易错03 方程(组)与不等式(组)及其应用（易错专练，9大易错剖析+避错秘籍+易错闯关）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

专题03 方程（组）与不等式（组）及其应用 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 等式的基本性质运用错误 易错点 2 解分式方程忘检验根的存在 易错点 3 含参分式方程确定参数的值或范围时忘记验证最简公分母 易错点 4 混淆一元二次方程的解法 易错点 5 若二次方程中的二次含参，易忽略为0的情况 易错点 6 忽略韦达定理的应用 易错点 7 解不等式（组）忽略变号 易错点 8 已知不等式（组）解集时，端点取舍易错 易错点 9 列方程（组）或不等式（组）解决实际问题忘记检验解是否符合实际意义 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 等式的基本性质运用错误 错因剖析 概念混淆：等式两边做除法运算时，不判断除数是否为0，直接除以字母、含字母的式子，哪怕这个式子结果为0，依旧强行运算，彻底破坏等式成立的条件，这是最常见的概念性错误；把移项、去括号和等式性质割裂开来，不懂移项的本质是等式两边同加同减，误以为可以随便挪动项，变号规则和等式性质脱节。 认知偏差：受日常口算、简便运算影响，形成固定思维，做题只追求速度，忽视等式变形的严谨性，凭直觉操作，一步步踩中失分陷阱。 基础薄弱：移项经常忘记变号，括号前是负号，去括号时只变第一项，后面的项不变号，破坏等式平衡。等式两边同乘一个数，只给含字母的项乘，漏掉常数项，导致等式两边不对等。负数乘除运算时，符号混乱，正负写错，影响整个变形过程，最终结果出错。 【例1】（2026·广西钦州·模拟预测）根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 避错秘籍 【防错指南】 1、严格依据等式的基本性质变形：等式两边必须同时加、减、乘、除同一个数（或整式），做除法时，除数绝对不能为0。 2、移项必变号：把一项从等式一边移到另一边，正负符号一定要反转，不移的项不变号。 3、分步书写，不跳步：每一步只做一种变形，写完核对两边是否一致，杜绝心算跳步出错。 4、遇负加倍小心：括号前是负号、除以负数时，先定符号，再算数值，防止符号出错。 【知识链接】 1. 等式的两条基本性质 性质1：如果 ，那么 。（等式两边同时加或减同一个数或整式，结果仍相等） 性质2：如果 ，那么 ；如果 且 ，那么 。（等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等） 2. 关键提醒 除法必须满足：除数（分母）不能为0，否则变形无效。 移项的本质：利用等式性质1，两边同时加上该项的相反数，目的是合并同类项、解方程。 等式变形的目的：保持等式成立，逐步简化式子，求出未知数的值。 变式迁移 【变式1-1】（2025·安徽合肥·三模）若为互不相等的实数，且则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·四川·中考真题）将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数和 48 60 53 65 42 根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为_____，最大数所对应的卡片编号为_____． 【变式1-3】（2026·广西钦州·模拟预测）解方程：． 易错点2 解分式方程忘检验根的存在 错因剖析 概念混淆：对分式方程的解题前提、增根产生的原因理解浅薄，把分式方程等同于整式方程，漏掉关键检验环节，导致答案无效。去分母时，等式两边同乘了含有字母的整式，若这个整式值为0，就会产生让原方程分母为0的无效根，也就是增根。 认知偏差：做题只追求算出结果，觉得检验步骤多余、浪费时间，心存侥幸省略步骤，养成“重求解、轻检验”的坏习惯，造成无故失分。解分式方程必须要书写检验整式方程的根是否使得最简公分母为零. 基础薄弱：找不到正确的最简公分母，代入检验的式子出错，无法准确判断根是否有效；在分式方程化为整式方程时没有正确化简. 【例2】（2026·河南驻马店·一模）解方程：． 避错秘籍 【防错指南】 1、分式方程，解完必检验，不检验不得分。 2、解分式方程一般步骤：去分母→化为整式方程→解方程→代入最简公分母检验。 3、增根处理：使最简公分母=0的根是增根，必须舍去，此时原方程无解。 4、验算不马虎，严格代入计算，不凭感觉判断。 【知识链接】 1、定义 分式方程：分母中含有未知数的方程。 增根：分式方程化为整式方程后，使原方程分母为0的根，不是原方程的解。 2、 检验方法 把整式方程的解，代入原方程的最简公分母： 最简公分母 ≠ 0，是原方程的有效解； 最简公分母 = 0，此根为增根，舍去，原方程无解。 变式迁移 【变式2-1】（2026·陕西西安·二模）解下列方程：． 【变式2-2】（2026·陕西西安·模拟预测）解分式方程：． 【变式2-3】（2026·陕西榆林·二模）解方程：． 易错点3 含参分式方程确定参数的值或范围时忘记验证最简公分母 错因剖析 概念混淆：根据分式方程解的个数、解集范围求出参数后，不验证该参数是否会让最简公分母为0，直接取用结果。分不清方程“有解”“无解”“有增根”的区别，误用条件列式，逻辑出错。 认知偏差：眼里只有参数，忘记分式方程分母不能为0，漏掉关键的排除步骤。 基础薄弱：1、缺少“求参数→验公分母→排除增根→定最终范围”的环节，步骤不完整。2、无解情况判断不全，不清楚无解包含整式方程无解、整式方程有解但为增根两种情况，分类遗漏。 【例3】（2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 避错秘籍 【防错指南】 1、完整解题步骤：去分母化整式方程→用题意列参数关系式→验证最简公分母≠0→排除增根→确定参数。 2、无论求参数值还是范围，最后一步必须检验：不能让公分母为0。 3、无解分两种：整式方程本身无解；整式方程有解，但该解是增根。 4、有增根：先令公分母=0求出增根，再代入整式方程求参数。 【知识链接】 有解：整式方程有解，且解不是增根（最简公分母≠0）。 无解：整式方程无解；或整式方程有解，但为增根。 有增根：最简公分母=0，且该根满足整式方程。 关键提醒： 含参分式方程，参数取值必须保证：原分式方程分母不为0。 求出参数后，务必回代检验，排除使公分母为0的无效值。 变式迁移 【变式3-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 【变式3-2】（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为______． 【变式3-3】（2026·湖北·模拟预测）若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是__________． 易错点4 混淆一元二次方程的解法 错因剖析 概念混淆：用因式分解法解一元二次方程时，方程右边不为0，违背“乘积为0”的核心前提，得出错误结果；用公式法解解一元二次方程时，记错公式结构、混淆系数符号，漏掉判别式，忽略判别式小于0时方程无实数根；用配方法解解一元二次方程时，二次项系数不为1时，不先提取系数，直接配方，常数项加减出错，配方失败。 认知偏差：做题不懂灵活变通，只会死用一种方法，不看方程结构盲目计算，既浪费时间，又大幅提升出错概率。 基础薄弱：1、因式分解不彻底，无法化为乘积形式，降次失败。 2、代入求根公式时，a、b、c系数符号带错，判别式计算失误。 3、开方时漏掉正负号，只得出一个根，遗漏解。 【例4】（2026·安徽蚌埠·一模）解方程： 避错秘籍 【防错指南】 1、解题优先顺序：先试因式分解→再用配方法→最后公式法，择优解题。 2、因式分解前提：方程右边必须化为0，左边分解为整式乘积。 3、公式法先算判别式，则无实数根。 4、开方勿忘正负号，保证求出全部实数根。 【知识链接】 1. 常用解法 因式分解法：化为形式，则或，降次求解。 配方法：化为（），开方求解。 求根公式法：（，）。 2. 核心前提 一元二次方程标准形式：（）。 判别式，两个不相等实根；，两个相等实根；，无实根。 变式迁移 【变式4-1】（2025·江苏徐州·中考真题）解方程；     【变式4-2】（2026·广西·一模）解方程： 【变式4-3】（2026·陕西西安·二模）解下列方程：（用公式法）； 易错点5 若二次方程中的二次含参，易忽略为0的情况 错因剖析 概念混淆： 1、忽视二次项系数为0，参数取值使二次项系数为0时，方程变为一元一次方程，依旧按二次方程解题。 2、乱用判别式、韦达定理，使用定理前，不保证二次项系数不为0，违背定理使用前提，结果无效。 3、漏解与错解，分类不全，要么漏掉一次方程的解，要么多算无效解。 认知偏差： 不注意审题，只要有，就当成一元二次方程，无视参数影响。忽略二次项系数为零的情况。 基础薄弱：没有养成分类讨论的解题习惯，不清楚分类标准，解题步骤残缺，无法完整得出答案。 【例5】（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 避错秘籍 【防错指南】 必分两类讨论：情况1：二次项系数=0，方程为一元一次方程，有一个解； 情况2：二次项系数≠0，方程为一元二次方程，用判别式判断。 使用韦达定理、判别式，必须满足：二次项系数≠0。 求出参数后，核对是否符合对应方程类型，不遗漏、不多余。 【知识链接】 1. 方程判定 一元一次方程：（），只有一个解。 一元二次方程：（）。 2. 关键规则 含参方程先定类型，再定解法。 二次项系数含参，优先讨论系数是否为0。 变式迁移 【变式5-1】（2025·四川绵阳·一模）如果关于x方程是一元二次方程，那么k的值是（   ） A．1 B． C．2 D．1或 【变式5-2】（2026·河北沧州·一模）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式5-3】已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 易错点6 忽略韦达定理的应用 错因剖析 概念混淆：记错两根和、两根积的表达式，符号混淆、系数用错。 认知偏差：直接使用两根和、两根积公式，不验证，方程无实根时乱用定理。 基础薄弱：代数变形能力薄弱，公式运用不熟练，对常见变形形式不敏感，无法熟练使用韦达定理。 【例6】（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 避错秘籍 【防错指南】 1、使用前提：一元二次方程，二次项系数≠0，（有实数根）。 2、遇到两根和、两根积、两根平方和等题型，优先用韦达定理。 3、牢记公式，熟练常见变形，整体代入，不用求出具体根。 【知识链接】 1、对于方程（，），两根为、： 2、常见变形 变式迁移 【变式6-1】（2026·甘肃天水·一模）一元二次方程的两根为、，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·安徽阜阳·一模）设a、b是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．-3 B．5 C．3 D． 【变式6-3】（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则___________ 易错点7 解不等式（组）忽略变号 错因剖析 概念混淆： 1、不等式两边乘除负数，不等号方向必须改变，常常遗漏这一步。 2、移项该变号时不变，不该变号时乱变，和等式移项规则混淆。 3、去括号符号出错，括号前为负号，去括号时内部项不全变号，破坏不等关系。 认知偏差：用解方程的思路解不等式，无视负数对不等号方向的影响。 基础薄弱：基础运算功底差，符号判断能力弱，步骤不规范，细节处频频失误，导致解集完全错误。 1、负数乘除运算符号混乱，正负判断失误。 2、系数化为1时，漏看负号，不等号方向写错。 【例7】（2025·四川攀枝花·中考真题）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．或 避错秘籍 【防错指南】 1、不等式两边乘除负数，不等号必反向；乘除正数，方向不变。 2、移项规则不变，移项必变号，和等式移项一致。 3、系数化为1前，先判断系数正负，再定不等号方向。 4、解完核对一遍方向，杜绝低级错误。 【知识链接】不等式基本性质 性质1：两边同加同减，不等号方向不变。 性质2：两边同乘（除）正数，不等号方向不变。 性质3：两边同乘（除）负数，不等号方向改变。 变式迁移 【变式7-1】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）不等式组的解集是_____． 【变式7-2】（2025·宁夏·中考真题）不等式组的解集是______． 【变式7-3】（2025·江苏徐州·中考真题） 解不等式组 易错点8 已知不等式（组）解集时，端点取舍易错 错因剖析 概念混淆： 包含端点时漏写等号，不包含端点时多加等号，边界判断完全错误。 对应数轴上的点，空心（不含）、实心（含）混淆，判断失误。 认知偏差：排斥画图辅助，审题不仔细，忽略题干里的整数解、正数解等隐藏要求，端点取舍偏离题意。 基础薄弱： 1、不会用数轴画解集，空心（不包含端点）、实心（包含端点）标记错误，直接导致解集写错。 2、多个解集合并时，分不清交集和并集，边界范围判断失误。 3、含参数解集讨论时，不会代入端点验证等号是否成立，答案出错。 【例8】（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 避错秘籍 【防错指南】 已知不等式组的解集情况求参数时，需要验证临界值是否符合条件，符合则可以取到否则舍弃 【知识链接】 同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）。 解集边界：包含端点带等号，不包含端点不带等号，临界值单独检验。 变式迁移 【变式8-1】（2025·河北·一模）若关于x的不等式组的整数解是4和5，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______． 【变式8-3】（2025·四川泸州·二模）关于的不等式组有且只有四个整数解，则的取值范围是_____． 易错点9 列方程（组）或不等式（组）解决实际问题忘记检验解是否符合实际意义 错因剖析 概念混淆：把实际应用题完全当成纯数学题求解，只关注式子列得对不对、数值算得准不准，忽略现实场景的约束条件，导致算出的数学解不符合生活常识。 认知偏差：只检查式子、计算是否正确，不结合生活常识判断结果是否合理。 基础薄弱：没有养成完整的解题步骤习惯，缺少“列式求解→实际检验→取舍答案”的流程，审题抓不住关键限制词，不会取舍无效解。 【例9】（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 避错秘籍 【防错指南】牢记两步检验：先检验数学解是否正确，再检验是否符合实际意义。 【知识链接】 审题找等量/不等关系→设未知数→列方程/不等式→求解→检验实际意义→写答案。 检验不合格：舍去该解；无解则说明题目情况不成立，无符合题意的答案。 变式迁移 【变式9-1】（2026·重庆·二模）某商店销售A、B两套茶具，A种茶具的单价比B种茶具的单价少30元，花1500元购进A种茶具的数量是花900元购进B种茶具数量的2倍． (1)求A、B两种茶具的单价； (2)某茶社准备在该商店购买A、B两种茶具共10套，花费了1680元，则该茶社购买了多少套B种茶具？ 【变式9-2】（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【变式9-3】（2026·湖北孝感·一模）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下： ①篮球、足球、排球各买一个的价格共为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍．设学校购买篮球m个． ①求m的取值范围； ②m为何值时，学校花费最少，最少费用是多少？ 1. （2026·河南郑州·一模）已知关于x的不等式组无解，则m的值可能为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2. （2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是（） A．且 B． C．且 D．且 3. （2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 4. （2026·河北沧州·一模）已知等腰三角形三边分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．32 B．36 C．32或36 D．无法确定 5. （2026·山东临沂·模拟预测）若关于y的不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5，则m取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 6. （2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是____________． 7. （2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是________． 8. （2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则_____． 9. （2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有_______个． 10. （2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是______． 11. （2026·甘肃天水·一模）解方程并检验： 12. （2026·江苏徐州·一模）解方程或不等式组 (1)解方程： (2)解不等式组： 13. （2026·河北张家口·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，嘉嘉用配方法解一元二次方程的过程如下： 当时，．…………………………………第一步 移项，得，………………………………………第二步 配方，得，即，…………第三步 由此可得，，……………………………………第四步 ∴，．……………………………第五步 请指出嘉嘉在第 步出现了错误，并写出正确的解答过程； (2)若方程的两个实数根分别是和，且，求的值． 14. （2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 15. （2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 16. （2026·重庆·一模）年全国政府工作报告强调“大力发展智慧农业”．某地积极引进“智慧大棚”种植草莓和番茄两种作物．该大棚共有个种植槽，每个种植槽可种植草莓或番茄．经系统测算：每个草莓种植槽年产草莓千克，每个番茄种植槽年产番茄千克，这个种植槽全年总产量为千克． (1)该智慧大棚种植草莓和番茄的种植槽各多少个？ (2)经市场调研，每千克草莓的售价比每千克番茄的售价高元．如果用元购买草莓的千克数与用元购买番茄的千克数相同，那么该智慧大棚全年生产的草莓和番茄全部售出后，总销售额为多少元？ 17. （2025·四川遂宁·中考真题）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元；购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元． 材料二：据统计该社区需购买两种型号的新型垃圾桶共个，但总费用不超过元，且型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求两种型号的新型垃圾桶的单价？ 任务二：有哪几种购买方案？ 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 方程（组）与不等式（组）及其应用 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 等式的基本性质运用错误 易错点 2 解分式方程忘检验根的存在 易错点 3 含参分式方程确定参数的值或范围时忘记验证最简公分母 易错点 4 混淆一元二次方程的解法 易错点 5 若二次方程中的二次含参，易忽略为0的情况 易错点 6 忽略韦达定理的应用 易错点 7 解不等式（组）忽略变号 易错点 8 已知不等式（组）解集时，端点取舍易错 易错点 9 列方程（组）或不等式（组）解决实际问题忘记检验解是否符合实际意义 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 等式的基本性质运用错误 错因剖析 概念混淆：等式两边做除法运算时，不判断除数是否为0，直接除以字母、含字母的式子，哪怕这个式子结果为0，依旧强行运算，彻底破坏等式成立的条件，这是最常见的概念性错误；把移项、去括号和等式性质割裂开来，不懂移项的本质是等式两边同加同减，误以为可以随便挪动项，变号规则和等式性质脱节。 认知偏差：受日常口算、简便运算影响，形成固定思维，做题只追求速度，忽视等式变形的严谨性，凭直觉操作，一步步踩中失分陷阱。 基础薄弱：移项经常忘记变号，括号前是负号，去括号时只变第一项，后面的项不变号，破坏等式平衡。等式两边同乘一个数，只给含字母的项乘，漏掉常数项，导致等式两边不对等。负数乘除运算时，符号混乱，正负写错，影响整个变形过程，最终结果出错。 【例1】（2026·广西钦州·模拟预测）根据等式的基本性质，下列不成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查等式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据等式的基本性质，逐一验证各选项是否成立即可． 【详解】解：选项A、由于，则，等式成立； 选项B、由于，则，等式不成立； 选项C、由于，则，等式成立； 选项D、若，则，等式成立， 故选：B． 避错秘籍 【防错指南】 1、严格依据等式的基本性质变形：等式两边必须同时加、减、乘、除同一个数（或整式），做除法时，除数绝对不能为0。 2、移项必变号：把一项从等式一边移到另一边，正负符号一定要反转，不移的项不变号。 3、分步书写，不跳步：每一步只做一种变形，写完核对两边是否一致，杜绝心算跳步出错。 4、遇负加倍小心：括号前是负号、除以负数时，先定符号，再算数值，防止符号出错。 【知识链接】 1. 等式的两条基本性质 性质1：如果 ，那么 。（等式两边同时加或减同一个数或整式，结果仍相等） 性质2：如果 ，那么 ；如果 且 ，那么 。（等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等） 2. 关键提醒 除法必须满足：除数（分母）不能为0，否则变形无效。 移项的本质：利用等式性质1，两边同时加上该项的相反数，目的是合并同类项、解方程。 等式变形的目的：保持等式成立，逐步简化式子，求出未知数的值。 变式迁移 【变式1-1】（2025·安徽合肥·三模）若为互不相等的实数，且则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质进行解答即可，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 即， 故选：． 【变式1-2】（2025·四川·中考真题）将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表： 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数和 48 60 53 65 42 根据以上信息，推断出最小数所对应的卡片编号为_____，最大数所对应的卡片编号为_____． 【答案】 【分析】此题考查方程的应用，设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e，根据题意列得，由得，得，进而求出c的值，即可得到其他卡片对应的数，即可解答问题． 【详解】解：设A、B、C、D、E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e， 由题意得：， 得， 得， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴最小数所对应的卡片编号为A，最大数所对应的卡片编号为B， 故答案为：A，B． 【变式1-3】（2026·广西钦州·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行求解即可． 【详解】 解： 解得． 易错点2 解分式方程忘检验根的存在 错因剖析 概念混淆：对分式方程的解题前提、增根产生的原因理解浅薄，把分式方程等同于整式方程，漏掉关键检验环节，导致答案无效。去分母时，等式两边同乘了含有字母的整式，若这个整式值为0，就会产生让原方程分母为0的无效根，也就是增根。 认知偏差：做题只追求算出结果，觉得检验步骤多余、浪费时间，心存侥幸省略步骤，养成“重求解、轻检验”的坏习惯，造成无故失分。解分式方程必须要书写检验整式方程的根是否使得最简公分母为零. 基础薄弱：找不到正确的最简公分母，代入检验的式子出错，无法准确判断根是否有效；在分式方程化为整式方程时没有正确化简. 【例2】（2026·河南驻马店·一模）解方程：． 【答案】 【分析】先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 避错秘籍 【防错指南】 1、分式方程，解完必检验，不检验不得分。 2、解分式方程一般步骤：去分母→化为整式方程→解方程→代入最简公分母检验。 3、增根处理：使最简公分母=0的根是增根，必须舍去，此时原方程无解。 4、验算不马虎，严格代入计算，不凭感觉判断。 【知识链接】 1、定义 分式方程：分母中含有未知数的方程。 增根：分式方程化为整式方程后，使原方程分母为0的根，不是原方程的解。 2、 检验方法 把整式方程的解，代入原方程的最简公分母： 最简公分母 ≠ 0，是原方程的有效解； 最简公分母 = 0，此根为增根，舍去，原方程无解。 变式迁移 【变式2-1】（2026·陕西西安·二模）解下列方程：． 【答案】 【详解】解：方程两边乘以最简公分母，得， 解得， 检验：当时，最简公分母， ∴是原方程的解． 【变式2-2】（2026·陕西西安·模拟预测）解分式方程：． 【答案】原方程无解 【分析】方程两边都乘以，把分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 【变式2-3】（2026·陕西榆林·二模）解方程：． 【答案】 【分析】根据解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 解得：， 检验，当时，， ∴分式方程的解为． 易错点3 含参分式方程确定参数的值或范围时忘记验证最简公分母 错因剖析 概念混淆：根据分式方程解的个数、解集范围求出参数后，不验证该参数是否会让最简公分母为0，直接取用结果。分不清方程“有解”“无解”“有增根”的区别，误用条件列式，逻辑出错。 认知偏差：眼里只有参数，忘记分式方程分母不能为0，漏掉关键的排除步骤。 基础薄弱：1、缺少“求参数→验公分母→排除增根→定最终范围”的环节，步骤不完整。2、无解情况判断不全，不清楚无解包含整式方程无解、整式方程有解但为增根两种情况，分类遗漏。 【例3】（2025·四川遂宁·中考真题）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．2 B．3 C．0或2 D．或3 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握求解的方法是解题的关键； 将分式方程转化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或解为增根（使分母为零），分别求解即可． 【详解】解：原方程两边同乘，得： 化简得：， 即； 当整式方程无解时：即当且时，即，此时方程无解； 当解为增根时：即当解时， 解得，此时使原方程分母为零，无意义； 综上，的值为或； 故选：D． 避错秘籍 【防错指南】 1、完整解题步骤：去分母化整式方程→用题意列参数关系式→验证最简公分母≠0→排除增根→确定参数。 2、无论求参数值还是范围，最后一步必须检验：不能让公分母为0。 3、无解分两种：整式方程本身无解；整式方程有解，但该解是增根。 4、有增根：先令公分母=0求出增根，再代入整式方程求参数。 【知识链接】 有解：整式方程有解，且解不是增根（最简公分母≠0）。 无解：整式方程无解；或整式方程有解，但为增根。 有增根：最简公分母=0，且该根满足整式方程。 关键提醒： 含参分式方程，参数取值必须保证：原分式方程分母不为0。 求出参数后，务必回代检验，排除使公分母为0的无效值。 变式迁移 【变式3-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或 故选C． 【变式3-2】（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为______． 【答案】6或 【分析】本题考查了解分式方程． 将分式方程两边乘以最简公分母，化为整式方程，再根据增根的定义，令x等于使公分母为零的值，代入整式方程求解m． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 即， ∵增根是使公分母为零的x值， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； 则的值为6或． 故答案为：6或． 【变式3-3】（2026·湖北·模拟预测）若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查了根据分式方程的情况求参数． 解分式方程得到，根据解为非负数且分母不为零的条件，列出不等式求解的取值范围即可． 【详解】解：解方程， 两边同乘，得， ∴， ∴， ∴． 由于原方程中分母， ∴， ∴， 解得． 又∵解为非负数， ∴， ∴， 解得． 因此，的取值范围是且． 故答案为：且． 易错点4 混淆一元二次方程的解法 错因剖析 概念混淆：用因式分解法解一元二次方程时，方程右边不为0，违背“乘积为0”的核心前提，得出错误结果；用公式法解解一元二次方程时，记错公式结构、混淆系数符号，漏掉判别式，忽略判别式小于0时方程无实数根；用配方法解解一元二次方程时，二次项系数不为1时，不先提取系数，直接配方，常数项加减出错，配方失败。 认知偏差：做题不懂灵活变通，只会死用一种方法，不看方程结构盲目计算，既浪费时间，又大幅提升出错概率。 基础薄弱：1、因式分解不彻底，无法化为乘积形式，降次失败。 2、代入求根公式时，a、b、c系数符号带错，判别式计算失误。 3、开方时漏掉正负号，只得出一个根，遗漏解。 【例4】（2026·安徽蚌埠·一模）解方程： 【答案】， 【分析】等式左边提取公因式4，再利用完全平方公式进行二次分解，最后利用配方法解答即可． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， ∴，． 避错秘籍 【防错指南】 1、解题优先顺序：先试因式分解→再用配方法→最后公式法，择优解题。 2、因式分解前提：方程右边必须化为0，左边分解为整式乘积。 3、公式法先算判别式，则无实数根。 4、开方勿忘正负号，保证求出全部实数根。 【知识链接】 1. 常用解法 因式分解法：化为形式，则或，降次求解。 配方法：化为（），开方求解。 求根公式法：（，）。 2. 核心前提 一元二次方程标准形式：（）。 判别式，两个不相等实根；，两个相等实根；，无实根。 变式迁移 【变式4-1】（2025·江苏徐州·中考真题）解方程；     【答案】， 【分析】利用配方法求解； 【详解】解： ， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， 解得， 即， 【变式4-2】（2026·广西·一模）解方程： 【答案】， 【详解】解：∵， ∴， 则或， 解得，． 【变式4-3】（2026·陕西西安·二模）解下列方程：（用公式法）； 【答案】， 【详解】解：， ，，， ， ∴方程有两个不等的实数根， ， 即，． 易错点5 若二次方程中的二次含参，易忽略为0的情况 错因剖析 概念混淆： 1、忽视二次项系数为0，参数取值使二次项系数为0时，方程变为一元一次方程，依旧按二次方程解题。 2、乱用判别式、韦达定理，使用定理前，不保证二次项系数不为0，违背定理使用前提，结果无效。 3、漏解与错解，分类不全，要么漏掉一次方程的解，要么多算无效解。 认知偏差： 不注意审题，只要有，就当成一元二次方程，无视参数影响。忽略二次项系数为零的情况。 基础薄弱：没有养成分类讨论的解题习惯，不清楚分类标准，解题步骤残缺，无法完整得出答案。 【例5】（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴二次项系数，即． 令，即， 解得． ∴且 故选：C． 避错秘籍 【防错指南】 必分两类讨论：情况1：二次项系数=0，方程为一元一次方程，有一个解； 情况2：二次项系数≠0，方程为一元二次方程，用判别式判断。 使用韦达定理、判别式，必须满足：二次项系数≠0。 求出参数后，核对是否符合对应方程类型，不遗漏、不多余。 【知识链接】 1. 方程判定 一元一次方程：（），只有一个解。 一元二次方程：（）。 2. 关键规则 含参方程先定类型，再定解法。 二次项系数含参，优先讨论系数是否为0。 变式迁移 【变式5-1】（2025·四川绵阳·一模）如果关于x方程是一元二次方程，那么k的值是（   ） A．1 B． C．2 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，方程需满足：①未知数的最高次数为2；②二次项系数不为0．由条件可得关于k的方程，即可求解． 【详解】解：∵关于x方程是一元二次方程， ∴，且， 解得， 故选：A． 【变式5-2】（2026·河北沧州·一模）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式的性质，根据题意可得二次项系数不为0且判别式大于等于0． 【详解】解：∵方程是一元二次方程 ∴ ∴ ∵方程有实数根 ∴ 其中，， 解得 综上，的取值范围是且． 故选：D． 【变式5-3】已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，再由二次项系数不为0可得，据此求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， 且， ∴ 解得， 且． 易错点6 忽略韦达定理的应用 错因剖析 概念混淆：记错两根和、两根积的表达式，符号混淆、系数用错。 认知偏差：直接使用两根和、两根积公式，不验证，方程无实根时乱用定理。 基础薄弱：代数变形能力薄弱，公式运用不熟练，对常见变形形式不敏感，无法熟练使用韦达定理。 【例6】（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 避错秘籍 【防错指南】 1、使用前提：一元二次方程，二次项系数≠0，（有实数根）。 2、遇到两根和、两根积、两根平方和等题型，优先用韦达定理。 3、牢记公式，熟练常见变形，整体代入，不用求出具体根。 【知识链接】 1、对于方程（，），两根为、： 2、常见变形 变式迁移 【变式6-1】（2026·甘肃天水·一模）一元二次方程的两根为、，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由根与系数的关系可求得，，再对所求分式通分后代入计算即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 【变式6-2】（2026·安徽阜阳·一模）设a、b是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．-3 B．5 C．3 D． 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，整理得， 将代入得： 原式， ∵，是方程的两个根， 根据一元二次方程根与系数的关系，得， ∴原式． 【变式6-3】（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则___________ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则． 根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 易错点7 解不等式（组）忽略变号 错因剖析 概念混淆： 1、不等式两边乘除负数，不等号方向必须改变，常常遗漏这一步。 2、移项该变号时不变，不该变号时乱变，和等式移项规则混淆。 3、去括号符号出错，括号前为负号，去括号时内部项不全变号，破坏不等关系。 认知偏差：用解方程的思路解不等式，无视负数对不等号方向的影响。 基础薄弱：基础运算功底差，符号判断能力弱，步骤不规范，细节处频频失误，导致解集完全错误。 1、负数乘除运算符号混乱，正负判断失误。 2、系数化为1时，漏看负号，不等号方向写错。 【例7】（2025·四川攀枝花·中考真题）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式组的解集，分别求出不等式①②的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集是； 故选：A． 避错秘籍 【防错指南】 1、不等式两边乘除负数，不等号必反向；乘除正数，方向不变。 2、移项规则不变，移项必变号，和等式移项一致。 3、系数化为1前，先判断系数正负，再定不等号方向。 4、解完核对一遍方向，杜绝低级错误。 【知识链接】不等式基本性质 性质1：两边同加同减，不等号方向不变。 性质2：两边同乘（除）正数，不等号方向不变。 性质3：两边同乘（除）负数，不等号方向改变。 变式迁移 【变式7-1】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）不等式组的解集是_____． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求解两个一元一次不等式，然后确定不等式组的解集为两个解集的公共部分即可． 【详解】解：解不等式 ，得 ； 解不等式 ，得 ． 所以不等式组的解集是 ． 故答案为：． 【变式7-2】（2025·宁夏·中考真题）不等式组的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题的关键是分别解出每个不等式的解集，再找出它们的公共部分． 先解第一个不等式通过移项、系数化为1，求出解集；再解第二个不等式，通过去分母、移项，求出解集；最后根据“同小取小，同大取大，大小小大中间找”的原则确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，移项得即解得． 解不等式②，去分母得，移项得，即． 则不等式组的解集为与的公共部分，即 故答案为： 【变式7-3】（2025·江苏徐州·中考真题） 解不等式组 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式，得：， 解不等式，得：， 因此该不等式组的解集为：． 易错点8 已知不等式（组）解集时，端点取舍易错 错因剖析 概念混淆： 包含端点时漏写等号，不包含端点时多加等号，边界判断完全错误。 对应数轴上的点，空心（不含）、实心（含）混淆，判断失误。 认知偏差：排斥画图辅助，审题不仔细，忽略题干里的整数解、正数解等隐藏要求，端点取舍偏离题意。 基础薄弱： 1、不会用数轴画解集，空心（不包含端点）、实心（包含端点）标记错误，直接导致解集写错。 2、多个解集合并时，分不清交集和并集，边界范围判断失误。 3、含参数解集讨论时，不会代入端点验证等号是否成立，答案出错。 【例8】（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 避错秘籍 【防错指南】 已知不等式组的解集情况求参数时，需要验证临界值是否符合条件，符合则可以取到否则舍弃 【知识链接】 同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）。 解集边界：包含端点带等号，不包含端点不带等号，临界值单独检验。 变式迁移 【变式8-1】（2025·河北·一模）若关于x的不等式组的整数解是4和5，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组）的方法．先求出第一个不等式的解集，再根据不等式组的整数解是4和5，即可得到的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得：， ∵不等式组的整数解是4和5， ， 解得， 故选：D． 【变式8-2】（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据已知列出关于a的不等式组．先解含参的不等式组，根据不等式组恰有3个整数解得到关于a的不等式组，求解即可．根据解集的情况得到关于a的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】（2025·四川泸州·二模）关于的不等式组有且只有四个整数解，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围．本题主要考查了解一元一次不等式组以及根据不等式组的整数解求参数的取值范围．熟练掌握解一元一次不等式组的步骤以及整数解与参数之间的关系是解题的关键． 【详解】解： 由得， 由得 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有四个整数解， ∴． ∴ 故答案为：． 易错点9 列方程（组）或不等式（组）解决实际问题忘记检验解是否符合实际意义 错因剖析 概念混淆：把实际应用题完全当成纯数学题求解，只关注式子列得对不对、数值算得准不准，忽略现实场景的约束条件，导致算出的数学解不符合生活常识。 认知偏差：只检查式子、计算是否正确，不结合生活常识判断结果是否合理。 基础薄弱：没有养成完整的解题步骤习惯，缺少“列式求解→实际检验→取舍答案”的流程，审题抓不住关键限制词，不会取舍无效解。 【例9】（2025·北京·中考真题）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键． 设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为；由列方程求出，进而求出风筝的骨架的总高即可． 【详解】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为， 由，可得：，解得：； 所以这只风筝的骨架的总高． 答：这只风筝的骨架的总高． 避错秘籍 【防错指南】牢记两步检验：先检验数学解是否正确，再检验是否符合实际意义。 【知识链接】 审题找等量/不等关系→设未知数→列方程/不等式→求解→检验实际意义→写答案。 检验不合格：舍去该解；无解则说明题目情况不成立，无符合题意的答案。 变式迁移 【变式9-1】（2026·重庆·二模）某商店销售A、B两套茶具，A种茶具的单价比B种茶具的单价少30元，花1500元购进A种茶具的数量是花900元购进B种茶具数量的2倍． (1)求A、B两种茶具的单价； (2)某茶社准备在该商店购买A、B两种茶具共10套，花费了1680元，则该茶社购买了多少套B种茶具？ 【答案】(1)A种茶具的单价为150元/套，B种茶具的单价为180元/套． (2)该茶社购买了6套B种茶具． 【分析】（1）设A种茶具的单价为元/套，则B种茶具的单价为元/套，由花1500元购进甲种茶具套装的数量是花900元购进乙种茶具套装数量的2倍建立方程求解； （2）设该茶社购买套A种茶具，则购买套B种茶具，根据花费1680元建立一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设A种茶具的单价为元/套，则B种茶具的单价为元/套，根据题意得， ， 解得：， 检验：当时，分母不为零， 则原分式方程的解为：， 则， 答：A种茶具的单价为元/套，B种茶具的单价为元/套； （2）解：设该茶社购买套B种茶具，则购买套A种茶具，根据题意得， ， 解得：， 答：该茶社购买了套B种茶具． 【变式9-2】（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元 (2)4种 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进A款哪吒玩偶的数量比用元购进B款哪吒玩偶少个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出A款哪吒玩偶的单价； （2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案． 【详解】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元； （2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为，，，， ∴共有4种进货方案． 答：该超市共有4种进货方案． 【变式9-3】（2026·湖北孝感·一模）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下： ①篮球、足球、排球各买一个的价格共为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍．设学校购买篮球m个． ①求m的取值范围； ②m为何值时，学校花费最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)答案不唯一，见解析，每个篮球60元，每个足球50元 (2)①且m为整数；②当购买篮球4个的时候，所花费用最少，且最少费用为540元 【分析】（1）设每个篮球x元，每个足球y元，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）①设篮球有m个，则足球有个，，根据题意，列出不等式求出m的范围，即可；②设购买的总费用是w元，根据题意，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个篮球x元，每个足球y元，由题意，得： 或或， 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）解：①设篮球有m个，则足球有个，根据题意得： ， 解得：且m为整数． ②设购买的总费用是w元， ， ， ∴w随着m的减小而减小； 且m为整数， ∴当m最小值为4时，w最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少，且最少费用为540元． 1. （2026·河南郑州·一模）已知关于x的不等式组无解，则m的值可能为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先分别解两个不等式，再根据“大大小小无解”确定m的取值范围，最后结合选项判断即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∵不等式组无解， ∴， ∴． 结合选项，只有A选项满足． 2. （2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是（） A．且 B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先解分式方程得到x关于m的表达式，再根据解为正数且分母不为零列不等式求解即可． 【详解】解：方程为， 变形得， 去分母得，， 解得：， ∵分式方程的分母不能为0， ∴，即，解得， ∵方程的解是正数， ∴，即，解得， 综上，实数m的取值范围是且． 3. （2025·黑龙江·中考真题）已知关于的分式方程解为负数，则的值为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定的范围． 【详解】解：， 得， 得， 解得：， 根据题意，解， 即， 解得：， 分母， 即， 即， 解得：， ， 故选：A． 4. （2026·河北沧州·一模）已知等腰三角形三边分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．32 B．36 C．32或36 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、三角形的三边关系，分三种情况讨论：当时，当时，当时． 【详解】解：（Ⅰ）当时，即为腰时． 因为，是关于的一元二次方程的两根，可得 解得 因为， 所以，当时，，，不能围成三角形． （Ⅱ）当时，即为腰时． 同（Ⅰ）可知，当时，，，不能围成三角形． （Ⅲ）当时，即，为腰时． 因为，是关于的一元二次方程的两根，且，可得 解得 因为， 所以，当时，，，可以围成等腰三角形． 因为，是关于的一元二次方程的两根，可得 所以． 故选：B 5. （2026·山东临沂·模拟预测）若关于y的不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5，则m取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再根据不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集是， ∵不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5， ∴该不等式组的整数解是或， ∴或， 解得或． 故选：D． 6. （2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 是该方程的解， ， 解得：， 当时，原分式方程有意义， 故答案为：． 7. （2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出；解分式方程得到，再由关于的分式方程的解均为负整数，推出且且a是偶数，则且且a是偶数，据此确定符合题意的a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得： ， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； 解分式方程得， ∵关于的分式方程的解均为负整数， ∴且是整数且， ∴且且a是偶数， ∴且且a是偶数， ∴满足题意的a的值可以为4或8， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故答案为：． 8. （2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式，因式分解法解方程，分式的化简求值，掌握相关知识点是解题关键．将已知条件相加减，得到，，进而得出，再代入 计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 将两式相减得 ， ， ， ， ， 将两式相加得， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 9. （2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有_______个． 【答案】2 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，找出整数解即可得答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为， 原不等式组的整数解为3，2共2个． 故答案为：2． 10. （2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键．先根据新定义化简关于的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】解：∵ ∴关于a的不等式组即 解不等式①得： 解不等式②得： ∵不等式组有3个整数解， ∴整数解为， ∴ 解得： 故答案为：． 11. （2026·甘肃天水·一模）解方程并检验： 【答案】，检验见解析 【详解】解：去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：将代入原方程分母和，均不为0；将代入原方程分母和，均不为0； 故均为原方程的解． 12. （2026·江苏徐州·一模）解方程或不等式组 (1)解方程： (2)解不等式组： 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）配方法解方程即可； （2）先求出每一个不等式的解，进而找到它们的公共部分，即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得，； （2）解：， 由①，得， 由②，得， ∴不等式组的解集为：． 13. （2026·河北张家口·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)当时，嘉嘉用配方法解一元二次方程的过程如下： 当时，．…………………………………第一步 移项，得，………………………………………第二步 配方，得，即，…………第三步 由此可得，，……………………………………第四步 ∴，．……………………………第五步 请指出嘉嘉在第 步出现了错误，并写出正确的解答过程； (2)若方程的两个实数根分别是和，且，求的值． 【答案】(1)二，见解析 (2) 【分析】（1）根据配方法计算即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系解题即可． 【详解】（1）解：在第二步出现了错误；正确的解答过程如下： 当时，， 移项，得， 配方，得，即， 由此可得，， ∴，； （2）解：由题意知，， ∵，， ∴， 解得， 代入判别式成立， ∴． 14. （2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根． (1)当时，求及m的值． (2)求证：． 【答案】(1)，； (2)详见解析． 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； （2）证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 15. （2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 16. （2026·重庆·一模）年全国政府工作报告强调“大力发展智慧农业”．某地积极引进“智慧大棚”种植草莓和番茄两种作物．该大棚共有个种植槽，每个种植槽可种植草莓或番茄．经系统测算：每个草莓种植槽年产草莓千克，每个番茄种植槽年产番茄千克，这个种植槽全年总产量为千克． (1)该智慧大棚种植草莓和番茄的种植槽各多少个？ (2)经市场调研，每千克草莓的售价比每千克番茄的售价高元．如果用元购买草莓的千克数与用元购买番茄的千克数相同，那么该智慧大棚全年生产的草莓和番茄全部售出后，总销售额为多少元？ 【答案】(1)该智慧大棚种植草莓的种植槽个，种植番茄的种植槽个； (2)该智慧大棚全年总销售额为元． 【分析】（）设该智慧大棚种植草莓的种植槽有个，则种植番茄的种植槽有个，然后列出方程，再解方程即可； （）设每千克番茄的售价为元，则每千克草莓的售价为元，根据题意得 ，然后解方程并检验，再结合第一问的产量计算总销售额即可． 【详解】（1）解：设该智慧大棚种植草莓的种植槽有个，则种植番茄的种植槽有个， 根据题意得， 解得：， 则， 答：该智慧大棚种植草莓的种植槽个，种植番茄的种植槽个； （2）解：设每千克番茄的售价为元，则每千克草莓的售价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验是原分式方程的解，且符合题意， 则草莓售价为，草莓总产量为（千克），番茄总产量为（千克）， ∴总销售额为：（元）， 答：该智慧大棚全年生产的草莓和番茄全部售出后总销售额为元． 17. （2025·四川遂宁·中考真题）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料： 材料一：已知购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元；购买个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元． 材料二：据统计该社区需购买两种型号的新型垃圾桶共个，但总费用不超过元，且型号的新型垃圾桶数量不少于型号的新型垃圾桶数量的． 请根据以上材料，完成下列任务： 任务一：求两种型号的新型垃圾桶的单价？ 任务二：有哪几种购买方案？ 任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？ 【答案】任务一：种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元；任务二：有三种购买方案：①购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；②购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；③购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个；任务三：购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱，最低购买费用是元． 【分析】任务一：设种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元，根据题意列出方程组即可求解； 任务二：设购买种型号的新型垃圾桶个，则购买种型号的新型垃圾桶个，根据题意列出不等式组，解不等式组求出的取值范围即可求解； 任务三：由种型号的新型垃圾桶价格更低，可知购买种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低，据此解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：任务一：设种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元， 由题意得，， 解得， 答：种型号的新型垃圾桶的单价为元，种型号的新型垃圾桶的单价为元； 任务二：设购买种型号的新型垃圾桶个，则购买种型号的新型垃圾桶个， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴或或， ∴有三种购买方案：①购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； ②购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； ③购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个； 任务三：∵种型号的新型垃圾桶价格更低， ∴购买种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低， 即购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱， ∴最低购买费用为元， 答：购买种型号的新型垃圾桶个，购买种型号的新型垃圾桶个更省钱，最低购买费用是元． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $