专题2.7 正余弦定理解三角形8大题型（期中复习讲义）高一数学下学期人教A版

专题2.7 正余弦定理解三角形（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 余弦定理解三角形 题型02 正弦定理解三角形 题型03 面积公式的应用 题型04 正余弦定理解三角形综合 题型05 正余弦定理判定三角形形状 题型06 正弦定理判断三角形解的个数 题型07 正余弦定理的边角互化 题型08 正余弦定理的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 正余弦定理解三角形 能根据已知条件合理选择正余弦定理；掌握边角互化技巧；熟练求解多解或需检验的三角形 核心高频考题，需具备整体分析能力，根据条件特征选择最优解法 正余弦定理判定三角形形状 利用边角互化将条件转化为边的关系或角的关系；结合三角恒等变换判断三角形形状 中等难度，注意特殊三角形（等腰、直角、等边）的判定条件，避免漏解 正弦定理判断三角形解的个数 掌握已知两边一对角时，通过比较  的大小关系判断解的个数 易错考点，需理解几何意义，结合图形分析更直观 正余弦定理的边角互化 熟练将边化角（用正弦定理）或角化边（用余弦定理）；能识别条件中的齐次式结构 贯穿所有题型，是解三角形综合题的关键步骤，需根据目标灵活选择互化方向 正余弦定理的应用 掌握解三角形在实际问题中的应用（测量、航海、几何图形等）；能建立数学模型并求解 基础题，注重数学建模素养，需准确理解角度术语（仰角、俯角、方向角等） 知识点01 余弦定理 对三角形，角A对应的边为，角B对应的边为，角C对应的边为 余弦定理公式：；；． 推论： 知识点02 正弦定理 1、正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则有 ==. 若△ABC外接圆半径为，则有===2R 2、正弦定理常见变形： ①=，=，=，aB=bA，aC=cA，bC=cB； ②======； ③a:b:c=A:B:C； 3、三角形的边角关系： 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 知识点03 三角形的面积公式 1、 2、（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） 知识点04 解三角形 1、解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. 2、余弦定理在解三角形中的应用 （1）利用余弦定理求边跟角： 已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； 已知三边，求三角形的三个角. （2）判断三角形形状 将已知的边角关系全部化为纯边的关系式（利用余弦定理将角换成边），然后进行代数恒等变形。 若 ，则 （勾股定理逆定理）。 若 ，则 （锐角）。 若 ，则 （钝角）。 (3) 求三角形边长或角的范围 结合余弦定理与基本不等式（如 ）或二次函数性质，确定边或角的取值范围。 3、 正弦定理在解三角形中的应用 3. 已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 3. 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 （3）在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者sin的齐次式，可以考虑用正弦定理。 三角形中的射影定理：在△ABC中，；； 知识点05三角形解的个数 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时： 若A为直角或者钝角时： 知识点06 测量问题 1、测量距离问题：解三角形法测距的关键是将实际问题转化为三角形模型，选择可测数据作为已知量，通过正弦定理、余弦定理及三角函数的直角边关系逐步求出未知距离。画出清晰图形、选择合适的初始三角形是解题的突破口。 （1）两点间不可达又不可视，如图，A、B 两点间有障碍物，但分别可以到达和，并能测量、 及 。 方法：已知两边及夹角（），用余弦定理直接求 。 （2）两点间可视但不可达，如图，在河一侧点，要测对岸、两点间的距离。 方法：在处测得 ∠BAC，及AB、AC中的可测量边（如用直角三角形法测得AB）。已知两边及其夹角，可用余弦定理求。 （3）两点都不可达，如图，两点都不可到达（如河两岸的目标点）。 方法（基线法）：选取可到达的两点构成基线（可测长度），分别在处测量角度：在测与等，在测与等 通过多次正弦定理解三角形链： ① 在 中由及求或。 ② 在或中继续用正弦定理或余弦定理最终求。 2、测量高度问题：利用水平面（或基线）、视线构成的三角形，通过测量角度和可及距离，计算出不可直接测量的高度。基本关系（在直角三角形中）：，其中仰角是观测点与目标顶端连线和水平线的夹角。 （1）底部可达：利用直角三角形解 （2）底部不可达（仰角在不同位置测两次）：设两次测量点与塔底共线，测得仰α、β及两次距离差（或直接距离），建立方程求高。 测量高度问题关键：画图、标已知、选三角、列方程。 3、测量角度问题 （1）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 （2）方位角是从指北方向线顺时针转到目标方向线的角 （3）方向角：相对于某一正方向的水平角．例：北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向． （4）坡角与坡度：坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数；坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比．坡度又称为坡比 （5）测量角度的核心思想是： 将待测角置于一个或一系列三角形中，通过测量足够数量的边和其他角，利用三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理反推出目标角。 题型一 余弦定理解三角形 解｜题｜技｜巧 利用余弦定理来解三角形的情况： 1、已知三边，求任意角。 2、已知两边和其中一边的对角，可用余弦定理。 3、三角形中有分线的情况，可以考虑用两次余弦定理来处理。 4、余弦定理跟面积公式结合去解三角形的三边。 【典例1】（25-26高一下·全国·课后作业）已知钝角三角形的三边，，，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】由题意结合大边对大角，可得角为钝角，即，由余弦定理结合两边之和大于第三边，即可求解. 【详解】因为，且为钝角三角形，所以角为钝角． 由余弦定理的推论，得． 因为，，所以， 即，解得， 由三角形的任意两边之和大于第三边，得，所以． 所以满足，解得， 综上所述，的取值范围为． 故答案为：. 【典例2】（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）在中，已知，则角的可能值为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由条件通过配方得到，再结合余弦定理即可求解. 【详解】由， 即， 所以， 或. 故选：AC 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）中，，，，为中最大角，为上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意和余弦定理，在中求出AC的长，再求出AD的长，再由余弦定理在中求出BD的长． 【详解】设，由余弦定理得，， 即，整理得，解得或， ∵为中最大角，∴，又∵，∴， 在中，由余弦定理得，， 即，∴. 【变式2】（25-26高一下·全国·课后作业）在锐角三角形中，、、分别为内角、、所对的边，若，，且，，求的值． 【答案】 【分析】利用余弦定理可得出，结合已知条件可得出、的值，再利用余弦定理可得出的值，再利用平面向量数量积的定义可求得的值. 【详解】根据余弦定理得， 整理得， 又，所以，又，可得，， 于是， 所以． 题型二 正弦定理解三角形 答｜题｜模｜板 正弦定理解三角形的情况： 1、已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 2、已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 3、在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者的齐次式，可以考虑用正弦定理。 【典例1】（25-26高一下·全国·单元测试）在中，已知，，，则__________． 【答案】 【分析】应用同角三角函数关系求出，再应用两角和正弦公式及正弦定理计算求解． 【详解】在中，， ，． ，． ． 由正弦定理知， ． 故答案为： 【典例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由，所以， 所以． 故选：D. 【变式1】（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）在 中，．若，则等于（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】AD 【分析】根据三角形的内角和定理和三角恒等变换的公式，化简得到，求得或，结合正弦定理，即可求解. 【详解】由，可得， 因为，可得， 整理得，所以或， 当时，因为，所以， 又因为，所以，可得； 当时，． 故选：AD. 【变式2】（2026高一下·全国·专题练习）在中，已知，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设a为最大边，c为最小边，根据正弦定理可得,化简即可求解. 【详解】不妨设a为最大边，c为最小边，由题意，即， 整理，得．所以，所以． 故选：B 题型三 面积公式的应用 答｜题｜模｜板 三角形面积公式的应用情况： 1、已知两边及夹角，直接用 2、已知三边 ，可先用余弦定理求出角，然后再用面积公式求面积 3、最值问题：利用面积公式转化为函数，用均值不等式或三角函数求最值。 【典例1】（25-26高一上·浙江湖州·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，结合二倍角公式和正弦定理，可得，根据余弦定理，可得a值，根据勾股定理，可得角，代入面积公式，即可得答案. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得， 又，则，所以， 由余弦定理得， 整理得，解得或（舍）， 所以，即角， 所以的面积. 故选：C 【典例2】（2026高一下·全国·专题练习）已知的内角为，，满足，且的面积为2，则外接圆面积等于________． 【答案】 【分析】根据题意，利用恒等变形得，再结合即可求解． 【详解】 ， ， ，解得， 从而有外接圆面积等于． 故答案为：． 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）设的内角，，所对的边分别为，，，记其面积为、周长为，，，则的最大值为______． 【答案】 【分析】先由面积公式及正弦定理推出，再结合余弦定理和基本不等式得到，最后将面积比转化为关于a+c的函数，通过放缩求出最大值. 【详解】由，可得， 整理得，即， 由正弦定理可得，即， 又，所以，解得，又所以，， 所以，即， 所以， 因为，所以，所以， 因为， 于是有， 当且仅当时上式取等． 即的最大值为， 故答案为：. 【变式2】（2026高一·全国·专题练习）已知的外接圆半径为，角，，所对的边分别为，，，若，则面积的最大值是________． 【答案】 【分析】根据题意利用正弦定理可得，结合余弦定理可得，，再根据面积公式可得，结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，即， 通过正弦定理化角为边可得，又， 所以，即，可得， 由可得， 且，则， 可得面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值是. 故答案为： 题型四 正余弦定理解三角形综合 答｜题｜模｜板 1、边角互化：正弦定理将边化为角的正弦，或将角的正弦化为边，常用于齐次式、比例式。余弦定理将边与角余弦联系，适合已知三边或两边及夹角。 2、方程联立：面积公式常与正余弦定理联立，形成关于边或角的方程组。 3、多解判断：已知两边及对角时，用正弦定理先求角，注意可能对应一解、两解或无解。 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）在中，为上的中线，，，，则________，________． 【答案】 【分析】由已知在中，利用正弦定理可得，进而可求的值，在中，由余弦定理解得，可求，由余弦定理可得的值. 【详解】因为，，，所以在中， 由正弦定理可得：， 所以． 因为在中，由余弦定理，， 可得：，即：， 所以解得：或（舍去）， 所以,由余弦定理可得：, . 故答案为：①;②． 【典例2】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）所对的三边为，则的最小值___________． 【答案】/ 【分析】利用三角形的内角关系，结合正弦定理、余弦定理及已知条件对等式进行化简变形，再均值不等式得出值域，构造函数利用函数单调性求最小值． 【详解】， ，故， 由正弦定理得， ，故， 由余弦定理得，又， ，故， ， ，，， （，）， 令，，则，在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为， ． 故答案为：． 【变式1】（25-26高一下·全国·课堂例题）在锐角中，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理将边化为角，结合和差化积及锐角三角形的条件得到，进而求出的范围，再通过三角函数的恒等变换化简及函数的单调性求值即可. 【详解】由正弦定理可知，， 又 ， 所以. 又，所以， 又，所以，所以. 因为是锐角三角形，所以， 所以，即. 又是锐角三角形，所以， 所以，则， 所以． 又在上单调递减，所以， 所以． 故选：B. 【变式2】（2026·河南南阳·模拟预测）已知的内角的对边分别为，若，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先对 进行化简，求出角 ，再利用正弦定理将 转化为边的关系，最后结合余弦定理求出 的值. 【详解】由 ，得 ，即 ， 因为， ， 所以 ，即 ，化简得， 因为 ，所以 ， 则 ， ； 由正弦定理可得 （ 为 外接圆半径）， 所以 ，即 ，所以 ； 因为 ，根据余弦定理得 ， ，可得 ， 又因为 ，所以 ，则 ， 将 和 代入 中，可得 ， 移项可得 ，即 ，所以 . 故选：C. 题型五 正余弦定理判定三角形形状 答｜题｜模｜板 将已知的边角关系转化为统一的边或角的关系，再判断形状。 1、观察条件是边的关系、角的关系还是混合。条件为边的等式 ,尝试余弦定理化角。条件含正弦/余弦函数, 尝试正弦定理化边，或直接三角变形。化为最简的边等式或角等式。 2、根据化简结果判断： （1）出现边相等的时候，可判断等腰或者等边。 （2）若，则（勾股定理逆定理）。 （3）若，则（锐角）。 （4）若，则（钝角）。 【典例1】（25-26高一上·全国·课后作业）若的三个内角满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】利用二倍角公式将已知等式化为，然后利用正弦定理边角互化得，进而求得，即可判断. 【详解】利用二倍角公式将已知等式化为， 即，由正弦定理得，即，所以， 所以是直角三角形. 故选：A. 【典例2】（多选）（25-26高一下·陕西西安·月考）已知的内角的对边分别为，则能判定一定是等腰三角形的为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用正余弦定理、和差公式逐一分析即可. 【详解】对A，由正弦定理将边化角得， 即，所以为等腰三角形； 对B，因为， 所以， 所以，整理得， 又，所以，即，所以为等腰三角形； 对C，， 所以，整理得， 所以或，即是直角三角形或等腰三角形； 对D，， 当且仅当，即时等号成立，又，所以只能成立， 此时为等腰三角形. 【变式1】（多选）（25-26高一下·全国·月考）在中，若，则的形状为（   ）（多选题） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】AC 【分析】利用正弦定理及余弦定理把题设中的边角关系转化为边的关系，化简后可判断三角形的形状. 【详解】法一：由正弦定理及余弦定理知， 原等式可化为， 整理得：， 或， 故三角形为等腰三角形或直角三角形． 法二：由正弦定理，原等式可化为， ，， 又，， 或， 或， 故为等腰三角形或直角三角形． 故选：AC. 【变式2】（25-26高一下·全国·课堂例题）在中，已知，则的形状为________． 【答案】等腰或直角三角形 【分析】借助正弦定理与余弦定理可将原等式化简，即可得解. 【详解】由正弦定理及余弦定理可得： ， 即有，化简得， 故或，则为等腰或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形. 题型六 正弦定理判断三角形解的个数 答｜题｜模｜板 在△ABC中，已知a，b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若为锐角时：根据 若为钝角或直角时：根据 【典例1】（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解 【答案】ABC 【分析】利用正弦定理，结合各选项的条件逐一判断即可. 【详解】对于A，由，得，则，即只有一解，A错误； 对于B，，且，则，而为锐角，因此有两解，B错误； 对于C，由，，，得，有解，C错误； 对于D，由，得，又，则是锐角，有一解，D正确. 故选：ABC 【典例2】（25-26高一上·上海宝山·期末）在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，要使该三角形有唯一解，则的取值范围为________. 【答案】 【分析】利用正弦定理得出，分析可知或，可得出关于的不等式或等式，即可解得的取值范围. 【详解】因为，，由正弦定理 得，即， 因为，要使三角形有唯一解， 所以或，所以或， 即或，解得或， 所以的取值范围为 故答案为：. 【变式1】（2025高一下·江苏南京·专题练习）在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是____． 【答案】 【分析】结合正弦定理，根据三角形有两解的条件列不等式求解即可. 【详解】因为三角形有两个解，所以， 即，解得， 故答案为：. 【变式2】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知一三角形中，，，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形． 【答案】答案见解析 【分析】法一：直接由即可判断，法二：先由余弦定理求得，进而可求解. 【详解】（方法一）由，， 可得：，有两解． 或 （1）当时，， ， （2）当时，，，． （方法二）由得， ． ， ，即或． 当时，有，，． 当，，，． 即有两解．. 题型七 正余弦定理的边角互化 答｜题｜模｜板 正余弦定理实现三角形的边角互化，可以用来化简题目中的条件。 （1）利用正弦定理进行边角互化，需要对等式中的每项进行统一变换。 （2）利用余弦定理，化角为边。 【典例1】（2026·湖南永州·二模）在中，内角所对的边分别为，且满足，则（   ） A．角为锐角 B．2 C．2 D．的最大值为 【答案】D 【分析】由同角的三角函数关系和降幂公式可判断A；由余弦定理结合A的结果可判断B；由同角的三角函数关系结合余弦定理可得判断C；由两角和的正切展开式再结合基本不等式可判断D. 【详解】由，得， ，所以， 对于A，由，得，所以为钝角，故A错误； 对于B，由，得，即，故B错误； 对于C，由，结合正弦定理可得， 所以，即得， 因为为钝角，为锐角，两边除以，得，故C错误； 对于D，由，即，， ， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，即的最大值为，故D正确. 故选：D. 【典例2】（多选）（25-26高三上·湖北·期中）中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（   ） A． B．若且有唯一解，则 C．若，则 D．若，则面积最大值为 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理边角互化及正弦两角和差公式化简可计算出，即可判断A，根据正弦定理和解三角形知识即可判断B，根据和差角公式求解，可判断C，根据余弦定理和三角形的面积公式求解，可判断D. 【详解】由，则， 则， 由于，所以，，，故A正确； 由正弦定理得，即， 又有唯一解，所以或，故B错误； 由，则，， 则，即，, 所以，则，所以，故C正确； 若，则由余弦定理得， 所以有，即，当且仅当时取等号， 的面积为，故D正确. 故选：ACD. 【变式1】（多选）（2026·江西·一模）在中，三个内角所对的边分别为，若，，的面积为1，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由及结合降幂公式、和差化积公式得到，即可判断C；进而得到即可判断B；再结合及三角形的面积公式可求解判断A；结合求出，再结合正弦定理求解判断即可. 【详解】由知，， 化简可得， 根据和差化积公式可得：， 则，即， 由知，， 所以，即，故C正确； 由，得：，所以，故B不正确； 在中，由，知，故A正确； 由知，， 又，则，又， 由正弦定理得，，故D不正确. 【变式2】（多选）（2026·辽宁抚顺·一模）在中，角的对边分别为外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．面积的最大值为 D．若，角的平分线交于点，则 【答案】BCD 【分析】对A，利用正弦定理和三角恒等变换化简条件式得解；对B，由正弦定理求解判断；对C，根据余弦定理结合基本不等式和三角形面积公式求解；对D，由题结合余弦定理求出，利用三角形面积关系，求出答案. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，又，即， 则， 又，所以，解得，故，故A错误； 对于B，因为，外接圆的半径，所以，故B正确； 对于C，因为，即， 又，所以，得，当且仅当时，取等号， 所以，即面积的最大值为，故C正确； 对于D，由结合，解得， 由，即， 解得，故D正确. 题型八 正余弦定理的应用 答｜题｜模｜板 正余弦定理的应用在测量高度、距离、角度问题上，构造三角形，应用解三角形的思想来求解。 【典例1】（25-26高一下·上海浦东新·月考）10世纪阿拉伯天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个观察者异地同时观测同一颗流星来测定流星的高度．如图，设有两个观察者在地球上A、B两地同时观察到一颗流星S，仰角分别是和（，表示当地的地平线）．设，，，地球的半径，则流星的高度约为______________（精确到）． 【答案】 【分析】利用正弦定理，结合三角函数恒等变换求解即可. 【详解】已知弧长，地球的半径，设圆心角为， 则， 仰角，是视线与地平线的夹角，而地平线垂直于地球半径， 视线与半径的夹角分别为， ， 设为流星的高度，则地心到流星的距离， 在中，①， 在中，②， 且③， 设，由①可得， 由②可得， 由③可得， ，， ， ，化简得，解得， ，解得． 【典例2】（2026高一·全国·专题练习）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，则从建筑物的顶端A看建筑物的张角的大小为_____． 【答案】 【分析】先过点A作于点，由勾股定理求出和，再由余弦定理求出，由，即可求出答案． 【详解】如图，过点A作于点， 由题可知，，，， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 因为， 所以． 【变式1】（25-26高一下·全国·单元测试）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向北偏东角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，． (1)求大学与站的距离； (2)求铁路段的长度． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）利用余弦定理进行求解即可； （2）利用正弦定理进行求解即可. 【详解】（1）在中，，且，， 由余弦定理得， ． 所以，即大学与站的距离为． （2）因为，且为锐角， 所以， 在中，由正弦定理得，， 即，所以， 由题意知，所以， 所以，因为， 所以，， 所以， 又， 所以， 在中，， 由正弦定理得，， 即，所以， 即铁路段的长为． 【变式2】（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，一辆汽车从市出发沿海岸一条直公路以的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市500km且与海岸距离为300km的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机． (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到司机手中？ (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75km，快艇应如何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长时间？ 【答案】(1)快艇至少以的速度行驶才能把材料送到司机手中． (2)快艇应以垂直的方向向北偏东行驶． (3)4h． 【分析】（1）画图分析，设后与汽车在C处相遇，再根据三角形中的关系分别表示快艇与汽车所经过的路程，再化简求得快艇速度与时间之间的函数关系，再利用二次不等式的最值分析即可. （2）根据（1）中的结论分析可得汽车与快艇路程构成的三角形中的边的关系，进而求得时间即可. （3）设快艇以的速度沿行驶，后与汽车在E处相遇，同（1）中的方法求得三角形各边的关系分析即可. 【详解】（1）如图，设快艇以的速度从B处出发，沿方向行驶，后与汽车在C处相遇， 在中，,,,为边上的高，， 设，则,，由余弦定理，得， 即，整理得 ， 当，即时取等号，因此， 所以快艇至少以的速度行驶才能把材料送到司机手中. （2）由（1）知，， 在中，,，， 由余弦定理，得，因此， 所以快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角为90°. （3）如图，设快艇以的速度沿行驶，后与汽车在E处相遇， 在中，,,,， 由余弦定理，得，解得或， 而，取，,,， 所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要4h. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·全国·课后作业）若，则三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用余弦定理角化边题设条件即可求解. 【详解】若，则由余弦定理得， 整理得，即， 所以三角形的形状为直角三角形. 故选：A 2．（25-26高一下·全国·课后作业）设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．2或4 B．3 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据题意结合余弦定理运算求解即可. 【详解】因为，，， 由余弦定理可得，即， 可得，解得或． 故选：A. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知的三边满足，则（   ） A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】C 【分析】可设，，，再借助余弦定理计算出即可得解. 【详解】由的三边，，满足， 可设，，（）， 则， 所以角是钝角，故是钝角三角形． 故选：C． 4．（25-26高一上·北京东城·期末）在中，若，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦定理可得出关于的方程，即可解得的长. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去），故. 故选：D. 5．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）已知的面积为且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】运用三角形面积公式，结合特殊角的正弦值进行求解即可. 【详解】，， 因为， 所以或． 故选：CD 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2026高一·全国·专题练习）已知的面积，角的平分线交于，，，则________． 【答案】1 【分析】由三角形的面积公式可得，由角平分线定理可得，进而得，，在中，求得，最后在中，由余弦定理求解即可. 【详解】依题知， 则有， 由角平分线定理可知：， 所以， 所以， 在中，， 所以， 在中，由余弦定理可得：, 即， 解得． 故答案为：1 2．（2026·河南·模拟预测）在中，，，，为边上一点，且平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形角平分线的性质确定的长度，再利用余弦定理求和的长. 【详解】如图： 因为平分，所以，又，所以. 在中，根据余弦定理，可得， 在中，根据余弦定理，， 所以. 3．（25-26高二上·安徽滁州·期末）已知的三个内角所对的边分别为的面积为，角的平分线交边于点，且，则为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】由面积公式及角平分线的性质推导出，再由面积公式求出和，最后由余弦定理计算. 【详解】因为，且角的平分线交边于点， 所以，即， 又，所以，即， 由余弦定理得， 所以，即. 故选：C. 4．（2026高一下·全国·专题练习）在非直角中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，是角的内角平分线，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理、余弦定理将已知关系式进行化简得到， 再由等面积法得到，由二倍角公式得的值. 【详解】由已知和正弦定理得， 则， 为非直角三角形，，， ， ， 即， 又， 所以， ，， ，， ． 故选：A. 5．（2026高一下·福建莆田·专题练习）在中，，为中点，，则面积的最大值为______ 【答案】2 【详解】设，由于， 所以， 故， 所以 ， 故当即时，此时取最大值4，故面积的最大值为2. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2026高一·全国·专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】根据给定等式，利用切化弦思想及和角正余弦公式的逆用变形求得，再利用正弦定理边化角及二倍角公式，借助换元法并由基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，即， 则， 即， 整理得，即， 又，因此，即， 由正弦定理得 ， 由，得，即，则，令， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 2．（多选）（2026高一·全国·专题练习）（多选）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法中正确的有（   ） A．若，，则面积的最大值为 B．若，，则面积的最大值为 C．若角的内角平分线交于点，且，，则面积的最大值为3 D．若，为的中点，且，则面积的最大值为 【答案】BCD 【分析】对A，先由余弦定理得到，再用基本不等式求出AB⋅AC的最大值，最后代入面积公式判断面积最大值；对B，先由余弦定理和b+c=8得到与bc的关系，再用基本不等式求出bc的最大值，最后代入面积公式求最大值；对C，先由角平分线和正弦定理得到b=2c，再代入余弦定理表示，最后通过换元法求面积的最大值；对D，先设BM=x 得到BA=BC=2x，再由余弦定理求出，最后代入面积公式并通过配方求最大值. 【详解】对于A，由余弦定理可得， 即， 由基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，A错误； 对于B，由余弦定理可得， 所以， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即面积的最大值为，B正确； 对于C，设，，则，， 在和中，分别运用正弦定理，得和． 因为，所以， 即，所以，由余弦定理可得， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为3，C正确； 对于D，设，则， 在中，由余弦定理得， 解得，则， 所以 ， 所以当即时，，D正确． 故选：BCD． 3．（2026高一·全国·专题练习）中，，，若边上的点，满足，平分，则的最大值为________． 【答案】/ 【分析】利用角平分线定理结合已知条件设，则有，由得到，利用余弦定理分别求出和，将其代入得到，代入所求得到，利用二次函数的图象和性质求出最大值. 【详解】，，平分，， 设，则有， 是中点，． ，， ， ， ， ， ， ， 抛物线的对称轴为，开口向下， 则当时，取最大值为， 即的最大值为． 故答案为：. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在锐角中，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理将边化为角，结合和差化积及锐角三角形的条件得到，进而求出的范围，再通过三角函数的恒等变换化简及函数的单调性求值即可. 【详解】由正弦定理可知，， 又 ， 所以. 又，所以， 又，所以，所以. 因为是锐角三角形，所以， 所以，即. 又是锐角三角形，所以， 所以，则， 所以． 又在上单调递减，所以， 所以． 故选：B. 5．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）在中，所对的边分别为，已知，则（        ） A．若，则外接圆半径为 B．若，则 C．若为锐角三角形，且，则 D．面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】确定三角形形状并求出外接圆半径判断A；利用余弦定理求出的范围选项B；建立不等式组求出范围判断C；利用余弦定理及三角形面积公式列式，结合二次函数求出最大值判断D. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可知， 设，则，即为直角三角形， 结合，得，则， 外接圆半径为，A正确； 对于B，若，则由，可得， 则，而，即，仅当时取等号， 故，结合，得，B正确； 对于C，，， 为锐角三角形，则，且， 即，解得，即，C错误； 对于D，由，得， 由于，故，即； 而, 而，故 ， 由于时，取最大值， 故的最大值为，即面积的最大值为，D正确. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.7正余弦定理解三角形（期中复习讲义) 内容导航 明。期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01余弦定理解三角形 题型02正弦定理解三角形 题型03面积公式的应用 题型04正余弦定理解三角形综合 题型05正余弦定理判定三角形形状 题型06正弦定理判断三角形解的个数 题型07正余弦定理的边角互化 题型08正余弦定理的应用 过·分层哥验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 正余弦定理解三 能根据已知条件合理选择正余弦定理；掌 核心高频考题，需具备整体分析能力，根据 角形 握边角互化技巧；熟练求解多解或需检验 条件特征选择最优解法 的三角形 正余弦定理判定 利用边角互化将条件转化为边的关系或 中等难度，注意特殊三角形（等腰、直角、 三角形形状 角的关系；结合三角恒等变换判断三角形 等边)的判定条件，避免漏解 形状 正弦定理判断三 掌握己知两边一对角时，通过比较 易错考点，需理解几何意义，结合图形分析 角形解的个数 a、bsinA b的大小关系判断解的个数 更直观 正余弦定理的边 熟练将边化角（用正弦定理）或角化边（用 贯穿所有题型，是解三角形综合题的关键步 角互化 余弦定理)；能识别条件中的齐次式结构 骤，需根据目标灵活选择互化方向 1/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 正余弦定理的应 掌握解三角形在实际问题中的应用（测量、 基础题，注重数学建模素养，需准确理解角 用 航海、几何图形等)；能建立数学模型并 度术语（仰角、俯角、方向角等） 求解 记·必备知识 圆知识点01余弦定理 对三角形△ABC,角A对应的边为a,角B对应的边为b,角C对应的边为c 余弦定理公式：a2=b2+c2-2 bccosA:b2=c2+a2-2 accosB;c2=a2+b2-2abc0sC. 推论：cos4=+a,cosB=a2+c2-2 2bc 2ac .cosC=a2+b2-c2 2ab 局知识点02正弦定理 1、正弦定理的表示 在△4BC中，若角A,B,C对应的边分别是abc,则有a，=b。=c sin A sin B sin C 若△8C外接图半径为R则有1BC2R 2、正弦定理常见变形： sinA=a,sin Cc sin Bb sin Bb'sin A-a'sin c=c asin B-bsin4,asin C-csinA,bsin C=csin B: ②a b a+b a十c b+c a+b+c sin A sin B sin C sin A+sin B sin A+sin C sin B+sin C sin 4+sin B+sin C; 3a:b:c=sinA:sin B:sin C; 3、三角形的边角关系： 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系 a>b台A>B台sinA>sinB→cosA<cosB 局知识点03三角形的面积公式 1.SABC=absinc=bcsinA=acsinB 2、S4ABC=装=(a+b+c)r(r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径.) 局知识点4解三角形 1、解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，己知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形 2、余弦定理在解三角形中的应用 2/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)利用余弦定理求边跟角： 己知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； 己知三边，求三角形的三个角 (2)判断三角形形状 将已知的边角关系全部化为纯边的关系式（利用余弦定理将角换成边），然后进行代数恒等变形。 若a2+b2=c2,则∠C=90°（勾股定理逆定理）。 若a2+b2>c2,则∠C<90°（锐角）. 若a2+b2<c2,则∠C>90°（钝角）。 (3)求三角形边长或角的范围 结合余弦定理与基本不等式（如b2+c2≥2bc)或二次函数性质，确定边或角的取值范围。 3、正弦定理在解三角形中的应用 (1)已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 (2)已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 (3)在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者si的齐次式，可以考虑 用正弦定理。 三角形中的射影定理：在△ABC中，a=bcosC+ccosB;b=acosC十cCosA:c=bc0SA十acosB 同知识点05三角形解的个数 在△ABC中，已知a,b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若A为锐角时： B B a<bsinA a=bsin A bsinA<a<b a≥b 无解 一解 两解 一解 若A为直角或者钝角时： d>D a≤b 一解 无解 局知识点06测量问题 1、测量距离问题：解三角形法测距的关键是将实际问题转化为三角形模型，选择可测数据作为已知量，通 过正弦定理、余弦定理及三角函数的直角边关系逐步求出未知距离。画出清晰图形、选择合适的初始三角 3/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 形是解题的突破口。 (1)两点间不可达又不可视，如图，A、B两点间有障碍物，但分别可以到达A B 和B,并能测量AC、BC及∠ACB 方法：已知两边及夹角(AC、BC、∠C),用余弦定理直接求AB。 (2)两点间可视但不可达，如图，在河一侧A点，要测对岸B、C两点间的距离。 方法：在A处测得∠BAC,及AB、AC中的可测量边（如用直角三角形法测得AB)。 已知两边及其夹角，可用余弦定理求BC。 (3)两点都不可达，如图，A、B两点都不可到达（如河两岸的目标点）。 方法（基线法）：选取可到达的两点C、D构成基线CD(可测长度)，分别在C、D处 测量角度：在C测∠ACB与∠ACD等，在D测∠ADC与∠ADB等 通过多次正弦定理解三角形链： ①在△ACD中由CD及∠ACD、∠ADC求AC或AD。 ②在△BCD或△ABC中继续用正弦定理或余弦定理最终求AB。 2、测量高度问题：利用水平面（或基线）、视线构成的三角形，通过测量角度和可及距离，计算出不可直 接测量的高度。基本关系（在直角三角形中）：高度=水平距离×ta(仰角，其中仰角是观测点与目标顶 端连线和水平线的夹角。 (1)底部可达：利用直角三角形解 (2)底部不可达（仰角在不同位置测两次）：设两次测量点与塔底共线，测得仰、β及两次距离差（或直 接距离)，建立方程求高。 测量高度问题关键：画图、标己知、选三角、列方程。 3、测量角度问题 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 4/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 仰角 垂线 水平线 、俯角 (2)方位角是从指北方向线顺时针转到目标方向线的角 北 C6105 北 B (3)方向角：相对于某一正方向的水平角.例：北偏东，即由指北方向顺时针旋转《到达目标方向. 北 目标 北偏东 a (4)坡角与坡度：坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数；坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比.坡 度又称为坡比 (5)测量角度的核心思想是： 将待测角置于一个或一系列三角形中，通过测量足够数量的边和其他角，利用三角形内角和定理、正弦定 理、余弦定理反推出目标角。 破·重难题型 它题型一 余弦定理解三角形 解|题|技|巧 利用余弦定理来解三角形的情况： :1、已知三边，求任意角。 :2、已知两边和其中一边的对角，可用余弦定理。 3、三角形中有分线的情况，可以考虑用两次余弦定理来处理。 4、余弦定理跟面积公式结合去解三角形的三边 5/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例1】(25-26高一下，全国·课后作业)己知钝角三角形ABC的三边a=k,b=k+2,c=k+4,则k的 取值范围为 【典例2】（多选）(25-26高一下.全国.单元测试)在ABC中，已知a4+b+c=2c2(a2+b2),则角C的 可能值为() A.45° B.60 C.135° D.120° 【变式1】(2026高一·全国.专题练习)ABC中，AB=2√2，BC=√5，A=45°，∠B为ABC中最大 D为4C上-点，AD)DC,则BD A.2V5 B.3V2 C.5 D.25 【变式2】(25-26高一下·全国·课后作业)在锐角三角形ABC中，a、b、C分别为内角A、B、C所对的 边，者a+c=5,B-骨，且a>c,b=万，求丽C的值， 题型二正弦定理解三角形 答|题|模板 正弦定理解三角形的情况： 1、已知两角和任意一边，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 2、己知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，推荐使用正弦定理 3、在解三角形题目中，遇到题目条件含有边角的时候，若含有边的齐次式或者s的齐次式，可以考虑用 正弦定理。 3 【典例1】(25-26高一下全国单元测试)在48C中，已知cosM=亏兮，cosB= 3,6=3,则c= 【典例2】(25-26高一下·全国课堂例题)在ABC中，若A=60°，a=3,则 a+b+c sinA+sinB+sinc=（） 4. 8v3 B. 2V39 C.28V5 D.2W3 3 3 3 【变式1】（多选)(25-26高一下·全国，单元测试)在4BC中，sinC+sinA-B)=3sin2B.若C= 3 则a等于() A.3 B3 C.2 D.3 6/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(2026高一下全国专题练习)在4BC中，已知8=60°，最大边与最小边的比为5+1，则三 2 角形的最大角为() A.60° B.75° C.90° D.115° 巴题型三 面积公式的应用 答|题模板 三角形面积公式的应用情况： 1、已知两边及夹角，直接用SAABC=absinC=bcsinA=专acsinB 2、己知三边，可先用余弦定理求出角，然后再用面积公式求面积 3、1 最值问题：利用面积公式转化为函数，用均值不等式或三角函数求最值。 【典例1】(25-26高一上·浙江湖州期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=2B, c=2b=2,则ABC的面积为() A.5 B.1 c.3 2 D. 【典例2】(2026高一下·全国.专题练习)己知ABC的内角为A,B,C满足 sn(8+C-小+sn4+C-创+sm(4+B-C=且48C的面积为2，则48C外接面积等于 【变式1】(2026高一·全国专题练习)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,记其面积 4S 为S、周长为L, =a2cosB+abcosA,b=3,则的最大值为 tan B 【变式2】(2026高一，全国专题练习)已知ABC的外接圆半径为R,角A,B,C所对的边分别为Q, 3 B,c,asin BcosC+csinC= 尺，则4BC面积的最大值是 它题型四正余弦定理解三角形综合 答|题模板 1、边角互化：正弦定理将边化为角的正弦，或将角的正弦化为边，常用于齐次式、比例式。余弦定理将边 与角余弦联系，适合已知三边或两边及夹角。 2、方程联立：面积公式常与正余弦定理联立，形成关于边或角的方程组。 3、多解判断：己知两边及对角时，用正弦定理先求角，注意可能对应一解、两解或无解。 【典例1】(2026高一·全国.专题练习)在ABC中，AD为BC上的中线，AB=1,AD=5,∠ABC=45°， 则sin∠ADC= AC= 7/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】(25-26高一上黑龙江哈尔滨期末)4BC所对的三边为ab.cb2+c2=42,则sin(B+9的最 sin BsinC 小值 【变式1】(25-26高一下·全国课堂例题)在锐角ABC中，b2-a2=aC,则 11 的取值范围是() tan A tan B A.(1,+∞ c.(,5 D ,26 3 【变式2】(2026河南南阳模拟预测)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 1 1 =√3，sinA+sinC= 6,则=) sinB tanB ac A.5 B.2 C.3 D.4 题型五 正余弦定理判定三角形形状 答|题模|板 将已知的边角关系转化为统一的边或角的关系，再判断形状。 1、观察条件是边的关系、角的关系还是混合。条件为边的等式，尝试余弦定理化角。条件含正弦/余弦函数， 尝试正弦定理化边，或直接三角变形。化为最简的边等式或角等式。 2、根据化简结果判断： (1)出现边相等的时候，可判断等腰或者等边。 (2)若a2+b2=c2,则∠C=90°（勾股定理逆定理）。 (3)若a2+b2>c2,则∠C<90°（锐角）。 (4)若a2+b2<c2,则∠C>90°（钝角）。 【典例1】(25-26高一上·全国·课后作业)若ABC的三个内角A,B,C满足cos2A-cos2B=2sin2C,则 ABC是() A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.锐角三角形 【典例2】（多选）(25-26高一下·陕西西安月考)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则能判 定ABC一定是等腰三角形的为() A.acos B=bcos A B.cos BcosC=sin24 2 C.a-b=c(cosB-cos A) D.sin2A+sin2B=2sin Asin Bsin C 【变式1】（多选）(25-26高一下·全国月考)在ABC中，若(a-ccosB)sinB=(b-ccosA)sinA,则 8/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ABC的形状为()（多选题） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 【变式2】(25-26高一下·全国·课堂例题)在ABC中，己知 (sin2A+sin2B)(a cos B-bcos A)=sin2A-sin2B)(acos B+bcos A),则ABC的形状为 广题型六正弦定理判断三角形解的个数 答|题|模板 在△ABC中，己知a,b和A时，求B角的时，解的情况如下： 若A为锐角时：根据a与bsinA,.b之间关系判断解的个数。 若A为钝角或直角时：根据a与b之间关系判断解的个数。 【典例1】（多选）(25-26高一下·全国单元测试)根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是 () A.a=8,b=16,A=30°，有两解 B.b=18,c=20,B=60°，有一解 C.a=5,c=2,A=90°，无解 D.a=30,b=25,A=150°，有一解 【典例2】(25-26高一上·上海宝山期末)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C,已知 。=8,B=名要使该三角形有唯一解，则b的取值范国为 【变式1】(2025高一下江苏南京专题练习)在48C中，已知8C-2,B-号，若该三角形有两个解， 则AC的取值范围是· 【变式2】(25-26高一下·全国·课堂例题)已知一三角形中a=25,b=6,A=30°，判断三角形是否有 解，若有解，解该三角形。 它题型七正余弦定理的边角互化 答|题模|板 正余弦定理实现三角形的边角互化，可以用来化简题目中的条件。 (1)利用正弦定理进行边角互化，需要对等式中的每项进行统一变换。 (2)利用余弦定理，化角为边。 【典例1】(2026湖南永州二模)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足 b-2a+4asin24+B=0,则() 2 A.角C为锐角 B.2a2+2b2-c2=0 9/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.2tand tanC =0 D.tanB的最大值为 3 【典例2】（多选）(25-26高三上湖北期中)ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C且 cosC=2a-c,下列说法正确的是(） cosB b AB=号 B.若b=2且ABC有唯一解，则0<a≤2 C.若sinC=√2sin4,则b=a D.若b=2,则ABC面积最大值为1+√2 【变式1】（多选）(2026江西·一模)在ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 sin4+sinB=1+cos'C,cosBcosC= 2, ABC的面积为1，则() π A.bc=2 B.A=3 C.cosC cos(A-B)D.bcosC+ccosB=2 【变式2】（多选）(2026辽宁抚顺一模)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC外接圆的半径 为2，且acosB+bc0sA=c(4cosA-1),则下列结论正确的是() A.A=I 6 B.a=23 C. ABC面积的最大值为3√5 D.若b-c=2,角A的平分线交BC于点D,则4D=4W5 它题型八正余弦定理的应用 答|题|模|板 正余弦定理的应用在测量高度、距离、角度问题上，构造三角形，应用解三角形的思想来求解。 【典例1】（25-26高一下·上海浦东新·月考)10世纪阿拉伯天文学家阿尔·库希设计出一种方案，通过两个 观察者异地同时观测同一颗流星来测定流星的高度.如图，设有两个观察者在地球上A、B两地同时观察到 一颗流星S,仰角分别是a和阝(MA,MB表示当地的地平线).设a=30°，B=45°，AB=500km,地球 的半径R=6371km,则流星的高度约为 km(精确到1km). 10/14