精品解析：贵州黔南州长顺县民族高级中学2025-2026学年高一下学期第一学月数学学科素养训练试题

长顺县民族高级中学2026年度春季学期 高一年级第一学月数学学科素养训练试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上． 3．选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写．在试卷、草稿纸上答题无效． 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一项符合题目的要求． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集、交集的定义求解即可. 【详解】由于全集，集合，所以， 又因为集合，所以. 故选：B. 2. 已知为第四象限的角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由同角三角函数的平方关系可得，再由同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】因为为第四象限的角，且， 所以， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 3. 已知，点D满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图形结合向量的加法法则可得. 【详解】 . 故选：B 4. 已知向量与的夹角为，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量数量积定义计算可得. 【详解】根据题意可得，又， 可得. 故选：D 5. 已知向量，，若，则（ ） A. 5 B. 15 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示求出，再由向量的加法和数量积的坐标运算即可求出答案. 【详解】若，则，解得：. 所以，所以， 所以. 故选：C. 6. 在菱形中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的几何特征结合向量加法的法则，得，得到，利用余弦定理即可求解. 【详解】在中，连接，根据菱形的几何性质有，有：对边互相平行，四条边均相等， 所以，且，所以，所以， 根据向量加法的三角形法则有，， 所以； 又因为，，所以， 在，，， 由余弦定理有：， 所以. 故选：B 7. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（  ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用向量共线求得m的值，再依据向量数量积即可求得的值. 【详解】记，则，, 则，又，则， 则, 又三点共线，则，解之得， 则 故选：C 8. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象的一条对称轴为 B. 在上单调递增 C. 在上的最大值为 D. 的一个零点为 【答案】A 【解析】 【分析】将利用辅助角公式化简，再利用图像变换关系，求出的解析式，最后利用三角函数的性质判断各个选项即可. 【详解】解：，则， 对选项A，因为，故A错误； 对选项B，因为解得 所以在上单调递增，故B正确； 对选项C，因为，所以， 所以，，，故C正确； 对选项D，，故D正确. 故选：A. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题不止一个项符合题目的要求． 9. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量 D. 与的夹角为锐角 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据数量积公式计算判断B，C，应用模长计算判断B，根据夹角余弦公式计算判断D. 【详解】A：平面向量，则，则，A正确； B：因为， 所以，故B错误； C：在上的投影向量，故C正确； 与的夹角的余弦为 ，所以夹角锐角，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知O为内一点，且其中内角的对边分别为，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则O为垂心 B. 若，则O为外心 C. 若，则O为内心 D. 若，则O为重心 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，因为，故， 整理得， 又， 所以，则， 因为方向的单位向量， 故AO与的角平分线共线，同理BO与的角平分线共线，CO与的角平分线共线， 所以O为的内心，故A错误； 对于B，因为，所以点O到点A，B，C的距离相等，即点O为的外心，故B正确； 对于C，因为，所以， 则，即，则，同理可得， 所以点O为的垂心，故C错误； 对于D，因为，所以， 设D为BC的中点，则，所以点O为的重心，故D正确． 11. 若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数的最大值为2 B. 若，则函数为奇函数 C. 存在，使得 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：整理可得，结合二次函数求最值；对于B：举反例说明即可；对于C：取，代入检验即可；对于D：根据题意结合诱导公式可得，进而可得，运算求解即可. 【详解】因为，可知的定义域为， 对于选项A：当时，， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以函数的最大值为2，故A正确； 对于选项B：当时，则， 令，则，可得， 所以函数不为奇函数，故B错误； 对于选项C：当时，，则， 且对任意，则， 所以，故C正确． 对于选项D：因为， 若， 可得， 则，解得，故D正确． 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：对于BC：对于直接说明比较麻烦的问题时，常取特值，举例说明即可. 第II卷（非选择题） 三、本大题共3小题，共15分．请在答题卡的指定位置作答，超出答题范围的答案无效． 12. 已知单位向量满足，则与的夹角为______________． 【答案】## 【解析】 【分析】将等式两边平方即可. 【详解】因为， 所以， 所以，． 故答案为：. 13. 如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得，C，D两地相距，则电视塔的高度是____________m． 【答案】500 【解析】 【分析】根据题意，设塔高，可得出； 在中，由，则可得出； 在中，结合余弦定理可得出方程，计算即可求出值. 【详解】设塔高，在中，，则， 在中，，则， 在中，，， 由余弦定理可得， 即，解得或（不符合题意舍去）， 故答案为：500. 14. 如图，点为的重心，且，，则的值为___． 【答案】32 【解析】 【详解】设中点为，又，所以， 因为点为的重心，， 则 【点睛】【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法 （1）求平面向量数量积有三种方法： 一是夹角公式； 二是坐标公式：若，则； 三是利用数量积的几何意义. （2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 四、解答题本大题共5小题，共77分．请在答题卡的指定位置作答，超出答题范围的答案无效． 15. 已知平面向量 （1）求的值 （2）计算的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量夹角的坐标运算代入即可求得结果； （2）根据向量坐标运算法则以及模长公式计算即可. 【小问1详解】 易知， 又， 所以， 【小问2详解】 易知， 所以. 16. 在中，内角、、的对边分别为、、，已知，，向量，向量，且与共线． （1）求； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，结合可求出的值； （2）求出角的值，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 因为向量，向量，且与共线， 则，整理可得，因为，解得. 【小问2详解】 因为，，则， 所以，的面积为. 17. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量， （1）用，表示 （2）建立适当的坐标系，使得点C的坐标为，求点M的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据平行四边形的性质以及平面向量的线性运算法则. (2) 以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，满足题意,可求出各点的坐标. 【小问1详解】 由四边形ABCD是平行四边形，BD，AC相交于点O 所以， 因为M为BO中点， 【小问2详解】 如图，以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，由，，，可求得点C的坐标为， 所以，，， 根据中点坐标公式，可求得点M的坐标为 18. 已知向量，，函数． （1）求函数在上的值域； （2）若的内角、、所对的边分别为、、，且，，求的周长的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示求出函数并化简，再根据三角函数的性质求值域作答. （2）由（1）求出，借助余弦定理求出的范围，即可求解作答． 【小问1详解】 （1）依题意，， 由得，， 所以在上的值域为. 【小问2详解】 由得，，，则有，解得， 在中，由余弦定理得，， 当且仅当时取“=“，即有，又因为，则， 因此， 所以的周长的取值范围为． 19. 极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题． 材料1．代数模式极化恒等式：， 公式推导：； 材料2．平行四边形模式：如图a，在平行四边形中，O是对角线交点，则； 材料3．三角形模式：如图b，在中，设D为的中点，则． 推导过程：由． （1）已知中，M为中点，，，求的值； （2）如图1，在边长为2的正方形中，其对称中心O平分线段，且，点E为的中点，求的值； （3）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图2）．某太极八卦图的平面图如图3所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，是圆O的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，．若点P是正八边形边上的一点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由极化恒等式即可求解； （2）由极化恒等式即可求解； （3）连接，根据三角形模式可得，即可求解. 【小问1详解】 如图，由是的中点，， 由极化恒等式可得. 【小问2详解】 如图，连接，由，， 由极化恒等式可得. 【小问3详解】 如图，连接， 因为，， 所以， 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以， 又，则，所以， 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长顺县民族高级中学2026年度春季学期 高一年级第一学月数学学科素养训练试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上． 3．选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写．在试卷、草稿纸上答题无效． 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一项符合题目的要求． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为第四象限的角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，点D满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量与的夹角为，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 5. 已知向量，，若，则（ ） A. 5 B. 15 C. D. 6. 在菱形中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（  ） A. B. 5 C. D. 8. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则下列说法错误的是（ ） A. 的图象的一条对称轴为 B. 在上单调递增 C. 在上的最大值为 D. 的一个零点为 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题不止一个项符合题目的要求． 9. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量 D. 与的夹角为锐角 10. 已知O为内一点，且其中内角的对边分别为，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则O为垂心 B. 若，则O为外心 C. 若，则O为内心 D. 若，则O为重心 11. 若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数的最大值为2 B. 若，则函数为奇函数 C. 存在，使得 D. 若，则 第II卷（非选择题） 三、本大题共3小题，共15分．请在答题卡的指定位置作答，超出答题范围的答案无效． 12. 已知单位向量满足，则与的夹角为______________． 13. 如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为，，在水平面上测得，C，D两地相距，则电视塔的高度是____________m． 14. 如图，点为的重心，且，，则的值为___． 四、解答题本大题共5小题，共77分．请在答题卡的指定位置作答，超出答题范围的答案无效． 15. 已知平面向量 （1）求的值 （2）计算的值 16. 在中，内角、、的对边分别为、、，已知，，向量，向量，且与共线． （1）求； （2）求的面积． 17. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量， （1）用，表示 （2）建立适当的坐标系，使得点C的坐标为，求点M的坐标. 18. 已知向量，，函数． （1）求函数在上的值域； （2）若的内角、、所对的边分别为、、，且，，求的周长的取值范围． 19. 极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题． 材料1．代数模式极化恒等式：， 公式推导：； 材料2．平行四边形模式：如图a，在平行四边形中，O是对角线交点，则； 材料3．三角形模式：如图b，在中，设D为的中点，则． 推导过程：由． （1）已知中，M为中点，，，求的值； （2）如图1，在边长为2的正方形中，其对称中心O平分线段，且，点E为的中点，求的值； （3）“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图2）．某太极八卦图的平面图如图3所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，是圆O的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，．若点P是正八边形边上的一点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $