得 2x+6y=84 x=12 解方程得 y=10 答：A品牌电车12万元/辆，B品牌电车10万元/辆.(3分) (2)解：设购买B品牌电车m辆，则应购买A品牌电车100-m)辆，根据题意， m≤3100-m), 4 得ms300 设购买电车的总费用为w万元，则w=10m+12(100-m=-2m+1200, :-2<0, .m=42时，w取得最小值，最小值为-2×42+1200=1116（万元）， :购买A品牌电车100-42=58（辆）， 答：为使购买电车的总费用最低，购买58辆A品牌电车，42辆B品牌电车，购买电车的总费用最低为1116 万元.(8分) 22.(8分) 【详解】(1)解：补充航航同学的分析： a=1+3+7+11+15=37, b=[1+2+3+…+(n-1)]-(n-1) =1+4×m-(n-1+1) -(n- =1+2n(n-1-(n-1) =1+n-1)2n-1 =2n2-3n+2. 补充悦悦同学的分析： 图n中有1+(n-1)(2n-1个圆， .c=1+(n-1)2n-1 故答案为：37：2n2-3n+2;1+(n-l(2n-1.(5分) 4/10 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383， 由题意得(2n2-3n+2)+[2(n+1)2-3(n+1+2]=383, 解得=10，=- 9(舍去)， :存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383.(8分) 23.(8分) 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， AB∥CF, ∠ABE=LFCE, 又BE=CE,∠AEB=∠FEC, ·.△ABE≌aFCE(ASA);(3分) (2)解：选①时，四边形DEFG是菱形； 理由：如图， :四边形ABCD是平行四边形，AC=BD, :.平行四边形ABCD是矩形，AB=CD, ∠BCD=90°，即DF⊥EG,(5分) :△ABE≌△FCE, .AB=CF=CD, 又CE=CG, :.四边形DEFG是平行四边形： 又DF⊥EG, .平行四边形DEFG是菱形；(8分) 选②时，四边形DEFG是矩形； 理由：如图， 5/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D :△ABE≌△FCE, .AB=CF=CD 又CE=CG, ·.四边形DEFG是平行四边形，(5分) .DF =2CD, BC=2CD,BE=CE, .CD=CE, 又EC=CG, :FD=EG, .平行四边形DEFG是矩形.(8分) 24.(10分) 【详解】(1)解：：点B(-4,)在反比例函数y=冬的图象上， =1，解得k=-4, :A “反比例函数的表达式为y=-4 把点4，利代入=手符 4=-4,解得m=1. m 点A(1,-4) 把点A(1,-4),B(-4,1分别代入y=ax+b,得 口o婴8 a=-1 :一次函数的表达式为y=-x-3;(4分) (2)①如图，过点A作AEIy轴于点E,过点C作CF⊥y轴于点F. 6/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D .AE CF. △ADE∽△CDF. AE AD CF CD DA:AC=1:7,点A1,-4, AD:CD=1:8,AE=1,OE=4. CF8’解得CF=8. 11 :点C在反比例函数y=-4的图象上， 当x=8时，y= 41 82 ac》 :0F=2 1 在R1△0CF中，由勾股定理，得oC=VOF:+CF-257 2 0c的长为27：7分 ②点4-，F OE=4,EF=OE-OF=] 由①知△ADE∽△CDF, DE AD 1 DE 1 DFCD8'即DE+ +78,解得DE= :0D=DE+0E=2 9 S.oAC =S.OCD-S.04D 7/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =1ODXCF-1ODxAE 1 -ODx(CF-AE) 1x2x8-0 22 63 4 0C的面积为 2.(10分) 25.(10分) 【详解】解：(1)如图1，延长EP至G,使PG=PE,连接BG, A G B 图1 则△PGB与PEF关于点P对称，△PGB即为所求作的图形. :四边形CDFE是正方形， ∠CEF=90°， ∠BEF=180°-90°=90°， :点P为线段BF的中点， :PE BP=PF, ∠PAB=∠PBA, .∠APF=∠PAB+∠PBA=2∠PBA, :∠BAC=90°，点P为线段BF的中点， :AP BP=PF, ∠PEB=∠PBE,AP=PE, .∠EPF=∠PEB+∠PBE=2∠PBE, :ABC是等腰直角三角形， .∠ABC=45°， ∠APE=∠APF+∠EPF, =2∠PBA+2∠PBE, =2∠ABC=90°， AP⊥PE, 8/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故答案为：AP⊥PE,AP=PE;(2分) (2)结论：AP⊥PE',AP=V3PE';证明如下： 如图2，作aPE'F'关于点P成中心对称的△POB,连接AQ、AE', 图2 则PQ=PE',PB=PF',∠BPQ=∠F'PE', :△PBQ≌△PF'E, :BQ=F'E',∠PBQ=∠PF'E, .BQ∥E'F', 四边形CEFD'是菱形，∠D'CE'=60°， .CD'/E'F',CD'=E'F'=CE', CD'∥BQ, ∠T=∠D'CE'=60°， :∠TBC+LTCB=120°，即∠ABQ+∠ABC+∠TCB=120°， :ABC是等边三角形， :.AB=AC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°， ∠ABC+∠TCB+∠ACE'=120°， :LABQ=LACE′， :△ABQ≌△ACE', ·AQ=AE',∠BAQ=∠CAE', :LQAE'=LBAQ+LBAE'=LCAE'+LBAE'=LBAC=60°， ·△AQE'是等边三角形， :AE'=OE'=2PE', PO PE', .AP⊥PE', 在R△APE'中，AP=VAE2-PE=V2PE2-PE2=V3PE';(7分) (3)如图3，过点A作AH⊥BC于点H,连接PH、CF',CF'交D'E于点L, 9/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图3 由旋转得CD'=CD=1,CE'=CE=1, :四边形CD'FE'是菱形，∠D'CE'=60°， ∴CF'=2CL=V5, :ABC是等边三角形，AC=4,AH⊥BC, H是BC的中点，AH=2V3, 又“点P为线段BF'的中点， PH是△BCF'的中位线， PH-ICF= Γ2 :点H是定点， ·点P在以H为圆心，PH为半径的圆上运动， 设AH交OH于点P,当点P与点P重合时，MAP=AP'=AH-PH=2V5-5.35为最小值， 2 2 此时，S即= 4P.BH-2x35x2-35 2 22 2 故答案为： 35 .(10分) 2 10/10 2026年中考数学一轮复习检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．我国研制的“曙光3000超级服务器”排在全世界运算速度最快的500台高性能计算机的第80位，它的峰值速度达到每秒运算403200000000次，将数据403200000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 3．如图，数轴上点分别表示数，且，那么下列运算结果一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 4．我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 5．下面是某同学在一次作业中的计算摘录： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图，菱形的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将菱形绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图，是的直径，C为上一点，连接、，于点E，是的切线，且，若，，则的长为（　　） A． B．4 C． D． 8．如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 9．已知二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图，有下列个结论：①；②；③；④直线经过点，则关于的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．计算 ________． 11．兰州牛肉拉面最早始于清朝嘉庆年间，在200多年的漫长岁月里，兰州牛肉拉面享誉天下，并被国家确定为中式三大快餐之一，被誉为“中华第一面”．某牛肉拉面店推出A、B套餐，该店连续10天的销售情况如图所示，由图可知，______套餐销量稳定（填“A”或“B”） 12．已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的最小值是________． 13．在菱形中，，点在线段上，且，点为上一点，将沿翻折，点B对应点E，，且，则_____． 14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，以线段为边在第一象限内作正方形，反比例函数的图象经过正方形的中心点（对角线的交点），则的值为________． 15．如图，由棱长为小正方体组成的立体图形，阴影部分是空缺的通道（一直通到对面，通道孔完全相同），这个立体图形由_______个小正方体组成，这个立体图形的表面积（含通道内壁表面积）是____________． 3、 作图题：（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16．（本题4分）如图，在 中， ，请用尺规作图法，在 边上求作一点D，使点 D 到边的距离等于长．（保留作图痕迹，不写作法） 4、 解答题：（本大题共9个小题，共71分.） 17．（本题9分）（1）解不等式组； （2）先化简，再求值：，其中． 18．（本题6分）中国新能源产业异军突起，中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图． 类型 人数 百分比 纯电 混动 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查活动随机抽取了______人；表中______，______； (2)请补全条形统计图； (3)计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； (4)若此次汽车展览会的参展人员共有人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 19．（本题6分）数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． (1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是________； (2)小明从这四张卡片中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 20．（本题6分）研学实践：泛舟禅师塔位于山西运城，是全国唯一的唐代单层圆形砖塔，在建筑设计和营造上均具有高超的艺术价值．某校研学小组在了解泛舟禅师塔的历史背景后，利用测量工具测量了相关数据． 数据采集：如下图是测量过程的几何示意图，点A是塔的顶端，AB的长表示点A到水平地面的距离．研学小组在地面上一点C处放置测角仪，测得顶端A的仰角，安装测角仪支架CD后测得顶端A的仰角，测得（米．（测角仪的高度忽略不计） 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，根据上述数据，计算点A到地面的距离AB的长．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） 21．（本题8分）为了响应国家低碳出行号召和降低经营成本，某市出租车公司准备把油车更换成电车．现有A，B两种品牌的电车可供选择，若购买3辆A品牌电车和4辆B品牌电车，共需花费万元；若购买2辆A品牌电车和6辆B品牌电车，共需花费万元． (1)求每辆A品牌电车和每辆B品牌电车的价格； (2)若出租车公司需要购买A，B两种品牌的电车共辆（两种品牌的电车均需购买），购买B品牌电车数量不超过购买A品牌电车数量的，为使购买电车的总费用最低，应购买A品牌电车和B品牌电车各多少辆？购买电车的总费用最低为多少万元？ 22．（本题8分）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 23．（本题8分）如图，在平行四边形中，、是对角线，点、、、在同一条直线上，且，延长线交延长线于． (1)求证：； (2)条件：①；②．请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状 24．（本题10分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)已知点C是位于反比例函数的图象在第四象限部分上的一点，直线交y轴于点D，若． ①求线段的长；②求的面积． 25．（本题10分）（1）【提出问题】数学课上，老师提出问题：如图1，在等腰中，，点在边上，以为边作正方形，点在边上，连接，点为线段的中点，连接，．以点为对称中心，画出关于点对称的图形，并直接写出与的位置及大小关系 　　； （2）【类比探究】在等边中，、分别是、边上一点，且，以、为邻边作菱形，再将菱形绕点顺时针旋转一定角度后得到新的菱形，如图2，连接，点为线段的中点，连接、，判断与的位置及大小关系，并证明你的结论； （3）【迁移运用】在（2）的条件下，若，，菱形在旋转过程中，当最小时，直接写出的值 　　． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学一轮复习检测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．（本题3分）我国研制的“曙光3000超级服务器”排在全世界运算速度最快的500台高性能计算机的第80位，它的峰值速度达到每秒运算403200000000次，将数据403200000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法的概念，科学记数法的形式为，其中，n为整数. 将原数移动小数点使a满足范围，并确定n的值． 【详解】解：∵原数为403200000000，将小数点向左移动11位得到，满足， ∴，故表示为． 故选：D． 2．（本题3分）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误； C．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项正确； D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误， 故选：C． 3．（本题3分）如图，数轴上点分别表示数，且，那么下列运算结果一定是正数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴、有理数的加法、减法与乘法、绝对值，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 先根据题意可得，，则，再根据有理数的加法、减法与乘法、绝对值的性质逐项判断，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， ， A、，故选项A为正数，符合题目要求； B、，故选项B为负数，不符合题目要求； C、，故选项C为负数，不符合题目要求； D、，故选项D为负数，不符合题目要求． 故选：A． 4．（本题3分）我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了主视图的识别，熟练掌握主视图的定义（从正面观察几何体所得到的视图）是解题的关键．根据主视图的定义（从正面观察几何体得到的视图），分析图中模型的正面形状，判断各部分的投影． 【详解】 解：该几何体的主视图是． 故选：B． 5．（本题3分）下面是某同学在一次作业中的计算摘录： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查同类项的定义与合并同类项，单项式的乘法法则，幂的乘方法则，掌握整式运算法则是解题关键． 根据同类项的定义和整式的运算法则判断每个计算项的正确性． 【详解】解：∵和不是同类项，不能合并，∴ ①错误； ∵和不是同类项，不能合并，∴ ②错误； ∵，∴ ③错误； ∵，∴ ④正确． ∴正确的个数是个． 故选：． 6．（本题3分）如图，菱形的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，，将菱形绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理， 连接，作，根据菱形的性质可知是等边三角形，进而说明，然后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：连接，过点作于点E， 根据题意可知， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， ∴点的坐标是． 故选：A． 7．（本题3分）如图，是的直径，C为上一点，连接、，于点E，是的切线，且，若，，则的长为（　　） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理得到，求得，根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，连接，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 8．（本题3分）如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】过点G作于H，过点G作，由“”可证，可得，可得点G在平行且到距离为1的直线上运动，则当F与D重合时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作于H，过点G作， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G在平行且到距离为1的直线上运动， ∴当F与D重合时，有最小值，此时， ∴的最小值， 故选：B． 【点睛】本题考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是解题关键． 9．（本题3分）已知二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图，有下列个结论：①；②；③；④直线经过点，则关于的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，，，即可判断①；图象与轴有两个交点，即对应的一元二次方程有两个不等实数根，可判断②；由二次函数对称性得到与轴另一个交点的坐标，代入二次函数解析式可判断③；由直线推得其一定经过点，由图象可判断④． 【详解】解：依题得：图象开口向下，即， 当时，， 对称轴为直线，则， ， ，①正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 有两个不等实数根， ，②错误； 二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线， 另一个交点坐标为， ， 即， ， ， 即，③正确； ， 直线经过点， 又直线经过点，如下图， 关于的不等式，即的解集是，④正确． 综上，正确结论的个数为． 故选：． 2、 填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．（本题3分）计算 ________． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的混合运算，分别计算各项：为，为，为4，再求和即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 11．（本题3分）兰州牛肉拉面最早始于清朝嘉庆年间，在200多年的漫长岁月里，兰州牛肉拉面享誉天下，并被国家确定为中式三大快餐之一，被誉为“中华第一面”．某牛肉拉面店推出A、B套餐，该店连续10天的销售情况如图所示，由图可知，______套餐销量稳定（填“A”或“B”） 【答案】B 【分析】此题考查了方差，利用方差判断稳定性，方差越小越稳定．首先计算出A套餐和B套餐的方差，然后比较求解即可． 【详解】解：A套餐的平均数为 A套餐的方差为B套餐的平均数为 B套餐的方差为 ∵ ∴B套餐销量稳定． 故答案为：B． 12．（本题3分）已知关于x的一元二次方程有实数根，则a的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程有实根的条件，解决本题的关键是得到判别式非负列式求解． 利用一元二次方程有实数根的条件，判别式非负，列不等式求解的取值范围，进而得到最小值． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 则，且判别式， 即，解得， 故的最小值为． 故答案为：． 13．（本题3分）在菱形中，，点在线段上，且，点为上一点，将沿翻折，点B对应点E，，且，则_____． 【答案】/ 【分析】本题考查菱形的性质，解直角三角形，翻折变换，由四边形都是菱形，推出A，C关于对称，由，推出点E在线段上，证明四边形是菱形，推出，推出，设，，利用勾股定理求出可得结论． 【详解】解：如图， ∵四边形都是菱形， ∴A，C关于对称， ∵， ∴点E在线段上， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，以线段为边在第一象限内作正方形，反比例函数的图象经过正方形的中心点（对角线的交点），则的值为________． 【答案】 【分析】利用一次函数的解析式求出点、的坐标，连接，过点作轴，可证，根据全等三角形的性质可以求出，，从而可得点的坐标为，把点的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出的值． 【详解】解：如下图所示，连接，过点作轴， 当时， 可得：， 点的坐标为， ， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， 点的坐标为， 点是正方形的中心点， 点是的中点， 点的横坐标为，纵坐标为， 把点的坐标代入反比例函数的解析式， 可得：， 解得：． 15．（本题3分）如图，由棱长为小正方体组成的立体图形，阴影部分是空缺的通道（一直通到对面，通道孔完全相同），这个立体图形由_______个小正方体组成，这个立体图形的表面积（含通道内壁表面积）是____________． 【答案】 38 126 【分析】本题考查了正方体及其表面积．由题意，阴影部分是空缺的通道，一直通到对面，即中间有重复，因此可分层计数，从前往后分为4层，画出每层的示意图进行计数即可． 【详解】解：从前层到后层有小正方体 （个）； 这个立体图形的表面积（含通道内壁表面积）是 ． 故答案为：38；126． 3、 作图题：（本大题满分4分，请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹） 16．（本题4分）如图，在 中， ，请用尺规作图法，在 边上求作一点D，使点 D 到边的距离等于长．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，角平分线的性质．作的角平分线交于点D，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可解答． 【详解】解：如图，点D 即为所求． 4、 解答题：（本大题共9个小题，共71分.） 17．（本题9分）（1）解不等式组； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）； （2）化简结果为，求值为． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法以及分式的化简与求值；解题的关键是掌握不等式组解法（分别解每个不等式，取公共解集），分式化简时熟练运用因式分解、通分及分式除法法则，同时注意分式有意义的条件（分母不为零）． （1）先分别解两个不等式：解需去分母化为整式不等式求解，解需移项合并同类项求解，再取两个不等式解集的公共部分； （2）先对分式分母因式分解（），括号内通分计算（将化为），再将除法变乘法约分化简，最后根据确定值（排除使分母为零的），代入求值． 【详解】（1）解：解不等式组 解不等式①：两边同乘6去分母，得， 移项，得， 即； 解不等式②：移项，得， 合并同类项，得， 两边同除以（不等号变向），得； 取两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集为． 即原不等式组的解集为． （2）解： ； 由得， 又，故， 代入得：． ∴化简结果为，求值为． 18．（本题6分）中国新能源产业异军突起，中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图． 类型 人数 百分比 纯电 混动 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查活动随机抽取了______人；表中______，______； (2)请补全条形统计图； (3)计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； (4)若此次汽车展览会的参展人员共有人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 【答案】(1)50，30，6 (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据喜欢纯电的人数和所占的百分比即可求出调查人数，根据频数、总数和频率的关系求出和即可； （2）根据的值即可补全条形统计图； （3）用乘以喜欢混动的人数所占的百分比即可； （4）用总人数乘以样本中喜欢新能源车所占的百分比即可求解． 【详解】（1）解：本次调查活动随机抽取了（人， ， ，， ，； 故答案为：50，30，6； （2）解：补全条形统计图如图所示： （3）解：， 答：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为． （4）解：（人， 估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有人． 【点睛】本题考查统计表、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，理解统计图中各个数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法． 19．（本题6分）数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． (1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是________； (2)小明从这四张卡片中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）根据题意，画出树状图，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的是； （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的有6种结果， ∴小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率为． 20．（本题6分）研学实践：泛舟禅师塔位于山西运城，是全国唯一的唐代单层圆形砖塔，在建筑设计和营造上均具有高超的艺术价值．某校研学小组在了解泛舟禅师塔的历史背景后，利用测量工具测量了相关数据． 数据采集：如下图是测量过程的几何示意图，点A是塔的顶端，AB的长表示点A到水平地面的距离．研学小组在地面上一点C处放置测角仪，测得顶端A的仰角，安装测角仪支架CD后测得顶端A的仰角，测得（米．（测角仪的高度忽略不计） 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，根据上述数据，计算点A到地面的距离AB的长．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） 【答案】点A到地面的距离AB的长约为10.2米． 【分析】延长交于点F．证明四边形为矩形．得到，．设，根据和列方程即可求出答案． 【详解】解：如图，延长交于点F． 由题意，得四边形为矩形． ，． 在中，，， ． 在中，，， ． ． 设， ， ． ． 解得． 答：点A到地面的距离的长约为10.2米． 21．（本题8分）为了响应国家低碳出行号召和降低经营成本，某市出租车公司准备把油车更换成电车．现有A，B两种品牌的电车可供选择，若购买3辆A品牌电车和4辆B品牌电车，共需花费万元；若购买2辆A品牌电车和6辆B品牌电车，共需花费万元． (1)求每辆A品牌电车和每辆B品牌电车的价格； (2)若出租车公司需要购买A，B两种品牌的电车共辆（两种品牌的电车均需购买），购买B品牌电车数量不超过购买A品牌电车数量的，为使购买电车的总费用最低，应购买A品牌电车和B品牌电车各多少辆？购买电车的总费用最低为多少万元？ 【答案】(1)A品牌电车万元/辆，B品牌电车万元/辆 (2)为使购买电车的总费用最低，购买辆A品牌电车，辆B品牌电车，购买电车的总费用最低为万元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键。 （1）根据题意找到等量关系，列二元一次方程组进行求解即可； （2）设购买B品牌电车辆，则应购买A品牌电车辆，根据题意，，得；设购买电车的总费用为万元，则，根据一次函数的增减性求出答案。 【详解】（1）解：设A品牌电车万元/辆，B品牌电车万元/辆，根据题意， 依题意得， 解方程得， 答：A品牌电车万元/辆，B品牌电车万元/辆． （2）解：设购买B品牌电车辆，则应购买A品牌电车辆，根据题意， ， 得， 设购买电车的总费用为万元，则， ∵， ∴时，取得最小值，最小值为（万元）， ∴购买A品牌电车（辆）， 答：为使购买电车的总费用最低，购买辆A品牌电车，辆B品牌电车，购买电车的总费用最低为万元． 22．（本题8分）某数学活动小组用圆形卡片摆图形来探究规律，图1中有1个圆，图2中有4个圆，图3中有11个圆，图4中有22个圆，那么图n（n为正整数）中有多少个圆呢？三位小组成员分别进行了如下探究． 航航同学先把圆的个数填入下表，并对这一列数字的变化进行探究： 序号 图1 图2 图3 图4 图5 … 图n 个数 1 4 11 22 a … b 变化 1 … … 航航同学又对这个数字变化进一步分析： ； ； ； ； ； … ∴图n为 ． 悦悦同学是从图形上进行找规律的，她将圆心按一定规律连接起来，如图： 她发现图1中有1个圆，图2中有个圆，图3中有个圆，图4中有个圆，……于是她得到图n中有c个圆，化简后，与航航的结果一样． 涛涛同学的方法与悦悦类似，但是他提出一个问题：是否存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383？ (1)请你补充航航和悦悦的探究，即______，______，______； (2)请你解决涛涛同学提出的问题． 【答案】(1)；； (2)存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383 【分析】本题考查了图形的变化类问题．解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律． 仔细观察图形发现：每一个图形的中心有一个圆，周围是图形序数减1的差乘图形序数2倍减1的差．利用这一规律解题即可． 【详解】（1）解：补充航航同学的分析： ， ． 补充悦悦同学的分析： 图n中有个圆， ∴． 故答案为：37；；． （2）解：存在连续两个图形，它们圆的个数之和为383， 由题意得， 解得，（舍去）， 存在连续两个图形，即图10和图11，它们圆的个数之和为383. 23．（本题8分）如图，在平行四边形中，、是对角线，点、、、在同一条直线上，且，延长线交延长线于． (1)求证：； (2)条件：①；②．请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状 【答案】(1)见解析 (2)选①时，四边形是菱形，理由见解析；选②时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握这些特殊四边形的判定与性质； （1）根据平行四边形和平行线的性质得出，然后根据证明即可； （2）选①时，先证明平行四边形是矩形，可得出，根据全等三角形的性质得出，然后证明四边形是平行四边形，最后根据菱形的判定即可得证；选②时，根据全等三角形的性质得出，然后证明四边形是平行四边形，结合已知和平行四边形的性质可证得，然后根据矩形的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又，， ∴； （2）解：选①时，四边形是菱形； 理由：如图， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； 又， ∴平行四边形是菱形； 选②时，四边形是矩形； 理由：如图， ∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴平行四边形是矩形． 24．（本题10分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)已知点C是位于反比例函数的图象在第四象限部分上的一点，直线交y轴于点D，若． ①求线段的长；②求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)①的长为；② 的面积为． 【分析】（1）首先，根据交点代入反比例函数的表达式，求出，进而得出反比例函数的表达式，然后，将点代入反比例函数的表达式求出，再将点、坐标分别代入一次函数的表达式中即可求得一次函数表达式； （2）①利用已知条件巧妙构造辅助线，进而得出，，根据，可求得，进而求得，，最后，在中，由勾股定理即可求得的长； ②由，可求出的长，进而求出的长，最后，运用“整体减部分”思想可得出，根据三角形的面积公式代入计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得． ∴反比例函数的表达式为． 把点代入，得 ，解得． ∴点． 把点，分别代入，得 ，解得． ∴一次函数的表达式为； （2）①如图，过点作轴于点，过点作轴于点． ∴． ∴． ∴． ∵，点， ∴，，． ∴，解得． ∵点在反比例函数的图象上， ∴当时，． ∴点． ∴． 在中，由勾股定理，得． ∴的长为； ②∵点，， ∴，． 由①知， ∴，即，解得． ∴． ∴ ． ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式．解题的关键是熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；充分理解“逢点必代”思想在函数中的重要性，能利用“整体减部分”思想求解特殊三角形的面积． 25．（本题10分）（1）【提出问题】数学课上，老师提出问题：如图1，在等腰中，，点在边上，以为边作正方形，点在边上，连接，点为线段的中点，连接，．以点为对称中心，画出关于点对称的图形，并直接写出与的位置及大小关系 　　； （2）【类比探究】在等边中，、分别是、边上一点，且，以、为邻边作菱形，再将菱形绕点顺时针旋转一定角度后得到新的菱形，如图2，连接，点为线段的中点，连接、，判断与的位置及大小关系，并证明你的结论； （3）【迁移运用】在（2）的条件下，若，，菱形在旋转过程中，当最小时，直接写出的值 　　． 【答案】（1），，证明见解析（2），，证明见解析（3） 【分析】（1）延长至，使，连接，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，，得出，再证得，即可得出答案； （2）作关于点成中心对称的，连接、，则，，，进而可得，再结合等边三角形的性质、勾股定理和全等三角形的判定和性质即可求得答案； （3）过点作于点，连接、，交于点，利用三角形中位线定理可得，又点是定点，得出点在以为圆心，为半径的圆上运动，可求得的最小值，再利用三角形面积公式即可求得答案． 【详解】解：（1）如图1，延长至，使，连接， 则与关于点对称，即为所求作的图形． 四边形是正方形， ， ， 点为线段的中点， ， ， ， ，点为线段的中点， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）结论：，；证明如下： 如图2，作关于点成中心对称的，连接、， 则，，， ， ，， ， 四边形是菱形，， ，， ， ， ，即， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中，； （3）如图3，过点作于点，连接、，交于点， 由旋转得，， 四边形是菱形，， ， 是等边三角形，，， 是的中点，， 又点为线段的中点， 是的中位线， ， 点是定点， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 设交于点，当点与点重合时，为最小值， 此时，， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $