易错02 代数式及其运算（易错专练，7大易错剖析+避错秘籍+易错闯关）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

专题02 代数式及其运算 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 　混淆整式运算中的法则、公式 易错点 2 　因式分解不彻底，公式与提公因式出错 易错点 3 　忽略分式有意义的条件，分母不为 0 易错点 4 　分式的运算 易错点 5 　忽略二次根式有意义的条件，被开方数大于等于 0 易错点 6 　二次根式运算结果未化为最简 易错点 7 　用代数式表示规律性问题 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 混淆整式运算中的法则、公式 错因剖析 概念混淆：运算法则边界不清，公式乱用，把，，混用，常见指数该加变成乘、该乘变成加；计算时常漏给系数乘方，或只给部分字母乘方，忽略 “每个因式都要乘方”；混淆平方差与完全平方公式看到两数和乘两数差就乱套公式，或把写成. 认知偏差：思维固化，凭感觉运算，不是同类项也强行合并，如“，”; 忽视公式结构，只看数字不看整体用平方差、完全平方时，不会把多项式看成一个整体，导致结构判断错误、公式套错。 基础薄弱：运算不熟练，细节漏洞多 系数运算与字母运算脱节系数算错、符号看错，尤其负系数乘方、单项式乘多项式时漏乘、少乘。 零指数、负指数规则不熟，负指数忘记取倒数，直接写负指数。 书写不规范，步骤跳太多不写过程、心算出错，多重运算一步到底，符号、指数、项数频频出错。 【例1】（2026·福建泉州·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用积的乘方、幂的乘方运算法则和完全平方公式，逐个计算即可判断正确选项． 【详解】解：A、据积的乘方法则，可得，故A错误； B、据积的乘方与幂的乘方法则，可得，故B正确； C、据完全平方公式，可得，故C错误； D、据完全平方公式，可得，故D错误． 避错秘籍 【防错指南】 １．先看运算类型，再选对应法则 乘除看底数：同底数幂相乘→指数相加；相除→指数相减； 乘方看结构：幂的乘方→指数相乘；积的乘方→每个因式都乘方。 ２．公式认准结构，不凭感觉套用 平方差：“两数和 × 两数差”，结果是平方减平方 完全平方：“和或差的平方”，结果一定有三项，牢记 “首平方、尾平方、两倍首尾在中央” 坚决不出现 这类错误。 ３．去括号先看符号，负号全变号 括号前是负号，去掉括号和负号，每一项都要变号，不只变第一项。 合并同类项先判断，不是同类绝不并 ４．只有字母相同、相同字母指数也相同才是同类项； 不同类项如 、 不能合并。 5． 运算分步写，不跳步、不心算 单项式乘多项式、多项式乘多项式，要逐项相乘再合并，避免漏乘、错符号。 【知识链接】 1. 幂的运算法则 同底数幂相乘： 同底数幂相除： 幂的乘方： 积的乘方： 零指数： 2. 乘法公式 平方差公式： 完全平方公式： 3. 去括号与合并同类项 去括号：； 合并同类项：系数相加减，字母和指数不变 4. 整式乘除基本规则 单项式 × 单项式：系数乘系数，同底数幂相乘 单项式 × 多项式：用单项式去乘每一项，再相加 多项式 × 多项式：逐项相乘，再合并同类项 变式迁移 【变式1-1】（2025·四川·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了去括号，合并同类项，完全平方公式和积的乘方等计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】（2025·四川巴中·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂的乘法计算，单项式乘以多项式，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据幂的乘方计算，同底数幂的乘法计算，单项式乘以多项式，完全平方公式逐项计算判断即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，故本选项不符合题意； B．，原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算正确，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1-3】（2026·广东佛山·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用合并同类项、同底数幂乘法、积的乘方、完全平方公式的相关运算法则逐一判断即可． 【详解】解：∵ 选项A中，与不是同类项，不能合并，∴A错误； ∵选项B中，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得，∴B错误； ∵ 选项C中，根据积的乘方运算法则，可得，∴C错误； ∵ 选项D中，根据完全平方公式，可得，与等式一致，∴D正确，符合题意． 易错点2 因式分解不彻底，公式与提公因式出错 错因剖析 概念混淆：混淆因式分解与整式乘法 分不清因式分解是把多项式化为几个整式的积，常出现结果含加减、中途变回整式乘法的错误，不符合分解要求。不明确分解标准：每一个因式都不能再分解，得出一个多项式就停止，遗漏二次分解。 认知偏差：违背“一提二套三查”步骤，有公因式不先提，直接用公式，结果必然出错； 不检查、不复盘，做完不验证，不排查能否继续分解，隐性分解漏洞难以发现； 不会把 化为 提取公因式，易出现符号错误、漏项。 基础薄弱：基础运算不熟练，公式记忆不清，细节粗心，规范度不足，造成会做的题失分。 公因式找不全，系数找不准最大公约数，字母漏看最低次幂，漏提、错提公因式。 漏项、书写不规范，提公因式后漏掉因数1，括号、符号书写出错，步骤潦草。 不会自查错误，不懂得用整式乘法反向验算，无法核对结果正误。 【例2】（2025·山东东营·中考真题）因式分解____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解： 故答案为： 避错秘籍 【防错指南】 1.牢记解题步骤：一提二套三查 先提公因式，再套公式，最后检查是否分解彻底，严禁跳过提公因式直接套公式。 2.公因式提干净，符号不马虎 找准系数最大公约数、字母最低次幂；遇到相反数因式，统一形式再提取，提负号要全变号。 3.认准公式结构，不盲目套用 平方差是“两项平方异号”，完全平方是“三项首尾平方同号，中间两倍乘积”，不混淆结构。 4.分解必须彻底，不留死角 检查每一个因式，确保不能再提公因式、不能再套公式，杜绝半途而废。 5.规范书写，及时验算 不漏项、不漏括号，结果写成整式积的形式；用整式乘法反向验算，核对正误。 【知识链接】 1. 核心定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解（与整式乘法方向相反）。 2. 常用方法 提公因式法： 公因式：系数最大公约数+相同字母最低次幂。 公式法：平方差公式： 完全平方公式： 3. 关键规则 结果必须是乘积形式，不能有加减运算 每一个因式都要分解到不能再分解为止 相反数变形：， 变式迁移 【变式2-1】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式分解因式的结果是_____． 【答案】 【分析】此题考查了分解因式，先提取公因式，再运用平方差公式分解因式． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2-2】（2026·宁夏银川·一模）分解因式： ______． 【答案】 【分析】先提取多项式的公因式，再利用完全平方公式进行二次分解，即可得到结果． 【详解】解：． 【变式2-3】（2025·黑龙江·模拟预测）分解因式：． 【答案】 【分析】直接运用平方差公式进行分解即可． 【详解】解： ． 易错点3 忽略分式有意义的条件，分母不为 0 错因剖析 概念混淆：不清楚分式的核心特征是分母含有字母，做题时只看分子运算，完全忘记分母不能为0这条铁律，直接忽略取值范围。 混淆“有意义”和“值为0”的条件，误以为分母为0时分式等于0，或是分母化简后为常数就不用考虑，不理解只要原式分母含字母，就必须满足不为0的条件。 认知偏差：把分式值为0（分子为0且分母不为0），和分式有意义（仅分母不为0）混为一谈，求取值范围时，只考虑分子不检查分母，或是条件用反。习惯性先约分、化简分式，再判断分母是否为0，忽略化简前原式的分母限制，导致取值范围扩大，答案出错。做计算题、化简题时，觉得只要结果对就行，不注明字母取值范围，不符合答题规范，被扣步骤分。 基础薄弱：漏看隐含限制条件，遇到二次根式在分母、绝对值在分母的情况，不仅分母不为0，还要满足被开方数非负，双重条件只考虑一个。书写不规范，不标注前提，求出结果后，不补充分式有意义的前提条件，答题不完整，造成无谓失分。 【例3】（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 避错秘籍 【防错指南】 1.只要是分式，无论化简与否，第一步先保证分母不为0，这是前提，再做后续运算。 2.分式有意义：只需要分母≠0；分式值为0：分子=0且分母≠0，两个条件缺一不可。 3.严禁先约分再判断，必须按原式分母列不等式，防止取值范围出错。 4.有多个分母、含根号/绝对值的分母，所有限制条件都要满足，不遗漏任何一条。 5.求出取值范围或结果后，注明字母的取值前提，保证答题完整。 【知识链接】 1. 分式定义 形如（A、B为整式，且B中含有字母）的式子叫做分式，B≠0是分式存在的前提。 2. 核心条件 分式有意义： 分式无意义： 分式值为0： 且 3. 常见隐含条件 分母含二次根式：被开方数>0（分母不能为0，也不能为负） 分母含绝对值、平方：结果恒非负，只需保证不等于0 多个分母：所有分母均≠0，取交集 变式迁移 【变式3-1】（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，因此只需考虑分母 . 【详解】∵ 分式 有意义需分母 ， ∴ ， 故选： A． 【变式3-2】（2026·四川成都·一模）若分式的值为0，则的值是（    ） A．0 B．1 C．1或0 D．0或 【答案】A 【分析】本题考查分式值为零的条件，分式的值为零，需分子为零且分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解方程，得或； 又∵， ∴， 故． 故选：A． 【变式3-3】（2025·安徽滁州·三模）当分式的值为0时，则实数x的取值是________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，解一元二次方程，分式值为0的条件是分子为0且分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：2． 易错点4 分式的运算 错因剖析 概念混淆： 1.混淆分式加减与乘除法则 分式加减盲目通分，乘除忘记变除为乘、颠倒分子分母；把分式乘法当成加法运算，违背基本运算规则。 2.混淆通分与约分，时机颠倒 加减运算不通分，直接合并分子分母；乘除运算不约分，先计算再化简，步骤繁琐且易出错。 3.符号与变号规则混乱 分子分母变号、分式前添负号时，只变部分项符号；分母互为相反数时，变形后漏变号，导致结果符号出错。 4.忽视运算前提，无意义运算 运算全程不检查分母，遇到分母为0的情况依旧计算，忽略分式有意义的前提条件。 认知偏差： 不先约分再计算，直接算出大数再化简，计算量变大，容易出现数值错误。 分子分母是多项式时，不会整体看待，漏给多项式加括号，去括号时出错，破坏运算逻辑。 基础薄弱： 1.通分找不准最简公分母 不会取系数最小公倍数、字母最高次幂，公分母找错，通分结果出错。 2.多项式不会因式分解 分子分母不分解，无法约分，运算结果无法化简，格式不规范。 3.结果不化简，书写潦草 运算结束不化为最简分式，分子分母顺序混乱、符号写错，不符合答题要求。 【例4】（2025·青海·中考真题）先化简，再从，，中选一个合适的数代入求值． 【答案】，时，值为，时，值为 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再代入合适的值进行计算即可． 【详解】解： 由于， ∴ 把代入 原式 ； 把代入 原式 ． 避错秘籍 【防错指南】 1.先定符号，再算数值：负数提前定号，变号要彻底，分式整体变号，不遗漏项。 2.乘除先约分，加减先通分：乘除先因式分解、约分，再计算；加减找最简公分母，通分后再运算。 3.除法变乘法，颠倒除式：除以一个分式，等于乘它的倒数，牢记颠倒分子分母。 4.多项式加括号，整体运算：分子分母为多项式，必须加括号，去括号严格遵守变号规则。 5.结果必最简，分母不为0：彻底约分，检查分母，保证分式有意义。 【知识链接】 1. 分式乘除 ； 2. 分式加减 同分母：；异分母： 3. 关键规则 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内 结果化为最简分式，分子分母不含公因式 全程保证分母不为0 变式迁移 【变式4-1】（2026·陕西西安·一模）化简：． 【答案】 【分析】先计算括号内异分母分式减法，再计算分式除法即可． 【详解】解：原式 ． 【变式4-2】（2026·福建泉州·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式4-3】（2026·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中是从中选取的一个合适的数． 【答案】，当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键． 先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解：原式 ， ，， ，，， ， 则原式． 易错点5 忽略二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0 错因剖析 概念混淆： 忘记二次根式核心条件：有意义的前提是，直接对负数开平方，运算无意义。 混淆双重限制条件，根式在分母中时，只考虑被开方数非负，忘记分母不能为0，忽略被开方数大于0的特殊要求。 混淆“有意义”与“值为0”，把根式有意义和根式值为0的条件弄混，求取值范围时判断失误。 认知偏差： 直接化简根式，不先检查被开方数正负，遇到负数开方依旧运算，结果无效。 被开方数是多项式、平方、绝对值时，不会分析取值，漏看隐藏的非负要求。 基础薄弱： 面对复杂被开方数，不会列出的不等式，取值范围求错。 式子含多个二次根式时，只保证一个根式有意义，遗漏其余根式的限制条件。 【例5】（2025·四川绵阳·中考真题）若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根有意义的条件，掌握根号下的式子必须为非负数是解题关键． 逐项判断每一个选项中，根号下的式子是否一定是非负数即可． 【详解】解：选项A：，故一定有意义； 选项B：当时，，故不一定有意义； 选项C：当时，，故不一定有意义； 选项D：，故仅在时有意义， 故选：A． 避错秘籍 【防错指南】 1.先判定义域，再动手运算：看到二次根式，第一步先令被开方数≥0，求出字母范围。 2.根式在分母，条件更严格：分母上的二次根式，被开方数必须>0（不能等于0）。 3.多根式，全满足：多个二次根式同时存在，所有被开方数都要≥0，取交集。 4.牢记负数不能开偶次方，杜绝无意义运算。 【知识链接】 1. 二次根式定义 形如的式子叫做二次根式，是成立前提。 2. 核心条件 二次根式有意义：被开方数 二次根式无意义：被开方数 根式在分母：被开方数 变式迁移 【变式5-1】等式成立的条件是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵要使等式成立，等式两边均需有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式5-2】（2026·江苏南通·模拟预测）若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．先根据被开方数非负求出x的值，再代入求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，解得， 将代入中得：． ∴． 故选:C． 【变式5-3】（2026·江西吉安·一模）若，，，则________． 【答案】8 【分析】先根据二次根式的性质求出m的值与n的可能取值，再根据确定n的符号，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴，即， 将，代入得：． 易错点6 二次根式运算结果未化为最简 错因剖析 概念混淆： 1.被开方数含开得尽方的因数 根式内有平方数（4、9、16等）不化简，如保留，不化为。 2.被开方数含分母 根式内有分数、小数，不进行分母有理化，不符合最简要求。 3.分母含根式 结果分母带有根号，没有有理化，书写不规范。 认知偏差： 1.运算结束不检查化简 算出结果直接落笔，不判断是否为最简根式，遗漏化简步骤。 2.同类根式不合并 加减运算后，同类二次根式不合并，式子零散，格式混乱。 基础薄弱： 1.不会开方化简 无法识别根式内的平方因数，不会将平方数开方移出根号。 2.分母有理化方法不熟 不会给分子分母同乘根式，去除分母根号，步骤出错。 3.系数与根式书写混乱 根号外系数书写错误，漏写系数、错写符号。 【例6】（2025·云南丽江·模拟预测）下列二次根式：，是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义分别判断解答即可． 【详解】解：下列二次根式：中， 是最简二次根式的有，， 其中都不是最简二次根式，可以化为最简二次根式， ， ， ， 故选：B． 避错秘籍 【防错指南】 1.牢记最简根式三大标准：被开方数不含分母；不含开得尽方的因数；分母不含根号。 2.先分解，再化简：把被开方数分解因数，将平方数移出根号。 3.分母有根式，立刻有理化：分子分母同乘分母根式，去掉分母根号。 4.同类根式必合并：加减运算后，合并同类二次根式。 【知识链接】 1.最简二次根式标准 被开方数的因数是整数，因式是整式 被开方数不含能开得尽方的因数或因式 分母不含根号 2. 常用化简公式 变式迁移 【变式6-1】（2025·广东惠州·二模）化简：①___________；②___________；③___________． 【答案】 4 5 【分析】根据可得①②的答案；根据二次根式的乘法法则和性质可得③的答案． 【详解】解：①； ②； ③． 【变式6-2】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的四则运算，需掌握同类二次根式的加减法则、二次根式的乘除运算顺序及化简方法．根据二次根式的运算可直接进行排除选项． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B：，故选项计算错误，不符合题意； C：，故选项计算错误，不符合题意； D：，故选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式6-3】（2026·四川遂宁·一模）计算：          【答案】 【分析】运用二次根式的混合运算法则计算即可； 【详解】解： = = 易错点7 混淆平方根与算术平方根，符号书写错误 错因剖析 概念混淆： 1.序号与项数对应错误 把第n项和数字、符号的对应关系弄混，序数n代入错误。 2.符号规律忽略 正负交替的式子，忘记用或表示符号。 3.数量关系提炼错误 看错数字变化规律，把等差、等比、平方规律弄混，关系式写错。 认知偏差： 1.只看前几项，不总结通项 不归纳通用公式，只按前几项仿写，遇到大数就无法求解。 2.忽视循环、递推规律 遇到周期循环、递推变化的题目，找不到核心逻辑，无从下手。 基础薄弱： 1.代数式书写不规范 系数、指数、符号书写混乱，漏写括号、写错格式。 2.不会验证规律 写出代数式后，不代入前几项验证，无法自查错误。 3.数字规律转化能力差 不会把数字变化转化为含n的代数式，转化逻辑混乱。 【例7】（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了数字类规律探索，从整数和小数两个方面进行规律分析是解题关键．该组数的规律从两方面分析：①整数部分：每次增加2；②小数部分：每次增加一个9，据此即可得到答案． 【详解】解：根据题中规律可得整数部分每次增加2，则第n个数整数部分是， 小数部分每次增加一个9，则第n个数小数部分有n个9， ∴第n个数小数部分是， ∴第n个数是， 故选：A． 避错秘籍 【防错指南】 1.三步走找规律：标序号→列数据→找关系（等差、等比、平方、循环）。 2.符号规律单独记：正负交替用或表示。 3.紧扣序数n：每一项的数值都和项数n建立联系，写出通用式子。 4.写完必验算：代入n=1、2、3，核对是否和原题数据一致。 5.规范书写：系数写在前，字母在后，括号、指数书写工整。 【知识链接】 1.常见规律类型 等差规律：后项减前项差值固定，形如 平方规律：和序数平方相关，形如、 符号交替：（负正交替）、（正负交替） 循环规律：找出周期，用余数判断对应项 2. 解题核心 从特殊到一般，先观察前几项变化，提炼通用公式，再用通项求解任意项，杜绝盲目猜测。 变式迁移 【变式7-1】（2026·陕西榆林·二模）如图，是由同样大小的铜币按一定的规律组成的图案，第1个图案有3个铜币，第2个图案有5个铜币，第3个图案有7个铜币，…，则第______个图案有21个铜币． 【答案】10 【分析】仔细观察每一个图形中铜币的个数与图形序列号的关系，找到规律，利用规律求解即可． 【详解】解：观察图1有个铜币； 图2有个铜币； 图3有个铜币； 图4有个铜币； … 图n有个铜币， 当， 解得：． 【变式7-2】（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为______． 【答案】21 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可． 【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第n个图案中矩形的个数：， ∴则第10个图案中矩形的个数为：， 故答案为：21． 【变式7-3】（2026·安徽·二模）综合与实践：钢管堆砌与图形规律探究 【项目主题】某校数学实践小组在参观钢结构加工厂时，发现钢管常按一定规律堆砌存放．为了优化仓库空间使用，提高效率，他们决定对钢管的堆砌规律展开数学研究． 【项目准备】1．观察现象 钢管的横截面堆砌成如下形状（图示，2，3，4的情形），其中上方的数字表示该位置钢管的总数量； 2．规律猜想 小组初步猜想：第n个图的钢管总数S可以按“行”来观察，并尝试用算式表达． 【项目分析】1．统一符号：设第n个图的钢管总数为 2．任务分解： 任务一：按“行”的方式写出和的算式，归纳的表达式． 任务二：换一种分割方式（如按“列”或“斜线”），重新表达． 任务三：建立第n个图钢管总数的通用公式，并用于计算较大n时的数量． 【项目实施】问题一：按行分割的规律归纳 1．请补全下表： 图形 算式 ① ② 2．根据规律，写出第n个图的算式（不化简）： ③． 问题二：换一种眼光看图形 请你对的图形进行另一种方式的分割（如按“列”或“斜线”），并在下表中写出你发现的算式表达： 图形 算式 ④ ⑤ 问题三：建立通用公式【提示：】 将你在问题一中得到的第n个图的算式化简，写出关于n的代数表达式： ⑥； 根据以上信息，完成下面内容： (1)将上方空白内容补充完整： ①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________；⑥__________； (2)若某堆钢管的，求n的值． 【答案】(1)①；②；③；④；⑤；⑥ (2)8 【分析】（1）根据题意求出，时S的值，可得到规律即可解答； （2）根据，列出方程，即可解答． 【详解】（1）解：问题一： 图形 算式 第n个图的算式（不化简）：； 问题二： 图形 算式 问题三∶ 关于n的代数表达式： ； （2）解：根据题意得：， 解得（舍），， 即n的值为8． 1. （2025·湖南衡阳·模拟预测）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足被开方数为整数，且被开方数中不含能开得尽方的因数．根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数为整数，且无平方因子，故为最简二次根式，符合题意； B、  ，含平方因子，故不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数不是整数，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. （2026·山西临汾·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：，故A错误，不符合题意； 选项B：，故B错误，不符合题意； 选项C：，故C正确，符合题意； 选项D：，故D错误，不符合题意； 3. （2026·河北·一模）计算：（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，本题可运用平方差公式进行简便计算，直接代入公式运算即可得到结果． 【详解】解： ， 故选：A． 4. （2026·湖北十堰·一模）已知，，则（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解. 再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：对所求式子因式分解得：， ∵ ，， ∴ 原式． 5. （2025·北京·三模）若代数式的值为0，则满足要求的所有x的值为（   ） A．1 B．0 C．0或 D．0或1 【答案】B 【分析】此题考查分式值为零的条件：分子等于零，且分母不等于零，据此列得等式或不等式，求出答案． 【详解】解：∵代数式的值为0， ∴，且， 解得：或，且， ∴， 故选：B． 6. （2026·江苏南通·模拟预测）如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件判断b的符号，再利用二次根式性质化简，去绝对值后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴原式 ． 7. （2025·江苏南京·一模）计算的结果是____． 【答案】4 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先算乘除法，再化简即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 8. 若，化简______． 【答案】 【分析】本题考查化简二次根式．先判断，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 9. 已知为实数，且，则________． 【答案】13 【分析】本题考查了换元法，二次根式的非负性，完全平方公式变形，换元法是解本题的关键．设,，由已知条件得，且，解出和的值，再代入所求表达式计算 【详解】解：设,，则 由,，得 将代入，得 展开得，即 两边除以2得 解方程得或（舍去，因为） 则 故 10. （2025·青海西宁·二模）一组按照规律排列的式子：，，其中第个式子是______，第个式子是______为正整数 【答案】 【分析】本题考查单项式规律探索，乘方运算，掌握相关知识是解决问题的关键．观察所给代数式发现，分子的底数都是，而指数是从开始的奇数；分母是底数从开始的自然数的平方． 【详解】解：，，其因此第个式子是，第个式子是． 故答案为，． 11. （2026·甘肃·模拟预测）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算平方差公式、绝对值、零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）（1）解： ； （2）解： ． 12. （2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）因式分解 (1) (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）先提取公因式，再根据完全平方公式分解即可； （2）根据平方差公式将原式化为，再根据平方差公式分解即可； （3）根据平方差公式分解因式，进而合并同类项即可； （4）将原式化为，分组分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13. （2026·江西吉安·一模）化简：． 【答案】 【分析】括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可得出结果． 【详解】解： ． 14. （2026·重庆·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： 当时，原式 15. （2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和正三角形两种图案为某单位设计花卉展览场地． 【项目准备】 设计如图所示的花卉展览场地图案中的正方形和正三角形的边长均为米，正方形和正三角形的每个顶点放置一盆花卉（顶点重合处只放盆）． 【项目分析】 按照以上图形规律，解答下列问题： 填表： 图案序号 图案需要花卉盆数 占地面积（平方米） 第1个图案 6 第2个图案 12 第3个图案 20 第4个图案 ① ② 第5个图案 ③ ④ … … … (1)请补充表格中的数据：①________，②________，③________，④________； (2)第（为正整数）个图案需要花卉________盆，占地面积________平方米；（用含的式子表示）； 【项目实施】 (3)已知为该单位设计的花卉展览场地图案中总共用了盆花卉，求该图案的占地面积有多少平方米？参考数据：． 【答案】(1)30，，42，； (2)，； (3)该图案的占地面积约为平方米． 【分析】（1）先观察前3个图案的花卉盆数与占地面积的规律，再推导第4、5个图案的对应数据．花卉盆数：第1个6，第2个12，第3个20，可归纳为相邻两个图案的盆数差值依次增加2．占地面积：正三角形部分面积为，正方形部分面积为，据此计算第4、5个图案的面积． （2）根据（1）中得到的规律，将第个图案的花卉盆数和占地面积分别用含的代数式表示．花卉盆数： ．占地面积：正三角形面积为，正方形面积为，合并为． （3）先根据花卉总盆数列出关于的方程，求解的值，再将代入占地面积公式计算结果． 【详解】（1）解：花卉盆数： 第1个：； 第2个：； 第3个：； ∴①第4个：； ③第5个：； 占地面积： 第1个：； 第2个：； 第3个：； ∴②第4个：； ④第5个：； （2）解：由（1）可得第n（n为正整数）个图案需要花卉盆，占地面积为平方米； （3）解：设第n（n为正整数）个图案需要花卉132盆花卉， 则， 解得：（舍去）． 占地面积为（平方米）， 答：该图案的占地面积约为平方米． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 代数式及其运算 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 　混淆整式运算中的法则、公式 易错点 2 　因式分解不彻底，公式与提公因式出错 易错点 3 　忽略分式有意义的条件，分母不为 0 易错点 4 　分式的运算 易错点 5 　忽略二次根式有意义的条件，被开方数大于等于 0 易错点 6 　二次根式运算结果未化为最简 易错点 7 　用代数式表示规律性问题 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 混淆整式运算中的法则、公式 错因剖析 概念混淆：运算法则边界不清，公式乱用，把，，混用，常见指数该加变成乘、该乘变成加；计算时常漏给系数乘方，或只给部分字母乘方，忽略 “每个因式都要乘方”；混淆平方差与完全平方公式看到两数和乘两数差就乱套公式，或把写成. 认知偏差：思维固化，凭感觉运算，不是同类项也强行合并，如“，”; 忽视公式结构，只看数字不看整体用平方差、完全平方时，不会把多项式看成一个整体，导致结构判断错误、公式套错。 基础薄弱：运算不熟练，细节漏洞多 系数运算与字母运算脱节系数算错、符号看错，尤其负系数乘方、单项式乘多项式时漏乘、少乘。 零指数、负指数规则不熟，负指数忘记取倒数，直接写负指数。 书写不规范，步骤跳太多不写过程、心算出错，多重运算一步到底，符号、指数、项数频频出错。 【例1】（2026·福建泉州·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】 １．先看运算类型，再选对应法则 乘除看底数：同底数幂相乘→指数相加；相除→指数相减； 乘方看结构：幂的乘方→指数相乘；积的乘方→每个因式都乘方。 ２．公式认准结构，不凭感觉套用 平方差：“两数和 × 两数差”，结果是平方减平方 完全平方：“和或差的平方”，结果一定有三项，牢记 “首平方、尾平方、两倍首尾在中央” 坚决不出现 这类错误。 ３．去括号先看符号，负号全变号 括号前是负号，去掉括号和负号，每一项都要变号，不只变第一项。 合并同类项先判断，不是同类绝不并 ４．只有字母相同、相同字母指数也相同才是同类项； 不同类项如 、 不能合并。 5． 运算分步写，不跳步、不心算 单项式乘多项式、多项式乘多项式，要逐项相乘再合并，避免漏乘、错符号。 【知识链接】 1. 幂的运算法则 同底数幂相乘： 同底数幂相除： 幂的乘方： 积的乘方： 零指数： 2. 乘法公式 平方差公式： 完全平方公式： 3. 去括号与合并同类项 去括号：； 合并同类项：系数相加减，字母和指数不变 4. 整式乘除基本规则 单项式 × 单项式：系数乘系数，同底数幂相乘 单项式 × 多项式：用单项式去乘每一项，再相加 多项式 × 多项式：逐项相乘，再合并同类项 变式迁移 【变式1-1】（2025·四川·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·四川巴中·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·广东佛山·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 易错点2 因式分解不彻底，公式与提公因式出错 错因剖析 概念混淆：混淆因式分解与整式乘法 分不清因式分解是把多项式化为几个整式的积，常出现结果含加减、中途变回整式乘法的错误，不符合分解要求。不明确分解标准：每一个因式都不能再分解，得出一个多项式就停止，遗漏二次分解。 认知偏差：违背“一提二套三查”步骤，有公因式不先提，直接用公式，结果必然出错； 不检查、不复盘，做完不验证，不排查能否继续分解，隐性分解漏洞难以发现； 不会把 化为 提取公因式，易出现符号错误、漏项。 基础薄弱：基础运算不熟练，公式记忆不清，细节粗心，规范度不足，造成会做的题失分。 公因式找不全，系数找不准最大公约数，字母漏看最低次幂，漏提、错提公因式。 漏项、书写不规范，提公因式后漏掉因数1，括号、符号书写出错，步骤潦草。 不会自查错误，不懂得用整式乘法反向验算，无法核对结果正误。 【例2】（2025·山东东营·中考真题）因式分解____________． 避错秘籍 【防错指南】 1.牢记解题步骤：一提二套三查 先提公因式，再套公式，最后检查是否分解彻底，严禁跳过提公因式直接套公式。 2.公因式提干净，符号不马虎 找准系数最大公约数、字母最低次幂；遇到相反数因式，统一形式再提取，提负号要全变号。 3.认准公式结构，不盲目套用 平方差是“两项平方异号”，完全平方是“三项首尾平方同号，中间两倍乘积”，不混淆结构。 4.分解必须彻底，不留死角 检查每一个因式，确保不能再提公因式、不能再套公式，杜绝半途而废。 5.规范书写，及时验算 不漏项、不漏括号，结果写成整式积的形式；用整式乘法反向验算，核对正误。 【知识链接】 1. 核心定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解（与整式乘法方向相反）。 2. 常用方法 提公因式法： 公因式：系数最大公约数+相同字母最低次幂。 公式法：平方差公式： 完全平方公式： 3. 关键规则 结果必须是乘积形式，不能有加减运算 每一个因式都要分解到不能再分解为止 相反数变形：， 变式迁移 【变式2-1】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式分解因式的结果是_____． 【变式2-2】（2026·宁夏银川·一模）分解因式： ______． 【变式2-3】（2025·黑龙江·模拟预测）分解因式：． 易错点3 忽略分式有意义的条件，分母不为 0 错因剖析 概念混淆：不清楚分式的核心特征是分母含有字母，做题时只看分子运算，完全忘记分母不能为0这条铁律，直接忽略取值范围。 混淆“有意义”和“值为0”的条件，误以为分母为0时分式等于0，或是分母化简后为常数就不用考虑，不理解只要原式分母含字母，就必须满足不为0的条件。 认知偏差：把分式值为0（分子为0且分母不为0），和分式有意义（仅分母不为0）混为一谈，求取值范围时，只考虑分子不检查分母，或是条件用反。习惯性先约分、化简分式，再判断分母是否为0，忽略化简前原式的分母限制，导致取值范围扩大，答案出错。做计算题、化简题时，觉得只要结果对就行，不注明字母取值范围，不符合答题规范，被扣步骤分。 基础薄弱：漏看隐含限制条件，遇到二次根式在分母、绝对值在分母的情况，不仅分母不为0，还要满足被开方数非负，双重条件只考虑一个。书写不规范，不标注前提，求出结果后，不补充分式有意义的前提条件，答题不完整，造成无谓失分。 【例3】（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 避错秘籍 【防错指南】 1.只要是分式，无论化简与否，第一步先保证分母不为0，这是前提，再做后续运算。 2.分式有意义：只需要分母≠0；分式值为0：分子=0且分母≠0，两个条件缺一不可。 3.严禁先约分再判断，必须按原式分母列不等式，防止取值范围出错。 4.有多个分母、含根号/绝对值的分母，所有限制条件都要满足，不遗漏任何一条。 5.求出取值范围或结果后，注明字母的取值前提，保证答题完整。 【知识链接】 1. 分式定义 形如（A、B为整式，且B中含有字母）的式子叫做分式，B≠0是分式存在的前提。 2. 核心条件 分式有意义： 分式无意义： 分式值为0： 且 3. 常见隐含条件 分母含二次根式：被开方数>0（分母不能为0，也不能为负） 分母含绝对值、平方：结果恒非负，只需保证不等于0 多个分母：所有分母均≠0，取交集 变式迁移 【变式3-1】（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·四川成都·一模）若分式的值为0，则的值是（    ） A．0 B．1 C．1或0 D．0或 【变式3-3】（2025·安徽滁州·三模）当分式的值为0时，则实数x的取值是________． 易错点4 分式的运算 错因剖析 概念混淆： 1.混淆分式加减与乘除法则 分式加减盲目通分，乘除忘记变除为乘、颠倒分子分母；把分式乘法当成加法运算，违背基本运算规则。 2.混淆通分与约分，时机颠倒 加减运算不通分，直接合并分子分母；乘除运算不约分，先计算再化简，步骤繁琐且易出错。 3.符号与变号规则混乱 分子分母变号、分式前添负号时，只变部分项符号；分母互为相反数时，变形后漏变号，导致结果符号出错。 4.忽视运算前提，无意义运算 运算全程不检查分母，遇到分母为0的情况依旧计算，忽略分式有意义的前提条件。 认知偏差： 不先约分再计算，直接算出大数再化简，计算量变大，容易出现数值错误。 分子分母是多项式时，不会整体看待，漏给多项式加括号，去括号时出错，破坏运算逻辑。 基础薄弱： 1.通分找不准最简公分母 不会取系数最小公倍数、字母最高次幂，公分母找错，通分结果出错。 2.多项式不会因式分解 分子分母不分解，无法约分，运算结果无法化简，格式不规范。 3.结果不化简，书写潦草 运算结束不化为最简分式，分子分母顺序混乱、符号写错，不符合答题要求。 【例4】（2025·青海·中考真题）先化简，再从，，中选一个合适的数代入求值． 避错秘籍 【防错指南】 1.先定符号，再算数值：负数提前定号，变号要彻底，分式整体变号，不遗漏项。 2.乘除先约分，加减先通分：乘除先因式分解、约分，再计算；加减找最简公分母，通分后再运算。 3.除法变乘法，颠倒除式：除以一个分式，等于乘它的倒数，牢记颠倒分子分母。 4.多项式加括号，整体运算：分子分母为多项式，必须加括号，去括号严格遵守变号规则。 5.结果必最简，分母不为0：彻底约分，检查分母，保证分式有意义。 【知识链接】 1. 分式乘除 ； 2. 分式加减 同分母：；异分母： 3. 关键规则 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内 结果化为最简分式，分子分母不含公因式 全程保证分母不为0 变式迁移 【变式4-1】（2026·陕西西安·一模）化简：． 【变式4-2】（2026·福建泉州·一模）先化简，再求值：，其中． 【变式4-3】（2026·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中是从中选取的一个合适的数． 易错点5 忽略二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0 错因剖析 概念混淆： 忘记二次根式核心条件：有意义的前提是，直接对负数开平方，运算无意义。 混淆双重限制条件，根式在分母中时，只考虑被开方数非负，忘记分母不能为0，忽略被开方数大于0的特殊要求。 混淆“有意义”与“值为0”，把根式有意义和根式值为0的条件弄混，求取值范围时判断失误。 认知偏差： 直接化简根式，不先检查被开方数正负，遇到负数开方依旧运算，结果无效。 被开方数是多项式、平方、绝对值时，不会分析取值，漏看隐藏的非负要求。 基础薄弱： 面对复杂被开方数，不会列出的不等式，取值范围求错。 式子含多个二次根式时，只保证一个根式有意义，遗漏其余根式的限制条件。 【例5】（2025·四川绵阳·中考真题）若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】 1.先判定义域，再动手运算：看到二次根式，第一步先令被开方数≥0，求出字母范围。 2.根式在分母，条件更严格：分母上的二次根式，被开方数必须>0（不能等于0）。 3.多根式，全满足：多个二次根式同时存在，所有被开方数都要≥0，取交集。 4.牢记负数不能开偶次方，杜绝无意义运算。 【知识链接】 1. 二次根式定义 形如的式子叫做二次根式，是成立前提。 2. 核心条件 二次根式有意义：被开方数 二次根式无意义：被开方数 根式在分母：被开方数 变式迁移 【变式5-1】等式成立的条件是_____． 【变式5-2】（2026·江苏南通·模拟预测）若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【变式5-3】（2026·江西吉安·一模）若，，，则________． 易错点6 二次根式运算结果未化为最简 错因剖析 概念混淆： 1.被开方数含开得尽方的因数 根式内有平方数（4、9、16等）不化简，如保留，不化为。 2.被开方数含分母 根式内有分数、小数，不进行分母有理化，不符合最简要求。 3.分母含根式 结果分母带有根号，没有有理化，书写不规范。 认知偏差： 1.运算结束不检查化简 算出结果直接落笔，不判断是否为最简根式，遗漏化简步骤。 2.同类根式不合并 加减运算后，同类二次根式不合并，式子零散，格式混乱。 基础薄弱： 1.不会开方化简 无法识别根式内的平方因数，不会将平方数开方移出根号。 2.分母有理化方法不熟 不会给分子分母同乘根式，去除分母根号，步骤出错。 3.系数与根式书写混乱 根号外系数书写错误，漏写系数、错写符号。 【例6】（2025·云南丽江·模拟预测）下列二次根式：，是最简二次根式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 避错秘籍 【防错指南】 1.牢记最简根式三大标准：被开方数不含分母；不含开得尽方的因数；分母不含根号。 2.先分解，再化简：把被开方数分解因数，将平方数移出根号。 3.分母有根式，立刻有理化：分子分母同乘分母根式，去掉分母根号。 4.同类根式必合并：加减运算后，合并同类二次根式。 【知识链接】 1.最简二次根式标准 被开方数的因数是整数，因式是整式 被开方数不含能开得尽方的因数或因式 分母不含根号 2. 常用化简公式 变式迁移 【变式6-1】（2025·广东惠州·二模）化简：①___________；②___________；③___________． 【变式6-2】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·四川遂宁·一模）计算：          易错点7 混淆平方根与算术平方根，符号书写错误 错因剖析 概念混淆： 1.序号与项数对应错误 把第n项和数字、符号的对应关系弄混，序数n代入错误。 2.符号规律忽略 正负交替的式子，忘记用或表示符号。 3.数量关系提炼错误 看错数字变化规律，把等差、等比、平方规律弄混，关系式写错。 认知偏差： 1.只看前几项，不总结通项 不归纳通用公式，只按前几项仿写，遇到大数就无法求解。 2.忽视循环、递推规律 遇到周期循环、递推变化的题目，找不到核心逻辑，无从下手。 基础薄弱： 1.代数式书写不规范 系数、指数、符号书写混乱，漏写括号、写错格式。 2.不会验证规律 写出代数式后，不代入前几项验证，无法自查错误。 3.数字规律转化能力差 不会把数字变化转化为含n的代数式，转化逻辑混乱。 【例7】（2025·西藏·中考真题）观察下列一组数：，，，，，…按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】 1.三步走找规律：标序号→列数据→找关系（等差、等比、平方、循环）。 2.符号规律单独记：正负交替用或表示。 3.紧扣序数n：每一项的数值都和项数n建立联系，写出通用式子。 4.写完必验算：代入n=1、2、3，核对是否和原题数据一致。 5.规范书写：系数写在前，字母在后，括号、指数书写工整。 【知识链接】 1.常见规律类型 等差规律：后项减前项差值固定，形如 平方规律：和序数平方相关，形如、 符号交替：（负正交替）、（正负交替） 循环规律：找出周期，用余数判断对应项 2. 解题核心 从特殊到一般，先观察前几项变化，提炼通用公式，再用通项求解任意项，杜绝盲目猜测。 变式迁移 【变式7-1】（2026·陕西榆林·二模）如图，是由同样大小的铜币按一定的规律组成的图案，第1个图案有3个铜币，第2个图案有5个铜币，第3个图案有7个铜币，…，则第______个图案有21个铜币． 【变式7-2】（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为______． 【变式7-3】（2026·安徽·二模）综合与实践：钢管堆砌与图形规律探究 【项目主题】某校数学实践小组在参观钢结构加工厂时，发现钢管常按一定规律堆砌存放．为了优化仓库空间使用，提高效率，他们决定对钢管的堆砌规律展开数学研究． 【项目准备】1．观察现象 钢管的横截面堆砌成如下形状（图示，2，3，4的情形），其中上方的数字表示该位置钢管的总数量； 2．规律猜想 小组初步猜想：第n个图的钢管总数S可以按“行”来观察，并尝试用算式表达． 【项目分析】1．统一符号：设第n个图的钢管总数为 2．任务分解： 任务一：按“行”的方式写出和的算式，归纳的表达式． 任务二：换一种分割方式（如按“列”或“斜线”），重新表达． 任务三：建立第n个图钢管总数的通用公式，并用于计算较大n时的数量． 【项目实施】问题一：按行分割的规律归纳 1．请补全下表： 图形 算式 ① ② 2．根据规律，写出第n个图的算式（不化简）： ③． 问题二：换一种眼光看图形 请你对的图形进行另一种方式的分割（如按“列”或“斜线”），并在下表中写出你发现的算式表达： 图形 算式 ④ ⑤ 问题三：建立通用公式【提示：】 将你在问题一中得到的第n个图的算式化简，写出关于n的代数表达式： ⑥； 根据以上信息，完成下面内容： (1)将上方空白内容补充完整： ①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________；⑥__________； (2)若某堆钢管的，求n的值． 1. （2025·湖南衡阳·模拟预测）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2. （2026·山西临汾·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3. （2026·河北·一模）计算：（    ） A．1 B．2 C． D．3 4. （2026·湖北十堰·一模）已知，，则（   ） A．5 B．6 C．8 D．9 5. （2025·北京·三模）若代数式的值为0，则满足要求的所有x的值为（   ） A．1 B．0 C．0或 D．0或1 6. （2026·江苏南通·模拟预测）如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 7. （2025·江苏南京·一模）计算的结果是____． 8. 若，化简______． 9. 已知为实数，且，则________． 10. （2025·青海西宁·二模）一组按照规律排列的式子：，，其中第个式子是______，第个式子是______为正整数 11. （2026·甘肃·模拟预测）计算下列各题： (1)； (2)． 12. （2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）因式分解 (1) (2)； (3) (4)． 13. （2026·江西吉安·一模）化简：． 14. （2026·重庆·二模）先化简，再求值：，其中． 15. （2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和正三角形两种图案为某单位设计花卉展览场地． 【项目准备】 设计如图所示的花卉展览场地图案中的正方形和正三角形的边长均为米，正方形和正三角形的每个顶点放置一盆花卉（顶点重合处只放盆）． 【项目分析】 按照以上图形规律，解答下列问题： 填表： 图案序号 图案需要花卉盆数 占地面积（平方米） 第1个图案 6 第2个图案 12 第3个图案 20 第4个图案 ① ② 第5个图案 ③ ④ … … … (1)请补充表格中的数据：①________，②________，③________，④________； (2)第（为正整数）个图案需要花卉________盆，占地面积________平方米；（用含的式子表示）； 【项目实施】 (3)已知为该单位设计的花卉展览场地图案中总共用了盆花卉，求该图案的占地面积有多少平方米？参考数据：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $