7.4　二元一次方程与一次函数 课件 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

4　二元一次方程与一次函数 第1课时　二元一次方程(组)与 一次函数的关系 知识点1 二元一次方程与一次函数的关系 一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相 应的一次函数的图象相同，是同一条_____ 反之，一次函数图象上的任一点的坐标都可看成这个二元一次 方程的一个___． 直线 解 【注意】 判断一个点的坐标是否为某二元一次方程的解，把这个点的横、纵坐标分别代入方程当中，看左右两边是否相等即可． 知识点2 二元一次方程组与一次函数的关系 方程组 的解⇔函数y＝k1x＋b1与函数y＝k2x＋b2的 图象_____________坐标． 【注意】 利用二元一次方程组的解可以求两个一次函数图象的交点；反 之，利用两个一次函数图象的交点，也可以把二元一次方程组 的解求出来． 交点的横、纵 知识点3 用图象法解二元一次方程组的一般步骤 1．先把两个方程化成_________的形式． 2．建立平面直角坐标系，画出两个一次函数的_____． 3．写出两直线的_____坐标(a，b)，则二元一次方程组的解 为 一次函数 图象 交点 考点1 二元一次方程与一次函数的关系 典例1 [2024·古冶区期末]下列图形是以方程2x－y＝2的解为坐标的点组成的图象的是( ) 思路导析 先求出方程2x－y＝2的两个解，再在平面直角坐标系中利用描点连线求解即可． 变式 [2022·陕西]若方程3x－12＝0的解，是一个一次函数的函 数值为5时，对应的自变量的值，则这个一次函数可以是( ) A．y＝3x－7 B．y＝－3x＋12 C．y＝3x－12 D．y＝－3x＋7 考点2 二元一次方程组与一次函数的关系 典例2 [2025·永寿县二模]如图，一次函数y＝2x＋1的图象与 y＝kx＋b的图象相交于点A，则方程组 的解是( ) 变式 [2024·宝丰县期末]如图，l1经过点(0，1.5)和(2，3)，l2经过原点和点(2，3)，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是( ) 考点3 用图象法解二元一次方程组 典例3 利用一次函数的图象解二元一次方程组： 思路导析 先把两个方程化为一次函数的形式，然后在同一坐标系中画出它们的图象，交点的坐标就是方程的解． 变式 (1)在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一 次方程组 的解； (2)求(1)中图象与x轴所围成的三角形的面积． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k1x＋b1，,y＝k2x＋b2)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝b.)) A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝7)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＝－1，,kx－y＝－b)) A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6，,3x－2y＝0)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝6，,3x＋2y＝0)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y＝－6，,3x－2y＝0)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3x＋4y＝6，,3x＋2y＝0)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝5，,3x－y＝2.)) 解：如图， 两个一次函数y＝－eq \f(2,3)x＋eq \f(5,3)与y＝3x－2的交点坐标为(1，1)； 因此方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝5，,3x－y＝2))的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,2x－y＝－1，)) 解：(1)在平面直角坐标系中作出函数y＝－x＋4和函数y＝2x＋1的图象： 因为函数y＝－x＋4和函数y＝2x＋1的图象的交点坐标为(1，3)， 所以二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,2x－y＝－1))的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3；)) (2)由图象得函数y＝－x＋4与x轴的交点坐标为(4，0)， 当y＝0时，即2x＋1＝0，所以x＝－0.5， 所以函数y＝2x＋1的图象与x轴的交点坐标(－0.5，0)， 所以(1)中图象与x轴所围成的三角形的面积为eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4－（－0.5）))×3＝eq \f(27,4). $第2课时　用待定系数法确定 一次函数表达式 知识点 利用二元一次方程组确定一次函数的表达式 步骤： (1)设一次函数的表达式y＝kx＋b； (2)将已知条件代入_________，得关于k，b的二元一次方程组； (3)解方程组得_____的值，进而求出一次函数的表达式． 这种得到函数表达式的方法，叫作待定系数法． y＝kx＋b k，b 考点1 用待定系数法确定一次函数表达式 典例1 如图中的两直线l1，l2的交点坐标可看作是方程组 ____________的解． 思路导析 利用待定系数法求出l1和l2的解析式，然后联立即可． 变式1 [2024·嵊州期末]一次函数y＝kx＋b的图象在直角坐标系中的位置如图所示，这个函数的表达式是( ) A．y＝2x＋4 B．y＝2x－4 C．y＝－2x＋4 D．y＝－2x－4 变式2 已知直线l1：y＝kx＋b与直线l2：y＝－2x没有交点，且 直线l1与两坐标轴围成的面积为4，则直线l1的解析式为________ ________________． y＝－2x ＋4或y＝－2x－4 考点2 二元一次方程组与一次函数的综合应用 典例2 一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车行驶x小时后，记客车离甲地的距离y1千米，轿车离甲地的距离y2千米，y1，y2关于x的函数图象如图所示： (1)根据图象直接写出y1，y2关于x的函数关系式，并分别写出自变量x的取值范围； (2)当两车相遇时，求此时客车行驶的时间； (3)相遇后，两车相距200千米时，则客车又行驶的时间为____小时． 思路导析 (1)根据函数图象数据利用待定系数法求解即可；(2)将(1)中两函数表达式联立成方程组，然后求解即可；(3)根据题意列方程求解即可． 解：(1)设y1关于x的函数关系式为y1＝kx， 因为点(10，600)在该函数图象上， 所以600＝10k，解得k＝60， 即y1关于x的函数关系式为 y1＝60x(0≤x≤10)； 设y2关于x的函数关系式为y2＝ax＋b， 变式1 某长途客运公司规定每位旅客可以免费托运一定重量的行李，超过部分则需缴纳行李托运费．行李托运费y(元)与行李重量x(千克)之间的函数关系如图所示． (1)求y与x的函数关系式； (2)每位旅客最多可以免费托运多少千克行李？ (3)某旅客托运行李100千克，应交多少行李托运费？ 变式2 [新疆中考]A，B两地相距300 km，甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地，其中甲先出发1 h，如图是甲，乙行驶路程y甲(km)，y乙(km)随行驶时间 x(h) 变化的图象，请结合图象信息．解答下列问题： (1)填空：甲的速度为______km/h； (2)分别求出y甲，y乙与x之间的函数解析式； (3)求出点C的坐标，并写点C的实际意义． 解：(1)60； (2)设y甲与x之间的函数解析式为y甲＝ax， 将点(5，300)代入得300＝5a， 解得a＝60， 所以y甲与x之间的函数解析式为y甲＝60x， 同理，设y乙与x之间的函数解析式为y乙＝kx＋b， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x＋4，,y＝x－2)) 因为点(0，600)，(6，0)在该函数图象上， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝600，,6a＋b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－100，,b＝600，)) 即y2关于x的函数关系式为 y2＝－100x＋600(0≤x≤6)； (2)联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝60x，,y＝－100x＋600，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(15,4)，,y＝225，)) 即当两车相遇时，此时客车行驶了eq \f(15,4)小时； (3)令60x－(－100x＋600)＝200，解得x＝5， 5－eq \f(15,4)＝eq \f(5,4)(小时)， 即相遇后，两车相距200千米时，则客车又行驶的时间为eq \f(5,4)小时， 故答案为：eq \f(5,4). 解：(1)设AB所在直线函数关系式为y＝kx＋b. 将A(60，6)，B(80，10)代入y＝kx＋b， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(60k＋b＝6，,80k＋b＝10.))　　解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,5)，,b＝－6，)) 所以y与x的函数关系式为y＝eq \f(1,5)x－6； (2)令y＝0，则eq \f(1,5)x－6＝0，所以x＝30. 即每位旅客最多可以免费托运30千克行李； (3)当x＝100时，y＝eq \f(1,5)×100－6＝14. 即某旅客托运行李100千克应交行李托运费14元． 将点(1，0)，(4，300)代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝k＋b，,300＝4k＋b，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝100，,b＝－100，)) 所以y乙与x之间的函数解析式为 y乙＝100x－100； (3)将y甲，y乙与x之间的函数解析式联立，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝60x，,y＝100x－100，))　　 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2.5，,y＝150，)) 所以点C的坐标为(2.5，150)， 点C的实际意义：甲出发2.5 h时，乙追上甲， 此时两人距A地150 km. $