专题2.9 解三角形中的中线、角分线、垂线问题7大题型（期中复习讲义）高一数学下学期人教A版

画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题2.9解三角形中的中线、角分线、垂线问题（期中复习 讲义) 内容导航 明。期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01解三角形中的求中线 题型02解三角形中的求中线范围 题型03解三角形中的求角分线 题型04解三角形中的求角分线范围 题型05解三角形中的求高线 题型06解三角形中的求高线范围 题型07解三角形中的求其他分线 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 求中线及取值范 掌握向量法（中线向量等于两边向量和的 高频考点，常在解答题第二问出现，与边长 围 ·半)和补角余弦法（邻补角余弦值互为 角度结合考查最值问题，向量法是高一阶段 相反数)两种核心解法；能求中线长及中 重点掌握的方法 线取值范围 求角分线及取值 熟练运用角平分线定理（分对边成比例） 中等难度，常与余弦定理结合考查，角平分 范围 和面积法（总面积等于两小三角形面积之 线定理是转化比例关系的关键，需注意比例 和)建立方程；能求角平分线长及取值范 与面积的对应 围 求高线及取值范 掌握面积法（等面积求高）和直角三角形 基础题型，常作为求面积或最值的中间步骤， 围 法（已知角的正弦直接求高）；能求高线 面积法最通用，需熟练掌握正余弦定理求面 1/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 长及取值范围，理解高线的几何意义 积 求其他分线 理解面积比等于分线段比（等高时）或等 拓展内容，重点掌握面积比法和坐标法 于边长乘积比（等角时）；掌握用向量线 性表示分线的方法；能处理定比分点问题 记·必备知识 同知识点01解三角形中的中线模型 1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和： B D 换成三角形的中线，则有AD12=引AB2+引BC2-引BC 2、可以通过向量法Ai=(A+AC,两边平方后可得AD12=(AB2+|AC2+2AB川AC|COSA) 局知识点02解三角形中的角分线模型 1、 面 积 法 如 图三 角 中 S△ABc=S△4BD+S△ADc台引AB|AC|sinA=引AB|AD|sina+ADAdsinB A B D 化简有sin(a+B)=ADI(器+器) 2、角分线张角定理：若AD为角分线，则a=B,则化简上式有cosa=AD品十扁)》 3、斯库顿定理：若AD为角分线，有AD2=AB·AC-BD·DC, 局知识点3解三角形中的高模型 2/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1、如图AD为BC边上的高线，则有AD=AB·sin∠B=AC·sin∠C 2、利用面积公式有：AD·BC=AB·AC·sin∠BAC 破·重难题型 题型一 解三角形中的求中线 解题|技巧 中线将三角形分成两个小三角形，通过在两个小三角形中分别使用余弦定理，建立中线与两边及夹角 的关系。常用方法： :1、在包含中线的两个小三角形中，利用邻补角互补（余弦值互为相反数），联立方程求解中线长度。 :此法适用于已知两边及其夹角，或已知两边及第三边的情形。 2、向量法：若已知两边向量，中线向量等于两边向量和的一半，两边平方即可得中线长的平方表达式， 直接转化为已知边角的关系。 【典例1】(25-26高一下·福建宁德月考)在ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,满足 a cos C+- c=b (I)求A; (2)若a=√3，ABC的面积为5，且b>c,求b、C: (3)在(2)的条件下，D为BC的中点，求中线AD的长 【典例2】(2026四川绵阳·模拟预测)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知 a sin B=√3 bcos A,c=6,a=√7b (I)求b的值； (②)若D是BC边的中点，求AD的值. 【变式1】(2026四川模拟预测)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 cos2A-2v2cos(B+C)=2. (I)求A; 2若b=35,cosC=5,求AB边上中线的长 5 【变式2】(2026陕西·二模)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠BAC=120°，AD为 ∠BAC的角平分线，且AD=2. 3/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)若sinB=2sinC,求a的大小； (②)设M为BC中点，连接AM,△ABC面积取得最小值时，求线段AM的长度. 它题型二解三角形中的求中线范围 答|题模|板 在三角形问题中，求中线的范围问题，先用三角形的边长表示出中线长，然后根据正弦定理把边表示成角 的三角函数形式，在通过化简或者换元等方法求得最值跟范围，在求解的过程中注意角的取值范围。 【典例1】(25-26高三下.福建厦门·月考)己知a,b,c分别为ABC的内角A,B,C所对的边，a=2且 3asin C+acosC=b+c (1)求A; (②)已知D是边BC的中点，求AD的最大值 【典例2】(25-26高三下·湖北孝感开学考试)己知a,b,c分别为ABC的内角A,B,C所对的边，a=2且 2cosC+23sinC-b-c=0. )求A: (②)已知D是边BC的中点，求AD的最大值. 【变式1】(25-26高三上·重庆月考)在ABC中，内角A、B、C的对边分别为Q、b、c,且 0=25 (I)求角B: (②)若ABC是锐角三角形，c=4,D为AC边中点，求BD的取值范围， 【变式2】(24-25高一下·重庆期末)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=3, sin2A-sin2 B-sin2 C=sin BsinC, (1)求角A的大小： (2)求ABC周长的最大值： (3)若BC中点为D,求AD的最小值 题型三 解三角形中的求角分线 答|题模板 利用角平分线定理将对边分成与邻边成比例的两段，再结合余弦定理或向量法建立方程求解。 常用方法一：在角平分线分出的两个小三角形中，分别用余弦定理表示邻边与角平分线的长度，结合两邻 4/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 补角余弦值互为相反数的关系，联立消元求解。 常用方法二：利用角平分线性质，将大三角形面积拆分为两个小三角形面积之和，通过面积公式建立方程， 直接解出角平分线长度。 适用范围：已知两边及夹角、已知三边或已知其他边角关系时，均可选用上述方法，角平分线定理是转化 比例关系的关键。 【典例1】(25-26高三下·河北沧州·月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 sin B-sin Ac-a sin C a+b (1)求角B的大小： (2)若c=4, ABC的面积为3√5，求ABC的角平分线BD的长度 【典例2】(2026四川宜宾一模)己知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、、c,满足 asinB+√3 bcos4=0. (1)求A: (②)设点D为BC上一点，AD是ABC的角平分线，且b=3、c=6,求AD的长度 【变式1】(25-26高三上·安徽宣城期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 2bcosC 2a-3c (1)求角B的大小： (2)若a=4,AC边上的中线BM长为√3，∠BAC的角平分线AD交BC于点D,求线段AD的长 【变式2】(2025广西柳州模拟预测)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 2b=c+2asin B 、 (1)求A; (2)若a=2V3,△ABC的面积为V3,D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，求AD. 题型四 解三角形中的求角分线范围 答|题|模板 将角平分线长度表示为某个变量（如边或角）的函数，再结合三角形约束条件求该函数的值域。 函数法：利用角平分线公式，将其表达为两边长及夹角（或半角）的式子，再根据已知条件将变量统一为 同一个角（或边），转化为三角函数或基本不等式求范围。 几何法：从几何视角分析，角平分线夹在两边之间，其长度受两边长度和夹角的约束。通过长度的取值范 5/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 围，从而得所求的取值范围。 适用要点：注意三角形的隐含约束（两边之和大于第三边、角度范围），这些限制直接影响取值区间的端 点是否可取。 【典例1】(2026辽宁大连模拟预测)已知锐角ABC中，D为边BC上一点，AD平分∠BAC,且 cosB cosC-cosB b b-c (I)证明：DA=DB: (2)若a=2,求AD长度的取值范围. 【典例2】(24-25高一下·河南月考)在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,C,记ABC的面积为S, 且4s=3(b2-a2-c2） ()求角B的大小： (②)若b=3,BD,BE分别为ABC的中线和角平分线， ①D若ABC的面积为5，求BD的长； (i)求BE长的最大值 【变式1】(24-25高一下·黑龙江哈尔滨月考)在锐角ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满 (sin A-sin C)(sin A+sin C)=sin B(sin A-sin B). (1)求角C; 2求口+办的取值范围： c2 (3)当c=1时，角C的平分线交AB于D,求CD长度的最大值. 【变式2】(24-25高三下·河北保定·开学考试)在ABC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠BAC的平 分线交BC于点D,△ABD,△ACD,△ABC的外接圆的半径分别为R,R2,R,且R,+R,=R (I)证明：BC=2Rsin∠BAC; (2)求∠BAC: (3)若a=2√5，求AD的取值范围 立题型五 解三角形中的求高线 答|题模|板 高线将三角形分成两个直角三角形，利用面积相等或直角三角形的边角关系建立方程。 6/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 面积法：三角形面积等于底乘高的一半，先通过正余弦定理求出面积和对应底边长，直接反推高线长度。 直角三角形法：在高线分出的直角三角形中，利用已知角的正弦或余弦，通过斜边（原三角形的边）直接 计算高线长度。 适用范围：求高线长、高线范围或与高线有关的边角最值问题时，优先用面积法（已知两边及其夹角）或 直角三角形法（已知一角及其邻边）。 【典例1】(25-26高一下·广东·月考)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=2b, A=120°. (I)求cosB的值： (2)若a=4√7，求BC边上的高. 【典例2】(25-26高三下北京开学考试)在ABC中，cosA=- 3asinC=4 (1)求c (②)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得ABC存在，求BC的高. ①a=6:②6sinC=105,gABC面积为10N2. 3 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解 答计分， 【变式1】(2026北京平谷一模)在ABC中，acos B-二b=c,a=7. 2 (1)求A的大小： (②)在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC存在，并求出AC边上的高线的长度. 条件①：b=3; 条件②：asin B=4V5; 条件③：sinB 3v5 14 【变式2】(2026黑龙江哈尔滨一模)在ABC中，内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c, 2c-2a cos B=3b (1)求角A; (2)若a=1,bc=2V3,c>b,求AB边上的高 题型六解三角形中的求高线范围 答|题|模|板 7/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 将高线表示为底边和对应角的正弦的乘积，转化为三角函数的值域问题，或结合底边的取值范围进行估算。 函数法：利用面积相等，将高线用两边及其夹角表示，再根据已知条件将变量统一为同一角或边，转化为 三角函数或基本不等式求范围。 几何法：从几何图形出发，高线长度受顶点到底边距离的限制。通过分析顶点在轨迹（如圆、弧）上移动 时高线的变化趋势，找出最大值与最小值的临界位置（如垂直、共线等极端情况）。 适用要点：注意三角形的存在性约束（如两边之和大于第三边、角度的开闭），这些条件直接影响高线取值 区间的端点是否可取。 【典例1】(25-26高三上河南三门峡期末)己知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (2a+c)cosB+bcosC=0, (I)求B的大小： (2)已知b=√3，BD为AC边上的高，求BD的取值范围. 【典例2】(2025-四川成都二模)在ABC中，角4，B,C的对边分别是a,hc,且S=sinA+2 sin Bcos1 a 2sin A 且b=25, (I)求角B的大小： (②)D为AC过上的一点，BD=3,且，求ABC的面积： (从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答). ①BD是角B的平分线： ②D为线段AC的中点. (3)若ABC为锐角三角形，求AC边上的高取值范围. 【变式1】(25-26高二上·云南曲靖期中)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知 (a-b+c)(sin A+sin B+sinC)=(2+3)csin A. (I)求角B的大小： (2)若b=2,记AC边上的高为h,求h的最大值 【变式2】(24-25高一下.河南鹤壁期末)已知在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 bsin C ccosB=a+ √5 (1)求C: (2)若AB边上的高为h,求的最大值 8/12 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 正题型七， 解三角形中的求其他分线 答|题模板 其他分线（如等分线、从顶点出发的任意分线）通常利用面积比等于分线段比或边长比的关系，结合正余 弦定理建立方程。 面积比法：分线将对边分成若干段，各小三角形面积比等于底边长度比（等高时），或等于边长乘积与夹 角正弦的乘积比，通过面积关系列式求解分线长度或相关边角。 向量法：将分线表示为两边向量的线性组合（系数由分点比例决定)，两边平方后转化为已知边角的关系 式，适用于求长度或范围。 适用要点：关键是根据分点比例正确表达分线向量或面积关系，再结合三角形已有的边角条件（正余弦定 理)联立求解。 【典例1】(25-26高一下·全国单元测试)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,己知 sinA+3cosA=0,a=27,b=2. (1)求C: (②)设D为边BC上一点，且AD⊥AC,求CD的长. 【典例2】(2026新疆乌鲁木齐·二模)在ABC中，BC=3,D在BC上，记LBAD=a,∠CAD=B, sin Csina =2sin Bsin B. (I)求BD: ②若∠B4C=行，AC=5,求4D 【变式1】(2026河北邢台一模)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, sinA:sinB:sinC=2√2：V5:l,点D在边BC上，且sin∠BAD=√5sin∠DAC. (求 DC的值， (2)若5b+c=12,求AD的长. 【变式2】(25-26高三下·江苏扬州开学考试)已知ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C, 且v3c tan A+tan B acosB (1)求角A的大小； (2)若边b=1,c=2,边BC上存在一点D,满足BD=2DC,求AD的长 9/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 过·分层验收 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(2026河南南阳模拟预测)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a2+b2=c2+4,且 ABC的面积为√5 (1)求C; (2)若ABC的外接圆半径为√5，D为AB的中点，求CD的长 2.(24-25高一下·江苏宿迁期中)设a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边，己知 √3 asin C=c(1+cosA). (1)求A; (②)若b=2,c=3,AD是∠BAC的平分线且交BC于点D,，求线段AD的长 3.(25-26高二上广东汕头期末)已知A8C中，AR.C的对边分别为a,久c,且ABC的面积5=5。 46 (1)求C; (2)若a=2,b=5,且B为钝角，求ABC边AB上的高 4.(2025湖南湘潭一模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2c,a=3√7.向量 m=V3b,a,n=(cosA,sinB),m⊥n,点M在边BC上，AM是角A的平分线. (1)求角A; (2)求AM的长. 5.(2025新疆三模)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC+ccosB=2 a cos A, ∠CAB的平分线交BC于点E. (1)求A的大小： (2)若b=6,SBc=3V5，求AE的长。 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(2025-四川成都模拟预测)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2 beosC=e -2ccosB (1)求C; (②)若∠ACB=60,AB边上的中线长为2，点D在AB上，且CD为∠ACB的平分线，求CD的长. 10/12 专题2.9 解三角形中的中线、角分线、垂线问题（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01解三角形中的求中线 题型02解三角形中的求中线范围 题型03解三角形中的求角分线 题型04解三角形中的求角分线范围 题型05解三角形中的求高线 题型06解三角形中的求高线范围 题型07解三角形中的求其他分线 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 求中线及取值范围 掌握向量法（中线向量等于两边向量和的一半）和补角余弦法（邻补角余弦值互为相反数）两种核心解法；能求中线长及中线取值范围 高频考点，常在解答题第二问出现，与边长、角度结合考查最值问题，向量法是高一阶段重点掌握的方法 求角分线及取值范围 熟练运用角平分线定理（分对边成比例）和面积法（总面积等于两小三角形面积之和）建立方程；能求角平分线长及取值范围 中等难度，常与余弦定理结合考查，角平分线定理是转化比例关系的关键，需注意比例与面积的对应 求高线及取值范围 掌握面积法（等面积求高）和直角三角形法（已知角的正弦直接求高）；能求高线长及取值范围，理解高线的几何意义 基础题型，常作为求面积或最值的中间步骤，面积法最通用，需熟练掌握正余弦定理求面积 求其他分线 理解面积比等于分线段比（等高时）或等于边长乘积比（等角时）；掌握用向量线性表示分线的方法；能处理定比分点问题 拓展内容，重点掌握面积比法和坐标法 知识点01 解三角形中的中线模型 1、在平行四边形中，对角线的平方和等于四边的平方和： 换成三角形的中线，则有 2、可以通过向量法,两边平方后可得) 知识点02 解三角形中的角分线模型 1、面积法：如图三角形中， 化简有 2、角分线张角定理：若为角分线，则，则化简上式有 3、斯库顿定理：若为角分线，有， 知识点03 解三角形中的高模型 1、 如图为边上的高线，则有 2、 利用面积公式有： 题型一 解三角形中的求中线 解｜题｜技｜巧 中线将三角形分成两个小三角形，通过在两个小三角形中分别使用余弦定理，建立中线与两边及夹角的关系。常用方法： 1、在包含中线的两个小三角形中，利用邻补角互补（余弦值互为相反数），联立方程求解中线长度。此法适用于已知两边及其夹角，或已知两边及第三边的情形。 2、向量法：若已知两边向量，中线向量等于两边向量和的一半，两边平方即可得中线长的平方表达式，直接转化为已知边角的关系。 【典例1】（25-26高一下·福建宁德·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足. (1)求； (2)若，的面积为，且，求、； (3)在（2）的条件下，D为的中点，求中线的长. 【答案】(1) (2)，. (3) 【分析】（1）根据正弦定理化简等式，进而求得结果. （2）根据三角形面积公式和余弦定理计算即可. （3）先根据余弦定理求出，然后根据余弦定理计算结果. 【详解】（1）因为角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足， 根据正弦定理得，因为， 所以，所以， 化简得，又，所以. 又，所以. （2）由，，得. 由余弦定理，得. 则，所以.又则，. （3）由于，所以根据余弦定理得. 在中，，所以根据余弦定理得 所以. 【典例2】（2026·四川绵阳·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求的值； (2)若是边的中点，求的值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，利用余弦定理列方程求得. （2）利用向量法列方程，化简后求得. 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由，得，所以， 因为，由余弦定理， 则， ， 解得(舍去). （2）因为是边的中点， 所以， 所以， ，所以. 【变式1】（2026·四川·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，，求AB边上中线的长. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）将已知三角等式通过内角和与二倍角公式转化为关于的二次方程，求解角； （2）先利用正弦定理求出三角形各边长度，再通过余弦定理计算边上的中线长. 【详解】（1）在中，，故. 由，得， 即， 即，(舍去，因). 由，，得. （2）由，，得. . 由正弦定理得， 同理，. 设的中点为，则. 在中， ， 故，即边上的中线长为. 【变式2】（2026·陕西·二模）在中，内角所对的边分别为，，为的角平分线，且． (1)若，求的大小； (2)设为中点，连接，面积取得最小值时，求线段的长度. 【答案】(1)； (2)2 【分析】（1）由正弦定理得到，根据，结合三角形面积公式建立关于的方程，再结合余弦定理求解； （2）同（1）建立关于的方程，再结合基本不等式求解最值，进而根据等腰三角形性质求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理得. 因为的角平分线交于点，所以， 由，得， 则， 即，所以. 在中，由余弦定理得， 即； （2）由，得， 得， 化简得，即， 所以，即， 当且仅当时等号成立，取得最小值，面积取得最小值， 此时为等腰三角形，为中点，则既是中线也是角平分线. 即重合，故. 题型二 解三角形中的求中线范围 答｜题｜模｜板 在三角形问题中，求中线的范围问题，先用三角形的边长表示出中线长，然后根据正弦定理把边表示成角的三角函数形式，在通过化简或者换元等方法求得最值跟范围，在求解的过程中注意角的取值范围。 【典例1】（25-26高三下·福建厦门·月考）已知分别为的内角所对的边，且. (1)求； (2)已知是边的中点，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理与两角和的正弦公式求解即可； （2）利用平面向量，余弦定理，以及基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：， 因为， 所以， 因为，所以，所以， 所以，即， 因为，所以，所以，所以． （2）因为，，所以， 因为是的中点，所以， 所以 ， 因为，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立．所以的最大值为． 【典例2】（25-26高三下·湖北孝感·开学考试）已知分别为的内角所对的边，且． (1)求； (2)已知是边的中点，求的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式、三角形内角和定理、辅助角公式进行求解即可； （2）根据平面向量加法的几何意义、平面向量数量积的运算性质，结合余弦定理进行求解即可. 【详解】（1）根据正弦定理有 ． 因为， 所以 ， ， 则有， ． （2）由（1）及余弦定理可知 ，当且仅当时，“”成立． 是的中点，， 两边平方得，即， 由（1）知，代入得， ， ， 所以的最大值为． 【变式1】（25-26高三上·重庆·月考）在中，内角、、的对边分别为、、，且． (1)求角B； (2)若是锐角三角形，，为AC边中点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式可求得的值，则角可求； （2）根据三角形形状先求解出角的范围，再由正弦定理以及两角和的正弦公式表示出并求出其范围，将平方可计算出的范围，则结果可知. 【详解】（1），， 由正弦定理可得， ，， ，则，， 则，所以． （2）由（1）知， ∵为锐角三角形，则，， ，则， 由正弦定理可得， ， 为边中点，， ， ，即． 【变式2】（24-25高一下·重庆·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，， (1)求角A的大小； (2)求周长的最大值； (3)若BC中点为D，求AD的最小值. 【答案】(1); (2); (3). 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出，即可得的大小； （2）利用正弦定理，表示出的周长，利用三角函数求出最大值即可. （3）由（1）得利用基本不等式求得，再根据D为的中点， 得，平方并利用向量数量积的运算律得，即可求得答案. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得，即 ， 因为，所以. （2）由（1）得，且 由正弦定理得：， . ∴当时，的最大值为， ∴周长的最大值是. （3）因为，所以 所以，当且仅当时，等号成立. 即 因为D为的中点，所以, 所以， 即. 所以. 故AD的最小值为. 题型三 解三角形中的求角分线 答｜题｜模｜板 利用角平分线定理将对边分成与邻边成比例的两段，再结合余弦定理或向量法建立方程求解。 常用方法一：在角平分线分出的两个小三角形中，分别用余弦定理表示邻边与角平分线的长度，结合两邻补角余弦值互为相反数的关系，联立消元求解。 常用方法二：利用角平分线性质，将大三角形面积拆分为两个小三角形面积之和，通过面积公式建立方程，直接解出角平分线长度。 适用范围：已知两边及夹角、已知三边或已知其他边角关系时，均可选用上述方法，角平分线定理是转化比例关系的关键。 【典例1】（25-26高三下·河北沧州·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的角平分线的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理将已知等式的角化为边，再结合余弦定理求出角； （2）先根据三角形面积公式求出 的值，再利用角平分线的性质和三角形面积公式求出角平分线的长度. 【详解】（1）由正弦定理可得：，即 ，化简可得， 由余弦定理 . 因为 ，所以 . （2）根据三角形面积公式 ，可得：， 即 ，化简可得 ，解得 . 因为 是角平分线，所以 . 由 得：. ， 解得 . 【典例2】（2026·四川宜宾·一模）已知的内角A、B、C的对边分别为，满足． (1)求A； (2)设点D为上一点，是的角平分线，且、，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理进行边化角，然后利用正切函数即可得到答案； （2）利用三角形的面积关系解出即可． 【详解】（1）已知， 由正弦定理得， ，， ，即， ，又， ； （2） 是的角平分线， 由（1）知，，则， 因为， 则， 因为，，即有， 故． 【变式1】（25-26高三上·安徽宣城·期末）在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若边上的中线长为的角平分线交于点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合诱导公式及两角和正弦公式得出，应用角的范围求出角； （2）先根据中线得出，再左右两边平方结合余弦定理得出为直角三角形，最后应用两角和正弦公式及正弦定理计算求解. 【详解】（1）根据题意，且， 由正弦定理得， 化简得，因为， 所以，又， 所以； （2）根据题意，在中，边上的中线长为， 得， 两边平方得 化简，故有， 解得（舍去）或. 在中，， 又，故为直角三角形， 在中，，所以， 又， 所以根据正弦定理得 ， 解得. 【变式2】（2025·广西柳州·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)若的面积为为BC上一点，AD为的平分线，求AD. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，进而利用和差角公式化简可求； （2）由的面积为得，再由余弦定理得，从而可得，再由面积公式可得解. 【详解】（1）根据题意， 则由正弦定理得， 即， 即， 化简得， 因为，所以， ∴，由于， 则； （2）根据题意，的面积为即， 则， 又根据余弦定理，，则， 所以，即， 又由的面积， 所以. 题型四 解三角形中的求角分线范围 答｜题｜模｜板 将角平分线长度表示为某个变量（如边或角）的函数，再结合三角形约束条件求该函数的值域。 函数法：利用角平分线公式，将其表达为两边长及夹角（或半角）的式子，再根据已知条件将变量统一为同一个角（或边），转化为三角函数或基本不等式求范围。 几何法：从几何视角分析，角平分线夹在两边之间，其长度受两边长度和夹角的约束。通过长度的取值范围，从而得所求的取值范围。 适用要点：注意三角形的隐含约束（两边之和大于第三边、角度范围），这些限制直接影响取值区间的端点是否可取。 【典例1】（2026·辽宁大连·模拟预测）已知锐角中，为边上一点，平分，且． (1)证明：； (2)若，求长度的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式化简得出，再结合角的范围得出，最后应用等角对等边即可证明； （2）先应用正弦定理结合角平分线性质计算化简，再换元设，，结合正弦函数值域及单调性计算求解. 【详解】（1）由与正弦定理可得 展开得， 所以，即得， 由于为锐角三角形，和均在内， 则或， 当时，因，则，即得，此时题设条件不满足，舍去. 故，又平分，所以． 故．    （2）由（1）知，则． 因为为锐角三角形， 所以 解得 已知，由正弦定理，得 因平分，则 设，则，且由（1）知， 则得（*） 因， 则， 设，由，得，则． 由可得， 又函数在上单调递增， 故，即. 【典例2】（24-25高一下·河南·月考）在中，内角的对边分别是，记的面积为，且. (1)求角的大小； (2)若，，分别为的中线和角平分线. （i）若的面积为，求的长； （ii）求长的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据三角形的面积公式结合余弦定理即可得解； （2）（i）先根据三角形的面积公式求出，再利用余弦定理求出，再向量化求解即可； （ii）利用等面积法将用表示出来，再利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，进而可得出答案. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 又因为，所以； （2）（i）由，得， 由余弦定理得， 所以， 因为为的中线， 所以， 则， 所以； （ii）由余弦定理得， 所以， 因为为的角平分线，所以， 由，得， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 所以当时，取得最大值， 即长的最大值为. 【变式1】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在锐角中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)求的取值范围； (3)当时，角的平分线交于，求长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，再利用余弦定理，求得，进而求得的大小； （2）由正弦定理，可得，根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的性质，即可求解； （3）设长度为，由，求得，得到，再由余弦定理，化简得到， 设，进而求得长度的最大值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，可得，整理得， 又由余弦定理，可得， 又因为，所以. （2）由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，且，可得， 则，可得，则， 所以，即， 所以的取值范围. （3）设长度为， 由，可得， 因为，可得， 所以，可得， 又由余弦定理得，所以， 则， 设 ， 由，可得， 所以长度的最大值为． 【变式2】（24-25高三下·河北保定·开学考试）在中，已知角的对边分别为的平分线交于点，的外接圆的半径分别为，且. (1)证明：； (2)求； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理表示，根据可证明结论. （2）利用正弦定理可得，根据二倍角公式结合三角形内角取值范围可得结果. （3）设，利用等面积法可得，结合余弦定理得，构造函数，根据函数单调性可求的取值范围. 【详解】（1） 在中，由正弦定理得，， ∴，同理得，， ∴，即. （2）在中，由正弦定理得，，∴， ∴，即， 由得，， ∴，故，∴. （3）设，由，得，故. ∵，，∴，故， ∴， 令，则， ∵，当且仅当时等号成立，∴，故， ∵在上单调递增，当时，，当时，， ∴的取值范围是. 题型五 解三角形中的求高线 答｜题｜模｜板 高线将三角形分成两个直角三角形，利用面积相等或直角三角形的边角关系建立方程。 面积法：三角形面积等于底乘高的一半，先通过正余弦定理求出面积和对应底边长，直接反推高线长度。 直角三角形法：在高线分出的直角三角形中，利用已知角的正弦或余弦，通过斜边（原三角形的边）直接计算高线长度。 适用范围：求高线长、高线范围或与高线有关的边角最值问题时，优先用面积法（已知两边及其夹角）或直角三角形法（已知一角及其邻边）。 【典例1】（25-26高一下·广东·月考）在中，角，，所对的边分别为，已知，． (1)求的值； (2)若，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求解即可. （2）利用三角形面积公式，利用等积法求解即可． 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得， 得到，故. （2）由（1）可知，因为，所以，， 设边上的高为h，则，可得，   故边上的高为． 【典例2】（25-26高三下·北京·开学考试）在中，． (1)求c； (2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC的高． ①；②；③面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）由平方关系得出的值，再由正弦定理即可求解的值； （2）若选①，可得和都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理、平方关系求得及，进一步由求得高，并说明此时存在即可；若选③，首先根据三角形面积公式求得，再根据余弦定理可求得，由此可说明存在，且可由等面积法求解边上的高. 【详解】（1）因为，，所以， 由正弦定理有，解得. （2）如图所示，若存在，则边上的高为， 若选①，，因为，所以，因为，此时有两个钝角，故不存在，故边上的高也不存在； 若选②，，由正弦定理有，解得， 此时，， 而，，，， 所以，可以唯一确定， 此时、也可以唯一确定，故存在，且边上的高； 若选③，的面积是，则， 解得，由余弦定理可得， 进一步由余弦定理可得、也可以唯一确定，即、唯一确定， 此时存在，且边上的高满足：，即. 【变式1】（2026·北京平谷·一模）在中，． (1)求的大小； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，并求出边上的高线的长度． 条件①：； 条件②：； 条件③： 【答案】(1)； (2)选②，不存在；可选条件①或③，答案均为 【分析】（1）由正弦定理和诱导公式化简，结合特殊角三角函数值得到答案； （2）选择①，利用余弦定理进行求解；选择②，由正弦函数单调性得到角的大小，从而三角形不存在；选择③，由同角三角函数关系，诱导公式和正弦和角公式进行求解 【详解】（1）在中，，由正弦定理可得． 因为，所以． 故， 所以． 因为，，所以， 因为，所以； （2）条件②：， 又，故，且为锐角， 因为，故， 此时，不合题意，此时不存在；故不能选②； 选条件①：， 由余弦定理，得， 即，解得：，负值舍去， 则边上的高线． 选择③：， 因为，且为锐角，则， ， 则边上的高线． 【变式2】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，内角，，所对的边长分别是，. (1)求角； (2)若，，，求AB边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理得，，通过角的转化及两角和的正弦公式化简即可求得； （2）根据余弦定理得到的值，联立可解得，进而可判断的形状，从而求解. 【详解】（1）因为， 根据正弦定理得，. 因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以. （2）根据余弦定理得，， 将，代入上式整理得，， 又因为且，解得，， 所以，所以为以AB为斜边的直角三角形， 所以斜边AB上的高为. 题型六 解三角形中的求高线范围 答｜题｜模｜板 将高线表示为底边和对应角的正弦的乘积，转化为三角函数的值域问题，或结合底边的取值范围进行估算。 函数法：利用面积相等，将高线用两边及其夹角表示，再根据已知条件将变量统一为同一角或边，转化为三角函数或基本不等式求范围。 几何法：从几何图形出发，高线长度受顶点到底边距离的限制。通过分析顶点在轨迹（如圆、弧）上移动时高线的变化趋势，找出最大值与最小值的临界位置（如垂直、共线等极端情况）。 适用要点：注意三角形的存在性约束（如两边之和大于第三边、角度的开闭），这些条件直接影响高线取值区间的端点是否可取。 【典例1】（25-26高三上·河南三门峡·期末）已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式转化为关于角的三角函数关系，进而求解. （2）利用正弦定理和三角形内角和定理，将高表示为角的函数，再利用三角函数性质求其范围． 【详解】（1）由， 用正弦定理得， 化简得：， 又, 从而，， 得又. （2）由正弦定理得: , 所以 , 在 中， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ． 【典例2】（2025·四川成都·二模）在中，角的对边分别是，且，且． (1)求角的大小； (2)D为AC过上的一点，，且_____，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． ①BD是角B的平分线； ②D为线段AC的中点． (3)若为锐角三角形，求AC边上的高取值范围． 【答案】(1)； (2)选①②，答案均为； (3) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，又，所以； （2）若选①，利用三角形面积公式和得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积； 若选②：由题设，平方得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积； （3）由正弦定理和三角恒等变换得到，为锐角三角形，求出，从而得到，设边上的高为，由三角形面积公式求出. 【详解】（1）在中，， 结合正弦定理可得：． 由得， ， ∴， ∴， ， 又，，又，所以； （2）若选①：由平分得：， ，即． 在中，由余弦定理得，则， 联立，得，解得， ； 若选②：由题设， 则， 即，所以，   在中，由余弦定理得，则， 联立，得， ． （3）由正弦定理得，故， 故 ， 由于为锐角三角形，故，故， 因此，， 因此， 设边上的高为，， 所以. 【变式1】（25-26高二上·云南曲靖·期中）在中，内角所对的边分别为，已知． (1)求角B的大小； (2)若，记边上的高为，求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由正弦定理化简得，再由余弦定理即可得解； （2）由三角形面积公式可得，结合正弦定理及三角恒等变换得，即可得解. 【详解】（1）根据正弦定理可得，化简整理得， 由余弦定理得，因为，故； （2）由，得，又， 所以 ， 在三角形中，故， 当，即时，. 【变式2】（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知在中，内角的对边分别为且. (1)求C； (2)若AB边上的高为h，求的最大值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再用内角和消元化简，即可得，从而得解； （2）利用等面积法把转化为边的关系，再利用余弦定理结合不等式即可求最大值. 【详解】（1）由及正弦定理得 ， 所以， 因为，所以，所以， 所以，又因为，所以. （2）因为，AB边上的高为h， 由三角形的面积公式得，所以. 由余弦定理得， 当且仅当时取等号，所以， 即的最大值为. 题型七 解三角形中的求其他分线 答｜题｜模｜板 其他分线（如等分线、从顶点出发的任意分线）通常利用面积比等于分线段比或边长比的关系，结合正余弦定理建立方程。 面积比法：分线将对边分成若干段，各小三角形面积比等于底边长度比（等高时），或等于边长乘积与夹角正弦的乘积比，通过面积关系列式求解分线长度或相关边角。 向量法：将分线表示为两边向量的线性组合（系数由分点比例决定），两边平方后转化为已知边角的关系式，适用于求长度或范围。 适用要点：关键是根据分点比例正确表达分线向量或面积关系，再结合三角形已有的边角条件（正余弦定理）联立求解。 【典例1】（25-26高一下·全国·单元测试）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，． (1)求； (2)设为边上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由求得，再由余弦定理求得即可； （2）先由余弦定理求得，再求即可． 【详解】（1）由得． 由，得． 由余弦定理，，，， 代入并整理得，故． （2）在中，已知，，， 则由余弦定理的推论得． 因为，所以为直角三角形，则， 即，解得． 【典例2】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）在中，，D在上，记，，． (1)求； (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，利用面积公式可得，再结合正弦定理及已知条件构建方程求解即可； （2）根据余弦定理解三角形，求出，进而可得，再利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）设，则， 在中，面积， 在中，面积， ，由正弦定理知， 又，，即， ，解得， 即； （2），，，， 在中，由余弦定理：， 即，解得（舍去负根）， ，故， ． 【变式1】（2026·河北邢台·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，点D在边BC上，且． (1)求的值； (2)若，求AD的长． 【答案】(1)1 (2)2 【分析】（1）通过正弦定理建立与的比例关系，结合已知的正弦比和边比求得比值； （2）由条件结合为中点求出边长，再通过余弦定理建立等量关系即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得， 设， 在中，由正弦定理得， 在中由正弦定理得， 因为，则， 所以. （2）由，， 可得，解得，所以， 由（1）知为的中点，， ， ， 因为，则， 即 ，解得. 【变式2】（25-26高三下·江苏扬州·开学考试）已知中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若边，，边上存在一点，满足，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和两角和差的正弦公式，同角关系式求解. （2）法一：由得到，两边平方求出；法二：由余弦定理得到，从而得到.利用正弦定理得到， 由利用三角形面积公式求出. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以，所以，所以. （2）法一： 在边上，且，所以. ， ，， ， 所以， 法二： 由余弦定理得，所以，所以. 因为，所以， 所以，在直角三角形中，. 在和中，分别由正弦定理得： ， 因为，，，所以， 又因为均为三角形的内角，所以， 因为，所以. 由， 得， 即， ，，，， ， . 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2026·河南南阳·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为，且的面积为. (1)求； (2)若的外接圆半径为为AB的中点，求CD的长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用三角形面积公式及余弦定理求解. （2）根据给定条件，利用正弦定理求出，再利用向量数量积的运算律求解. 【详解】（1）在中，由的面积为，得，即， 由及余弦定理得，即， 因此，而，所以. （2）由的外接圆半径为，得，则， 由（1）知，由为AB的中点，得, 则， 所以CD的长为. 2．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）设分别为三个内角，，的对边， 已知. (1)求； (2)若，是的平分线且交于点， 求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合三角函数变换公式，即可求解； （2）根据三角形面积公式，结合（1）的结果，列式求解. 【详解】（1）由正弦定理可知， 所以，即，则， 因为，所以，则， 所以； （2）因为，所以， 则，解得. 3．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知中，的对边分别为，且的面积. (1)求； (2)若，且为钝角，求边上的高. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）利用三角形面积公式列式求解. （2）由（1）及已知得，再利用余弦定理及三角形面积求解. 【详解】（1）在中，由的面积，得， 解得，而，因此或. （2）由为钝角，得必为锐角，即， 由余弦定理得， 此时，B为钝角，符合题意， 设边上高为，由，得. 4．（2025·湖南湘潭·一模）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 向量，,点 M 在边BC上，AM 是角A 的平分线． (1)求角A； (2)求 AM 的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据向量垂直的关系，结合正弦定理边角互化即可求解， （2）由余弦定理以及三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 故， 由正弦定理可得, 由于，所以, 结合,则， （2）由于AM 是角A 的平分线，， 由余弦定理可得，解得， 又, 解得 5．（2025·新疆·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，的平分线交于点E． (1)求A的大小； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，然后利用两角和的正弦公式即可得出答案； （2）结合三角形面积公式求出，然后再利用面积公式列出方程即可得出答案. 【详解】（1）由正弦定理得，， 即， ∵，， ∴ ，即； （2）∵，∴ ，解得， 由，可得， 即，解得． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（2025·四川成都·模拟预测）的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角后，再利用两角和的正弦公式及，得到，再得出的值； （2）由余弦定理得①，又平方可得②，由①②得：，故，根据和面积公式可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 则，又 所以， 因为在中，，所以. （2）由余弦定理得：，即有①； 设为的中点，即，又因为， 所以，即②， 由①，②得：， 所以，所以． 因为为的平分线，所以， 则， 即． 2．（2026·湖北·一模）在中，内角，，所对的边分别为，，，的面积为，是线段上一点，且. (1)求角； (2)若，平分，求. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可得，故可求； （2）由三角形面积公式结合余弦定理可得关于的方程，求出其解后结合角平分线的性质可求. 【详解】（1）由条件，利用正弦定理可得， 因为，所以， 代入上式：， 整理得：，又， 故即，又，所以. （2）由三角形面积公式知，可得， 又，由余弦定理，得， 于是可得或. 因为平分，由角平分线性质，， 且，所以 故的长度为或. 3．（2026·山东·模拟预测）在中，，点在延长线上，． (1)求； (2)若的面积为，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形边长关系利用勾股定理可得三角形各内角度数，设，则利用可得； （2）方法一：根据面积为可求得，再利用余弦定理计算可得； 方法二：根据面积为可求得，可知，再由勾股定理计算可得； 【详解】（1）因为，如下图： 设，则，可得， 所以，. 设，则， 在中，由正弦定理得，，则， 因为，所以， 所以. （2）方法一： 由（1）知，，则，所以. 在中，由余弦定理得， ， 所以． 方法二： 由（1）知，，则，所以，. 所以，在中，由勾股定理得． 4．（2026·河北·一模）在中，. (1)求A; (2)若的周长为20，面积为，D是BC边上一点，从条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段AD 的长. 条件①:AD 是BC 边上的中线；条件②:AD 是的平分线. 【答案】(1)； (2)选择条件，答案见解析. 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式及和差角的余弦公式化简，再利用正弦定理角化边，余弦定理求解. （2）根据给定条件，利用三角形面积公式，结合（1）中信息求出，选择条件①，利用向量数量积运算律求解；选择条件②，利用三角形面积公式列式求解. 【详解】（1）在中，由， 得， 整理得，由正弦定理得， 由余弦定理得，而，所以. （2）令的内角所对边长分别为， 由的面积为，得，则， 由的周长为20，得，由，得， 即，解得， 选择条件①：AD 是BC 边上的中线，则， 所以. 选择条件②：AD 是的平分线，由， 得，则， 所以. 5．（2026·湖南常德·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知且，，均为整数. (1)求； (2)设的中点为，，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一：根据三角形内角和以及三边之间的关系可得，再由正切函数单调性可得，即. 法二：假设，所以，根据正切函数单调递增，所以这与矛盾，即可得出结论； （2）由两角和的正切公式计算可得，利用等量代换联立解方程组计算可得，，也可以根据整数要求讨论得出结论，再求出，，最后利用正弦定理和余弦定理计算可得. 【详解】（1）法一： 在中，因为，所以， 又，所以，所以， 且在内单调递增，所以， 又为整数，所以，即. 法二： 在中，因为，所以， 所以为锐角，， 假设，所以， 又在内单调递增，所以， 又，所以，与矛盾， 所以， 又为整数，所以，即. （2）因为，所以， 即， 且，设，，由，可得 由于，，均为整数且，，解得，或， 解得，即，； （另解：可化为， 由，为正整数，且， 所以，，即，）； 所以，. 在中，由正弦定理得， 所以，. 在中，由余弦定理得； 所以. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高三上·江西南昌·月考）已知函数在上单调递增，在上单调递减，设为曲线的对称中心． (1)求的值； (2)记的角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，，求BC边上的高AD长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦型函数的单调性求出解析式，即可求，然后代入解析式求解即可； （2）利用余弦定理得到，结合三角形面积公式和基本不等式求解即可． 【详解】（1）因为在上单调递增，在上单调递减， 所以且，所以，， 可知，， 又由，可知，所以，故， 由，，可得， 即，， ， （2）， 化简得，因为，所以， 所以，又，所以， 当且仅当时取等号， 所以， 所以，故长的最大值为． 2．（2025·浙江·一模）已知的角的对边是且. (1)求； (2)若为的中线，为的角平分线，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理可得，进而由正弦定理结合三角恒等变换可得，进而可得，进而求得，可求结论；法二：利用余弦定理可得，结合已知可得，可得结论； （2）不妨设，则，利用余弦定理可得，可求得，利用角平分线定理可求得，可求结论.法二：不妨设，则，利用余弦定理可得，可求得，利用面积法求得，可得结论. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得，又， 所以，所以， 所以，由正弦定理可得， 所以，所以， 所以. 因为，，所以, 所以或（舍去），所以. 又因为，所以， 因为，， ， 故. 法二：由余弦定理得，所以， 与联立得，，解得，故. （2）不妨设，则， 在中，， 在中，， 所以，，所以. 由，为的角平分线，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 法二：不妨设，则， 在中，， 在中，， 所以，，所以. 由，得， 所以，所以，得， 所以. 3．（24-25高一下·重庆渝北·期中）在锐角中，内角所对的边分别为，且满足. (1)求角； (2)求的取值范围； (3)当时，角的平分线交于，求长度的最大值. 【答案】(1); (2); (3). 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，再利用余弦定理，求得，进而求得的大小； （2）由正弦定理结合三角恒等变换，可得，根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的性质，即可求解； （3）由三角形面积公式，求得，由变形可得，令，则，利用正弦定理结合三角函数性质可求得，进而利用函数单调性求得长度的最大值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，可得，整理得， 又由余弦定理，可得， 又因为，所以. （2）由（1）可知，，所以， 由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，且，则，解得， 则，可得，则， 所以，即. （3） 如图，由， 可得① 因为，所以， 所以①式：，可得， 由（1）可得， 则，即 ， 所以， 令，则， 因为 ， 由（2）可知，，则， 所以， 因为在上单调递增， 所以时，为最大值， 所以长度的最大值为. 4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求证：； (2)若为锐角三角形，D为AB中点，. （i）求的取值范围； （ii）求CD的取值范围. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)（i）（ii） 【分析】（1）由正弦定理、三角恒等变换即可得证； （2）（i）由三角形是锐角三角形求得的范围可得的范围；（ii）首先得，其次根据正弦定理将表示成的函数，结合的范围即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 而，， 从而， 所以或（舍去）， 所以； （2）（i）因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以的取值范围为； （ii）由已知，， 而， 从而， 由正弦定理有， 所以 ， ， 所以， 设， 所以，所以， 由对勾函数性质可知，在上递增， 所以， 所以，所以的取值范围是. 5．（25-26高三下·安徽阜阳·月考）已知的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知，. (1)求； (2)若角 的平分线交 于点， 在下列两个问题中选择一个作答: ①若， 求的周长； ②若的面积为面积的两倍， 求的长. 【答案】(1) (2)①18；② 【分析】（1）应用正弦定理结合辅助角公式及特殊角计算求解； （2）①应用角平分线结合面积公式计算得出，再应用余弦定理计算求解；②结合面积公式及角平分线计算得出，，再根据余弦定理计算求解. 【详解】（1）因为， 且， 所以， 由正弦定理得 因为， 所以， 即. 因为 ，所以，， 所以. （2）若选择问题①若， 求的周长， 因为角A 的平分线交 于点D， 所以， 由 得 因为， 所以， 即. 由（1） 可知， 结合余弦定理可得， 即， 所以， 即 ， 又因为， 所以， 所以， 所以 的周长为18 . 若选择问题 ②若 的面积为 面积的两倍， 求的长 因为角A 的平分线交 于点D，所以， 所以，， 由 （1）可知， ， 结合余弦定理可得 ， 从而 ， 又， 即， 结合 可得 ，， 设， 由， 所以， 即得 ， ，所以， 解得. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $