重难点14 统计题分类训练（复习讲义，2大重点7种题型）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第六章 统计与概率 重难点14 统计题分类训练 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 61 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 数据的描述 1. 条形统计图 ◦ 特点：清楚表示每个项目的具体数量 ◦ 适用：比较多少 2. 折线统计图 ◦ 特点：清楚表示数量的变化趋势 ◦ 适用：看增减、走势 3. 扇形统计图 ◦ 特点：清楚表示各部分占总体的百分比 ◦ 关键：1）各部分百分比之和 = 100% 2）圆心角度数 = 3600 ×百分比 3. 频数与频率 • 频数：某个数据出现的次数 • 频率：频率= • 所有频率之和 = 1 解题方法 1. 求样本容量 / 总数 已知部分频数和频率： 总数 = 2. 扇形统计图求圆心角 圆心角度数 = 3600×百分比 3. 由扇形求具体数量 某部分数量 = 总数 该部分百分比 4. 补全统计图通用步骤 1. 先求总数 2. 求未知频数/频率 3. 求圆心角 4. 画图/填表 题型01 条形统计图 【典例1】（2025·山东威海·中考真题）为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，某区市开展了科技素养测评活动，内容包括知识测试和实践创新两部分．所有参赛学生的总成绩均不低于70分；总成绩x（单位：分）分为三个等级：优秀，良好，一般；总成绩80分及以上人数占总人数的百分比是优良率． 阳光中学为了解本校参赛学生科技素养测评情况，整理了这次活动本校及所在区市参赛学生测评总成绩的相关数据，部分信息如下： 测评总成绩统计表 平均数 中位数 优秀率 优良率 阳光中学 84.6 88 a 区市 85.3 87 请根据所给信息，解答下列问题： (1)求阳光中学参赛人数及a的值，并补全统计图； (2)请你对比区市测评总成绩，选择两个角度，对阳光中学参赛学生科技素养测评情况做出评价： (3)每位参赛学生的总成绩是由知识测试和实践创新成绩按一定的百分比折合而成．小红同学知识测试成绩为80分，实践创新成绩为90分，她的总成绩为87分，求知识测试成绩和实践创新成绩各占自百分比． 【答案】(1)100，，见解析 (2)见解析 (3)知识测试成绩占的百分比为，实践创新成绩占的百分比为． 【分析】此题考查了条形统计图，中位数和加权平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）首先根据阳光中学的优秀率求出参赛人数，然后求出良好的人数，然后除以总人数即可求出优良率a的值，然后补全统计图即可； （2）从中位数和优良率分析判断即可； （3）设知识测试成绩占的百分比为，则实践创新成绩占的百分比为，根据加权平均数列方程求解即可． 【详解】（1）∵阳光中学的优秀率 ∴阳光中学参赛人数为（人） ∴∴阳光中学良好的人数为 ∴阳光中学的优良率； 补全统计图如下： （2）从中位数看，阳光中学的中位数大于区市的中位数 ∴阳光中学参赛学生科技素养测评情况更好； 从优良率看，阳光中学的优良率大于区市的优良 ∴阳光中学参赛学生科技素养测评情况更好； （3）设知识测试成绩占的百分比为，则实践创新成绩占的百分比为 根据题意得， 解得， ∴知识测试成绩占的百分比为，实践创新成绩占的百分比为． 【典例2】（2025·山东日照·三模）为做好青少年禁毒教育宣传工作，学校开展了主题为“珍爱生命，拒绝毒品”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．学校从学生成绩都不低于80分的九年级（1）和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】 九年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95． 九年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】九年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 a 7 3 九年级（3）班20名学生成绩条形统计图 【分析数据】九年级（1）班和（3）班20名学生成绩统计表 统计量/班级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 m n 95      九年级（3）班 91 90 p      【应用数据】根据以上信息，回答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)填空：_________，_______，_________； (3)你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)4，91， (3)我认为九年级（1）班成绩更好一些，理由见解析 【分析】此题考查了条形统计图，中位数，众数，方差． （1）找出九年级（3）班得90分和95分的人数，补全条形统计图即可； （2）求出九年级（1）班成绩为90分的学生人数，以及得分的平均分和中位数即可； （3）比较两个班的平均数，中位数，众数，以及方差，判断即可； 【详解】（1）解：根据九年级（3）班20名学生成绩，补全条形统计图，如图所示： （2）解：根据题意得：，      ， 从小到大排列得：， 最中间的两个为 90 和 95 ， ； 故答案为：； （3）解：我认为九年级（1）班成绩更好一些，理由为： 九年级（3）班的众数为， 平均数两个班相同，中位数和众数方面（1）班优于（3）班，方差方面（3）班优于（1）班，综上所述，九年级（1）班成绩更好一些． 【变式1】（2025·山东潍坊·一模）为增强市民使用电瓶车的安全意识，交警部门在全市开展了安全使用电瓶车的专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽的情况进行问卷调查，将相关数据制成统计表． 活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表 类别 人数 ：每次戴 68 ：经常戴 ：偶尔戴 510 ：都不戴 177 合计 1000 (1)表中的值是 ． (2)宣传活动后，对骑电瓶车戴安全帽的情况进行问卷调查，将相关数据绘制成条形统计图．小亮分析统计图并给出了自己观点：宣传后骑电瓶车“：都不戴”的有188人，比宣传前增加了11人，因此交警部门的宣传活动没有效果．你认为小亮分析数据的方法合理吗？结合统计表和统计图谈谈你的看法． (3)宣传活动后，交警部门从有5名成员的家中（男2人，女3人），随机抽取2人进行问卷调查，请用树状图或列表法求恰好抽到一男一女的概率． 【答案】(1)245 (2)小亮分析数据的方法不合理，见解析 (3) 【分析】本题考查了统计表，用列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）用总人数减去其它组的人数即可得出的值； （2）根据活动前后问卷调查抽取的样本容量不同，则应该根据“都不戴”安全帽的人数的百分比来比较，分别计算出活动前后“从不戴”安全帽的人数的百分比，比较即可得解； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：小亮分析数据的方法不合理， 因为活动前后问卷调查抽取的样本容量不同，所以应根据“都不戴”安全帽的人数的百分比来比较， 宣传活动后骑电动车“从不戴”安全帽的人数的百分比为， 活动前骑电瓶车“从不戴”安全帽的人数的百分比为， ∵， ∴交警部门宣传活动有效果； （3）解：画树状图如图所示： ， 由树状图可得，从5名成员中随机抽取2人进行问卷调查，有20种等可能情况，恰好抽到一男一女共12种等可能情况， 所以（抽到一男一女）． 【变式2】（2025·山东聊城·一模）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】 八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】 八年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 3 【分析数据】 八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表 统计量班级 平均数 中位数 众数 方差 八年级（1）班 95 41.5 八年级（3）班 91 90 26.5 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题， (1)填空：______，______，______； (2)请补全条形统计图； (3)你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由； (4)从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率． 【答案】(1)91，92.5，90 (2)图见解析 (3)八（1）班的成绩更好一些，理由见解析 (4) 【分析】本题考查求平均数，中位数和众数，利用方差判断稳定性，列表法求概率： （1）根据平均数，中位数和众数的计算方法，进行计算即可； （2）根据数据描述画出条形图即可； （3）利用中位数和众数进行判断即可； （4）用表示（1）班的3个满分学生，表示（3）班的2个满分学生，列出表格进行求解即可． 【详解】（1）解：； 将八（1）的数据排序后，第10个和第11个数据为， ∴， 八（3）班的数据出现次数最多的为：90， ∴； （2）由题可知，八（3）班90分的人数为7人，95分的人数为6个，补全条形图如图： （3）八（1）班的成绩更好一些，理由如下： 两个班级成绩的平均数相同，八（1）班的中位数和众数均比八（1）班的高，故八（1）班的成绩更好一些； （4）用表示（1）班的3个满分学生，表示（3）班的2个满分学生，列出表格如下： A B C D E A A，B A，C A，D A，E B B，A B，C B，D B，E C C，A C，B C，D C，E D D，A D，B D，C D，E E E，A E，B E，C E，D 共20种等可能的结果，其中所抽取的2名学生恰好在同一个班级的情况有8种， ∴． 题型02 扇形统计图 【典例1】（2025·山东青岛·模拟预测）第19届亚运会在我国杭州举行，共有45个参赛国家和地区的运动员参加了比赛．在比赛期间，我国代表团表现出非常强大的竞技实力和精神面貌，经过全队的努力拼搏，最终获得201枚金牌、111枚银牌、71枚铜牌．某班同学以“我最喜欢的亚运会运动健儿”为主题对全校同学进行随机调查，每位同学仅选一项），根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表： 最喜欢的运动健儿 喜欢人数 根据以上信息回答下列问题： (1)表格中___________． (2)扇形统计图中C对应的扇形的圆心角的度数为___________． (3)该校有3000名学生，根据抽样调查的结果估计该校最喜欢的亚运会运动健儿是D的学生人数． 【答案】(1)72 (2)． (3)估计该校最喜欢的亚运会运动健儿是的学生有330名 【分析】本题考查了扇形统计图，扇形统计图的圆心角，样本估计总体； （1）根据最喜欢的运动健儿的人数除以占比，得到总人数，进而根据统计表，求得的值； （2）根据的占比乘以，即可求解； （3）先求得的占比，进而用乘的占比，即可求解． 【详解】（1）解：样本容量是． 故答案为72． （2）对应的扇形的圆心角度数为． 故答案为． （3）样本中，（名）， （名）． 答：估计该校最喜欢的亚运会运动健儿是的学生有名 【典例2】（2025·山东滨州·二模）2025年体育中考在即，九年级（2）班为了了解本班同学的体育训练情况，全班同学进行了一次中考体育模拟考试，并对全班同学的体育模拟考试成绩进行了统计，将数据整理后得到下列不完整的统计图表，根据图表中的信息解答下列问题： 组别 分数段 人数 A 2 B 4 C 12 D E 8 (1)九年级（2）班共有 名学生，表中的 ； (2)写出该班学生的中考体育模拟考试成绩的中位数所落的分数段是第 组（填组别）； (3)扇形统计图中B组所对应的圆心角的度数是 ； (4)B组的四名同学的成绩分别是：41，43，43，45，这组数据的方差为 ； (5)该校九年级有学生500人，请估计成绩未达到51分的有 人． 【答案】(1)40，14 (2)D (3) (4)2 (5)225人 【分析】本题考查了频数分布图和扇形统计图的应用，解题时注意：通过扇形统计图可以得到各部分数量与总量之间的比值关系；用样本估计总量时，样本越具有代表性、容量越大，总体的估计就越精确． （1）根据组学生在扇形统计图中所占百分比和统计表格中的人数可求得全班学生总人数，再通过统计图表总各个组别的人数即可求得的值； （2）根据中位数的定义即可判断中位数所落的分数段在哪一组别； （3）根据组的人数可求得在扇形统计图中所占的百分比，再用对应百分比乘以即可求解组所对应的圆心角的度数； （4）根据方差的定义计算即可； （5）通过题干求得所给的成绩未达到分的人数与全班总人数的比，再与该校九年级学生的总人数相乘即可． 【详解】（1）解：∵根据组学生在扇形统计图中所占百分比为，组学生在统计表格中的人数为名 ∴可求得全班总人数为：（名）， ∴根据统计表格可求得组中学生人数； （2）解：∵全班学生人数名， ∴第名和第名学生成绩的平均数是中位数， ∵，， ∴中位数落在分数段，即D组； （3）解：根据组的人数可求得在扇形统计图中所占的比为， ∴组所对应的圆心角的度数为； （4）解：根据方差的定义可得： 组数据的平均数为：， 组数据的方差为：； （5）解：∵通过统计表格得成绩未达到分的人数为（人）， ∴其与全班总人数的比为， ∴该校九年级成绩未达到分的有（人）． 【变式1】（2025·山东淄博·二模）增强青少年体质，促进青少年健康成长，是关系国家和民族未来的大事．某校为了解学生近期体育锻炼的情况，在全校组织了一次跳绳测试，现分别从七、八年级随机抽取了20名同学的成绩，部分成绩如下，成绩用跳绳个数表示，其评分标准分为（，，，，），其中七年级成绩如表： 跳绳个数 156 158 163 169 176 178 180 181 183 192 频数（人） 1 1 2 0 1 3 7 2 2 1 频率（） 5 5 10 0 5 35 10 10 5 八年级学生跳绳测试成绩的扇形统计图如图所示，评分为的学生的跳绳个数为：180，183，183，183，183，185，187，187，188，188，189，189． 七、八两个年级跳绳测试成绩的平均数，中位数，众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 176.5 180 八年级 176.5 183 (1)填空：________，________，________，________． (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的跳绳测试成绩较好？（写出一条理由即可） (3)假如该校七年级有600名学生，八年级有800名学生，请估计该校七、八年级达到和等级的总人数？ 【答案】(1)15，180，184，15 (2)八年级学生的跳绳测试成绩较好，理由：七年级、八年级学生的平均数相同，但八年级学生的中位数和众数均高于七年级 (3)960人 【分析】本题主要考查了统计表和扇形统计图，中位数，众数，频数，频率，通过平均数，众数和中位数对数据进行分析决策，利用样本的频数估计总体的频数等内容，解题的关键是熟练掌握以上概念和公式． （1）利用频率的公式，中位数的概念，众数的概念进行求解即可； （2）通过平均数，众数和中位数对数据进行分析即可； （3）利用样本的频数估计总体的频数即可． 【详解】（1）解：跳绳个数为178个的频率为， ∴； 七年级数据中180出现的次数最多，所以众数为180， ∴； 八年级组数据的百分比为， ∴， ∴八年级组数据个数为， 组数据个数为， 八年级数据按照从大到小的顺排列，中位数取第10位和11位的平均数， ∴中位数为， ∴， 故答案为：15，180，184，15； （2）解：八年级学生的跳绳测试成绩较好， 理由：七年级、八年级学生的平均数相同，但八年级学生的中位数和众数均高于七年级； （3）解：（人） 所以该校七、八年级达到和等级的总人数为960人． 【变式2】（2025·山东青岛·二模）年月日，中国“春节”申遗成功．为了解学生对春节文化的知晓情况，某校举办了春节文化知识竞赛，并从七、八年级学生中分别随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，共分为四组：．，．，．，．，其中，竞赛成绩分及以上为优秀），部分信息如下： 七年级名学生的竞赛成绩是： ． 八年级名学生竞赛成绩在组的数据是： ． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 八年级 八年级抽取学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的______，______，______； (2)若该校七年级有名学生，八年级有名学生参加此次春节文化知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】(1)，， (2)人 【分析】（）根据众数、中位数的定义可求出的值，再根据八年级名学生竞赛成绩在组的人数可求出的值； （）用七、八年级的学生数分别乘以成绩达到优秀的学生人数占比，相加即可求解； 本题考查了扇形统计图，众数和中位数，样本估计总体，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由七年级名学生的竞赛成绩可知，分的人数最多， ∴众数， 由八年级抽取学生竞赛成绩扇形统计图可知，成绩在组的学生有名， ∴成绩在组和组的学生共有名， ∵中位数为第名和第名学生竞赛成绩的平均数， ∴， ∵八年级竞赛成绩在组的学生有人， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：解：， 答：估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有人． 题型03 条形统计图与扇形统计图综合 【典例1】（2025·山东济宁·模拟预测）为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，某校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质．现对该校七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制了如图①、②两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：    (1)该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中“C”组对应的扇形圆心角的度数为 度，并补全条形统计图； (2)若该校八年级共1000名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数； (3)若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中同一年级两名同学的概率． 【答案】(1)80；72；见解析 (2)估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数约350人 (3) 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量，求得对应的频数，补图即可；利用圆心角计算公式计算即可． （2）利用样本估计总体的思想计算即可． （3）根据列表或画树状图法，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得(人)， C组的人数为：(人)， 八年级人数为(人)， 故C组的圆心角为：， 补图如下：    故答案为：80,72． （2）解：（人）． 估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数约350人． （3）解： 将七年级的2名同学分别记为甲、乙，八年级的2名同学分别记为丙、丁，列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中恰好选中同一年级两名同学的情况有4种， （恰好选中同一年级两名同学的概率）． 【典例2】（2025·山东日照·模拟预测）某校为了了解学生做家务的情况，对七、八年级学生进行了劳动能力测试，并从七、八年级中各随机抽取25名学生的测试成绩，进行整理分析（测试成绩用x表示，A：；B：；C：；D：；其中D等级为优秀），下面给出了部分信息： 抽取的七年级学生成绩在C组的全部数据为：82、81、83、84、84、81、86、88、87、89 抽取的八年级学生成绩在B、C组的全部数据为：76、78、85、72、85、85、79、85、85、88、79、87、85、87、88、85、86． 七、八年级学生劳动能力测评成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 a 79 八年级 85 b 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据分析，你认为从七、八年级的劳动能力测评成绩来看，哪个年级学生的劳动能力更强？请说明理由． (3)若该校七、八年级一共有2000名学生，请你估计该校七、八年级共有多少名学生劳动能力达到优秀？ 【答案】(1)82，85，24 (2)八年级学生的劳动能力更强，见解析 (3)估计该校七、八年级共有440名学生劳动能力达到优秀 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，求中位数和众数，用样本估计总体，解题的关键是能从不同的统计图中获取有用信息． （1）根据题意可得：七年级学生测试成绩中位数为第13名学生的测试成绩，由图可知：七年级第13名学生测试成绩在C组，是C组按从小到大排序的第3个，即可求出a；根据抽取的八年级学生成绩在、组共有17人，求出八年级B组和C组学生人数所占百分比，即可求出m；求出八年级A、D两组组学生人数，根据题意可得：成绩为85分的有7人，即可求出b； （2）根据表格中的数据进行分析即可； （3）用该校七、八年级总人数乘以抽取的七、八年级学生中成绩为优秀的人数所占比例即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得：七年级抽取25名学生的测试成绩， ∴七年级学生测试成绩中位数为第13名学生的测试成绩， 由图可知：七年级第13名学生测试成绩在C组，是C组按从小到大排序的第3个， 将抽取的七年级学生成绩在组的全部数据排序为：81、81、82、83、84、84、86、87、88、89， ∴七年级第13名学生测试成绩为82，即； 根据题意可得：抽取的八年级学生成绩在、组共有17人， ∴八年级B组和C组学生人数所占百分比为：， ∴八年级D组学生人数所占百分比为：，则； ∴八年级A组学生人数为：（人）， 八年级D组学生人数为：（人）， 根据抽取的八年级学生成绩在、组的全部数据可得：成绩为85分的有7人，是B、C两组中出现次数最多的，且大于A、D两组人数， ∴八年级学生测试成绩众数为85，即； 故答案为：82；85；24． （2）解：八年级学生的劳动能力更强， 理由：七年级和八年级测评成绩的平均数相同，但是八年级学生测评成绩的中位数和众数都高于七年级，故八年级学生的劳动能力更强． （3）解：（人）， 答：估计该校七、八年级共有440名学生劳动能力达到优秀． 【变式1】（2025·山东临沂·一模）为响应“健康中国”战略号召，某中学创新推出“快乐运动·健康同行”主题健身周，真正实现“汗水里绽放笑脸”的素质教育新实践．现随机抽取九年级20名学生，统计其每日体育活动时间，但在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，如图所示，根据以上信息，解决下列问题． (1)补全频数分布直方图； (2)直接写出墨汁盖住的数字共多少个？若第四组学生的平均运动时间为84.5分钟，求第四组中被盖住的数字； (3)直接写出扇形统计图中第四组的圆心角的度数是多少？ (4)若该校共有学生2000名，试估算该校约有多少名学生每日运动时间不少于60分钟？ 【答案】(1)见解析 (2)； (3) (4)该校约有人每天运动时间不少于分钟 【分析】本题主要考查了统计表、统计图、利用样本估计总体．解决本题的关键是根据统计表、统计图中的已知信息，得到未知信息． 由统计表和统计图中的信息分别求出第一、二、四组的人数，补全频数分布直方图即可； 根据频数分布直方图中各组的人数和统计表中每个组显示的人数，分别求出每个组被盖住的人数，即可得到墨汁盖住的人数； 根据第四组的人数求出第四组的人数占总人数的百分比，利用百分比求出扇形统计图中第四组的圆心角度数； 利用样本估计总体，估算该校每日本运动时间不少于分钟的人数． 【详解】（1）解：由统计表可知第一组有人， 由扇形统计图可知，第二组人数占总人数的， 第二组的人数有人， 由频数分布直方图可知第三组有人， 第四组的人数为人， 补全频数分布直方图如图所示：     （2）解：由可知第二组共有个数字， 第二组被墨汁盖住了个， 第三组共有个数， 第三组被墨汁盖住了个数， 第四组共有个数， 第四组被墨汁盖住了个数， 墨汁一共盖住了个数字； 第四组中被盖住的有一个数设这个数为， ， 解得：； 被盖住的数字为； （3）解：一共调查了名学生，第四组中有名学生， 第四组中学生的人数占总人数的， 扇形统计图中第四组的圆心角的度数是， 故答案为：； （4）解：由统计表可知第二、三、四组的学生每日运动时间不少于分钟， 利用样本估计总体，可得：， 该校约有人每天运动时间不少于分钟． 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）2024年4月3日清明节前夕，为了引导和教育学生树立爱国主义情怀，提升学生核心素养，莱西市某中学举行了“缅怀革命先烈，赓续红色精神”知识竞赛活动．现从男女生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（测试满分为100分，得分x均为不小于60的整数）进行整理、描述和分析（80分及以上为优秀，共分成四个等级，A：；B：；C：；D：），并给出下面部分信息： 随机抽取的男生竞赛成绩在C等级里的数据为：89，87，87，85，83 ． 随机抽取的女生竞赛成绩A组人数与C组人数比为． (1)补全频数分布直方图；男生竞赛成绩的中位数为 分； (2)请计算女生竞赛成绩中B等级所在扇形的圆心角度数； (3)若该校共有480名学生参加了本次活动，请估计成绩达到优秀等级的学生有多少人？ (4)为了进一步巩固本次活动对学生的教育作用，某班班会课上，班主任准备从得分最高的4名同学（其中有2名男生）中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率． 【答案】(1)图见解析；86 (2)女生竞赛成绩中B等级所在扇形的圆心角度数为； (3)估计成绩达到优秀等级的学生约有300人； (4) 【分析】（1）根据中位数的定义求解即可； （2）先求得女生竞赛成绩C、A以及D组人数，得到B组人数，再用乘以B组人数的占比，即可求解； （3）根据样本估计总体即可求解； （4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴从小到大第10和第11个数分别是85和87， ∴男生竞赛成绩的中位数为（分）， 男生竞赛成绩C组人数为（人）， 补全频数分布直方图如图： 故答案为：86； （2）解：由题意得女生竞赛成绩C组人数为（人）， ∵女生竞赛成绩A组人数与C组人数比为， ∴女生竞赛成绩A组人数为1人，女生竞赛成绩D组人数为（人）， ∴女生竞赛成绩B组人数为（人）， ∴女生竞赛成绩中B等级所在扇形的圆心角度数为； （3）解：（人）， 答：估计成绩达到优秀等级的学生约有300人； （4）解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 由表知，共有12种等可能结果，其中所选同学中有男生的有10种结果， 所以所选同学中有男生的概率为． 题型04 折线统计图 【典例1】（2025·山东潍坊·二模）五一期间，小亮一家计划安排家庭旅行，打算从某汽车租赁公司租借一辆电动汽车，使用时间为一天，往返行程为．已知该公司有，，三种型号的电动汽车，这三种型号的电动汽车每辆每天的租赁费用分别为元、元、元．小亮为了选择合适型号的电动汽车，从该公司获得了这三种型号电动汽车续航里程的数据，如图所示．（电动汽车的续航里程是指汽车在电池充满电的状态下，连续行驶的最大路程） 小亮对所获得的数据进行分析，得到三种型号电动汽车的续航里程的统计量，如下表所示． 型号 平均数（） 中位数（） 众数（） (1)写出，，的值； (2)若将型电动汽车续航里程的数据制成扇形统计图，试求“续航里程数为”的汽车所对应的扇形圆心角的度数； (3)如果从行程中是否需要充电和租车费用两方面考虑，你建议小亮家租借哪种型号的电动汽车，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)建议选择型号汽车，理由见解析 【分析】本题主要考查了调查与统计的相关知识，求扇形统计图的圆心角，掌握平均数，中位数，众数的定义是解题的关键． （1）根据中位数，众数，平均数的定义，结合统计图，即可求解； （2）根据“续航里程数为”的汽车的占比乘以，即可求解． （3）根据平均数，中位数，众数，进行决策即可． 【详解】（1）解：型电动汽车的行驶路程出现了次，次数最多，则， 型电动汽车的行驶路程平均数为：， 型电动汽车的行驶路程的数据给共有：个，第和第个数分别为， ∴ （2）解：型电动汽车续航里程的数据,“续航里程数为”的汽车所对应的扇形圆心角的度数为： （3）解：建议选择型号汽车，理由如下， 型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于，且只有的车辆能达到行程要求，故不建议选择； ，型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过， 其中型号汽车有符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且型号汽车比型号汽车更经济实惠，故建议选择型号汽车． 【典例2】（2025·山东·二模）菏泽，一直享有“曹州牡丹甲天下”的美誉，其牡丹品类繁盛，拥有1308个品种的观赏牡丹．每到四五月份，菏泽牡丹花开正艳、云蒸霞蔚，吸引众多海内外游客打卡观赏．某牡丹研究机构对甲、乙两种牡丹新品种盛开期的花朵直径进行调研，每种牡丹随机选择8朵进行测量，数据（单位：）如下： 根据以上数据进行分析可得统计表和折线统计图如下： (1)直接写出统计表中甲的平均数为________ 、乙的众数为___________ 、甲的中位数为__________ ； (2)观察折线统计图比较甲和乙两种品种牡丹花直径方差的大小并通过计算进行验证； (3)该研究机构计划采摘甲、乙两种牡丹花其中一种，用于加工成如图所示的独立包装的全花朵牡丹花茶，以便按朵数进行计量销售．请利用以上统计量进行分析，问选择哪个品种更合适？为什么？（请至少结合两个统计量进行分析） 【答案】(1)24，24，24 (2)，见解析 (3)选择甲品种牡丹花更合适，理由见详解 【分析】本题考查了求平均数，求方差，求众数，运用众数作决策，运用方差作决策，运用中位数作决策，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平均数的公式列式计算，得出甲的平均数为，再结合众数，中位数的定义进行作答即可； （2）算出甲和乙两种品种牡丹花直径方差，再比较大小，即可作答． （3）结合平均数和中位数来看，两种品种牡丹花相同，再运用众数和方差进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∴甲的平均数为， 观察乙品种的数据，出现的次数最多，且为2次， ∴乙的众数为， 先把甲品种的数据进行排序，得， 观察排在中间位置的数分别是， 则 ∴甲的中位数为， 故答案为：24，24，24； （2）解：依题意，观察折线图，得， 计算过程如下： ， ， ∵， ∴， （3）解：依题意，从平均数和中位数来看，两种品种牡丹花相同． 从众数来看，甲品种直径众数比乙品种众数大，可以看出甲品种牡丹花普遍比乙品种牡丹花直径较大； 从方差来看，甲品种牡丹花方差较小，可以得出甲品种牡丹花大小相近，整朵进行独立包装后重量相差不大，宜于按朵数进行计量销售． 综上所述，选择甲品种牡丹花更合适． 【变式1】（2025·山东威海·一模）甲醛是装修常见污染物，沸点低（），易溶于水，温度升高会加速其挥发，挥发周期可达3－15年，对人体危害极大，长期接触低浓度甲醛可能引发咽喉炎、皮肤过敏、免疫力下降，长期接触高浓度可能诱发白血病等恶性疾病． 某家庭新装修后测得甲醛浓度为（国际标准），尝试三种治理方案，每周检测数据及折线图如下： 治理方案 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 仅通风 0.28 0.26 0.25 0.24 0.23 0.22 0.21 通风+活性炭 0.25 0.22 0.20 0.18 0.16 0.15 0.14 通风+光触媒 0.20 0.18 0.15 0.12 0.10 0.08 0.06 表1 某机构调查了若干装修家庭（每户），统计了七种甲醛治理方案，记录了7天后浓度、总成本（初期购买以及一个周的费用和）、使用户数以及使用比例，数据如下： 治理方案 7天后浓度（） 总成本（元） 使用户数（户） 使用占比（%） A仅通风 0.21 0 25 B通风+活性炭 0.14 370 C通风+光触媒 0.06 1500 15 D绿植吸附 0.28 600 10 E空气净化器 0.19 2150 12 F甲醛清除剂 0.17 1000 8 G专业治理公司 0.04 6000 表3 请根据图表中的信息，解答下列问题： (1)将图2和图4中的统计图补充完整，并直接写出表1中通风+光触媒的极差以及，的值； (2)假如小丽家装修完想除甲醛，请你多角度分析为其提一条合理化建议； (3)若甲，乙两个家庭分别从，，，四种治理方案中选择一种，请通过画树状图或者列表法求两个家庭选中同一种方案的概率． 【答案】(1)补全统计图见解析，，， (2)合理即可 (3) 【分析】本题考查了从条形统计图和折线统计图获取信息，画树状图或列表法求解概率，极差，读懂题意是解题的关键． （1）根据“通风+光触媒”的数据即可补全折线统计图，找出数据的最大值和最小值，即可求解极差，先由“仅通分”的户数除以占比求出总户数，再乘以“通风+活性炭”的占比求出此户数，再减去其余的户数，即可求“专业治理公司”的户数，即可求解占比，继而补全条形统计图； （2）可以从不同角度分析，合理即可； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：补全折线统计图，如图： 总户数：，则，， ∴， 极差， ∴补全条形统计图，如图： （2）解：从甲醛的性质角度分析：易溶于水，可以借助接满水的脸盆或者加湿器保持屋内湿度高；温度高加速挥发，可借助暖气或者空调，提高屋内温度；从成本角度，可以选择B，D，F方案；从最终效果角度，可以考虑C，G（答案不唯一）； （3）解：画树状图如下： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中两个家庭选中同一种方案的结果数有4种， ∴两个家庭选中同一种方案的概率是， 【变式2】（2025·山东泰安·一模）为了解某品牌A，B两种型号冰箱的销售状况，王明对其专卖店开业以来连续七个月的销售情况进行了统计，并将得到的数据制成如下的统计表： 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 A型销售量（单位：台） 10 14 17 16 13 14 14 B型销售量（单位：台） 6 10 14 15 16 17 20 (1)完成下表（结果精确到）： 平均数 中位数 方差 A型销售量 14      B型销售量 14      (2)请你根据七个月的销售情况在图中绘制成折线统计图，并依据折线图的变化趋势，对专卖店今后的进货情况提出建议（字数控制在字）． 【答案】(1)A型销售量平均数为14，B型销售量中位数15 (2)见解析，从折线图来看，B型冰箱的月销售量呈上升趋势，若考虑增长势头，进货时可多进B型冰箱． 【分析】本题考查折线统计图的制作与从统计表中获取信息的能力．统计表可以将大量数据的分类结果清晰、一目了然地表达出来． （1）根据平均数、中位数的计算公式进行解答； （2）画图时描点要准确． 【详解】（1）解：A型销售量平均数：； B型销售量中位数15； （2）解：绘制成折线统计图如下： 建议如下：从折线图来看，B型冰箱的月销售量呈上升趋势，若考虑增长势头，进货时可多进B型冰箱． 题型05 频数分布直方图 【典例1】（2025·山东泰安·一模）2025年3月15日，我国“思维高景三号卫星-搭载天雁23星”成功发射．学校为了解学生对航空航天知识的掌握情况，对八、九年级学生进行了测试，此次测试采用百分制，并规定90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格，从八、九年级各随机抽取20名学生的测试成绩，将数据进行以下整理与分析． ①抽取八年级20名学生的成绩如表： 65 87 57 96 79 67 89 97 77 100 83 69 89 94 58 97 69 78 81 88 ②抽取八年级20名学生成绩的频数分布直方图如图1所示（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）； ③抽取九年级20名学生成绩的扇形统计图如图2所示； ④八年级、九年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如表： 年级 平均数 中位数 方差 八年级 81 a 167.9 九年级 82 81 106.3 请根据以上信息，回答下列问题： (1)a=_______； (2)补全八年级20名学生成绩的频数分布直方图； (3)目前该校八年级学生有400人，九年级学生有600人，估计两个年级此次测试成绩达到优秀的学生总人数； (4)你认为哪个年级的学生成绩较好？请说明理由并给出合理化建议． 【答案】(1)82； (2)见解析； (3)优秀的学生总人数大约有280人； (4)九年级学生成绩较好，理由见解析． 【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及频数分布直方图，理解中位数、众数、平均数的定义是解题关键． (1)根据中位数的定义求出八年级这20名学生成绩的中位数，即a的值； (2)根据频数之和等于样本容量可求出“60～70”的频数，进而补全频数分布直方图， (3)分别求出八、九年级优秀等级的人数，进而即可求解； (4)根据八、九年级的平均数，中位数，方差比较得出答案． 【详解】（1）解：把八年级20名学生的成绩按从小到大排序后，位于第10和11位的分数为81，83， 处在中间位置的两个数的平均数为2， 因此中位数是82，即a＝82， 故答案为：82； （2）结合八年级20名学生的成绩表，得出60～70的人数有4人， 补全频数分布直方图，如图1所示： （3）八年级优秀人数为：（人）， 九年级优秀的人数为：（人）， （人）， 答：优秀的学生总人数大约有280人； （4）九年级学生成绩较好， 理由：九年级学生成绩的平均数较大，而方差较小，说明平均成绩较高，且波动不大，因此九年级学生的成绩较好． 【典例2】（2025·山东枣庄·模拟预测）某校八（1）班小明同学为了解年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行整理． 月均用水量 频数（户） 频率                                                                                           请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)在频数分布表中，求出 ______， ______并补全频数分布直方图； (2)求该小区用水量不超过的家庭占被调查家庭总数的百分比； (3)若该小区有户家庭，根据小明的调查数据请估计该小区月均用水量超过的家庭大约有多少户？ 【答案】(1)，，见解析 (2) (3)户 【分析】本题考查频数（率）分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了用样本估计总体． （1）由的频数及其频率可得样本容量，再由频数频率样本容量可得的值，由频率频数样本容量可得的值； （2）用该小区用水量不超过的家庭户数除以总户数即可； （3）用总户数乘以样本中月均用水量超过的家庭数所占比例即可． 【详解】（1）解：∵样本容量为， ∴，， 补全图形如下： 故答案为：、； （2）解：该小区用水量不超过的家庭占被调查家庭总数的百分比为； （3）解：根据小明的调查数据请估计该小区月均用水量超过的家庭大约有（户）． 【变式1】（2025·山东青岛·三模）为响应“健康中国”战略号召，某中学创新推出“快乐运动健康同行”主题健身周，真正实现“汗水里绽放笑脸”的素质教育新实践现随机抽取九年级名学生，统计其每日体育活动时间，但在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，如表所示，根据提供信息，解决下列问题． 运动时间分钟 数据 第一组 ，， 第二组 ，，，，， 第三组 ，，， 第四组 ，，， (1)补全频数分布直方图； (2)若第四组数据的中位数是，则第四组中被盖住的数字为______； (3)扇形统计图中第四组的圆心角的度数是______度； (4)若该校共有学生人，试估算该校约有多少名学生每日运动时间不少于分钟． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)名 【分析】（1）由随机抽取九年级名学生，可得墨汁盖住的数字共个，根据第二组的占比可得第二组的频数，求出第四组的频数，即可补全频数分布直方图； （2）根据（1）的结果以及中位数的定义可得答案； （3）用乘第四组所占百分比即可求出所对应扇形的圆心角的度数； （4）利用样本估计总体即可． 本题考查频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键． 【详解】（1）解：墨汁盖住的数字共个， 第一组的频数为，第二组的频数为，第三组的频数为， 第四组的频数为， 补全频数分布直方图： （2）解：由（1）知，墨汁盖住的数字共个，第四组的频数为， 第四组数据的中位数是， 第四组中被盖住的数字为， 故答案为：； （3）解：扇形统计图中第四组的圆心角的度数是：； 故答案为：； （4）解：名， 答：该校约有名学生每日运动时间不少于分钟． 【变式2】（2025·山东泰安·三模）某校对七、八年级学生进行了“国家安全知识”测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）． 【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）． 【整理数据】将抽取的两个年级成绩进行整理，用x表示成绩，分成五组：A．，B．，C．，D．，E．． ①七年级学生成绩在C组的具体数据是：85，85，86，87，87，88，89，89． ②八年级学生成绩在D组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94． ③将七、八年级的样本数据整理并绘制成不完整的统计图如图： 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 92 100 57.4 八年级 92.6 m 100 49.2 根据以上信息解答下列问题： (1)扇形统计图中的________，________；频数分布直方图中C组的频数是________； (2)本次抽取八年级学生成绩的中位数________；本次抽取七年级学生成绩的中位数落在________组（填“A”或“B”或“C”或“D”或“E”）； (3)分析两个年级样本数据的对比表，你认为________年级的学生测试成绩较为稳定（填“七”或“八”）； (4)若八年级有400名学生参加了此次测试，估计参加此次测试的学生中，求该年级成绩不低于95分的学生的人数． 【答案】(1)16，22，13 (2)93，D (3)八 (4)160人 【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图，用样本估计总体，求中位数，利用方差判断稳定性等知识点，读懂统计图，正确理解题意是解题的关键． (1)由C组的个数除以总数即可求解；再由“”减去的占比即可求解；组的频数利用减去组的人数即可求解； (2)利用中位数的概念求解即可； (3)根据方差的意义判断稳定性即可； (4)利用样本估计总体的方法求解． 【详解】（1）解：，即； ，即， ∵， ∴C组的频数是13； 故答案为：16，22，13； （2）解：将抽取的50名八年级学生成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数为92和94，因此本次抽取八年级学生成绩的中位数， 本次抽取七年级学生成绩的中位数落在D组， 故答案为：93，D； （3）解：样本中七年级学生成绩的方差为57.4，而八年级学生成绩的方差为49.2，由于， 因此八年级的学生测试成绩较整齐； 故答案为：八； （4）解：估计参加此次测试的学生中，该年级成绩不低于95分的学生有：（人）， 故答案为：160． 【变式3】（2025·山东聊城·三模）为弘扬传统民俗文化，某校组织七、八年级全体学生参加了知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，80~89分为良好，60~79分为及格，59分及以下为不及格．学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息． a．抽取七年级20名学生的成绩如下：65  87  59  96  79  67  89  97  77  100  83  69  89  94  56  97  69  78  81  88 b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图，如图1； （数据分成5组：） c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图，如图2； d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、优秀率、方差如下表： 年级 平均数 中位数 优秀率 方差 七年级 81 m 25% 169.1 八年级 82 82 n 154.6 请根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______； (2)补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图； (3)若本次八年级共有500人参赛，则八年级此次测试成绩不及格的学生约有______人； (4)你认为学生测试成绩较好的是______年级（填“七”或“八”）．理由是（说出两点即可）． 【答案】(1)82，30% (2)见解析 (3)25 (4)八，见解析 【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、中位数、平均数与方差等知识，熟练掌握统计的相关知识是解题的关键； （1）根据中位数的定义和扇形统计图中优秀人数的圆心角与360度的比值分别计算即可； （2）先求出七年级20名学生成绩在的人数，进而可补全统计图； （3）利用样本估计总体的思想求解即可； （4）从平均数、优秀率和方差的角度进行分析即可得到结论． 【详解】（1）解：将七年级20名学生的成绩按由小到大排列如下： 56，59，65，67，69，69，77，78，79，81，83，87，88，89，89，94，96，97，97，100． 排在第10、11位的是：81，83， ， 八年级优秀率， 故答案为：82，30%； （2）解：七年级20名学生成绩在的人数为：（人）， 补全后的频数分布直方图如下： （3）解：八年级此次测试成绩不及格的学生约有：（人）， 故答案为：25； （4）解：学生测试成绩较好的是八年级，理由如下： 从平均数看：八年级平均数＞七年级平均数，说明八年级平均成绩较高； 从优秀率看：八年级优秀率＞七年级优秀率，说明八年级优秀率较高； 从方差看：八年级方差＜七年级方差，说明八年级成绩波动较小． 【变式4】（2025·山东东营·三模）为了让学生紧跟信息时代步伐，提升信息技术素养，某校组织了一次全校2000名学生参加的“AI知识竞赛”，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中部分学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：请根据所给信息，解答下列问题： 成绩x/分 频数 频率 10 0.05 20 0.10 30 b a 0.30 80 0.40 (1)随机抽取的学生数量为 ， ， ； (2)请补全频数分布直方图； (3)若将成绩按上述分段方式画扇形统计图，则分数段对应的扇形的圆心角为 度； (4)本次大赛得分最高的4名学生中，男女生各有2名，学校为了进一步提高学生信息技术素养，现从这4名学生中随机抽取2名做现场技术展示，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)200，60，0.15 (2)图见解析 (3)54 (4) 【分析】本题考查分布表，直方图，求扇形统计图中圆心角的度数，利用列表法求概率，从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键： （1）利用频数等于总数乘以频率进行计算即可； （2）根据（1）中结果，补全直方图即可； （3）360度乘以分数段的频率进行计算即可； （4）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：； ， ； （2）补全直方图如图所示： （3）； 故答案为：54； （4）列表如下： 男 男 女 女 男 男，男 男，女 男，女 男 男，男 男，女 男，女 女 女，男 女，男 女，女 女 女，男 女，男 女，女 共12等可能的结果，其中一男一女的结果有8种， ∴． 重难点二 数据分析 1. 三个代表数据集中趋势的量 平均数 加权平均数 2. 中位数 ◦ 把数据从小到大排列 ◦ 奇数个：最中间那个数 ◦ 偶数个：中间两个数的平均数 3. 众数 ◦ 出现次数最多的数 ◦ 可以没有众数，也可以多个众数 2. 两个代表数据波动大小的量 1. 极差 极差 =最大值 - 最小值 2. 方差 s2=[(x1-x)2+(x2-x)2+...+(xn-x)2] ◦ 方差越大，数据越不稳定、波动大 ◦ 方差越小，数据越稳定、整齐 3. 标准差 s= 3. 统计基本概念 • 总体：要考察的全体对象 • 个体：每一个考察对象 • 样本：抽取的一部分个体 • 样本容量：样本中个体的个数（无单位） 解题方法 1. 求平均数 • 有具体数 → 直接相加除以个数 • 有权重（次数、百分比）→ 用加权平均数 2. 求中位数（必考步骤） 1. 排序（小→大） 2. 数总个数 n 3. 若 n 奇数：第 个数 若 n 偶数：第 和+1 个数的平均 3. 求众数 • 直接数哪个数出现次数最多 4. 求方差（标准步骤） 1. 先算平均数 2. 每个数减平均数，再平方 3. 全部相加，再除以 n 5. 判断谁更稳定 • 直接比方差： 方差小 → 更稳定 方差大 → 波动大 6. 用哪个统计量说话？ • 看平均水平 → 用平均数 • 看一般水平、不受极端值影响 → 用中位数 • 看最常见、多数水平 → 用众数 • 看整齐度、稳定性 → 用方差 题型01 数据的集中趋势 【典例1】（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________； （三）迁移与应用 （2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 【答案】（1）85，87，95.2；（2）；（3）建议见解析 【分析】本题主要考查了中位数，众数，方差的定义，用列表法或画树状图的方法求概率，利用平均数、中位数、众数、方差作决策等知识． （1）根据中位数，众数，方差的定义求解即可． （2）农村学校95分以上学生有2人，分别记为，，城区学校95分以上学生有2人，分别记为，，画出树状图，根据概率公式求解即可． （3）答案不唯一，只要能对平均数、中位数、众数、方差任一统计量进行比较，数据大小比较，进而提出合理建议即可． 【详解】解：（1）， 城区学校10名学生的艺术成绩中出现次数最多的是87， 故， （2）农村学校95分以上学生有2人，分别记为，，城区学校95分以上学生有2人，分别记为，，画树状图如下： 总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有2种， ∴P（所选两名学生恰好都是城区学生）． （3）例：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展； 从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议加强农村学校艺术教学； 从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平； 从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议减小两极分化． 【典例2】（2025·山东德州·中考真题）本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：． 为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：3月份测试成绩如下： 17  33  28  27  35  19  21  22  25  22 25  27  19  27  18  27  28  29  31  32 信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下： 信息三：测试成绩对比表如下： 月份 平均数/个 众数/个 优秀率 3月 a b 6月 29 c 请根据以上信息；完成下面问题： (1)补全条形图； (2)表中的 ， ， ； (3)已知该校七年级共400人，请估算七年级，6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？ 【答案】(1)见解析 (2)27；；； (3)6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了60人． 【分析】题目主要考查扇形统计图和条形统计图的综合应用，利用样本估计总体等，理解题意，结合图形获取相关信息是解题关键． （1）结合条形统计图和扇形统计图得出合格的人数为：人，然后确定优秀的人数，补全统计图即可； （2）根据众数得定义即可确定a的值，利用优秀率的计算方法求解即可； （3）用总人数乘以相应的优秀率，然后相减即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意得，合格的人数为：人， ∴优秀的人数为：人， 补全统计图如下： （2）根据题意得，3月测试成绩中27出现的次数最多， ∴， ∵优秀：； ∴3月份中优秀的人数为4人，6月份中优秀的人数为7人， ∴，， 故答案为：27；；； （3）6月份达到“优秀”的人数为：人， 3月份达到“优秀”的人数为：人， ∴人， ∴6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了60人． 【变式1】（2025·山东青岛·二模）年月日，嫦娥六号探测器成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行，对于了解月球的演化历史具有重要的意义，同时也推动了人类对宇宙的探索为了激发学生探索宇宙的兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行整理和分析，按成绩分为如下组(满分100分)，组：；组：；组：；组：，并绘制了如下不完整的统计图其中组的成绩分别是：，，，，，，，，，，，． 请结合统计图和相关信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)组成绩中，众数是 分；被抽取的学生竞赛成绩的中位数为 分． (3)若该校共有名学生，成绩不低于分的为“优秀”，试估计在本次活动中获得“优秀”的有多少人？ 【答案】(1)见解析 (2)， (3)人 【分析】（1）由组人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘组对应百分比求出其人数，再根据各组人数之和等于总人数求出组人数，从而补全图形； （2）根据众数和中位数的定义求解即可； （3）总人数乘以样本中、组人数和所占比例即可． 本题主要考查调查与统计的相关知识，理解频数分布直方图、扇形统计图中的相关信息，掌握运用样本百分比估算总体数量，求中位数的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：被调查的总人数为（人）， 则组人数为（人），组人数为（人）， 补全图形如下： （2）解：组成绩中，这个数据出现的次数最多，故众数是分， 将组排列为：，，，，，，，，，，，， 故被抽取的学生竞赛成绩的中位数为（分）， 故答案为：，； （3）解：（名）， 答：估计在本次活动中获得“优秀”的有人． 【变式2】（2025·山东聊城·二模）2025年3月9日，在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委提出要实施“体重管理3年行动计划”，普及健康生活方式，加强慢性病防治．目前，国际上通用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的标准为体质指数（以下简称），其换算公式为：（单位：），并规定： ：偏瘦；：正常；：超重；：肥胖． 某校为调查初三年级学生的胖瘦程度，在该年级中随机抽取了男女生各人，测量他们的身高，体重，计算相应的值，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． A．10名男生的身高（单位：m），体重（单位：）及BMI（保留一位小数）数据如下表： 身高 体重 B．10名女生的身高（单位：m）如下：                             C．10名女生的BMI指数条形图如下： (1)t=______（保留一位小数），男生体重的中位数是______，女生身高的众数是______； (2)若该校初三年级共有学生人，其中男生人，女生人，据此估计，该校初三年级学生体重超重或肥胖的人数． (3)请你根据该校男女生的数据，对学校开展健康管理工作提出一条合理化建议． 【答案】(1)，， (2)该校初三年级学生体重超重或肥胖的人数人 (3)对学校学生进行健康的饮食习惯的培养，加强体育锻炼（答案不唯一) 【分析】本题考查了中位数，众数，样本估计总体等；理解中位数，众数，样本估计总体是解题的关键． （1）由的定义代值计算即可，由男生的体重从小到大排列后中间的两个数是、，可求中位数；女生身高出现最多的数据是，可求众数； （2）男生体重超重或肥胖所占百分比女生体重超重或肥胖所占百分比，即可求解． （3）根据（2）的结论，提出一条合理建议即可求解． 【详解】（1）解：， 男生的体重从小到大排列后中间的两个数是、， 中位数是； 女生身高出现最多的数据是， 女生身高的众数是； 故答案为：，，； （2）解：由题意得 （人）， 答：该校初三年级学生体重超重或肥胖的人数人． （3）对学校学生进行健康的饮食习惯的培养，加强体育锻炼（答案不唯一) 【变式3】（2025·山东青岛·三模）为激发中学生热爱科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（8分及8分以上为优秀），数据整理如图表；根据信息，回答下列问题： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 a 7.55 中位数 8 d 众数 b 7 优秀率 c 0.5 (1)统计表中_________，_________，_________； (2)若该校七年级有1000名学生、八年级有1200名学生，请估计该校七八年级学生成绩优秀的总人数． 【答案】(1)7.55，8，7.5 (2)估计该校七八年级学生成绩优秀的总人数为1200名 【分析】本题考查统计图，求平均数，中位数和众数，利用样本估计总体，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）根据平均数，中位数和众数的计算方法进行计算即可； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：； 七年级8分的人数所占的比例最大，人数最多，故； 八年级的数据第10个和第11个数据分别为7和8， ∴； 故答案为：7.55，8，7.5； （2）（名）； 答：估计该校七八年级学生成绩优秀的总人数为1200名． 【变式4】（2025·山东·模拟预测）在航空领域飞速发展的当下，2024年12月26日，中国自主研发的第六代战斗机在成都飞机工业公司的黄田坝机场成功完成了首次试飞，这一里程碑事件，照亮了中国空军迈向未来的道路．某校组织了“强国有我”知识测试（测试成绩满分为100分，且成绩均为整数）．测试结束后，发现该校全体学生的测试成绩均不低于80分，现从七、八年级中分别随机抽取了20名学生的成绩（设测试成绩为x分，共分成4组：A组：，B组：，C组：，D组：），并绘制成不完整的频数分布直方图和扇形统计图．其中七、八年级中C组学生的成绩如下： 七年级C组学生的成绩：94，93，94，94，90，90； 八年级C组学生的成绩：92，94，92，91，92，92，94，93，92； 七、八年级抽取20名学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93 a 94 49 八年级 93 92 b 【解决问题】 (1)填空：__________，__________，__________； (2)已知该校七、八年级分别有1000名学生，若学生测试成绩达到90分以上（含90分）为优秀，请你估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数； (3)补全条形统计图； (4)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在本次测试中，哪个年级的学生对“强国有我”相关知识了解得更好一些？请说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】(1)，， (2)估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数约为人； (3)补全图形见解析 (4)理由见解析 【分析】本题考查的是条形统计图，频数分布直方图，用样本估计总体和扇形统计图，能从统计图中提取有用信息是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解，结合求解即可； （2）总人数分别乘以七、八年级优秀人数所占比例，再相加即可得出答案； （3）根据，再补全图形即可． （4）根据众数、中位数、方差的意义分析判断即可． 【详解】（1）解：七年级成绩的中位数是第10、11个数据的平均数，而这2个数分别为90、90， 所以其中位数， 八年级成绩在A组人数为人，组人数为人，C组成绩为92的有5人， 所以其成绩的众数． 而， ∴； （2）解：人， 答：估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数约为人； （3）解：∵七年级C组学生的成绩：94，93，94，94，90，90；共人， 补全图形如图所示， ； （4）解：七年级的学生对中华优秀传统文化故事相关知识了解的更好一些， 理由：因为七、八年级学生成绩的平均数相等，虽然八年级成绩的中位数略高于七年级，但七年级成绩的众数大于八年级，且方差更小，成绩更稳定，所以七年级的学生对中华优秀传统文化故事相关知识了解的更好一些． 题型02 数据的波动程度 【典例1】（2025·山东临沂·一模）某校兴趣小组在学科实践活动中，从市场上销售的A，B两个品种的花生仁中各随机抽取30粒，测量其长轴长度，然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息． a． 两种花生仁的长轴长度统计表： 花生仁长轴长度 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A品种花生仁粒数 4 6 9 8 3 0 0 0 0 0 B品种花生仁粒数 0 0 2 3 6 4 5 4 4 2 b． 两种花生仁的长轴长度的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 A品种花生仁 14 14 b c B品种花生仁 a 16 根据以上信息，回答下列问题： (1)兴趣小组的同学在进行抽样时，以下操作正确的是______（填序号）； ①从数量足够多的两种花生仁中挑取颗粒大的各30粒； ②将数量足够多的两种花生仁分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒； (2)写出a，b，c 的值； (3)学校食堂准备从A，B两个品种的花生仁中选购一批做配菜食材，根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购 （填“A”或“B”）品种花生仁，理由是 ． 【答案】(1)② (2)，， (3)A，A品种花生仁的方差小，花生仁大小均匀 【分析】本题主要考查了抽样调查、平均数、中位数、众数、方差等知识点，理解平均数、中位数、众数、方差的意义是解答本题的关键． （1）抽样时应要具有随机性和代表性，据此即可解答； （2）根据方差、中位数、众数的定义求解即可； （3）根据方差与稳定性之间的关系即可解答． 【详解】（1）解：抽样时要具有代表性和随机性，故应该将数量足够多的两种花生仁分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒； （2）解：A品种花生仁的样本中14出现了9次，次数最多，则众数为； B品种花生仁的样本有30个数据，从小到大排列处于中间为第15和第16的数据分别是17，18，则中位数为． A品种花生仁的方差； （3）解：由于菜品质量要求，花生仁大小要均匀，即数据波动小，方差小；因为A品种花生仁的方差1．4小于B品种花生仁的方差，则应选A． 故答案为：A，A品种花生仁的方差小，花生仁大小均匀． 【典例2】（2025·山东淄博·二模）已知九年级1班和2班各随机抽取名学生参加科普知识比赛，现对测试成绩（满分分）进行整理分析，共分四个等级（成绩用表示），，，，．具体信息如表： 九年级1班参赛学生等级的成绩为：，，，： 九年级2班参赛学生等级的成绩为：，，，，． 九年级1班参赛学生测试成绩扇形统计图    九年级2班参赛学生测试成绩条形统计图    九年级1、2班参赛学生测试成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 九年级1班 九年级2班 请根据以上信息，回答下列问题： (1)直接写出，的值，并求扇形统计图中对应的圆心角的度数； (2)补全九年级2班参赛学生成绩条形统计图； (3)请从中位数和方差这两个方面，对两个班参赛学生的成绩进行比较，并作出评价． 【答案】(1)，，扇形统计图中对应的圆心角的度数为 (2)见解析 (3)从中位数看：1班有一半的学生成绩在分以上，2班有一半的学生成绩在分以上，2班成绩好于1班；从方差看：1班成绩较稳定，2班成绩波动较大 【分析】（1）根据众数、中位数的概念分别求出与，再求出的人数，然后求出它对应的圆心角的度数； （2）根据（1）求得九年级2班参赛的学生等级的人数，再补全条形统计图； （3）先从中位数比较两个班的参赛成绩，再从方差比较，然后得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，九年级1班名同学成绩等级的人数为（人）， ∵九年级1班参赛的学生等级的成绩为：，，，， 处在中间位置的两个数都是，因此中位数是， ； 九年级2班参赛的学生等级的成绩为：，，，，．等级的2人，等级的1人，等级的人数为：（人）， 九年级2班名学生成绩出现次数最多的是，共出现3次，出现次数最多，因此众数是， ； ∴扇形统计图中对应的圆心角的度数为； （2）九年级2班参赛的学生等级有5人，等级有2人，补全统计图如图所示， 九年级2班参赛学生测试成绩条形统计图      （3）从中位数看：1班有一半的学生成绩在分以上，2班有一半的学生成绩在分以上，2班成绩好于1班； 从方差看：1班成绩较稳定，2班成绩波动较大． 【变式1】（2025·山东青岛·二模）某校开展了知识竞赛（百分制），七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了30名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七年级成绩的频数分布直方图如下 （数据分成五组：）； b．七年级成绩在的数据如下（单位：分）：80  81  85 85  85  85  85  88  85  85  85  89 c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80.4 m n 141.04 八年级 80.4 83 84 86.10 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中________，________； (2)下列推断合理的是________； ①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小； ②若八年级小明同学的成绩是84分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩． (3)竞赛成绩85分及以上记为优秀，该校七年级有600名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数． (4)在这次竞赛中，八年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人有男生的概率． 【答案】(1) (2)①② (3)300名 (4) 【分析】本题考查了列表法与树状图法、频数分布直方图、用样本估计总体、加权平均数、中位数、众数、方差，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义可得答案； （2）根据中位数、方差的定义可得答案； （3）根据用样本估计总体，用600乘以样本中竞赛成绩85分及以上的学生人数所占的百分比，即可得出答案； （4）画树状图可得出所有等可能的结果数以及所选2人有男生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：将七年级抽取的30名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，排在第15和16名的成绩为81分、85分， ∴， ∵的频数分别为3，3，7，5；而85出现了8次， ∴． 故答案为：83；85； （2）解：由题意知，样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小，故①正确，符合题意； 若八年级小明同学的成绩是84分，高于八年级成绩的中位数，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半或者一半以上学生的成绩，故②正确，符合题意． 故答案为：①②； （3）解：（人）， ∴估计七年级成绩优秀的学生人数约300人； （4）解：画树状图如下： 机会均等的可能有12种，其中一男一女的有8种， 故被选中的两人恰好是一男一女的概率是：． 【变式2】（2025·山东潍坊·一模）已知九年级1班和2班名随机抽取10名学生参加科普知识比赛，现对测试成绩（满分100分）进行整理分析，共分四个等级（成绩用x表示），D：，C：， B：，A：．具体信息如下表： 九年级1班参赛学生B等级的成绩为：92，93，93，94 九年级1班参赛学生测试成绩扇形统计图 九年级2班参赛学生A等级的成绩为：95，95，95，98，100 九年级2班参赛学生测试成绩条形统计图 九年级1、2班参赛学生测试成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 九年级1班 93 a 93 九年级2班 93 94 b 请根据以上信息，回答下列问题： (1)填空： ，扇形统计图中C对应的圆心角的度数为 ； (2)补全九年级2班参赛学生成绩条形统计图； (3)请从中位数和方差这两方面，对两个班参赛学生成绩进行评价． 【答案】(1)188, (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据中位数，众数的定义，圆心角计算公式，计算即可． （2）根据计算补图即可． （3）利用中位数越大，越优秀，方差越小，波动越小，越稳定解答即可． 【详解】（1）解：∵D等级有：(人)，A等级有(人)，B等级有4人，且成绩为92，93，93，94， ∴C等级有：（人）， ∵C，D等级共有3人，且中位数是第5个数据，第6个数据的平均数， ∴中位数是， ∵A等级5人的成绩为：95，95，95，98，100，95出现了3次，B等级有2人，C等级有1（人），则D等级有2人， ∴众数为， ∴， 故答案为：188； 根据题意，得． 故答案为：72． （2）解：根据题意，A等级5人的成绩为：95，95，95，98，100，95出现了3次，B等级有2人，C等级有1（人）， 则D等级有2人， 补图如下： （3）解：根据中位数越大，越优秀，方差越小，波动越小，越稳定， 一班的方差更小， 故一班更稳定； 二班的中位数为94，大于一班的93，从这个角度看，二班更好些． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，中位数，众数，熟练掌握统计图的意义，中位数，众数，圆心角计算是解题的关键． 1．（2025·山东青岛·模拟预测）2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎盛大开幕，受到广泛关注．篮球、羽毛球、排球、乒乓球（依次用字母，，，表示）是比较热门的球类运动． 为了解社区奥运会热门球类项目的喜爱情况，某社会实践小组抽取部分社区居民进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角度数为 ； (2)该社区共有名居民，请你估计该社区有多少名居民喜爱乒乓球运动； (3)该社会实践小组成员小明根据社区调查情况，预估学校中的名学生会有名喜爱羽毛球，实际却有名学生喜爱羽毛球．请你分析小明估计不准确的原因． 【答案】(1)图见详解， (2) (3)在社区统计抽样的样本在学校不具有随机性（答案不唯一） 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图信息关联．旨在考查学生的数据处理能力． （1）计算出共抽取的社区居民人数即可求解； （2）计算出样本中乒乓球所占比例即可求解． （3）在社区统计抽样的样本在学校不具有随机性． 【详解】（1）解：由题意得：共抽取的社区居民人数为：（人）， ∴喜爱乒乓球的人数为：（人）； 条形统计图如下： 所对应扇形的圆心角的度数为：； （2）解：（名）， ∴估计该社区有名居民喜爱乒乓球运动； （3）解：在社区统计抽样的样本在学校不具有随机性．（答案不唯一） 2．（2025·山东聊城·三模）为增强学生体质，某校在八年级学生中实行“每日跳绳十分钟”的训练活动．学校为了解一学期的训练结果，随机抽查了50名学生2月份和6月份的测试成绩，并绘制成如下不完整的统计图表．规定每分钟跳绳个数60个以上为成绩合格，并将学生成绩分成如下五组（x为每分钟跳绳个数）：，，，，，其中的数据为：106，109，110，110，111，112，113，116，116，118，118，123，124，124，124，124，132，134． 2月份与6月份测试成绩统计表 月份 平均数/个 中位数/个 合格率 2 94 85 6 a b c 请根据以上信息解决下列问题： (1)将图中频数分布直方图补充完整并直接写出a，b的值； (2)若该校八年级学生共有800人，以随机抽查的50名学生6月份成绩为样本，请估计该校八年级学生的合格人数； (3)请从多角度分析本次跳绳训练活动的成果． 【答案】(1)图见解析，， (2)720人 (3)见解析 【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、求中位数、平均数、用样本估计总体，读懂统计图获取必要的信息是解题的关键． （1）先求出和的频数，补全频数分布直方图，再根据平均数和中位数的定义即可求出a，b的值； （2）先求出合格人数所占的比例，再乘以800即可求解； （3）根据平均数、中位数、合格率等角度分析即可． 【详解】（1）解：的频数为（人）， 的频数为（人）， 补全频数分布直方图如下： 的平均数为， ， 将50名学生6月份成绩从小到大顺序排列，中位数为第25位和第26位的平均数， ， ，． （2）解：（人）， 答：估计该校八年级学生的合格人数为720人． （3）解：本次跳绳训练活动有明显增加每分钟跳绳个数的成果， 从平均数看，每分钟跳绳个数的平均数从94个增加到个， 从中位数看，每分钟跳绳个数的中位数从85个增加到116个， 从合格率看，合格率从增加到． 3．（2025·山东烟台·一模）某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 第1小组得分条形统计图    第2小组得分扇形统计图  第3小组得分折线统计图 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 a 第2小组 b 3.5 5 第3小组 3.25 c 3 请根据以上信息，完成下列问题： (1)①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为__________度； ②请补全第1小组得分条形统计图； (2)__________，__________，__________； (3)从第二组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)①18；②见解析 (2)5；；3 (3) 【分析】本题考查统计图，求中位数和众数，利用列表法求概率，从统计图中有效的获取信息是解题的关键： （1）①利用360度乘以“得分为1分”所占的比例求出圆心角的度数；②根据总数减去其它组的人数求出分的人数，补全条形图即可； （2）根据平均数，中位数和众数的计算方法，进行求解即可； （3）根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：①； 故答案为：18； ②第1小组“得分为4分”这一项的人数为（人）， 补全第1小组得分条形统计图如下， （2）由条形图可知，得到5分的人数最多，故； 由扇形图可知：； 由折线图可知，第10个和第11个数据均为3分， ∴； （3）由题意，列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种， ∴． 4．（2025·山东·模拟预测）2024年12月17日，神舟十九号乘组完成首次出舱活动，用时9小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时长纪录．为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，校团委以此为契机，组织了“航空航天知多少”知识竞赛．随机抽查七、八年级各15名同学成绩进行分析，相关信息如图表所示： 成绩x/分 七年级 4 3 5 3 八年级 0 0 5 10 平均数 中位数 众数 方差 七年级 15.4 a 16 8 八年级 18.2 18 b 说明：七年级抽取的15名同学的竞赛成绩在分数段内的具体成绩为14，16，17，16，15，16，15，16．根据以上信息，解答下列问题． (1) ； ； (2) （填“”“”或“”）．你认为哪个年级同学掌握有关“航天”的知识更好？请说明理由； (3)学校从“”范围内随机抽取了4名学生，其中有3名男生和1名女生，若从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求所选取的2名学生恰好是2名男生的概率． 【答案】(1)16，19 (2)，八年级同学掌握有关“航天”的知识更好，理由见解析 (3) 【分析】（1）将七年级15名同学的成绩按照从小到大的顺序排列，中间第8名同学的成绩即为中位数，八年级15名同学中出现次数最多的成绩即为众数； （2）方差的计算公式：；中位数、众数越大，掌握情况越好，方差越小，越稳定，只需比较这三个数即可； （3）列表可知所有可能的情况共有n种，其中选取的2名学生恰好是两名男生的结果有m种，； 本题主要考查了中位数、众数和方差的定义与计算，列表法或树状图法求概率等知识点，熟练掌握方差的计算和列表法或树状图法求概率是解题的关键． 【详解】（1）解：将七年级抽取的15名同学的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第8名的成绩为16， ∴． 由八年级抽取的15名同学的竞赛成绩统计图可知成绩为19的人数最多， ∴． 故答案为：16，19； （2）由图表信息可知， ∵七年级成绩的方差为8，八年级成绩的方差为1.76， ∴． 故答案为：． 八年级同学掌握有关“航天”的知识更好． 理由：∵八年级成绩的平均数、中位数、众数都大于七年级，且八年级成绩的方差小于七年级， ∴八年级同学掌握有关“航天”的知识更好； （3）列表如表： 男 男 男 女 男 —— (男，男) (男，男) (男，女) 男 (男，男) —— (男，男) (男，女) 男 (男，男) (男，男) —— (男，女) 女 (女，男) (女，男) (女，男) —— 共有12种等可能的结果，其中所选取的2名学生恰好是两名男生的结果有6种， ∴所选取的2名学生恰好是2名男生的概率为． 5．（2025·山东威海·一模）某学校举办“强国有我”主题演讲比赛，分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由10位教师评委和40位学生评委给每位选手打分（百分制）．对各位评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．教师评委打分 86  88  89  90  91  92  92  92  94  96 b．学生评委打分的频数分布直方图如下（分为5组：第1组；第2组；第3组；第4组；第5组） c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 m n 学生评委 p 90 根据以上信息，回答下列问题： ①直接写出m，n的值：________；________； ②p的值位于学生打分的第________组； (2)决赛由5位专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5位评委给其打分的平均数和方差，平均数大的选手排名靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排名靠前．5位专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 94 94 94 94 乙 95 92 94 95 94 丙 92 96 93 95 q 若丙在三位选手中排名居中，则三位选手中________排名靠前，表中q（q为整数）的值为________． 【答案】(1)①91；92；②3 (2)乙，94 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可； （2）分别求出甲和乙的方差和平均数，再根据丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，得到丙的平均数大于等于甲的平均数小于等于乙的平均数，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得； ∵教师评委打分中，打分为92分的人数最多， ∴教师评委打分的众数为92分，即； ②把学生打分的数据按照从低到高的顺序排列，中位数为第20名和第21名这两个数据的平均数， ∵， ∴学生打分的中位数位于第3组，即p的值位于学生打分的第3组； （2）解：甲的平均数为， 乙的平均数为分， 甲的方差为， 乙的方差为， ∵丙在三位选手中排名居中， ∴， ∴， ∵q为整数， ∴当时，丙的平均数为， 丙的方差为， ∵，， ∴此时乙的成绩最好，丙的成绩最差，不符合题意； ∴当时，丙的平均数为， 丙的方差为， ∵，， ∴此时乙的成绩最好，丙的成绩居中，甲的成绩最差，符合题意； 综上所述，三位选手中乙排名靠前，． 1．（2025·山东淄博·二模）齐风泱泱，淄水汤汤，幸福河湖润泽百姓幸福生活，一座清水润泽之城全面起势．某学校准备组织学生进行周末游河湖研学活动，有孝妇河、齐盛湖、文昌湖、马踏湖4个目的地选择．为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个目的地），小刚根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（如图）． 请你根据图中信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查的总人数为________，请将条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中“文昌湖”对应的圆心角为________度，若该学校共有学生1000名，请估计参加“文昌湖游河湖研学”的学生有多少人？ (3)研学活动有文艺类的“：现场绘画”和“：：情境写作”及实践类的“：水质调研”和“：植被调研”，共4项活动，为平衡活动方案，以班级为单位随机选择2种活动参加，请用画树状图或列表法求出某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的概率． 【答案】(1)20，见解析 (2)，350人 (3) 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，由样本估计总体，求扇形统计图圆心角度数，用列表法或树状图法求概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先根据孝妇河的人数和所占比例求出本次抽样调查的总人数，再求出报名马踏湖的人数，补全条形统计图即可； （2）用乘以“文昌湖”所对应的比例即可得出圆心角度数，用乘以“文昌湖”所对应的比例即可得出参加“文昌湖游河湖研学”的学生人数； （3）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：本次抽样调查的总人数为（人）， 故报名马踏湖的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： ； （2）解：扇形统计图中“文昌湖”对应的圆心角为， 参加“文昌湖游河湖研学”的学生有：人； （3）解：画树状图可得： ， 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的情况有种， 故某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的概率为． 2．（2025·山东临沂·一模）古诗词是传统文化的瑰宝，为感受古诗书韵，打造“书香校园 ”，传承华夏文明，学校随机 抽取了20名学生进行诗词知识测试，了解学生诗词的掌握情况，测试成绩如下： 83、75、76、91、88、88、93、78、98、95、74、67、96、72、87、73、100、81、94、86． 【整理数据】 小强对以上数据进行了整理分析，并绘制出频数直方图与扇形统计图． 分组 频数 A： a B： 6 C： b D： 7    【解决问题】 请根据以上信息，回答下列问题： (1)以上数据中，中位数是 ，众数是 ； (2)请将频数直方图补充完整； (3)竞赛成绩在80~100分等级评价为“优秀”．试估计全校800名学生中，成绩在“优秀”水平的约有多少人？ 【答案】(1)；88 (2)见解析 (3)此次测试成绩在“优秀”水平的约有520人 【分析】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数和众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和频数分布表中的数据可以求得这组数据的中位数和众数； （2）根据题意和频数分布表中的数据可以求得和的值，可以将频数分布直方图补充完整； （3）根据样本估计总体求解即可． 【详解】（1）解：将20名学生的测试成绩从小到大排列为： 67、72、73、74、75、76、78、81、83、86、87、88、88、91、93、94、95、96、98、100． ∴中位数是， 88出现了两次，次数最多， ∴众数是88， 故答案为：，88； （2）解：根据题意和频数分布表中的数据知，；； 补全的频数分布直方图如图所示；   ； （3）解：（人）， 答：此次测试成绩在“优秀”水平的约有520人． 3．（2025·山东日照·三模）随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，大大提高了工作效率．特别是“”的问世将人工智能技术运用推向高潮．某科技公司推出甲、乙两款人工智能学习辅导软件，相关人员在某学校开展对甲、乙两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分调查．测试成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．相关人员随机抽取甲、乙两款学习辅导软件各25份得分数据，并整理绘制成如下统计图表． 平均数 中位数 众数 甲软件测试得分 9 b 10 乙软件测试得分 9 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)将甲软件测试得分统计图补充完整； (2)_________，_________， ； (3)如果是你会选择哪种人工智能学习软件？并说明理由． (4)本次调查中，若有1200名学生对甲款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名学生对乙款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为A等级的学生总人数． 【答案】(1)见解析 (2)，，； (3)会选择甲种人工智能学习软件，理由见解析 (4)800人 【分析】本题主要考查了求中位数，求众数，求扇形统计图的某项数目，用样本估计总体等知识点，熟练掌握中位数、众数的概念及扇形统计图是解题的关键． （1）根据题意，先求得等级人数，然后画统计图即可； （2）把甲软件分数从小到大排列一遍，即可求得中位数，由乙软件测试得分统计图，可求得等级占比，从扇形统计图比例，可知等级占比最多，从而得到乙软件的众数； （3）甲、乙中位数相同，但是甲的平均数和众数都大于乙对应的平均数和众数，据此可得结论； （4）依次求得对甲款、乙款人工智能学习辅导软件评分为A等级占比，然后再求得A等级人数，最后求得答案． 【详解】（1）解：相关人员随机抽取甲、乙两款学习辅导软件各25份得分数据， ∴甲软件测试得分中，等级人数有：， 甲软件测试得分统计图如下图为所求： （2）解：甲软件测试分数如下：7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，那么中位数为：9， ， 由乙软件测试得分统计图，等级占比：， ， 等级占比最多， 乙软件众数为：9， ． 故答案为：，，； （3）解：会选择甲种人工智能学习软件，理由如下； 甲、乙两种人工智能学习软件的中位数相同，但是甲种人工智能软件的平均数和众数都要大于乙种人工智能软件对应的平均数和众数， ∴会选择甲种人工智能学习软件； （4）解：对甲款人工智能学习辅导软件评分为A等级占比为：， 对甲款人工智能学习辅导软件评分为A等级人数为：（人），      对乙款人工智能学习辅导软件评分为A等级的人占比为， 对乙款人工智能学习辅导软件评分为A等级人数为：（人），       评分为A等级的总人数为：（人）． 答：估计甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为A等级的学生总人数800人． 4．（2025·山东临沂·二模）“生活里没有书籍，就好像没有阳光；智慧里没有书籍，就好像鸟儿没有翅膀．” 阅读对人成长的影响是巨大的．学校想了解八年级和九年级学生的阅读情况，分别从每个年级随机抽取了40名学生进行调查，收集了这80名学生一周阅读时长的数据，并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．八、九年级各抽取的40名学生一周阅读时长统计图如图．(统计图不完整，两个年级的数据都分成6组：，，，，，，单位：) b．九年级学生一周阅读时长在这一组的数据为6，6，6，6，，，7，7，7，7，，． c．八、九年级学生一周阅读时长的平均数、中位数、众数和方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 7 7 九年级 m 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中________； (2)补全九年级学生一周阅读时长频数分布直方图，表中m的值为________； (3)从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对八年级和九年级学生的阅读情况进行比较，并作出评价； (4)八年级有400名学生，九年级有200名学生，请估计两个年级的学生中，一周阅读时长不低于8小时的人数． 【答案】(1)36 (2)见解析， (3)见解析 (4)200名 【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图及中位数的计算方法，准确掌握各统计图的特点并理解各个数量之间的关系式是解决问题的关键． （1）利用扇形统计图各部分的百分率总和等于1，在根据圆心角度数计算方法即可求得结果； （2）①求出九年级40人中阅读时间为小时的人数，即可补全条形统计图；利用条形统计图求出的人数与的人数，再由九八年级学生一周阅读时长在这一组的数据求得中位数即可； （3）根据条形统计图的信息及统计表中的信息，即可得出结论； （4）根据条形统计图及扇形统计图中的相关数据，可求出两个年级一周阅读时长不低于8小时的人数，即可得出结果． 【详解】（1）解： ； 故答案为：36； （2）的人数为：， 补全的九年级学生一周阅读时长频数分布直方图如下． ∵随机抽取了40名学生进行调查， 的人数：（名）， 的人数：（人）， ∴中位数应该在第21和21名同学度数时间的平均数 ∵， ∴中位数在组，按照从低到高排序的第4和第5同学读书时间的平均数， ∴； 故答案为：； （3）从平均数看：八年级学生的平均数高于九年级学生的平均数，所以八年级学生的阅读情况好于九年级；从方差看：八年级学生的方差小于九年级学生的方差，说明八年级学生的阅读时长波动较小，所以阅读情况好于九年级．(答案不唯一) （4）400×(30%+5%)+200×=200（人)． 答：估计两个年级的学生中，一周阅读时长不低于8小时的人数为200人． 5．（2025·山东济南·二模）随着人工智能技术的快速发展，已成为推动全球创新和经济增长的重要力量．某校为了培养能够适应未来社会的创新人才，拟开设“交互设计”“工程实践”“综合技能”“创新挑战”“轨迹普及”五项人工智能社团课程．为了解学生对上述五项社团课程的兴趣情况，随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如图所示），并将调查结果绘制成如下所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）． 根据统计图提供的信息，解答下列问题． (1)求随机抽取学生人数； (2)将条形统计图补充完整； (3)表示“综合技能”的扇形的圆心角度数为______度； (4)学校对有意向参加“创新挑战”社团课程的学生进行了现场测试（满分100分），并将成绩统计如下： 成绩/分 83 87 90 92 95 97 人数 2 4 6 8 3 1 则这组数据的平均数是______，中位数是______，众数是______； (5)若该校学生的总人数是1200人，请你估计最有意向参加“轨迹普及”社团课程的学生有多少人？ 【答案】(1)60人 (2)图见解析 (3)108 (4)90.5，91，92 (5)180人 【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图中的数据求出总人数； （2）总人数减其他各项人数得的人数，继而补全图形即可； （3）利用乘 “综合技能”占比计算出扇形图中“综合技能”的度数； （4）先计算总分数再除以总人数即可为平均分，先将分数进行排序后即可求出中位数，观察表格人数最多的即为分数的众数； （5）总人数乘以“轨迹普及”的占比，即为答案． 【详解】（1）解：（人） 答：随机抽取学生人数为60人 （2）解：C的人数：（人）， 补全条形统计图如图所示： （3）解：表示“综合技能”的扇形的圆心角度数为； 故答案为：108； （4）解：这组数据的平均数是（分）， 中位数是（分），众数是92分； 故答案为：90.5，91，92； （5）解：（人）， 答：估计最有意向参加“轨迹普及”社团课程的学生有180人． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 统计与概率 重难点14 统计题分类训练 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 32 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 数据的描述 1. 条形统计图 ◦ 特点：清楚表示每个项目的具体数量 ◦ 适用：比较多少 2. 折线统计图 ◦ 特点：清楚表示数量的变化趋势 ◦ 适用：看增减、走势 3. 扇形统计图 ◦ 特点：清楚表示各部分占总体的百分比 ◦ 关键：1）各部分百分比之和 = 100% 2）圆心角度数 = 3600 ×百分比 3. 频数与频率 • 频数：某个数据出现的次数 • 频率：频率= • 所有频率之和 = 1 解题方法 1. 求样本容量 / 总数 已知部分频数和频率： 总数 = 2. 扇形统计图求圆心角 圆心角度数 = 3600×百分比 3. 由扇形求具体数量 某部分数量 = 总数 该部分百分比 4. 补全统计图通用步骤 1. 先求总数 2. 求未知频数/频率 3. 求圆心角 4. 画图/填表 题型01 条形统计图 【典例1】（2025·山东威海·中考真题）为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，某区市开展了科技素养测评活动，内容包括知识测试和实践创新两部分．所有参赛学生的总成绩均不低于70分；总成绩x（单位：分）分为三个等级：优秀，良好，一般；总成绩80分及以上人数占总人数的百分比是优良率． 阳光中学为了解本校参赛学生科技素养测评情况，整理了这次活动本校及所在区市参赛学生测评总成绩的相关数据，部分信息如下： 测评总成绩统计表 平均数 中位数 优秀率 优良率 阳光中学 84.6 88 a 区市 85.3 87 请根据所给信息，解答下列问题： (1)求阳光中学参赛人数及a的值，并补全统计图； (2)请你对比区市测评总成绩，选择两个角度，对阳光中学参赛学生科技素养测评情况做出评价： (3)每位参赛学生的总成绩是由知识测试和实践创新成绩按一定的百分比折合而成．小红同学知识测试成绩为80分，实践创新成绩为90分，她的总成绩为87分，求知识测试成绩和实践创新成绩各占自百分比． 【典例2】（2025·山东日照·三模）为做好青少年禁毒教育宣传工作，学校开展了主题为“珍爱生命，拒绝毒品”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．学校从学生成绩都不低于80分的九年级（1）和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】 九年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95． 九年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】九年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 a 7 3 九年级（3）班20名学生成绩条形统计图 【分析数据】九年级（1）班和（3）班20名学生成绩统计表 统计量/班级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 m n 95      九年级（3）班 91 90 p      【应用数据】根据以上信息，回答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)填空：_________，_______，_________； (3)你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由．     【变式1】（2025·山东潍坊·一模）为增强市民使用电瓶车的安全意识，交警部门在全市开展了安全使用电瓶车的专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽的情况进行问卷调查，将相关数据制成统计表． 活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表 类别 人数 ：每次戴 68 ：经常戴 ：偶尔戴 510 ：都不戴 177 合计 1000 (1)表中的值是 ． (2)宣传活动后，对骑电瓶车戴安全帽的情况进行问卷调查，将相关数据绘制成条形统计图．小亮分析统计图并给出了自己观点：宣传后骑电瓶车“：都不戴”的有188人，比宣传前增加了11人，因此交警部门的宣传活动没有效果．你认为小亮分析数据的方法合理吗？结合统计表和统计图谈谈你的看法． (3)宣传活动后，交警部门从有5名成员的家中（男2人，女3人），随机抽取2人进行问卷调查，请用树状图或列表法求恰好抽到一男一女的概率． 【变式2】（2025·山东聊城·一模）为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】 八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95．八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】 八年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 3 【分析数据】 八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表 统计量班级 平均数 中位数 众数 方差 八年级（1）班 95 41.5 八年级（3）班 91 90 26.5 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题， (1)填空：______，______，______； (2)请补全条形统计图； (3)你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由； (4)从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率． 题型02 扇形统计图 【典例1】（2025·山东青岛·模拟预测）第19届亚运会在我国杭州举行，共有45个参赛国家和地区的运动员参加了比赛．在比赛期间，我国代表团表现出非常强大的竞技实力和精神面貌，经过全队的努力拼搏，最终获得201枚金牌、111枚银牌、71枚铜牌．某班同学以“我最喜欢的亚运会运动健儿”为主题对全校同学进行随机调查，每位同学仅选一项），根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表： 最喜欢的运动健儿 喜欢人数 根据以上信息回答下列问题： (1)表格中___________． (2)扇形统计图中C对应的扇形的圆心角的度数为___________． (3)该校有3000名学生，根据抽样调查的结果估计该校最喜欢的亚运会运动健儿是D的学生人数． 【典例2】（2025·山东滨州·二模）2025年体育中考在即，九年级（2）班为了了解本班同学的体育训练情况，全班同学进行了一次中考体育模拟考试，并对全班同学的体育模拟考试成绩进行了统计，将数据整理后得到下列不完整的统计图表，根据图表中的信息解答下列问题： 组别 分数段 人数 A 2 B 4 C 12 D E 8 (1)九年级（2）班共有 名学生，表中的 ； (2)写出该班学生的中考体育模拟考试成绩的中位数所落的分数段是第 组（填组别）； (3)扇形统计图中B组所对应的圆心角的度数是 ； (4)B组的四名同学的成绩分别是：41，43，43，45，这组数据的方差为 ； (5)该校九年级有学生500人，请估计成绩未达到51分的有 人． 【变式1】（2025·山东淄博·二模）增强青少年体质，促进青少年健康成长，是关系国家和民族未来的大事．某校为了解学生近期体育锻炼的情况，在全校组织了一次跳绳测试，现分别从七、八年级随机抽取了20名同学的成绩，部分成绩如下，成绩用跳绳个数表示，其评分标准分为（，，，，），其中七年级成绩如表： 跳绳个数 156 158 163 169 176 178 180 181 183 192 频数（人） 1 1 2 0 1 3 7 2 2 1 频率（） 5 5 10 0 5 35 10 10 5 八年级学生跳绳测试成绩的扇形统计图如图所示，评分为的学生的跳绳个数为：180，183，183，183，183，185，187，187，188，188，189，189． 七、八两个年级跳绳测试成绩的平均数，中位数，众数如表所示： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 176.5 180 八年级 176.5 183 (1)填空：________，________，________，________． (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的跳绳测试成绩较好？（写出一条理由即可） (3)假如该校七年级有600名学生，八年级有800名学生，请估计该校七、八年级达到和等级的总人数？ 【变式2】（2025·山东青岛·二模）年月日，中国“春节”申遗成功．为了解学生对春节文化的知晓情况，某校举办了春节文化知识竞赛，并从七、八年级学生中分别随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（竞赛成绩用表示，共分为四组：．，．，．，．，其中，竞赛成绩分及以上为优秀），部分信息如下： 七年级名学生的竞赛成绩是： ． 八年级名学生竞赛成绩在组的数据是： ． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 八年级 八年级抽取学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的______，______，______； (2)若该校七年级有名学生，八年级有名学生参加此次春节文化知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 题型03 条形统计图与扇形统计图综合 【典例1】（2025·山东济宁·模拟预测）为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，某校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质．现对该校七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：A：；B：；C：；D：，并绘制了如图①、②两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：    (1)该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中“C”组对应的扇形圆心角的度数为 度，并补全条形统计图； (2)若该校八年级共1000名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数； (3)若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中同一年级两名同学的概率． 【典例2】（2025·山东日照·模拟预测）某校为了了解学生做家务的情况，对七、八年级学生进行了劳动能力测试，并从七、八年级中各随机抽取25名学生的测试成绩，进行整理分析（测试成绩用x表示，A：；B：；C：；D：；其中D等级为优秀），下面给出了部分信息： 抽取的七年级学生成绩在C组的全部数据为：82、81、83、84、84、81、86、88、87、89 抽取的八年级学生成绩在B、C组的全部数据为：76、78、85、72、85、85、79、85、85、88、79、87、85、87、88、85、86． 七、八年级学生劳动能力测评成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 a 79 八年级 85 b 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______，______； (2)根据以上数据分析，你认为从七、八年级的劳动能力测评成绩来看，哪个年级学生的劳动能力更强？请说明理由． (3)若该校七、八年级一共有2000名学生，请你估计该校七、八年级共有多少名学生劳动能力达到优秀？ 【变式1】（2025·山东临沂·一模）为响应“健康中国”战略号召，某中学创新推出“快乐运动·健康同行”主题健身周，真正实现“汗水里绽放笑脸”的素质教育新实践．现随机抽取九年级20名学生，统计其每日体育活动时间，但在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，如图所示，根据以上信息，解决下列问题． (1)补全频数分布直方图； (2)直接写出墨汁盖住的数字共多少个？若第四组学生的平均运动时间为84.5分钟，求第四组中被盖住的数字； (3)直接写出扇形统计图中第四组的圆心角的度数是多少？ (4)若该校共有学生2000名，试估算该校约有多少名学生每日运动时间不少于60分钟？ 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）2024年4月3日清明节前夕，为了引导和教育学生树立爱国主义情怀，提升学生核心素养，莱西市某中学举行了“缅怀革命先烈，赓续红色精神”知识竞赛活动．现从男女生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（测试满分为100分，得分x均为不小于60的整数）进行整理、描述和分析（80分及以上为优秀，共分成四个等级，A：；B：；C：；D：），并给出下面部分信息： 随机抽取的男生竞赛成绩在C等级里的数据为：89，87，87，85，83 ． 随机抽取的女生竞赛成绩A组人数与C组人数比为． (1)补全频数分布直方图；男生竞赛成绩的中位数为 分； (2)请计算女生竞赛成绩中B等级所在扇形的圆心角度数； (3)若该校共有480名学生参加了本次活动，请估计成绩达到优秀等级的学生有多少人？ (4)为了进一步巩固本次活动对学生的教育作用，某班班会课上，班主任准备从得分最高的4名同学（其中有2名男生）中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率． 题型04 折线统计图 【典例1】（2025·山东潍坊·二模）五一期间，小亮一家计划安排家庭旅行，打算从某汽车租赁公司租借一辆电动汽车，使用时间为一天，往返行程为．已知该公司有，，三种型号的电动汽车，这三种型号的电动汽车每辆每天的租赁费用分别为元、元、元．小亮为了选择合适型号的电动汽车，从该公司获得了这三种型号电动汽车续航里程的数据，如图所示．（电动汽车的续航里程是指汽车在电池充满电的状态下，连续行驶的最大路程） 小亮对所获得的数据进行分析，得到三种型号电动汽车的续航里程的统计量，如下表所示． 型号 平均数（） 中位数（） 众数（） (1)写出，，的值； (2)若将型电动汽车续航里程的数据制成扇形统计图，试求“续航里程数为”的汽车所对应的扇形圆心角的度数； (3)如果从行程中是否需要充电和租车费用两方面考虑，你建议小亮家租借哪种型号的电动汽车，并说明理由． 【典例2】（2025·山东·二模）菏泽，一直享有“曹州牡丹甲天下”的美誉，其牡丹品类繁盛，拥有1308个品种的观赏牡丹．每到四五月份，菏泽牡丹花开正艳、云蒸霞蔚，吸引众多海内外游客打卡观赏．某牡丹研究机构对甲、乙两种牡丹新品种盛开期的花朵直径进行调研，每种牡丹随机选择8朵进行测量，数据（单位：）如下： 根据以上数据进行分析可得统计表和折线统计图如下： (1)直接写出统计表中甲的平均数为________ 、乙的众数为___________ 、甲的中位数为__________ ； (2)观察折线统计图比较甲和乙两种品种牡丹花直径方差的大小并通过计算进行验证； (3)该研究机构计划采摘甲、乙两种牡丹花其中一种，用于加工成如图所示的独立包装的全花朵牡丹花茶，以便按朵数进行计量销售．请利用以上统计量进行分析，问选择哪个品种更合适？为什么？（请至少结合两个统计量进行分析） 【变式1】（2025·山东威海·一模）甲醛是装修常见污染物，沸点低（），易溶于水，温度升高会加速其挥发，挥发周期可达3－15年，对人体危害极大，长期接触低浓度甲醛可能引发咽喉炎、皮肤过敏、免疫力下降，长期接触高浓度可能诱发白血病等恶性疾病． 某家庭新装修后测得甲醛浓度为（国际标准），尝试三种治理方案，每周检测数据及折线图如下： 治理方案 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 仅通风 0.28 0.26 0.25 0.24 0.23 0.22 0.21 通风+活性炭 0.25 0.22 0.20 0.18 0.16 0.15 0.14 通风+光触媒 0.20 0.18 0.15 0.12 0.10 0.08 0.06 表1 某机构调查了若干装修家庭（每户），统计了七种甲醛治理方案，记录了7天后浓度、总成本（初期购买以及一个周的费用和）、使用户数以及使用比例，数据如下： 治理方案 7天后浓度（） 总成本（元） 使用户数（户） 使用占比（%） A仅通风 0.21 0 25 B通风+活性炭 0.14 370 C通风+光触媒 0.06 1500 15 D绿植吸附 0.28 600 10 E空气净化器 0.19 2150 12 F甲醛清除剂 0.17 1000 8 G专业治理公司 0.04 6000 表3 请根据图表中的信息，解答下列问题： (1)将图2和图4中的统计图补充完整，并直接写出表1中通风+光触媒的极差以及，的值； (2)假如小丽家装修完想除甲醛，请你多角度分析为其提一条合理化建议； (3)若甲，乙两个家庭分别从，，，四种治理方案中选择一种，请通过画树状图或者列表法求两个家庭选中同一种方案的概率． 【变式2】（2025·山东泰安·一模）为了解某品牌A，B两种型号冰箱的销售状况，王明对其专卖店开业以来连续七个月的销售情况进行了统计，并将得到的数据制成如下的统计表： 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 A型销售量（单位：台） 10 14 17 16 13 14 14 B型销售量（单位：台） 6 10 14 15 16 17 20 (1)完成下表（结果精确到）： 平均数 中位数 方差 A型销售量 14      B型销售量 14      (2)请你根据七个月的销售情况在图中绘制成折线统计图，并依据折线图的变化趋势，对专卖店今后的进货情况提出建议（字数控制在字）． 题型05 频数分布直方图 【典例1】（2025·山东泰安·一模）2025年3月15日，我国“思维高景三号卫星-搭载天雁23星”成功发射．学校为了解学生对航空航天知识的掌握情况，对八、九年级学生进行了测试，此次测试采用百分制，并规定90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格，从八、九年级各随机抽取20名学生的测试成绩，将数据进行以下整理与分析． ①抽取八年级20名学生的成绩如表： 65 87 57 96 79 67 89 97 77 100 83 69 89 94 58 97 69 78 81 88 ②抽取八年级20名学生成绩的频数分布直方图如图1所示（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）； ③抽取九年级20名学生成绩的扇形统计图如图2所示； ④八年级、九年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如表： 年级 平均数 中位数 方差 八年级 81 a 167.9 九年级 82 81 106.3 请根据以上信息，回答下列问题： (1)a=_______； (2)补全八年级20名学生成绩的频数分布直方图； (3)目前该校八年级学生有400人，九年级学生有600人，估计两个年级此次测试成绩达到优秀的学生总人数； (4)你认为哪个年级的学生成绩较好？请说明理由并给出合理化建议． 【典例2】（2025·山东枣庄·模拟预测）某校八（1）班小明同学为了解年某小区家庭月均用水情况，随机调查了该小区部分家庭，并将调查数据进行整理． 月均用水量 频数（户） 频率                                                                                           请根据图表提供的信息，解答下列问题： (1)在频数分布表中，求出 ______， ______并补全频数分布直方图； (2)求该小区用水量不超过的家庭占被调查家庭总数的百分比； (3)若该小区有户家庭，根据小明的调查数据请估计该小区月均用水量超过的家庭大约有多少户？ 【变式1】（2025·山东青岛·三模）为响应“健康中国”战略号召，某中学创新推出“快乐运动健康同行”主题健身周，真正实现“汗水里绽放笑脸”的素质教育新实践现随机抽取九年级名学生，统计其每日体育活动时间，但在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，如表所示，根据提供信息，解决下列问题． 运动时间分钟 数据 第一组 ，， 第二组 ，，，，， 第三组 ，，， 第四组 ，，， (1)补全频数分布直方图； (2)若第四组数据的中位数是，则第四组中被盖住的数字为______； (3)扇形统计图中第四组的圆心角的度数是______度； (4)若该校共有学生人，试估算该校约有多少名学生每日运动时间不少于分钟． 【变式2】（2025·山东泰安·三模）某校对七、八年级学生进行了“国家安全知识”测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于75分（满分100分）． 【收集数据】随机从七、八年级各抽取50名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）． 【整理数据】将抽取的两个年级成绩进行整理，用x表示成绩，分成五组：A．，B．，C．，D．，E．． ①七年级学生成绩在C组的具体数据是：85，85，86，87，87，88，89，89． ②八年级学生成绩在D组的具体数据是：91，92，94，94，94，94，94． ③将七、八年级的样本数据整理并绘制成不完整的统计图如图： 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 92 92 100 57.4 八年级 92.6 m 100 49.2 根据以上信息解答下列问题： (1)扇形统计图中的________，________；频数分布直方图中C组的频数是________； (2)本次抽取八年级学生成绩的中位数________；本次抽取七年级学生成绩的中位数落在________组（填“A”或“B”或“C”或“D”或“E”）； (3)分析两个年级样本数据的对比表，你认为________年级的学生测试成绩较为稳定（填“七”或“八”）； (4)若八年级有400名学生参加了此次测试，估计参加此次测试的学生中，求该年级成绩不低于95分的学生的人数． 【变式3】（2025·山东聊城·三模）为弘扬传统民俗文化，某校组织七、八年级全体学生参加了知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，80~89分为良好，60~79分为及格，59分及以下为不及格．学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息． a．抽取七年级20名学生的成绩如下：65  87  59  96  79  67  89  97  77  100  83  69  89  94  56  97  69  78  81  88 b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图，如图1； （数据分成5组：） c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图，如图2； d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、优秀率、方差如下表： 年级 平均数 中位数 优秀率 方差 七年级 81 m 25% 169.1 八年级 82 82 n 154.6 请根据以上信息，回答下列问题： (1)______，______； (2)补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图； (3)若本次八年级共有500人参赛，则八年级此次测试成绩不及格的学生约有______人； (4)你认为学生测试成绩较好的是______年级（填“七”或“八”）．理由是（说出两点即可）． 【变式4】（2025·山东东营·三模）为了让学生紧跟信息时代步伐，提升信息技术素养，某校组织了一次全校2000名学生参加的“AI知识竞赛”，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中部分学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：请根据所给信息，解答下列问题： 成绩x/分 频数 频率 10 0.05 20 0.10 30 b a 0.30 80 0.40 (1)随机抽取的学生数量为 ， ， ； (2)请补全频数分布直方图； (3)若将成绩按上述分段方式画扇形统计图，则分数段对应的扇形的圆心角为 度； (4)本次大赛得分最高的4名学生中，男女生各有2名，学校为了进一步提高学生信息技术素养，现从这4名学生中随机抽取2名做现场技术展示，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好是一男一女的概率． 重难点二 数据分析 1. 三个代表数据集中趋势的量 平均数 加权平均数 2. 中位数 ◦ 把数据从小到大排列 ◦ 奇数个：最中间那个数 ◦ 偶数个：中间两个数的平均数 3. 众数 ◦ 出现次数最多的数 ◦ 可以没有众数，也可以多个众数 2. 两个代表数据波动大小的量 1. 极差 极差 =最大值 - 最小值 2. 方差 s2=[(x1-x)2+(x2-x)2+...+(xn-x)2] ◦ 方差越大，数据越不稳定、波动大 ◦ 方差越小，数据越稳定、整齐 3. 标准差 s= 3. 统计基本概念 • 总体：要考察的全体对象 • 个体：每一个考察对象 • 样本：抽取的一部分个体 • 样本容量：样本中个体的个数（无单位） 解题方法 1. 求平均数 • 有具体数 → 直接相加除以个数 • 有权重（次数、百分比）→ 用加权平均数 2. 求中位数（必考步骤） 1. 排序（小→大） 2. 数总个数 n 3. 若 n 奇数：第 个数 若 n 偶数：第 和+1 个数的平均 3. 求众数 • 直接数哪个数出现次数最多 4. 求方差（标准步骤） 1. 先算平均数 2. 每个数减平均数，再平方 3. 全部相加，再除以 n 5. 判断谁更稳定 • 直接比方差： 方差小 → 更稳定 方差大 → 波动大 6. 用哪个统计量说话？ • 看平均水平 → 用平均数 • 看一般水平、不受极端值影响 → 用中位数 • 看最常见、多数水平 → 用众数 • 看整齐度、稳定性 → 用方差 题型01 数据的集中趋势 【典例1】（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________； （三）迁移与应用 （2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 【典例2】（2025·山东德州·中考真题）本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一分钟垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：． 为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下： 信息一：3月份测试成绩如下： 17  33  28  27  35  19  21  22  25  22 25  27  19  27  18  27  28  29  31  32 信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下： 信息三：测试成绩对比表如下： 月份 平均数/个 众数/个 优秀率 3月 a b 6月 29 c 请根据以上信息；完成下面问题： (1)补全条形图； (2)表中的 ， ， ； (3)已知该校七年级共400人，请估算七年级，6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增加了多少人？ 【变式1】（2025·山东青岛·二模）年月日，嫦娥六号探测器成功实施近月制动，顺利进入环月轨道飞行，对于了解月球的演化历史具有重要的意义，同时也推动了人类对宇宙的探索为了激发学生探索宇宙的兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行整理和分析，按成绩分为如下组(满分100分)，组：；组：；组：；组：，并绘制了如下不完整的统计图其中组的成绩分别是：，，，，，，，，，，，． 请结合统计图和相关信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)组成绩中，众数是 分；被抽取的学生竞赛成绩的中位数为 分． (3)若该校共有名学生，成绩不低于分的为“优秀”，试估计在本次活动中获得“优秀”的有多少人？ 【变式2】（2025·山东聊城·二模）2025年3月9日，在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委提出要实施“体重管理3年行动计划”，普及健康生活方式，加强慢性病防治．目前，国际上通用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的标准为体质指数（以下简称），其换算公式为：（单位：），并规定： ：偏瘦；：正常；：超重；：肥胖． 某校为调查初三年级学生的胖瘦程度，在该年级中随机抽取了男女生各人，测量他们的身高，体重，计算相应的值，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． A．10名男生的身高（单位：m），体重（单位：）及BMI（保留一位小数）数据如下表： 身高 体重 B．10名女生的身高（单位：m）如下：                             C．10名女生的BMI指数条形图如下： (1)t=______（保留一位小数），男生体重的中位数是______，女生身高的众数是______； (2)若该校初三年级共有学生人，其中男生人，女生人，据此估计，该校初三年级学生体重超重或肥胖的人数． (3)请你根据该校男女生的数据，对学校开展健康管理工作提出一条合理化建议． 【变式3】（2025·山东青岛·三模）为激发中学生热爱科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（8分及8分以上为优秀），数据整理如图表；根据信息，回答下列问题： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 a 7.55 中位数 8 d 众数 b 7 优秀率 c 0.5 (1)统计表中_________，_________，_________； (2)若该校七年级有1000名学生、八年级有1200名学生，请估计该校七八年级学生成绩优秀的总人数． 【变式4】（2025·山东·模拟预测）在航空领域飞速发展的当下，2024年12月26日，中国自主研发的第六代战斗机在成都飞机工业公司的黄田坝机场成功完成了首次试飞，这一里程碑事件，照亮了中国空军迈向未来的道路．某校组织了“强国有我”知识测试（测试成绩满分为100分，且成绩均为整数）．测试结束后，发现该校全体学生的测试成绩均不低于80分，现从七、八年级中分别随机抽取了20名学生的成绩（设测试成绩为x分，共分成4组：A组：，B组：，C组：，D组：），并绘制成不完整的频数分布直方图和扇形统计图．其中七、八年级中C组学生的成绩如下： 七年级C组学生的成绩：94，93，94，94，90，90； 八年级C组学生的成绩：92，94，92，91，92，92，94，93，92； 七、八年级抽取20名学生的成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 93 a 94 49 八年级 93 92 b 【解决问题】 (1)填空：__________，__________，__________； (2)已知该校七、八年级分别有1000名学生，若学生测试成绩达到90分以上（含90分）为优秀，请你估计七、八年级学生本次测试成绩达到优秀的总人数； (3)补全条形统计图； (4)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在本次测试中，哪个年级的学生对“强国有我”相关知识了解得更好一些？请说明理由．（写出一条理由即可） 题型02 数据的波动程度 【典例1】（2025·山东临沂·一模）某校兴趣小组在学科实践活动中，从市场上销售的A，B两个品种的花生仁中各随机抽取30粒，测量其长轴长度，然后对测量数据进行了收集、整理和分析．下面是部分信息． a． 两种花生仁的长轴长度统计表： 花生仁长轴长度 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A品种花生仁粒数 4 6 9 8 3 0 0 0 0 0 B品种花生仁粒数 0 0 2 3 6 4 5 4 4 2 b． 两种花生仁的长轴长度的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 A品种花生仁 14 14 b c B品种花生仁 a 16 根据以上信息，回答下列问题： (1)兴趣小组的同学在进行抽样时，以下操作正确的是______（填序号）； ①从数量足够多的两种花生仁中挑取颗粒大的各30粒； ②将数量足够多的两种花生仁分别放在两个不透明的袋子中，摇匀后从中各取出30粒； (2)写出a，b，c 的值； (3)学校食堂准备从A，B两个品种的花生仁中选购一批做配菜食材，根据菜品质量要求，花生仁大小要均匀，那么兴趣小组应向食堂推荐选购 （填“A”或“B”）品种花生仁，理由是 ． 【典例2】（2025·山东淄博·二模）已知九年级1班和2班各随机抽取名学生参加科普知识比赛，现对测试成绩（满分分）进行整理分析，共分四个等级（成绩用表示），，，，．具体信息如表： 九年级1班参赛学生等级的成绩为：，，，： 九年级2班参赛学生等级的成绩为：，，，，． 九年级1班参赛学生测试成绩扇形统计图    九年级2班参赛学生测试成绩条形统计图    九年级1、2班参赛学生测试成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 九年级1班 九年级2班 请根据以上信息，回答下列问题： (1)直接写出，的值，并求扇形统计图中对应的圆心角的度数； (2)补全九年级2班参赛学生成绩条形统计图； (3)请从中位数和方差这两个方面，对两个班参赛学生的成绩进行比较，并作出评价． 【变式1】（2025·山东青岛·二模）某校开展了知识竞赛（百分制），七、八年级学生参加了本次活动．为了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了30名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．七年级成绩的频数分布直方图如下 （数据分成五组：）； b．七年级成绩在的数据如下（单位：分）：80  81  85 85  85  85  85  88  85  85  85  89 c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80.4 m n 141.04 八年级 80.4 83 84 86.10 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中________，________； (2)下列推断合理的是________； ①样本中两个年级数据的平均数相同，八年级数据的方差较小，由此可以推断该校八年级学生成绩的波动程度较小； ②若八年级小明同学的成绩是84分，可以推断他的成绩超过了该校八年级一半以上学生的成绩． (3)竞赛成绩85分及以上记为优秀，该校七年级有600名学生，估计七年级成绩优秀的学生人数． (4)在这次竞赛中，八年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人有男生的概率． 【变式2】（2025·山东潍坊·一模）已知九年级1班和2班名随机抽取10名学生参加科普知识比赛，现对测试成绩（满分100分）进行整理分析，共分四个等级（成绩用x表示），D：，C：， B：，A：．具体信息如下表： 九年级1班参赛学生B等级的成绩为：92，93，93，94 九年级1班参赛学生测试成绩扇形统计图 九年级2班参赛学生A等级的成绩为：95，95，95，98，100 九年级2班参赛学生测试成绩条形统计图 九年级1、2班参赛学生测试成绩统计表 平均数 中位数 众数 方差 九年级1班 93 a 93 九年级2班 93 94 b 请根据以上信息，回答下列问题： (1)填空： ，扇形统计图中C对应的圆心角的度数为 ； (2)补全九年级2班参赛学生成绩条形统计图； (3)请从中位数和方差这两方面，对两个班参赛学生成绩进行评价． 1．（2025·山东青岛·模拟预测）2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎盛大开幕，受到广泛关注．篮球、羽毛球、排球、乒乓球（依次用字母，，，表示）是比较热门的球类运动． 为了解社区奥运会热门球类项目的喜爱情况，某社会实践小组抽取部分社区居民进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角度数为 ； (2)该社区共有名居民，请你估计该社区有多少名居民喜爱乒乓球运动； (3)该社会实践小组成员小明根据社区调查情况，预估学校中的名学生会有名喜爱羽毛球，实际却有名学生喜爱羽毛球．请你分析小明估计不准确的原因． 2．（2025·山东聊城·三模）为增强学生体质，某校在八年级学生中实行“每日跳绳十分钟”的训练活动．学校为了解一学期的训练结果，随机抽查了50名学生2月份和6月份的测试成绩，并绘制成如下不完整的统计图表．规定每分钟跳绳个数60个以上为成绩合格，并将学生成绩分成如下五组（x为每分钟跳绳个数）：，，，，，其中的数据为：106，109，110，110，111，112，113，116，116，118，118，123，124，124，124，124，132，134． 2月份与6月份测试成绩统计表 月份 平均数/个 中位数/个 合格率 2 94 85 6 a b c 请根据以上信息解决下列问题： (1)将图中频数分布直方图补充完整并直接写出a，b的值； (2)若该校八年级学生共有800人，以随机抽查的50名学生6月份成绩为样本，请估计该校八年级学生的合格人数； (3)请从多角度分析本次跳绳训练活动的成果． 3．（2025·山东烟台·一模）某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 第1小组得分条形统计图    第2小组得分扇形统计图  第3小组得分折线统计图 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 a 第2小组 b 3.5 5 第3小组 3.25 c 3 请根据以上信息，完成下列问题： (1)①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为__________度； ②请补全第1小组得分条形统计图； (2)__________，__________，__________； (3)从第二组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率． 4．（2025·山东·模拟预测）2024年12月17日，神舟十九号乘组完成首次出舱活动，用时9小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时长纪录．为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，校团委以此为契机，组织了“航空航天知多少”知识竞赛．随机抽查七、八年级各15名同学成绩进行分析，相关信息如图表所示： 成绩x/分 七年级 4 3 5 3 八年级 0 0 5 10 平均数 中位数 众数 方差 七年级 15.4 a 16 8 八年级 18.2 18 b 说明：七年级抽取的15名同学的竞赛成绩在分数段内的具体成绩为14，16，17，16，15，16，15，16．根据以上信息，解答下列问题． (1) ； ； (2) （填“”“”或“”）．你认为哪个年级同学掌握有关“航天”的知识更好？请说明理由； (3)学校从“”范围内随机抽取了4名学生，其中有3名男生和1名女生，若从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求所选取的2名学生恰好是2名男生的概率． 5．（2025·山东威海·一模）某学校举办“强国有我”主题演讲比赛，分为初赛和决赛两个阶段． (1)初赛由10位教师评委和40位学生评委给每位选手打分（百分制）．对各位评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．教师评委打分 86  88  89  90  91  92  92  92  94  96 b．学生评委打分的频数分布直方图如下（分为5组：第1组；第2组；第3组；第4组；第5组） c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 m n 学生评委 p 90 根据以上信息，回答下列问题： ①直接写出m，n的值：________；________； ②p的值位于学生打分的第________组； (2)决赛由5位专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5位评委给其打分的平均数和方差，平均数大的选手排名靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排名靠前．5位专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 93 94 94 94 94 乙 95 92 94 95 94 丙 92 96 93 95 q 若丙在三位选手中排名居中，则三位选手中________排名靠前，表中q（q为整数）的值为________． 1．（2025·山东淄博·二模）齐风泱泱，淄水汤汤，幸福河湖润泽百姓幸福生活，一座清水润泽之城全面起势．某学校准备组织学生进行周末游河湖研学活动，有孝妇河、齐盛湖、文昌湖、马踏湖4个目的地选择．为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个目的地），小刚根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（如图）． 请你根据图中信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查的总人数为________，请将条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中“文昌湖”对应的圆心角为________度，若该学校共有学生1000名，请估计参加“文昌湖游河湖研学”的学生有多少人？ (3)研学活动有文艺类的“：现场绘画”和“：：情境写作”及实践类的“：水质调研”和“：植被调研”，共4项活动，为平衡活动方案，以班级为单位随机选择2种活动参加，请用画树状图或列表法求出某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的概率． 2．（2025·山东临沂·一模）古诗词是传统文化的瑰宝，为感受古诗书韵，打造“书香校园 ”，传承华夏文明，学校随机 抽取了20名学生进行诗词知识测试，了解学生诗词的掌握情况，测试成绩如下： 83、75、76、91、88、88、93、78、98、95、74、67、96、72、87、73、100、81、94、86． 【整理数据】 小强对以上数据进行了整理分析，并绘制出频数直方图与扇形统计图． 分组 频数 A： a B： 6 C： b D： 7    【解决问题】 请根据以上信息，回答下列问题： (1)以上数据中，中位数是 ，众数是 ； (2)请将频数直方图补充完整； (3)竞赛成绩在80~100分等级评价为“优秀”．试估计全校800名学生中，成绩在“优秀”水平的约有多少人？ 3．（2025·山东日照·三模）随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，大大提高了工作效率．特别是“”的问世将人工智能技术运用推向高潮．某科技公司推出甲、乙两款人工智能学习辅导软件，相关人员在某学校开展对甲、乙两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分调查．测试成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．相关人员随机抽取甲、乙两款学习辅导软件各25份得分数据，并整理绘制成如下统计图表． 平均数 中位数 众数 甲软件测试得分 9 b 10 乙软件测试得分 9 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)将甲软件测试得分统计图补充完整； (2)_________，_________， ； (3)如果是你会选择哪种人工智能学习软件？并说明理由． (4)本次调查中，若有1200名学生对甲款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名学生对乙款人工智能学习辅导软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为A等级的学生总人数． 4．（2025·山东临沂·二模）“生活里没有书籍，就好像没有阳光；智慧里没有书籍，就好像鸟儿没有翅膀．” 阅读对人成长的影响是巨大的．学校想了解八年级和九年级学生的阅读情况，分别从每个年级随机抽取了40名学生进行调查，收集了这80名学生一周阅读时长的数据，并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．八、九年级各抽取的40名学生一周阅读时长统计图如图．(统计图不完整，两个年级的数据都分成6组：，，，，，，单位：) b．九年级学生一周阅读时长在这一组的数据为6，6，6，6，，，7，7，7，7，，． c．八、九年级学生一周阅读时长的平均数、中位数、众数和方差如表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 7 7 九年级 m 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中________； (2)补全九年级学生一周阅读时长频数分布直方图，表中m的值为________； (3)从中位数、众数、平均数、方差中，任选两个统计量，对八年级和九年级学生的阅读情况进行比较，并作出评价； (4)八年级有400名学生，九年级有200名学生，请估计两个年级的学生中，一周阅读时长不低于8小时的人数． 5．（2025·山东济南·二模）随着人工智能技术的快速发展，已成为推动全球创新和经济增长的重要力量．某校为了培养能够适应未来社会的创新人才，拟开设“交互设计”“工程实践”“综合技能”“创新挑战”“轨迹普及”五项人工智能社团课程．为了解学生对上述五项社团课程的兴趣情况，随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如图所示），并将调查结果绘制成如下所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）． 根据统计图提供的信息，解答下列问题． (1)求随机抽取学生人数； (2)将条形统计图补充完整； (3)表示“综合技能”的扇形的圆心角度数为______度； (4)学校对有意向参加“创新挑战”社团课程的学生进行了现场测试（满分100分），并将成绩统计如下： 成绩/分 83 87 90 92 95 97 人数 2 4 6 8 3 1 则这组数据的平均数是______，中位数是______，众数是______； (5)若该校学生的总人数是1200人，请你估计最有意向参加“轨迹普及”社团课程的学生有多少人？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $