广西壮族自治区柳州市柳江中学2026-2027学年高二上学期10月自主练习数学试题

2028届高二（上)10月自主练习数学卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. L.已知集合A={x∈N-1≤x≤10，集合B={x(x-3)(x+2)<0,则AIB等于() A.{0,1,2 B.【-1,3) C.{1,2 D.[-2,2) 2.已知空间向量d=(0,2,0),b=(1,0,-1),则(+bb=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.已知双曲线C:号。=1(a>b0)的实轴长为2，且一条新近线夹角为30，则该双曲 线的焦距为() A.8 B.4V5 3 C.4或45 3 D.8或85 3 4.下列说法正确的有() A.直线y=3x-2在y轴上的截距为2 B.过点P(1,2)且在x,y轴截距互为相反数的直线方程为x-y+1=0 C.两条平行直线√3x-y+1=0与2√3x-2y+3=0之间的距离为1 D.过点M(-3,2)且与直线x+2y-9=0垂直的直线方程是2x-y+8=0 5.己知三棱柱ABC-AB,C的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为 V3,AB=2,AC=1,∠BAC=60°，则此球的表面积等于() A.2π B.4π C.6π D.8π 6.设直线I的方程为2x-2cos0+3=0,则直线1的倾斜角a的范围是() A.[0,] ππ B.42 D.[ 7.已知曲线C:x2+y2=4,从C上任意一点P向y轴作垂线PP,P为垂足，则PP的中点M所 在曲线的方程为() B. 4+2=1 试卷第1页（共3页） C. D.+=l 8.函数f(x)= +2a-x-3x<2对任意eR≠x).都有//色)0，则实数 (-a-5)x-2,x≥2 x-x2 a的取值范围为() A.4,- B.「4，-2] C.（-5,-1) D.[-5,-4] 二、多选题多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知曲线C:r+ m-24-m =1，则() A.若曲线C表示圆，则m=3 B.若曲线C表示椭圆，则2<m<4 C.若曲线C表示双曲线，则m<-4或m>2 D.曲线C不可能表示等轴双曲线 10.函数f)=c0s(or+p)1>0,0>00<的部分图象如图所示，下列正确的是（） A.0=2,p=3 B.函数f(x)的图象关于直线x=对称 C.函数y=x+君为偶函数 D.若f)=l,则a+- 11.已知圆C:x2+y2=1,动圆C2的半径为1，其圆心(m,n)在直线1：V3x+y-23=0上，则 () A.若圆C与圆C,相切，则m=2 B.若圆C与圆C,相交，则1<m<2 C.若圆C与圆C,相交于A,B两点，则AB的最大值为1 D.过圆C的圆心(m,n)作圆C的切线，切点为M,N,则直线MN恒过定点 13 26 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 试卷第2页（共3页） 12.经过点M(6,3)且在两坐标轴上截距相等的直线是 13.已知实数a,b满足lg(2a+3b)=lga+lgb,则2a+3b的最小值为 4,已知椭圆C￡+1a>b>0)的左、右焦点分别为、，点P在椭圆C上，直线P听 与椭圆C交于另一点Q,PF=2FQ,∠PQF=∠PFQ,则椭圆C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤， 15.（13分)已知圆C的圆心在直线x+2y-7=0上，且经过点A1,2),B(3,0) (1)求圆C的标准方程： (2)求经过点P(1,6)且与圆C相切的直线方程. 16.(15分)甲乙丙三名同学独立破译一份密码，已知甲能破译的概率为)，乙能破译的概率 为；，丙能破译的概率为好 (1)求三人都破译出密码的概率； (2)求密码被破译（至少一人破译出）的概率： (3)比赛规则：若至少两人破译出密码，则该团队获一等奖，求团队获一等奖的概率. 17.(15分)在锐角aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(b,cosB), n=(2c-a,cosA),且m/n. (1)求角B的大小： (2)若b=√3，D为边AC的中点，求线段BD的长的取值范围. 试卷第3页（共3页） 18.（17分)如图1，在△MBC中，BM⊥BC,A,D分别为边MB,MC的中点，且BC=AM=2,将 △MAD沿AD折起到△PAD的位置，使PA⊥AB,如图2，连接PB,PC. P(M) D 图1 图2 (I)求证：PA⊥平面ABCD: (②)若E为PC的中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值： B)线段PC上是否存在点G,使平面GAD与平面PD的夹角正弦值为5，若存在，求出 PC 的值；若不存在，请说明理由. 四，(17分)已知P3,2)是椭圆C:琴+1a>h>0上的点，O是P关于x轴的对 称点，椭圆C的离心率为 3 (1)求椭圆C的方程： (2)A,B是椭圆上位于直线PO两侧的动点. ①若直线AB的斜率为)，求四边形APBQ面积的最大值， ②当A、B在运动过程中满足∠APQ=LBPQ时，问直线AB的斜率是否为定值，并说 明理由 试卷第4页（共1页） 参考答案 题号 2 3 6 7 8 9 10 11 答案 A D B D D C A A AD ABD BCD 3.B【详解】20=2，a=1.渐近线y=6x,b=5 14 .c2=1+ 2V5 a 3 . 33,c 3 24v3 3 4.D【详解】选项A,令x=0,得截距为-2，A错：对于B,当直线在x,y轴截距为0时，直线为 y=2x:当直线在x,y轴截距不为0时，设+上=1，代入P1,2),:+2=1,a=-,直 a-a a -a 方程为xy+1上0，B错：选项C:由23x-2y+3=0得到V3xy+多0，所以两平行线间的距离 3 1- d= C错：选项D,直线x+2y-9=0的斜率为=y-2=2+3,即 V3+14 2x-y+8=0,D正确 5.D【详解】由已知条件得：。×2×1xsin60×A4=V3,A4=2, gC=份+1C-20x1Cx0os60BC=5,设AMC的外接圆的半径为r,则-2,7= ∴外接球的半径R =√+i=√互，∴球的表面积等于4π(2)}=8π. 6.C【详解】由题意知，当cos0=0时，直线1的斜率不存在，其倾斜角a= 2 当c0s0≠0时，直线1的斜率k=1 0(云小+小所以领斜角ae昏引修 综上，ae44 「π3π 7.A【详解】设P(,y),M(x,y),则x=2x,y=y,因为x2+y=4,所以4x2+y2=4,所以 +=l. 4 8.A【详解】因为对任意X,∈R(任≠5，都有任)<0成立，所是R上的减函数。 X-x2 4+4(a-1)-3a22(-a-5)-2 则{-a-5<0 ,解得4≤a≤-1，即实数a的取值范围为[-4，- 1-a22 9.AD【详解】A:若曲线C表示圆，则有m-2=4-m>0→m=3,本选项正确： m-2>0 B:若椭圆，则有{4-m>0 →2<m<4,且m≠3，所以本选项不正确： m-2≠4-m -m>0'解得m>4,或m<2,所以本选项不正确： m-2>0.m-2<0 C:若曲线C表示双曲线，则有 4-m<0'或 m-2>0 m-2<0 D:若曲线C表示等轴双曲线，则有{4-m<0 或{4-m>0,两个方程组都是空集，所以曲 m-2=-(4-m）-(m-2)=4-m 线C不可能表示等轴双曲线，因此本选项正确， 【详解】由图易知42，又x=0时，/=，所以2cosp=,得到cos0=),又 答案第1页（共5页） 所以o-子又x=及时，)-0，且点侣0在八)的减区间内，所以ox受+骨+2akcZ 1232 得到0=2+24k,kGZ,又由图T2乙>2得到0<0<6，所以o=2,故A正确 对于B,f八-2a@2x+到由2x+行-低keZ,得x=-经keZ,k=1,得到x号B正确 3 62 2π ,C错误， 对于D因为/) =2cos a+ 气)=1，所以cosa+季 π）1 32 又a+=2o2a+ 2π 3 11.BCD【详解】圆心C(0,0),半径为片=1，圆心C2(m,n),半径为5=1，且n=2√3-√3m, 对于A,当圆C与圆C,相内切时，此时圆心距d=-2=0,此时两圆重合，舍去： 当圆C与圆C,相外切时，可得圆心距d=r+2=2,即Vm2+n2=2,将n=2√3-√3m代入，可得 m2-3m+2=0,解得m=2或m=1,所以A不正确； 对于B,若圆C与圆C2相交，则圆心距d满足5-2<d<片+2，即0<Vm2+n2<2,而 n=2V3-√3m, 可得0<4m2-12m+12<4,解得1<m<2,所以B正确： 对于C,如图(1)所示，因为圆C与圆C的半径都是1，则AB是CC2的垂直平分线， 则圆心C0,0)到4B的距离4=C,又因为圆心C(0,0,圆心C,(m.m)在直线1：5x+y-2N3=0, 2 -2V3 可得圆心C(0,0)的距离为d= =3,即CCm=V3, V(V3)2+12 又同的装长公式。可得-2-（≤2-(-1，即的最大值为，所以C正输： 对于D,如图(2)所示，过点C(m,n)作圆C的切线方程l,1,设切点分别为P(x,),Q(x2,2), 可得直线l和1，的方程为xx+yy=1和x2x+y2y=1, 因为l和l相交点C2(m,n),可得 m+,?所以割线P0的方程为mx+y=1, mx+ny=1 又因为n=2√3-V3m,可得m(x-V3y)+23y-1=0,联立方程组 x-3y=0 23y-1=0 解得。店 6 即直线PO恒过定点，，所以D正确 2 6 12.x+y-9=0或x-2y=0 【详解】当直线过原点时，设y=x,代入点 M6,3),得无=所以y=,即x-2y=0: O(C) 当直线不经过原点时，设+y=1,代入点M(6,3), aa 解得a=9,所以直线方程为x+y-9=0. 图(1) 图(2) 13.24【详解】由题意，1g(2a+36)=1ga+1gb=1g(ab),a>0,b>0,则2a+36=ab,即2+3=l, b a 以2a-a+后+}-物923y +12=24,当且仅当a=6,b=4时等号成立， Vb a 14.0【详解】设P四=m,由椭圆的定义可知P四=2a-m,因为P所-2F0, 答案第2页（共5页） 所以0-)P闪=amPg=3a-织，由椭圆的定义可知r0=2a-a+m=a+ , 因为∠P05=∠PF0,所以P@=|Pg→3a-3"m=m→m-g 2 5 于是网0网gP四-FE- 36d216a-4c2 在aPFF中，cos∠FPE,=2525 2x60x4a,在aP05中， 55 36a2,36a264a2 c0s∠QP5,=25T2525 2x SaGa 55 36a216a2 于是有25+254c2 36a2,36a2642 25T2525-→=15→e=05 2g 2x 6a 6a 15 5×5 15.(1)线段AB的中点(2,1)，直线AB的斜率kB= 0-2=-1,…1分 3-1 则线段AB的中垂线方程为y-1=x-2,即y=x-1,…2分 由2y7=0’解得x=3,y=2,3分 因此圆C的圆心C(3,2),半径r=AC=2,…5分 所以圆C的标准方程为(x-3)+(y-2)=4:6分 (2)当切线斜率不存在时，直线x=1与圆C相切，符合题意；…8分 当切线斜率存在时，设切线方程为y-6=k(x-1),即c-y+6-k=0,…9分 3k-2+6- 由 Vk2+1 =2,解得k=子因此方程为3x+4y-27=0,…12分 所以经过点P(1,6)且与圆C相切的直线方程为x=1或3x+4y-27=0.…13分 16.1)记甲、乙、丙破泽出密码分别为事件A,B,C,则P0=P)=PO子且A, B,C相互独立.…2分 三人都破译出密码的概率为P(ABC)=PA)P(BP(O=)Xx;- 23*424…5分 (2)密码被破译（至少-人破译出）的概率为1-P(可)P()P(C=1-×2×3=1-3 23×4 44 …10分 (3)设团队获一等奖为事件D,即至少两人破译出密码，则…11分 P(D)=PABC+P(ABC+PABC+P(ABC)…13分 _1x1x3+1x2x1+1x1x1+1x1x1=3+2+1+1=7 2342342342342424242424' …15分 17.(1)因为ml/n,所以bcosA=(2c-a)cosB.…1分 在△ABC中，由正弦定理得：sinBcosA=(2sinC-sin4)cosB,…2分 展开得：sinBcosA+sinAcosB=2 sinCcosB,即sinC=2 sinCcosB.3分 因为nC0,得cosB-分又Be0引故B-背5分 (2)因为点D是边4C的中点，由向量中线公式：BD=(B1+BC),…6分 两边平方得：BD-4B+Bc+2B1-BC即BD-a+2+ac.…7分 答案第3页（共5页） 因为6=5，B-子由余弦定理得：B=d2+2-2acoB,…8分 测则3=d+c2-ac,故d+c2=ac+3.所以BD2-c+3+ae）-2ac3.…9分 4 因为A+B+C=元，所以M+C=?,即C=-A 3 0<A<π 2 因为△ABC是锐角三角形，所以有 62 …10分 3 又a b =2, sinA sinC sinB ac=4sinAsinC =4sinAsin (2-A=4sin 3 3 cos4+号sin4523sin4c0sA+2sinA-11分 =3sin24+1-cos24=2sin24 +1.…12分 6 由后引2424 所以ac∈(2,3，BD=2ac+379] P(M 4/ 4'41 …14分 故BD的长的取值范围为 V73 2’2 …15分 18.(1)证明：因为A,D分别为MB,MC的中点，所以AD/BC,…1分 又因为BM⊥BC,所以BM⊥AD,所以PA⊥AD,…2分 因为PA⊥AB,且ABO AD=A,AB,ADC平面ABCD,3分 所以PA⊥平面ABCD.…4分 (2)因为PAL AB,PA⊥AD,∠DAB=90°，所以AP,AB,AD两两垂直， 以A为原点，以AB,AD,AP所在直线分别为x,八，2轴，建立空间直角坐标系，…5分 如图所示，可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,1,0),P(0,0,2,E1,1,1), 所以PC=(2,2,-2),DE=(1,0,1),BD=(-2,1,0),BP=(-2,0,2),…6分 BD.n=-2x+=0 设平面PBD的法向量为n=(x,,乙)，则 …7分 BP.n=-2x+2z1=0 取=2，可得x=1,2=1,所以n=(L,2,1),…8分 DE.n 设直线DE与平面PBD所成的角为0，则sinO=cos(DE,n 1+0+1-V3 |V2V1+4+13’ …9分 DE 所以直线DE与平面PBD所成的角的正弦值为 .…10分 3 C3）假设存在实数，使得平面G1D和平面PMD的夹角的正弦值为，即夹角的余弦值为2y5 由(2)得PG=PC=(2,2元，-22)(0≤≤1)，所以 G(22,2,2-2),AD=(0,1,0),AG=(22,2元，2-2)， 由平面PAD的一个法向量为n=(L,0,0),…12分 ADn2=2=0 设平面ADG的法向量为n,=(x2,y2,22),则 AG·n,2=-22x2+2y2+(2-22)z2=0 取z2=九，可得y2=0,x2=1-1,所以n2=(2-1,0,2),…14分 答案第4页（共5页） h1·n2 则有os(,n= 1,0,0)-(-1,0,2)_25 1×V(2-1)2+2 =5，…15分 2-1 2v5 即 亿-12+2 5， 整理得32+22-1=0，解得1=写或2=-小，因为0≤元≤1，所以1=写 1 PG 1 所以存在元=3即 心3，使得平面GAD和平面PAD的夹角的正弦值为5 …17分 9,2 a=25 19.(1)由题意知{a2=b2+c2,解得 b=221 椭圆C的方程为号+片=1：4分 128 c_v3 (a3 (2)①设A(x,y), ,为.直线B的方程为y+(51<5多.…5分 1 y22 x+1 联立 得11x2+12x+122-96=0.…6分 =1 128 A-02-4112r-对>0，由根与系数的关系得+名=片，华-12%.…7分 11 4卡G+-4=《0202r-g=66.…8分 :Q是P关于x轴的对称点，四边形AP0的面积82xx-上3+3.…9分 当1=0时，S1653,…10分 11 ②当∠APQ=∠BPQ时，Q是P关于x轴的对称点，.PA,PB的斜率之和为0，…11分 设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为-k,设直线PA:y-V2=(x-3), 代入椭圆方程，可得(2+3k2)x2+6k(-3k+√2)x+3(-3k+V2)}-24=0.…12分 5+3=6k(32,将k换为-k,可得5+3-63+2.…13分 2+3k2 2+3k2 18k2-12 -12V2k 六4+2+3,6=2+3,14分 .:.k以-y2k(x1+x2)-6k·2+3k2一6k x1-x2x1-x2 -12√2k =2.…16分 2+3k2 故AB的斜率为定值V2.…17分 答案第5页（共5页）