八年级数学下学期期中学情自测·培优卷（新教材苏科版，举一反三，测试范围：第6章 数据的收集、整理与描述～第9章 因式分解）

八年级数学下学期期中学情自测·培优卷 【新教材苏科版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·黑龙江绥化·开学考试）去年某市有5.6万名学生参加联招考试，为了了解他们的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法错误的是（　　） A．这种调查方式是抽样调查 B．5.6万名考生的数学成绩是总体 C．2000名考生是样本容量 D．2000名考生的数学成绩是总体的一个样本 【答案】C 【详解】解：A、本题仅抽取部分考生成绩进行分析，属于抽样调查，因此A选项说法正确． B、总体是考查对象的全体，本题考查对象为5.6万名考生的数学成绩，因此5.6万名考生的数学成绩是总体，B选项说法正确． C、样本容量是样本中个体的数目，是数值，因此本题样本容量是2000，不是2000名考生，C选项说法错误，符合题意． D、样本是从总体中抽取的部分考查对象，因此2000名考生的数学成绩是总体的一个样本，D选项说法正确． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），结合因式分解的方法逐一判断选项． 【详解】解：∴A选项是整式乘法，从整式的积化为多项式，不符合因式分解定义，错误； ∵B选项右边是整式与常数的和，不是整式的积的形式，不符合因式分解定义，错误； ∵C选项中，原式分解错误，错误； ∵D选项中，提取公因式，，符合因式分解定义且分解正确； ∴故选：D． 3．如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形对边平行且相等以及角平分线，构造等腰三角形，进而求出． 【详解】解： 平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ． 4．（25-26九年级下·山西晋中·月考）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图所示为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机投点，经过大量重复试验发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为． 5．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解． 将每个多项式因式分解后，检查是否含有因式，不含有该因式的即为答案． 【详解】解：选项A：，含有因式； 选项B：，含有因式； 选项C：，含有因式； 选项D：，不含有因式； 故选：D． 6．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图是某调查小组调查了100位旅客购票等候时间制作的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），其中购票等候时间小于3分钟的人数是（　　） A．29人 B．55人 C．38人 D．84人 【答案】B 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，根据直方图得出解题所需数据是解题的关键． 根据频数分布直方图，可知购票等候时间小于3分钟为第1、2组，将人数相加即可求解． 【详解】解：由直方图知购票等候时间小于3分钟的人数是人． 故选：B． 7．（25-26九年级上·广东湛江·月考）如下图，中，，点分别是的中点，则四边形的周长是（   ） A．13 B．15 C．17 D．19 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的中位线，熟练掌握三角形的中位线是解题的关键；由题意易得，同理可得，然后问题可求解． 【详解】解：∵点分别是的中点，， ∴， ∴四边形的周长为； 故选D． 8．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 恩 爱 施 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．美丽恩施 B．我爱恩施 C．我爱美丽 D．恩爱美丽 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，关键是熟练应用知识点解题；通过提取公因式法和平方差公式对密文进行因式分解，再对应密码手册得到明文． 【详解】解：∵原式= = = ∵根据密码手册：对应“我”，对应“施”，对应“爱”，对应“恩”， ∴组合后明文可能为“我爱恩施”， 故选：B． 9．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到，，，证明是等边三角形，进而求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示的四边形，并测得，对角线，再将学具成为图2所示四边形，并测得，则图2中对角线的长为（    ） A．20cm B．40cm C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握特殊四边形的性质是关键．连接、，由题意可知，图1中四边形是菱形，图2中四边形是正方形，进而证明是等边三角形，得出，再根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、， 由题意可知，图1中四边形是菱形，图2中四边形是正方形， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若，，则计算的结果为___________． 【答案】2022.5 【分析】先提公因式，再用平方差公式进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为：2022.5． 【点睛】本题主要考查了利用平方差公式因式分解进行简便运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 12．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，已知，分别以，为圆心，， 的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形的依据是______． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了尺规基本作图-作线段等于已知线段，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 利用平行四边形的判定方法可直接求解． 【详解】解：分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点， ，， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 13．（2026·河南驻马店·模拟预测）根据某次安全知识竞赛成绩，笑笑绘制了所有参赛学生成绩的统计图如图所示，则本次安全知识竞赛成绩的优秀率是____________． 【答案】 【分析】先根据条形统计图计算出本次参赛学生的总人数，再结合条形统计图和扇形统计图算出成绩优秀的学生人数．再用优秀学生人数除以总人数即可得本次参赛成绩的优秀率． 【详解】解：由条形统计图可知本次参赛学生一共有（人）， 其中成绩合格的学生有400人， 成绩优秀的学生人数为（人）， ∴本次安全知识竞赛成绩的优秀率为：． 14．（25-26九年级上·四川成都·期末）正方形I的边长比正方形Ⅱ的边长长，它们的面积相差，则这两个正方形的边长之和为______． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 设正方形I的边长为，正方形Ⅱ的边长为，根据题意得和，利用平方差公式求解． 【详解】解：设正方形I的边长为，正方形Ⅱ的边长为，则． 由面积差得． 根据平方差公式，． 代入，得． 所以． 故这两个正方形的边长之和为 故答案为：10． 15．如图，在中，分别是上的点，，将沿所在的直线翻折，使点的对应点与点重合，且点落在点处，连接，若，，则________． 【答案】 【分析】过点作的垂线交延长线于点，根据翻折的性质证明，根据全等的性质，证明四边形是菱形，根据菱形的性质得到、的长度，根据平行线的性质得到，根据含角的直角三角形三边关系，即可求出，的长度，根据勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：过点作的垂线交延长线于点 ∵翻折 ∴，， ∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴，， ∵， ∴ 在和中 ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴平行四边形是菱形 ∵ ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质、含角的直角三角形三边关系、勾股定理等知识点，正确作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求线段长是解答本题的关键． 16．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______ 【答案】// 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键． 由旋转得，，，，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则，，即可解答． 【详解】解：由旋转得，，，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先识别式子为平方差公式，利用平方差公式分解，再合并同类项并提取公因式； （2）先展开多项式乘积，合并同类项化简式子，再利用完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．（6分）在某校七年级（1）班组织的“六·一儿童节”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去． (1)求小丽获胜的概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？若不公平，如何使这个游戏变得公平？请说明理由． 【答案】(1)小丽获胜的概率是 (2)不公平．将其中一个奇数改为偶数就公平了，理由见解析 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）比较两人获胜概率可知不公平，将其中一个奇数改为偶数即可． 【详解】（1）解：P（偶数）， 即小丽获胜的概率是； （2）解：∵若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去， ∴小芳获胜的概率是， 可知这个游戏不公平； 措施：将其中一个奇数改为偶数就公平了． 理由：此时P（偶数）， ∵若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去， ∴小芳获胜的概率是， 可知此时这个游戏公平． 19．（8分）先阅读材料，再回答问题： 材料：分解因式： 解： 回答问题： (1)材料中最后一步分解因式的结果是___________． (2)分解因式：，结果是___________． (3)分解因式：，结果是___________． (4)若，则的值为___________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）提公因式即可解题； （2）根据因式分解的方法解题即可； （3）结合（1）（2）中的规律即可得到结论； （4）根据（3）中的结论解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：由（1）（2）可知， ； （4）解：， ∴， ∴， 解得． 20．（8分）（24-25八年级下·福建福州·月考）如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据平行四边形的判定添加条件即可； （2）连接交于O，根据平行线的性质得出，，根据等式的性质得出，然后根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】（1）解：补充： 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：连接交于O， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 21．（10分）（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)10 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）如图，首先证明四边形是平行四边形，然后证明，即可解决问题． （2）因为四边形为菱形，得，再结合矩形的对角线相等得，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：依题意，连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴， 由（1）得四边形是矩形， ∴． 22．（10分）（25-26六年级上·山东青岛·期末）自正式上线以来，全社会不断加深对的了解与合作．某中学在七年级组织了一次“与对话”知识竞赛活动（成绩为百分制）．为了解知识竞赛的情况，老师随机抽取了部分学生的成绩，整理后绘制成如图所示的不完整的统计图表： 分组 频数 A． 4 B． C． 36 D． 16 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次一共随机抽取了___________名学生的成绩； (2)求出m，n的值； (3)将频数分布直方图补充完整； (4)扇形统计图中，“C．”组所对应的扇形圆心角的度数是___________． 【答案】(1)80 (2)， (3) 见详解 (4)162 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，掌握样本百分比的计算，圆心角度数的计算是关键． （1）根据A组的频数与百分比计算即可； （2）由样本容量及A，C，D组的频数即可得到m的值，根据各项百分比的计算方法得到n的值； （3）根据B组的人数补全图形即可； （4）根据圆心角度数的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：A组的频数为4，百分比为， ∴， ∴本次一共随机抽取了80名学生的成绩； （2）解：，， ∴； （3）解：B组有24人，补全图形如下， （4）解：， ∴“C.”组所对应的扇形圆心角的度数是， 故答案为：162． 23．（12分）24-25八年级下·吉林延边·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点称为格点，线段的端点在格点上．请按下列要求画出一个四边形，且四边形的顶点都在格点上． (1)在图①中，画一个面积为的平行四边形； (2)在图②中，画一个面积为的矩形； (3)在图③中，画一个面积为的菱形． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解 【分析】本题主要考查格点作图，掌握平行四边形，矩形，菱形，勾股定理等知识是关键． （1）根据格点，平行四边形的判定方法作图即可； （2）根据格点，矩形的判定方法作图即可； （3）根据菱形，勾股定理的计算作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，根据网格特点可得四边形，点到的距离为， ∴四边形是平行四边形，， ∴四边形即为所求图形； （2）解：如图所示，根据格点特点， ∴四边形是矩形，， ∴四边形即为所求图形； （3）解：如图所示，，，， ∴四边形是菱形，， ∴四边形即为所求图形． 24．（12分）（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)四边形的面积不会发生变化，始终等于4 【分析】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点O作于点M，于点N，证明四边形是正方形，得，，再根据得，由此可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得，则正方形的面积为4，由（1）可知和全等，则，由此得． 【详解】（1）解：过点O作于点M，于点N，如图所示： ∴， ∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：当点E在边上运动时，四边形的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下： 连接，如图所示： ∵四边形是正方形，点为对角线的中点， ∴，， ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴ 则 由（1）得 ∴ 由（1）得，矩形是正方形， 则． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期期中学情自测·培优卷 【新教材苏科版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第6章 数据的收集、整理与描述~第9章 因式分解 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26七年级下·黑龙江绥化·开学考试）去年某市有5.6万名学生参加联招考试，为了了解他们的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析，下列说法错误的是（　　） A．这种调查方式是抽样调查 B．5.6万名考生的数学成绩是总体 C．2000名考生是样本容量 D．2000名考生的数学成绩是总体的一个样本 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·山西晋中·月考）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小刚将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图所示为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机投点，经过大量重复试验发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图是某调查小组调查了100位旅客购票等候时间制作的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），其中购票等候时间小于3分钟的人数是（　　） A．29人 B．55人 C．38人 D．84人 7．（25-26九年级上·广东湛江·月考）如下图，中，，点分别是的中点，则四边形的周长是（   ） A．13 B．15 C．17 D．19 8．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 … 明文 … 恩 爱 施 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．美丽恩施 B．我爱恩施 C．我爱美丽 D．恩爱美丽 9．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．小智根据四边形的不稳定性制作了一个探究特殊四边形的学具，他用四根长度相同的木条在两端用螺栓两两连接，构成一个可以活动的四边形．他先将学具成为图1所示的四边形，并测得，对角线，再将学具成为图2所示四边形，并测得，则图2中对角线的长为（    ） A．20cm B．40cm C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．若，，则计算的结果为___________． 12．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，已知，分别以，为圆心，， 的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形的依据是______． 13．（2026·河南驻马店·模拟预测）根据某次安全知识竞赛成绩，笑笑绘制了所有参赛学生成绩的统计图如图所示，则本次安全知识竞赛成绩的优秀率是____________． 14．（25-26九年级上·四川成都·期末）正方形I的边长比正方形Ⅱ的边长长，它们的面积相差，则这两个正方形的边长之和为______． 15．如图，在中，分别是上的点，，将沿所在的直线翻折，使点的对应点与点重合，且点落在点处，连接，若，，则________． 16．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______ 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）分解因式： (1) (2) 18．（6分）在某校七年级（1）班组织的“六·一儿童节”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去． (1)求小丽获胜的概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？若不公平，如何使这个游戏变得公平？请说明理由． 19．（8分）先阅读材料，再回答问题： 材料：分解因式： 解： 回答问题： (1)材料中最后一步分解因式的结果是___________． (2)分解因式：，结果是___________． (3)分解因式：，结果是___________． (4)若，则的值为___________． 20．（8分）（24-25八年级下·福建福州·月考）如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 21．（10分）（25-26九年级上·内蒙古包头·月考）如图，在菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 22．（10分）（25-26六年级上·山东青岛·期末）自正式上线以来，全社会不断加深对的了解与合作．某中学在七年级组织了一次“与对话”知识竞赛活动（成绩为百分制）．为了解知识竞赛的情况，老师随机抽取了部分学生的成绩，整理后绘制成如图所示的不完整的统计图表： 分组 频数 A． 4 B． C． 36 D． 16 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次一共随机抽取了___________名学生的成绩； (2)求出m，n的值； (3)将频数分布直方图补充完整； (4)扇形统计图中，“C．”组所对应的扇形圆心角的度数是___________． 23．（12分）24-25八年级下·吉林延边·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形顶点称为格点，线段的端点在格点上．请按下列要求画出一个四边形，且四边形的顶点都在格点上． (1)在图①中，画一个面积为的平行四边形； (2)在图②中，画一个面积为的矩形； (3)在图③中，画一个面积为的菱形． 24．（12分）（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：． (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $