精品解析：山东商河弘德中学2025-2026学年高二下学期开学考试测试卷数学试题

商河弘德中学高二下学期开学考试测试卷 数学试题 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求 1. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用常用函数的求导公式及导数的运算法则计算即可. 【详解】易知， 将代入可得，解得. 故选：B. 2. 已知曲线在处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在处的切线斜率，再结合直线垂直运算求解. 【详解】因为，则，可得， 即曲线在处的切线斜率， 且直线的斜率， 由题意得，解得. 故选：A. 3. 若对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】调整不等式结构，构造函数即可转化问题. 【详解】由可得， 构造函数，其在上单调递增， ∴， ∴，即， 令，， 易知在上单调递减，在上单调递增， ∴，即， ∴， 故选：C 【点睛】关键点点睛：同构函数是解题的关键，调整结构，构造函数. 4. 已知函数在处取得极大值，则（   ） A. 3或1 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据极值点处的导数等于0，求得，代回，通过函数在处是否取得极大值，确定. 【详解】因为函数，定义域为R， 所以， 又因为在处取得极大值，所以，所以或， 若，则， 所以当时，单调递减；当时，单调递增. 所以在处取得极小值，不符合题意，所以； 若，则， 所以当时，单调递增；当时，单调递减. 所以在处取得极大值，符合题意. 综上，. 5. 已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设切点为，切线方程为，求出函数的导函数，即可得到，整理得，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值，依题意有三个零点，即可得到不等式组，从而得解； 【详解】解：设切点为，切线方程为，由，所以，所以， 则，所以， 令，则， 因为，所以当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时取得极大值，当时取得极小值，即，， 依题意有三个零点，所以且，即； 故选：B 6. 函数在区间的最小值、最大值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值. 【详解】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D 7. 若函数，则满足的的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断函数为定义域上的奇函数，且为增函数，再把化为，求出解集即可． 【详解】解：函数，定义域为， 且满足 ， ∴为上的奇函数； 又恒成立， ∴为上的单调增函数； 又， 得， ∴， 即， 解得或， 所以的取值范围是． 故选B． 【点睛】本题考查了利用定义判断函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性问题，考查了基本不等式，是中档题． 8. 设函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由函数奇偶性，求出，得到，进而得到，对其求导，计算曲线在点处的切线斜率，从而可求出切线方程. 【详解】因为函数为奇函数， 所以，故； 所以， 因此, 所以， 因此曲线在点处切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为. 故选C 【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用导数判断出函数极值点，建立不等式，即可求出的取值范围. 【详解】，， 当时，，故在上单调递减； 当或时，，故在上单调递增， 函数在处取得极小值，在处取得极大值． 令，解得或， 函数在上存在最小值，且为开区间， ，解得． 故选：AD. 10. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. 0是函数的零点 B. 函数仅有一个极小值 C. 若，且，则 D. 若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，计算即可；对于B，讨论函数的单调性即可；对于C，对取对数，分析得知只需证明即可，构造函数即可结合导数得证，对于D，将原问题等价转换为函数与图象有一个公共点，且，结合图象即可求解. 【详解】对于选项A，，所以A正确. 对于选项B，当时，，可得，当时，单调递减； 当时，单调递增，所以当时，， 当时，，当时，单调递减；当时，单调递增； 图象如图： 所以，函数的极小值为和，选项B错误； 对于选项C，设，求导得，所以在上单调递增， 所以， 若，则， 因为，在上单调递增，所以，即，选项C正确. 对于选项D，关于的方程有两个不相等的实数根 关于的方程有两个不相等的实数根 关于的方程有一个非零的实数根 函数与图象有一个公共点，且， 由图象易知，或，或， 从而的取值集合为，D错误. 故选：AC. 11. 已知直线与曲线相交于两点，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，构造函数，利用导数判断出单调性即可判断；对于B，写出点处的切线程联立并化简得，即可判断；对于C，根据斜率相等可得，点为两切线的交点代入化简得，再计算可得答案；对于D，根据计算即可判断. 【详解】对于A，令，则， 故时，，单调递增； 时，，单调递减， 所以，且时， 因为直线与曲线相交于两点， 所以与图象有2个交点，如图： 所以，故A正确； 对于B，，不妨设，可得， 在点处的切线程分别为， 则得， 即， 因为，所以，即是变化的，故B错误； 对于C，因为，所以， 因为为两切线的交点， 所以，即 ，所以， 所以 ， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 又因为，， 所以， ， 所以， 得，即， 因为①，所以， 所以，故D正确. 其中不等式①的证明如下：不妨令， 由得，即，令， 则即证， 构造函数，， 所以在上单调递减，所以， 所以不等式成立，即①成立. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知学生会中有人，若没有人同时担任两种职务，那么从这人中选出名主席、名副主席的选法共有______种． 【答案】 【解析】 【详解】本题相当于从10个不同元素中选出2个不同元素进行排列，所以共有种选法. 13. 已知函数，求过点且与曲线相切的方程__________. 【答案】和 【解析】 【分析】设出切点，利用导数的几何意义与直线的点斜式方程可表示出切线方程，再将点代入计算即可得切点坐标，即可得解. 【详解】，设切点为，则切线方程为， 由该直线过点，则，整理得， 即为，解得或， 则切线方程为与， 即为与. 14. 若函数在区间上单调，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数得到函数的极值点，再根据函数在区间上单调判断极值点与区间关系可得. 【详解】， 令， 时，时， 所以在单调递减，在上单调递增， 又函数在区间上单调， 所以或，解得或 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有且仅有一个零点，求的值. 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算法则、直线的点斜式方程进行求解即可； （2）方法一：利用二次求导法，结合零点的定义、函数的最值进行求解即可； 方法二：利用函数零点的定义，得到的表达式，利用构造新函数法，结合导数的正负性与函数单调性的关系，最后求出函数的最值即可. 【小问1详解】 当时，，， 得， 所以曲线在点处切线方程为， 即. 【小问2详解】 方法一：，， ， 令，，得， 故在内单调递增，又， 则当，，得，单调递减， 当，，得，单调递增， 从而在处取得极小值，同时也是最小值， 最小值为. 又当且时，，当时，， 由函数有且仅有一个零点，可得， 则a的值为9. 方法二：，， 令得， 令，， 则， 令，，得， 故在内单调递增，又， 则当，，得，单调递减， 当，，得，单调递增， 从而在处取得极小值，同时也是最小值， 最小值为. 又当且时，，当时，， 由函数有且仅有一个零点，可得， 则的值为9. 16. 1.已知函数. （1）若在处取得极值，求的值及函数的单调区间； （2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分. ①若恒成立，求的取值范围. ②若仅有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为. （2）选择①时，；选择②时， 【解析】 【分析】（1）把代入，然后对求定义域，求导，利用求出求的值，观察出是个增函数进而求出函数的单调区间；（2）对进行同构变形，然后构造新函数求的取值范围 【小问1详解】 定义域为，，在处取得极值，则，所以，此时，可以看出是个增函数，且，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.故的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 ①选择若恒成立， 若恒成立，即，整理为，即 设函数，则上式为： 因为恒成立，所以单调递增，所以 所以，令，.，当时，，当时，，故在处取得极大值，，故1，解得： 故当时，恒成立. ②选择若仅有两个零点， 即有两个根，整理为，即 设函数，则上式为： 因为恒成立，所以单调递增，所以= 所以只需有两个根，令，. ，当时，，当时，，故在处取得极大值，， 要想有两个根，只需，解得：，所以的取值范围为 【点睛】同构变形是一种处理含有参数的函数常用方法，特别是指对同构，对不能参变分离的函数可以达到化简后可以参变分离的效果，非常的好用 17. 已知函数，． （1）若，求的极值； （2）若在区间内有零点，求实数a的取值范围． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，对求导，得出的单调性，即可求出的极值； （2）方法一：分类讨论，和，得出的单调性，利用单调性列出不等式即可求出实数a的取值范围；方法二：分离参数，构造新函数，研究的单调性，求出在的值域，进而求出实数a的取值范围. 【小问1详解】 由函数，则，． 当时，令得， 当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值． 【小问2详解】 方法一：由，， ①当时，，即恒成立， 所以在上单调递减， 要使在内有零点，则，即， 所以． ②当时，令得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 此时，所以需， 所以． ③当时，，即恒成立， 所以在上单调递增， 此时，所以恒成立，不符合条件． 综上可知，a的取值范围为． 方法二：令得， 设，，则， 令，得， 在上递增，在上递减， 且，，， 所以． 18. 已知函数． （1）当时，证明：有且仅有一个零点． （2）当时，恒成立，求a取值范围． （3）证明：． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数探讨函数的单调性，再利用零点存在性定理推理即得. （2）等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出函数的最大值即得. （3）利用（2）的结论得，再赋值并借助不等式性质，等比数列前n项和公式推理即得. 【小问1详解】 当时，函数定义域为，则， 令，则在上恒成立，则在上单调递增， 则，即在上恒成立，在上单调递增， 而，， 所以根据零点存在定理知，有且仅有一个零点． 【小问2详解】 当时，等价于， 令，求导得，令， 则，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则，于是当时，，单调递增， 当时，，单调递减，因此， 所以a的取值范围为． 【小问3详解】 由（2）可知，当时，有，则， 因此， 所以． 【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 19. 已知函数，若方程有三个不同的实数根. （1）求的取值范围； （2）若，求实数的值； （3）证明：. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，得到函数单调性和极值，结合时，，得到； （2）先得到的对称中心为，先由得，再证时，恒成立，结论成立； （3）由（1）知.先利用构造差函数法证明出，再由题意知，又，故，解得，所以成立． 【小问1详解】 ， 令得或，令得， 故在内单调递增，在内单调递减，内单调递增， 的极大值为的极小值为，且时，， 方程有三个不同的根，所以； 【小问2详解】 设，则， 故的对称中心为，恰好是点和点所连线段的中点. 对，都有， 由可得，，解得，需要满足. 下证时，恒成立，即证. 即证，即， 即证， 设，令得，令得， 在上单调递减，在上单调递增， ，从而成立， 所以当且仅当时，恒成立； 【小问3详解】 由（1）知.先证，即证明：， 由于在内单调递增，即证，又， 即证， 设， ， 设，， 在区间内存在零点，设为在区间上单调递减， 在区间上单调递增，，. 所以在上存在零点，在， 在所以在上单调递减，在上单调递增， ， 所以时，，即有对恒成立. 成立． 下证，由题意知，又， 故，解得， 所以成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 商河弘德中学高二下学期开学考试测试卷 数学试题 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求 1 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 已知曲线在处切线与直线垂直，则（ ） A B. C. D. 1 3. 若对一切正实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数在处取得极大值，则（   ） A. 3或1 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知，若过点可以作曲线的三条切线，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数在区间的最小值、最大值分别为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数，则满足的的取值范围为 A. B. C D. 8. 设函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（ ） A. B. C. D. 0 10. 已知函数，下列选项正确的是（ ） A. 0是函数的零点 B. 函数仅有一个极小值 C. 若，且，则 D. 若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 11. 已知直线与曲线相交于两点，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知学生会中有人，若没有人同时担任两种职务，那么从这人中选出名主席、名副主席的选法共有______种． 13. 已知函数，求过点且与曲线相切的方程__________. 14. 若函数在区间上单调，则实数的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有且仅有一个零点，求的值. 16. 1.已知函数. （1）若在处取得极值，求的值及函数的单调区间； （2）请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分. ①若恒成立，求的取值范围. ②若仅有两个零点，求的取值范围. 17. 已知函数，． （1）若，求的极值； （2）若在区间内有零点，求实数a取值范围． 18. 已知函数． （1）当时，证明：有且仅有一个零点． （2）当时，恒成立，求a的取值范围． （3）证明：． 19. 已知函数，若方程有三个不同的实数根. （1）求的取值范围； （2）若，求实数的值； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $