8.2　认识证明 课件 2025-2026学年鲁教版 （五四制）七年级数学下册

2　认识证明 第1课时　定义与命题 知识点1 定义 _________________________________________的句子叫作定义． 知识点2 命题 ___________________叫作命题． 【注意】 命题不仅是一个完整的陈述句，而且还必须是判断句，通过句子 可以对事物作出肯定或否定的判断． 对名称和术语的含义加以描述，作出明确规定 判断一件事情的句子 知识点3 命题的组成 一般地，每个命题都由_____和_____两部分组成． 命题通常可以写成“___________________”的形式，其中“如 果”引出的部分是_____，“那么”引出的部分是_____． 条件 结论 如果……，那么…… 条件 结论 知识点4 真命题与假命题 1．___________叫作真命题． 2．_____________叫作假命题． 知识点5 反例 要判断一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使之具备 命题的_____，而不具有命题的_____，就可以说明这一命题是 假命题，这种例子通常称为反例． 正确的命题 不正确的命题 条件 结论 考点1 定义与命题的概念 典例1 下列语句中，是命题的是( ) A．连接A，B两点 B．画一条线段等于已知线段 C．过点M画直线PQ的垂线 D．同旁内角不互补，两直线不平行 思路导析 根据命题的定义逐一判断即可． 变式1 下面各个命题中，定义为( ) A．两点之间，线段最短 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在正数前加上符号“－”的数叫作负数 D．今天的天气很好 变式2 [2025·德阳期中]下列语句是命题的有( ) ①你喜欢数学吗？ ②熊猫没有翅膀 ③任何一个三角形一定有直角 ④作线段AB＝CD ⑤无论n是怎样的自然数，式子n2－n＋11的值都是质数 ⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相 平行 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 考点2 命题的组成 典例2 将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： (1)内错角相等，两直线平行； (2)两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等； (3)直角三角形两个锐角互余； (4)同角的余角相等． 解：(1)如果内错角相等，那么两直线平行； (2)如果两个三角形两条边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； (3)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； (4)如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 变式 请将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，再指出命题的条件和结论． (1)同号两数的和一定不是负数； (2)若x＝2，则1－5x＝0； (3)互为倒数的两个数的积为1. 解：(1)如果两个数同号，那么这两个数的和一定不是负数． 条件是两个数是同号，结论是这两个数的和一定不是负数； (2)如果x＝2，那么1－5x＝0. 条件是x＝2，结论是1－5x＝0； (3)如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1. 条件是两个数互为倒数，结论是这两个数的积为1. 考点3 命题的真假 典例3 [2025·顺德区期中]下列命题是假命题的是( ) A．到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上 B．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 C．如果ab＞0，那么a＞0，b＞0 D．三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 思路导析 对各选项进行逐一判断即可． 变式 有下列语句： ①画线段AB　②两个负数的差一定是负数　③同角的余角相等　 ④如果直线a，b不相交，那么a与b平行吗？其中是命题的有 _____，是真命题的有___．(填序号) ②③ ③ 考点4 反例 典例4 举反例说明下列命题是假命题． (1)若x2＝0.16，则x＝0.4； (2)如果∠1＋∠2＝88°，那么∠1≠∠2. 思路导析 根据反例的定义，举出一个例子，令其满足命题的条件，而不具有命题的结论即可． 解：(1)当x＝－0.4时，x2＝0.16， ∴x不一定等于0.4，∴命题为假命题； (2)当∠1＝∠2＝44°时，∠1＋∠2＝88°，此时∠1＝∠2，∴命题为假命题． 变式 举例说明命题“两个无理数a，b的和一定是无理数” 是假命题，a＝___，b＝_______________． eq \r(2) －eq \r(2)(答案不唯一) $第2课时　基本事实与定理 知识点1 公理与定理 1．_____________称为公理． 2．_______________称为证明． 3．_________________称为定理． 【注意】 公理与定理的联系：都是真命题．区别：公理不需证明，定理必须证明． 公认的真命题 演绎推理的过程 经过证明的真命题 知识点2 常用的公理 1．两点确定一条直线． 2．两点之间线段最短． 3．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 4．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两 条直线_____． 平行 5．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 6．_____________________的两个三角形全等． 7．_____________________的两个三角形全等． 8．_____________的两个三角形全等． 两边及其夹角分别相等 两角及其夹边分别相等 三边分别相等 知识点3 证明一个命题的主要步骤 证明一个命题的正确性，要按“_____”“_____”“_____”的 顺序和格式写出．其中“_____”是命题的条件，“_____”是 命题的结论，而“证明”则是由条件(已知)出发，根据已给出 的定义、公理、已经证明的定理，经过一步一步地推理，最后 证实结论(求证)的过程． 已知 求证 证明 已知 求证 考点1 基本事实和定理 典例1 下列语句中，属于基本事实的是( ) A．在直线AB上任取一点E B．两点确定一条直线 C．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 D．内错角相等，两直线平行 思路导析 根据课本给出的常用基本事实判断即可． 变式 下面关于基本事实和定理的联系的说法不正确的是( ) A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性不需证明，定理的正确性需证明 考点2 命题的证明 典例2 命题：角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题，还是假命题？如果是真命题，请证明；如果是假命题，请举一反例． 思路导析 先判断该命题为真命题，然后可画出图示，将该命题的条件和结论分别转化为数学语言，进而利用已学知识证明即可． 解：真命题． 已知：如图，点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E. 求证：PD＝PE. 证明：∵OP平分∠AOB(已知)， ∴∠AOP＝∠BOP(角平分线的定义)． 又∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°(垂直的定义)． 在△POD和△POE中， ∴△POD≌△POE(AAS)， ∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)． 变式 [2025·许昌期中]命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……，那么……”的形式； (2)证明该命题．(要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程) 解：(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行； (2)已知：如图，a，b，c是同一平面内的三条直线，且a⊥c，b⊥c. 求证：a∥b. 证明：∵a⊥c，b⊥c， ∴∠1＝90°，∠2＝90°，∴∠1＝∠2. 又∵∠1和∠2是同位角，∴a∥b. eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PDO＝∠PEO，,∠POD＝∠POE，,PO＝PO，)) $