重难点12 圆中的动态问题分类训练（复习讲义，1大重点5种题型）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第四章 图形的性质 重难点12 圆中的动态问题分类训练 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 77 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 圆中的动态问题 1. 圆的基本性质 同弧/等弧所对圆周角相等；直径所对圆周角=90°；垂径定理。 2. 点与圆的位置关系 点在圆外、圆上、圆内（由点到圆心距离与半径比较）。 3. 直线与圆的位置关系 相离、相切、相交（由圆心到直线距离与半径比较）。 4. 切线性质与判定 切线垂直于过切点的半径；有垂直+半径=切线。 5. 最值常用结论 ◦ 圆外一点到圆上点：最小=d−r，最大=d+r ◦ 圆上动点到定直线：最小=d−r，最大=d+r 6. 轨迹思想 动点满足固定条件时，轨迹多为：圆、圆弧、直线、线段。 解题方法 1. 抓“不变量” 不管怎么动，先找：定点、定长、定角、定直径、定弦。 2. 转化为“直角/等腰/相似” 圆中动态题，90%靠： ◦ 直径→直角 ◦ 垂径→直角 ◦ 圆周角相等→相似三角形 3. 用“距离公式/勾股定理”列方程 设未知数，用半径、弦长、距离列方程求解。 4. 判断轨迹 ◦ 到定点距离=定长 → 圆 ◦ 定角对定弦 → 圆弧 ◦ 到定直线距离=定长 → 平行线 5. 求最值三步走 ① 确定动点轨迹 ② 找定点/定直线 ③ 用“d±r”直接算最值 题型01 点动型（一个动点） 【典例1】（2025·山东威海·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，点是线段的中点．点是直线上一动点，以为边作等边交轴于点，连接，分别交，轴于点，． (1)求点坐标；（提示：，的中点坐标） (2)若点位于线段上（不与点，重合），判断与轴的位置关系，并说明理由； (3)已知点是第一象限一动点（不与点重合），当最小时，连接，．将沿直线折叠，点的对应点为点．连接，取中点，连接，则取值范围为___________． 【答案】(1) (2)轴，理由见详解 (3) 【分析】（1）先利用二次函数的图像和性质求出点A，点B的坐标，然后根据中点公式求出点C的坐标即可． （2）连接，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，再根据正切的定义得出，进而可判定是等边三角形，由等边三角形的性质得出，再证明，由全等三角形的性质得出，进而可得出，即轴． （3）当时，最小，根据题意，，故M在以B为圆心，半径为1的圆上，作出，作和A关于y轴对称，与任取一点M，连接，根据三角形中位线定理得出，，由圆外一点到圆的最大以及最小距离求出，再根据点P所在象限，得出的取值范围，进而可得出答案． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴，， ∴， 即 （2）解：轴，理由如下： 连接，如下 ∵，C为的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 则轴． （3）解：当时，最小， 此时， ∴，， 根据题意，，故M在以B为圆心，半径为1的圆上，作出，作和A关于y轴对称，与任取一点M，连接， ∵O是的中点，是的中点， ∴，， ∴最大值为：，最小值为：， ∵， ∴最大值为：，最小值为：， ∵P在第一象限，不能落在y轴， ∴， 即， ∴． 【典例2】（2025·山东威海·一模）（1）如图（1），四边形是一个正方形，是延长线上一点，且，则的度数为______； （2）如图（2），将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点，若，求的长； （3）如图（3），当点在射线上运动时，把（2）中的正方形变为矩形，且，，连接，与交于点，连接．求，两点间的最短距离． 【答案】（1）；（2）（3） 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，推出，由得到，推出，即可得出结果； （2）根据正方形的性质得到，，求出，进而得到，由折叠的性质得到，，再根据（1）中，得到，进而得到，利用勾股定理求出 ，得到； （3）由折叠的性质得到，，即点在以为直径的圆上运动，设的中点为，连接，则当点在上时，两点间的距离最短，得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）四边形是正方形， ，， ， ， ， 由折叠的性质得，， 由（1）得， ， ， ， ， ， ； （3）由折叠知， ， 点在以为直径的圆上运动，设的中点为，连接，则当点在上时，两点间的距离最短，如图， ， 矩形， ， ， ，两点间的最短距离为． 【典例3】（2025·陕西·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，点是半径为5的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为7，则线段的最大值为__________； 【问题探究】 （2）如图②，以正方形的边为直径作半圆，圆心为，为半圆上一动点，若正方形的边长为2，求长度的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，某植物园有一块圆形游览区，经测量，的直径为8km，通道km．为方便游客游玩过程中休息，计划建造一块三角形休息区，并设立一些茶点铺．按规划设计要求，点为优弧上一点，，与通道的延长线交于点，为充分满足高峰期游客需求，要求休息区的面积尽可能大．请问，是否存在符合要求的休息区？若存在，求出休息区面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，休息区面积的最大值为 【分析】本题属于圆的综合题，涉及圆的基本知识，正方形的性质，勾股定理等知识． （1）当过圆心即可求解； （2）连接，，由正方形得到，，则，再根据，得到当在上时，取得最大值； （3）连接过的直径，连接，，则，以为边作等边三角形，再以为圆心长为半径画，则，先求出，得到，则，点在上运动，，当交于时，面积的最大，求出最大高，最后根据计算即可． 【详解】解：（1）如图1，过点作， ∵点是半径为5的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为7， ∴，， 由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径不变，可知此时最大， ∴最大值， 故答案为：12； （2）连接，， ∵正方形的边长为2， ∴， ∵以正方形的边为直径作半圆，圆心为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当在上时，取得最大值； （3）连接过的直径，连接，，则，以为边作等边三角形，再以为圆心长为半径画，则， 由题意可得，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在上运动，， ∴当交于时，面积的最大， 此时，， ∴， ∴， ∴存在，休息区面积的最大值为． 【变式1】（2025·河南郑州·一模）如图，点是正方形的边上一个动点，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段上作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)延长交于点，求证：； (3)随着点在边上运动，当时，直接写出线段长的最小值． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）以点为圆心，作弧交于两点，再分别以这两交点为圆心，大于两交点一半为半径画弧，取两弧的交点，与点连接，所得线段与的交点即为所求的点； （2）根据正方形的性质，得，，由（1）得，再根据同角的余角相等，得，然后根据全等三角形判定（角边角），得，即可证得结论； （3）以中点为圆心，为直径画圆，根据“的圆周角所对的弦是直径”，可得点始终在上，即可得点到圆的最短距离为长的最小值，即当点与点和点在同一直线上，并在之间时，的值最小，利用勾股定理求出的值，再根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：作图如图1所示． （2）证明：延长交于点，如图2， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：如图3，以中点为圆心，为直径画圆， ， 点始终在上， 如图，当点与点和点在同一直线上，并在之间时，的值最小， 四边形是正方形，， ， ， ， ， 长的最小值为． 【变式2】（2025·山东德州·二模）如图，在中，是直径，，过的中点作的垂线交于点和点，是上一动点．连接，，，． (1)求的长度； (2)过点作圆的切线交线段的延长线于点，求证： 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题主要考查圆切线的综合，解题的关键是熟知切线的判定相似三角形的判定和性质． （1）连接，，根据等边三角形的判定得出是等边三角形，求出的圆心角度数，进而根据弧长公式求出的长度， （2）根据相似三角形的判定得出，再由其性质证明即可． 【详解】（1）解：连接，， 垂直平分， ， 又， 是等边三角形， ， 又， ， ． （2）是的直径， ， ， 是的切线， 于点， ， ， ， ， ． 【变式3】（2025·江苏苏州·二模）如图1，以为直径的与的边交于点D，，点M是直径下方半圆上的一动点，连接，．交于点P． (1)若，，求的值； (2)记的面积为，的面积为，若，的半径为．求线段的长； (3)如图2，当动点M运动到恰好使得P为的中点时，的角平分线交于点E，交于点F，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理、正切的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由圆周角定理可得，求出，由勾股定理可得，最后由正切的定义即可得解； （2）证明，得出，，结合勾股定理求出，，即可得解； （3）作于，连接、，可推出，，从而可得，，进而得出，证明，，推出，即可得解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的半径为． ∴， ∵， ∴，， ∴； （3）解：如图，作于，连接、， ∵，P为的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4】（2025·河南开封·三模）日晷仪，亦简称日晷，是一种通过观测日影来记录时间的古老仪器(如图（1）)，在我国古代被广泛使用．小明为了探究日晷的奥秘，在不同时间段对日晷进行了仔细观察．如图（2），日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段为日晷的底座，点E为日晷与底座的接触点(即与的切点)，为某一时刻晷针的影长(点C恰好落在上)，并且此时点C，O，A恰好在一条直线上．连接交于点D，连接交于点F，连接，．已知，，． (1)求证：是的切线． (2)随着时间的推移，点C从图（2）所示的位置开始在圆周上顺时针方向缓缓移动，当点C第一次移动至与的距离为时，求出点C在这段时间内所经过的路径长．(参考数据：) 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，求弧长，全等三角形的性质与判定，解直角三角形等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）如图所示，连接，由切线的性质可得，则可证明垂直平分，得到，则有，再证明，进而可证明，得到，据此可证明结论； （2）设交于G（解题过程中当做点C没有动），可证明，得到，则，解直角三角形得到；在上取一点M，过点M作于H，使得，过单M作于N，则四边形是矩形，可得，则，解直角三角形得到，则，即可得到，根据题意可知，点C的运动路径长即为的长（解题过程中当做点C没有动），据此根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，设交于G（解题过程中当做点C没有动）， 由（2）可知，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，在上取一点M，过点M作于H，使得，过点M作于N，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据题意可知，点C的运动路径长即为的长（解题过程中当做点C没有动）， ∴点C的运动路径长为． 题型02 点动型（两个动点） 【典例1】（2025·山东日照·一模）如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，点B，D的横坐标分别为m，n（），以线段为对角线作矩形，轴． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，若反比例函数的图象过点A．以点O为圆心，长为半径作． ① （用含m，n的代数式表示）； ②若，当与相切时，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据题意得，由矩形的性质结合轴，求出，再求出，即可证明； （2）①由（1）得，即可求出k的值；②根据题意，设中点为，则，根据，可得当与相切时，切点为T，则，求出，求出，建立方程求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，且轴， ∴轴， ∵点B，D是直线上，点B，D的横坐标分别为m，n（）， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （2）解：①由（1）得， ∵反比例函数的图象过点A， ∴， ∴； ②根据题意， 设中点为，则， ∵， ∴当与相切时，切点为T，则， ∴， ∵， ∴，整理得：， 解得：， ∴． 【典例2】（2025·四川成都·三模）如图，在矩形中，，，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠，点A、B的对应点分别为点M，． (1)当点N在射线上时． ①如图1，连接，若点N与点D重合，求的长； ②如图2，连接交边于点P，交线段于点Q．当时，求的长． (2)若，连接，，求面积的最大值与最小值之和． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①连接，设，则，利用轴对称的性质和勾股定理解答即可； ②连接，利用①的方法求得，利用勾股定理和轴对称的性质求得，利用相似三角形的判定与性质求得，则结论可求； （2）作点关于的对称点，连接，，，，，，作点关于的对称点，连接，利用轴对称的性质得到，则；利用点的轨迹的知识求得的面积的最小值与最大值，则结论可得． 【详解】（1）①连接，如图， 由题意得：，， 四边形为矩形， ，， 设，则 ， ， ， ， ； ②连接，如图， 由题意得：，，， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， 点B与点N关于对称， ，， 设，则 ， ， ， ， ，， ∽， ， ， ， ； （2）作点D关于的对称点，连接，，，，，，作点D关于的对称点，连接，如图， 将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别为点M，N， ≌， 点D关于的对称点为，点D关于的对称点， 垂直平分，AF垂直平分， ， ， 在以F为圆心，为半径的劣弧上运动． 当点在边上时，的面积取得最小值，当点与点D重合时，的面积取得最大值， 的面积的最小值， 的面积的最大值， 面积的最大值与最小值之和 【变式1】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，的半径为2，点是上一动点，点是外一点，连接，取的中点，当点在上运动时，判断点的运动轨迹．小明同学进行了探究，他连接线段，取其中点，他猜想点的运动轨迹应该是以为圆心，1为半径的圆．请你帮小明同学完成证明过程； 【问题解决】 （2）某政府为提升居民生活品质，对废旧广场及周边进行绿化改造．如图②，现规划重新建设一处运动场所正方形．按设计要求，要在正方形的边上取中点记为，以为圆心，长为直径作，设置一个儿童游乐场所，为方便人们通行，在点处设置小门，点为上一动点，连接进行路面硬化，取的中点，连接设置休息长廊，且．为尽可能满足居民的活动需要，想让休息长廊尽可能短．请问，是否存在符合设计要求且长度最短的长廊？若存在，求最短长廊的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在， 【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理解答即可； （2）连接，取的中点G，连接，利用（1）的方法得到点F的运动轨迹是以G为圆心，1为半径的圆，则当点F在上时，线段的长最小，连接，过点G作于N，交于点M，利用矩形的判定与性质和三角形的中位线定理得到，，，利用勾股定理求得，则结论可求． 【详解】解：（1）连接，如图，    ∵B是的中点，C是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点B的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆； （2）连接，取的中点G，连接，如图，    ∵正方形的边长为400，是的直径， ∴，的半径为200， ∴， ∵G是的中点，F是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点F的运动轨迹是以G为圆心，100为半径的圆， ∵点G为定点， ∴当点F在上时，线段的长最小，最小值为． 连接，过点G作于N，交于点M， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴的最小值是． 即存在符合设计要求且长度最短的长廊，最短长廊的值为． 【变式2】（2025·河北石家庄·二模）如图1，在菱形中，，连接，点为的中点，点从点出发，以每秒个单位长度沿线段向点运动，设运动时间为秒，连接，作点关于直线的对称点，连接． (1)当点落在上时，的值为______； (2)如图2，当时，与交于点，求证：； (3)如图3，假设对角线上的点和点同时出发，点从点沿着向运动，运动速度为每秒个单位长度，连接，当和相似时，求的值； (4)利用图4，作答： ①尺规作图，作出的内心（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)时和相似 (4)①见解析；② 【分析】（1）连接，根据菱形的性质，以及已知条件得出是等边三角形，则，进而证明，根据轴对称的性质可得，进而根据平行线分线段成比例得出，即可求解； （2）过点作于点，分别求得，进而得出，得出是等腰直角三角形，则，进而得出，根据等边对等角以及三角形的外角的性质可得，结合，即可得证； （3）根据题意可得，，，根据已知得出，进而分两种情况讨论，根据相似三角形的性质列出比例式，解比例方程，即可求解； （4）①分别作的垂直平分线交于点，即可求解； ②连接，设的垂直平分线交于点，，则在为半径的上运动，当最小值，在上，进而解直角三角形求得，的最小值为即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 在菱形中，， ∴ ∵ ∴是等边三角形，则 ∵点为的中点， ∴ ∵关于对称 ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴ ∴，即 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 故答案为：． （2）解：当时， 如图，过点作于点， 由（1）可得 ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵关于对称， ∴， ∴，则， 连接，则是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴，即； （3）解：∵点从点出发，以每秒个单位长度沿线段向点运动，点从点沿着向运动，运动速度为每秒个单位长度， ∴，， ∵ ∴ ∵和相似， ∴分两种情况讨论， ①当时， ∴，即，此方程无解， ②当时， ∴，即，解得：或（舍去） 综上所述，时和相似， （4）解：①如图，点即为所求； ②如图，连接，设的垂直平分线交于点， ∵，则在为半径的上运动， ∴当最小值，在上， 同（1）可得是等边三角形，则， ∵是的内心， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 题型03 线动型 【典例1】（2025·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径长为1，点B的坐标为，点C是上一点，连接，将 绕点C逆时针旋转，得到线段 ，连接 ． (1)若最大，则点D坐标为________； (2)若点D刚好落在y轴上，请求出点C的坐标(原点除外)； (3)若直线经过的圆心，请直接写出直线的函数表达式． 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】（1）当经过圆心A时，与圆的较远交点构成线段最大，此时点C，，结合已知，确定点D坐标为，解答即可； （2）过点C作轴于点F，过点D作与点E，得到四边形是矩形，继而得到，证明，得到，继而得到新结论，故． （3）根据直线经过的圆心，结合，判定直线是的切线，利用勾股定理，三角函数，确定点C的坐标，再利用待定系数法确定解析式，利用圆的对称性，确定另一切线的解析式即可． 【详解】（1）解：当经过圆心A时，与圆的较远交点构成线段最大，此时点C，， 又， 故点D坐标为， 故答案为：． （2）解：过点C作轴于点F，过点D作与点E， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的圆心坐标为，半径长为1， ∴， ∴， 故． （3）解：∵直线经过的圆心， ， ∴直线是的切线， ∴以为直径作圆与交于C，两点，连接，， 则, ∴，， ∴，， 过点C作于点E， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 根据圆的对称性，得 ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为， 故直线的解析式为或． 【典例2】（2025·上海崇明·二模）如图，中，，，，过点的直线与边平行，点在射线上，是以为圆心，为半径的圆． (1)当直线与相切时，求的长； (2)当直线与相交时，交点记为点、，且点在点的右边；以为圆心、为半径长作与的另一个交点记为． ①若四边形是矩形，求的长； ②若是以为腰的等腰三角形，求的正切值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）作，先在中求出、长度及的值， 利用切线性质设得出表达式． 在中根据正弦函数定义列方程求解； （2）① 利用矩形性质得到的长度，设，表示出，在中，依据勾股定理列方程求解；②由两圆相交性质得出，通过角度关系得到，分与两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：作于， 与相切 设， 在中 ，， ∴， ， ， 在中 ， ， ； （2）解：①四边形是矩形 ， 设，则， 在中，， ， ， ； ②若是以为腰的等腰三角形， 那么或， 设与相交于点， 与相交于， ， 又， ， 又， ， （i）当时， ， ，解得：， ， ， ． （ii）当时，作， ， ， ，即， ， 解得， 设，则，在中， ， ， ． 综上所述，或． 【变式1】（2025·四川广元·二模）如图，在中，，，以点O为圆心、2为半径画圆，点C是上任意一点，连接．将绕点O按顺时针方向旋转，交于点D，连接． (1)当与相切时， 求证：是的切线； 求点C到的距离． (2)直接写出的最大值与最小值的差． 【答案】(1)详见解析； (2) 【分析】（1）由切线的性质得，再证，根据全等三角形对应角相等，可得，即可证明是的切线；过点C作，垂足为E，则即为点C到的距离，根据即可求解； （2）作直线于点H，交于和，当点C位于处时，取最小值，当C位于处时，取最大值，则最大值与最小值的差为． 【详解】（1）证明：∵与相切， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴． ∴． 又∵是的半径， ∴是的切线； 如图，过点C作，垂足为E，则即为点C到的距离， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， 即点C到的距离为． （2）解：中，，， ∴． 如图，作直线于点H，交于和， 由题意知，当点C位于处时，取最小值，当C位于处时，取最大值， ∴的最大值与最小值的差． 【变式2】（2025·重庆·模拟预测）在等边三角形中，点是边上一点(点不与端点重合)，连接，，延长至点，连接，． (1)如图，若，求的度数(用含的代数式表示)； (2)如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，是边的中点，点关于直线的对称点为，连接，当将为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（）由等腰三角形的性质得，即得，再根据等边三角形的性质可得，，进而即可求解； （）连接，在上截取，连接，可证，得到，，可证点共圆，得到，，进而得到，即得到，即可得，即可证，得到，即可求证； （）以所在直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，不妨设，则，，由点关于直线的对称点为，可得，，设，，分和两种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 即； （2）解：，理由如下： 如图，连接，在上截取，连接， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴点共圆， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，以所在直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 不妨设，则，， ∴，， ， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴或， 设，， 当时， 由和得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴； 由得，， 解得， ∴， ∴，， ∴； 当时，同理可得， 由得，， 解得， ∴， ∴，， ∴； 综上，的值为或． 题型04 形动型 【典例1】（2025·贵州遵义·模拟预测）综合与探究： 问题情境：如图，和都是等腰直角三角形，，连接，是的中点，连接． (1)【问题发现】 如图1，当点在边上时，连接，则___________，___________； (2)【进阶探究】 如图2，当点在边上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明该结论；若不成立，请说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，将图1中绕点逆时针旋转度（），若，．直接写出的最小值． 【答案】(1)90， (2)成立，见解析 (3) 【分析】（1）证明，，，结合三角形的外角的性质可得，可得，即可求解； （2）如图，延长至，使，连接，证明，可得，，，证明，可得，，再进一步求解即可； （3）如图，延长至，使，连接，证明，结合在以圆心，为半径的圆上，可得当共线时，最小，最小值为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论成立，理由如下： 如图，延长至，使，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴（1）中的结论成立. （3）解：如图，延长至，使，连接， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵在以圆心，为半径的圆上， ∴当共线时，最小，最小值为， ∵，，， ∴，， ∴的最小值为， ∴的最小值为. 【典例2】（2025·山东潍坊·二模）小颖在数学实践课上进行折纸操作，将圆形纸片连续对折两次后展开，将直径四等分，其四等分点分别记为，，，如图1所示．（虚线为折痕） (1)如图2，若折叠后点恰好与点重合，折痕为，顺次连接，，，，得到四边形．请判断四边形的形状并证明； (2)如图3，若折叠后点恰好与点重合，折痕仍记为，连接．请判断直线与所在圆的位置关系，并简述理由． 【答案】(1)四边形为菱形，理由见解析 (2)与所在圆的位置关系是相交，理由见解6790 【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的判定和性质，圆与直线的位置关系，熟练掌握菱形的判定和性质，圆与直线的位置关系判定是解题的关键． （1）由折叠得出垂直平分，则，，，根据垂径定理得出，根据弧、弦的关系得出，根据菱形的判定定理即可判断四边形的形状； （2）由折叠可知，所在圆的圆心为点，连接，，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据切线的判定得出与相切，结合可判断与所在圆的位置关系是相交． 【详解】（1）解：四边形为菱形，证明如下： ∵折叠， ∴垂直平分， ∴，，， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：与所在圆的位置关系是相交． 理由如下： 由折叠可知，所在圆的圆心为点， 连接，， ∵是直径， ∴， ∴与相切， ∵， ∴与所在圆的位置关系是相交． 【典例3】（2025·山东青岛·三模）如图，把绕点逆时针旋转得，点，分别对应点，，且满足，，三点在同一条直线上连结交于的中点，的外接圆与交于，两点． (1)求证：是的切线． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)平行四边形；理由见解析 【分析】本题考查了旋转性质、圆的性质（包括圆周角定理和切线性质）、全等三角形的判定与性质、以及特殊四边形（矩形）的判定等知识点，解题的关键在于通过旋转性质确定角度和边长关系，进而利用圆的性质证明为的切线，同时借助全等三角形和矩形的判定条件判断四边形的形状． 由旋转的性质得出，，证得，则可得出结论； 由旋转的性质得出，，，得出，由平行线的判定得出，根据全等三角形的判定和性质定理得到，则可得出结论． 【详解】（1）证明：把绕点逆时针旋转得， ，， ， ， ， 又， 为的直径， 为的切线； （2）解：四边形为平行四边形． 理由如下：把绕点逆时针旋转得，点，分别对应点，， ，，， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ≌， ， 四边形是平行四边形． 【变式1】（2025·山东临沂·二模）如图，将矩形沿对角线翻折，C的对应点为点，以矩形的顶点A为圆心、r为半径画圆，与相切于点E，延长交于点F，连接交于点G． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，由切线的性质得，则，由矩形的性质得，再由直角三角形两锐角互余得，根据对顶角相等和同圆的半径相等得，然后由等角的余角相等得，最后由等角对等边得出结论； （2）由锐角三角函数得，，得，，由翻折得，由得，再由矩形对边相等得，最后在 中解直角三角形即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵与相切于点， ， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：在中，， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， 由翻折可知，， ∵四边形是矩形， ， 在中，， ， ． 【变式2】（2025·广东·模拟预测）将一张边长为4的正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把正方形纸片展平．再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E，得到折痕，点P在边上，过点P作的垂线交的延长线于点H． 【知识技能】 （1）如图1，若点H落在边上，求证：是等边三角形． 【数学理解】 （2）如图2，设，，试求关于的函数解析式． 【拓展探索】 （3）如图3，为的外接圆，若与边相切，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明四边形是矩形，再结合折叠的性质可得，从而得到，即可解答； （2）过点 H 作于点M，则四边形是矩形，可得，可得，从而得到，然后在中，由勾股定理解答即可； （3）如图，设与边相切于点M，连接并延长，交边于点N．根据是的中位线，可得，，然后在中，由勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，四边形 是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ， ∴是等边三角形； （2）解∶如图，过点 H 作于点M，则四边形是矩形， 由折叠的性质得：． 同理， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得 ， ∴ 整理，得：， ∴y关于x的函数解析式为． （3）解∶如图，设与边相切于点M，连接并延长，交边于点N． 设， 由（2）可知， ∵， ∴是的直径． ∵与边， ， ∴，即， ∴是的中位线． ∴， ， ， 在中，由勾股定理，得 解得： ． 【变式3】（2025·河北石家庄·三模）如图1，边长为6的正方形纸片上，有一个圆，圆心在正方形的中心． 操作：①将纸片对折，然后打开，得到折痕，折痕与圆交于点E，F，如图2； ②再将纸片折叠、使点B，C分别落在边上，然后打开后，折痕恰好经过点F，连接、与圆交于点G，如图3，，（注：） 发现：直线与圆的位置关系是_________． 探究：（1）求的长； （2）求线段的长． 拓展：连接，直接写出的值． 【答案】发现：相切；探究：（1）；（2）；拓展：． 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，矩形的性质与判定，切线的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，求弧长，熟练掌握相关知识是解题的关键． 发现：由折叠的性质可得，则可证明为中间圆的直径，再由折叠的性质可得，则可证明，据此根据切线的判定定理可得结论； 探究：（1）取中点O，连接，则点O为圆心，求出，由圆周角定理得到．由折叠的性质可得，证明四边形是矩形，得到，解直角三角形得到，则．据此根据弧长公式求解即可； （2）连接，如图所示，则，进而可得，由勾股定理得到．解直角三角形即可求出． 拓展：如图，作于点H．则，解直角三角形可得，，进而可求出，同理可证明四边形是矩形，则，进而可求出，则，即可得到． 【详解】解：发现：由折叠的性质可得， ∴一定经过正方形的中心， ∴为中间圆的直径， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴与圆相切； 探究：（1）如图，取中点O，连接，则点O为圆心， 是切线， ，即， ， ∴ ∴． 由折叠的性质可得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∴． 的长为：． （2）连接，如图所示， ∵是的直径， ∴， ∴， ， ∴． ，即． ． 拓展：如图，作于点H．则， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 同理可证明四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4】（2025·广东佛山·三模）如图1，在中，，将绕点顺时针旋转到，连接． (1)绕点旋转过程中，求证：； (2)绕点旋转过程中，延长交线段于点，当四边形为平行四边形时，求线段的长度； (3)在绕点旋转过程中，是否存在以、、为顶点，且为腰的等腰三角形，若存在，直接写出的长度，若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)存在，或． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，确定圆的条件，解直角三角形等知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）可得出，，进而得出，从而； （2）连接，根据，得出，，从而点、、、共圆，从而，从而得出，进而得出，进一步得出结果； （3）作于，作于，设，当时，可得出，， ，从而得出，，，在中根据勾股定理得出的值，进而得出的值；同样方法求得当时的结果． 【详解】（1）解：∵绕点顺时针旋转到， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：连接，如图： ， ∵，，， ∴，， 由（1）知，， ∴，， 即， ∴点、、、共圆， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：作于，作于， 设， 如图： ， 当时， ∵， ∴， 由（2）知， ，，点、、、共圆， ∴，， ∴， ， ∴， ， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 即， ∴， ； 当时，如图： ， ∵， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴， 综上所述： 或； 【变式5】（2025·福建厦门·二模）如图，矩形中，，，点E在边上运动，点F在上，且，连接，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，点H是的中点，连接． (1)若E为的中点，判断的形状，并说明理由； (2)试探究，随着E的运动，点H的位置的变化规律，并说明理由． 【答案】(1)为等边三角形，理由见解析 (2)H的位置不变，理由见解析 【分析】（1）由旋转得到为等边三角形，根据三线合一得到，进而得到，由中点得到，进而得到，因此，进而得到，，进而得到为等边三角形，即可； （2）取中点O，则，连，得到E、H、F、B四点共圆，证明，得到，进而推出，推出，再根据和都在的同侧，得到A，H，C三点共线，即可． 【详解】（1）解：为等边三角形，理由如下： ∵四边形是矩形， ． 连接， ∵线段绕点E逆时针旋转 ， 为等边三角形， ，， ∵H是的中点， ，， ∴在中，， ∵E为的中点， ， ， ∴在中，， ， ， 在中，， 为等边三角形； （2）H的位置不变； ， 取中点O，则，连， ∴E、H、F、B四点共圆， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∴在中，， 在中，， ， ∵和都在的同侧， ∴A，H，C三点共线， ∴H的位置不变． 【变式6】（2025·江苏泰州·三模）已知，如图，等边，点D是平面内一点（点D不在直线上），连接、．将绕点A按逆时针方向旋转得到，点D的对应点是点E． 设直线与直线交于点G． (1)如图1，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)当点D是线段的中点，根据题意，在图2中画出图形，求的度数； (3)探索与的数量关系，直接写出结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据旋转的性质得到，即可得到； （2）根据题意画出图形，证明和是等边三角形，再利用对角线相互平分且相等的四边形是矩形即可得到结论； （3）分两种情况，画出图形，利用圆内接四边形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴； （2）解：画出图形，如图， 由旋转的性质知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （3）解：如图， 是等边三角形， ∴，， ∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是圆内接四边形， ∴； 如图，同理和是等边三角形， ∴， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， 综上，或． 题型05 圆动型 【典例1】（2025·山东潍坊·三模）如图1，在平面直角坐标系中，一个三角形和二次函数图象的一部分围成的封闭图形，称为“冰激凌型”．已知是二次函数图象与轴的交点，的中点坐标为，二次函数的最小值为，点是轴上方的一个动点，． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，连接，，若得到的四边形有一组对边平行，求的长； (3)连接，请直接写出线段的最大值． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）设的中点为点C，则，，确定，，从而确定抛物线的对称轴为直线，设抛物线的解析式为，代入一个点的坐标，解答即可； （2）设的外接圆圆心为E，连接，，分两种情况求解即可； （3）根据点圆的最值解答即可． 【详解】（1）解：设的中点为点C，则，， ∴，， ∴，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的最小值为， 不妨设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为或． （2）解：设的外接圆圆心为E，连接，， ∵， ∴， ∵，，， ∴，直线是线段的垂直平分线，， ∴，的外接圆半径为， ∴， 当时， 过点A作于点G，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当时， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的外接圆直径， ∴， 综上所述，或． （3）解：设的外接圆圆心为E，连接，， ∵， ∴， ∵，，， ∴，直线是线段的垂直平分线，， ∴，的外接圆半径为， ∴， ∴当三点共线时，取得最大值， ∴， ∴取得最大值为． 【典例2】（2025·广东东莞·一模）在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： 【知识技能】 （1）如图1，当过点时，求时间的值； 【数学理解】 （2）如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【拓展探索】 （3）如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求的周长； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 【答案】（1）（2）（3）①6②的值为或 【分析】（1）由题可知，再利用中建立勾股方程求解即可； （2）由相切可知，再由，代入求解即可； （3）①由与直线相切可得四边形是正方形，所以，再利用切线长定理，，从而的周长； ②证出，进而得到，代入，解得，则可得出答案． 【详解】解：（1）连接， 四边形是矩形， ，，， 过点， ， ， ， 在中，， 即， 解得； （2）过作于点， 当与直线相切时，为半径，此时， ， ， ，， ， ， 即， 解得； （3）①如图，过作于点， 当与直线相切时，为半径，此时， ， 四边形是正方形， ， 与圆相切，与圆相切，与圆相切， 由切线长定理可得，，， 的周长 ； ②在和中， ， 同理可证， ， ， ， ， 整理得， 解得或（舍）， 当时，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理得， 解得，； 综上，的值为或． 【变式1】（2025·福建厦门·二模）在矩形中，，点P从点C出发，在线段上向点B以每秒的速度移动，以点P为圆心，为半径作．设运动时间为t秒．解答下列问题： (1) （用含t的代数式表示）． (2)如图2，在运动过程中，是否存在t的值，使得与直线相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)如图3，当与直线相切时，切点为E，T为弧上的任意一点，过点T作的切线分别交，于点M、N，设长度为x． ①求证：为定值； ②记的面积为，的面积为，当时，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)①2；②或． 【分析】（1）直接根据题意用t表示出； （2）由相切以及圆的相关定义可知，由勾股定理可得，再由，然后将相关条件代入求解即可； （3）①由与直线相切可得四边形是正方形，所以，再利用全等三角形的判定与性质、，从而的周长，进而完成即可；②先证明，进而得到，代入，解得或，再分类讨论利用面积求出x值即可． 【详解】（1）解：∵点P从点C出发，在线段上向点B以每秒的速度移动，连接， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：如图：过P作于点Q， 当与直线相切时，为半径，此时， ∵， ∴， ∴，即，解得； （3）解：①如图，过P作于点E， 当与直线相切时，为半径，此时， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵与圆相切，与圆相切，与圆相切， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴的周长； ∵是半径， ∴， ∴； ②∵与圆相切，与圆相切，与圆相切， ∴， ∵， ∴， ∴ 同理可证：， ∴ ， ∴， ∵， ∴，整理得：，解得或； 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得，解得，； 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得：，解得：（不合题意舍去），（不合题意舍去）； 综上，x的值为或． 【变式2】（2025·浙江杭州·二模）如图，在中，，D是中点，E是上的动点（不与端点B，C重合），连接与交于点F，过E，F，D三点的圆与交于点G（不与B，D重合），连接． (1)若，，求的度数； (2)若，求的值； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）首先根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，进一步解得的值，然后根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）过E作交于点H，由平行线分线段成比例定理可得，结合可知，然后根据平行线分线段成比例定理即可获得答案； （3）过B作，交延长线于点M，在上作，根据平行线分线段成比例定理证明，进而证明，得，，可知，即可证明结论． 【详解】（1）解：是斜边上的中点， ， ， ， ， 四边形内接于圆， ； （2）如图，过E作交于点H， ，， ， ， ， ， ； （3）如图，过B作，交延长线于点M，在上作， ，， ∴， ， ， ，， 又，， ， ，， ， ． 【变式3】（2025·湖南长沙·一模）在中，，，，O为线段上的动点，圆O的半径为，与射线交于点M，圆A的半径为，与射线交于点N． (1)如图1，当时，判断圆O与圆A的位置关系； (2)如图2，当圆O与圆A存在公共弦时，与交于点H． ①设，，求y关于x的关系式，并写出x的取值范围； ②若，求两圆重合部分的周长l． ③设圆A与边交于点F，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求圆O的半径． 【答案】(1)圆O与圆A外切，理由见解析 (2)①；②；③当是以为腰的等腰三角形时，圆O的半径为或或． 【分析】（1）根据两圆的位置关系可判断圆O与圆A外切； （2）①由题意得四边形是菱形，在中，由勾股定理列式即可求解； ②先求得，，证明是等边三角形，利用勾股定理求得，再利用弧长公式求解即可； ③分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：圆O与圆A外切，理由如下： 当时， ∴圆O的直径为，圆A的半径为， ∵， ∴圆O与圆A外切； （2）解：①由题意得，则四边形是菱形， ∴，，，， 在中，由勾股定理得，， ∴， 整理得； ②∵， ∴，，则是等边三角形， 设， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴的长； ∴两圆重合部分的周长； ③当时，如图， ∴圆O的半径为； 当时，如图，圆O与圆A重合， ∴圆O的半径为； 当时，如图，连接，作于点， ，，， ∵，，， ∴， 设，， ∵， ∴， 解得， ∴，， 由题意得是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 设，则， 同理， 解得． 综上，当是以为腰的等腰三角形时，圆O的半径为或或． 1．（2025·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，，，点是线段上一动点．以点为圆心，长为半径作交的延长线于点，交直线于点和点，连结并延长交于点，连结． (1)求的度数； (2)①若，求证：； ②求的最大值． 【答案】(1) (2)①见解析；②18 【分析】（1）求出的正切值，根据正切值求解即可； （2）①连结，根据圆的性质可知，，证得，可知，进而求得，再由，即可得结论； ②过点作于点，连结，设圆的半径为，则，进而求得，再证得，根据相似比可得二次函数，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：在中， ， ． （2）解：①方法一：如图，连结， ， ， ， 是的直径， ， ， ， （圆的内接四边形的外角等于内对角）， ， ， ． 方法二：如图，连结， ， ， ， ， ， ， ． ②方法一：如图，过点作于点，连结，设圆的半径为，则，则， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 当时，的值最大，最大值为18． 方法二：过点作于点，连结，设圆的半径为， 则， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ， ， 当时，的值最大，最大值为18． 2．（2025·江苏南京·三模）如图①，是的一条弦，是上的一个动点（不与点，重合），连接，以，为边作． (1)如图②，当点在上时，求证：是矩形； (2)若的半径为，． ①当的某一边与相切时，直接写出点到的距离； ②（I）随着点的运动，点的运动路径是__________； ．线段 ．圆 ．抛物线 ．平行四边形 （Ⅱ）连接，则的长的最大值为__________． 【答案】(1)见解析； (2)①当边与相切时：点到的距离为、； 当边与相切时：点到的距离为； ②（I）；（II）． 【分析】（1）根据平行四边形的对角相等，圆内接四边形的对角互补可求出，然后根据矩形的判定即可得证； （2）①分三种情况讨论：当与相切，且在上方；当与相切，且在下方；当与相切时，根据平行四边形的性质、垂径定理、勾股定理以及相似三角形求解即可； ②（I）连接，过O作的平行线，过A作的平行线，两线相交于Q，连接、，得出四边形是平行四边形，则，，证明四边形是平行四边形，得出，则点D在以Q为圆心，3为半径的圆上运动，即点D的运动路径是圆，即可解答； （II）过O作于E．过Q作于F，连接，，则四边形是矩形，得出，根据证明，得出，，根据勾股定理求出，根据，得出当D、Q、B三点共线时，取最大值，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵是的内接四边形， ∴， ∴， ∴是矩形； （2）解：①当与相切，且在上方，如图，连接并延长，交于E，连接， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当与相切，且在下方，如图，连接交于E，连接， 同理可求； 当与相切时，如图，连接交于D，过C作于F，连接， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 综上，当边与相切时：点到的距离为、； 当边与相切时：点到的距离为； ②（I）连接，过O作的平行线，过A作的平行线，两线相交于Q，连接、， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点D在以Q为圆心，3为半径的圆上运动，即点D的运动路径是圆， 故答案为：； （II）过O作于E．过Q作于F，连接， ， 则四边形是矩形， ∴， 由①知：，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴当D、Q、B三点共线时，取最大值为， 故答案为：． 3．（2025·湖南长沙·二模）如图，已知半径为半圆的直径为，点在半径上运动（点不与点重合），点是半圆弧的中点，点C在弧上，以，为邻边作矩形，边交于点． (1)若点为的中点，求的值； (2)连接，①当点在半径上运动时，的度数是否发生变化，若不变，求出，若变化，请说明理由； ②若，，求矩形的边的长； (3)假设，，求与之间的函数关系，当时，求函数的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② (3)； 【分析】（1）连接，由点是半圆弧的中点，得出，由点A为的中点，得出，再在中，即可得出； （2）①连接，利用圆周角定理得出，利用圆内接四边形得出，结合，可得； ②过点作于点，连接，证明，得出，即，即可求出，则，在中，，列式求出，则，再利用勾股定理求解即可； （3）延长交的延长线于点，由四边形是矩形，得出，，可知，得出，则，证明，得出，则，，同（2）②可得，即，求出，在中，，列式即可得出，由当时，随的增大而减小，可得随着的增大而增大，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵点是半圆弧的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴在中，， 故答案为：； （2）解：①的度数不会发生变化， 如图，连接， ∵点是半圆弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； ②如图，过点作于点，连接， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：（舍），， ∴， ∴； （3）解：延长交的延长线于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 同（2）②可得， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 化简得：， ∵当时，随的增大而减小， ∴随着的增大而增大，且当时，当时， ∴． 4．（2025·吉林长春·三模）【问题原型】如图，菱形的边长为，．点分别在边上，且．点在直线上，试探究当的值最小时，点的位置． 【问题探究】（1）小丽同学由已知条件可以证明，为了求最小值问题，首先要探究点的轨迹问题．研究发现：当的边为定长，为定角且时，点在外接圆的劣弧上运动．以下是小丽求的度数的部分过程： 解：∵四边形是菱形，∴， 又∵， 是等边三角形， ∴，， 又∵，∴ 证明过程缺失 ∴______ ∴点在外接圆的劣弧上运动． 请您补全证明过程． 【问题解决】（2）请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图中作出【问题原型】中的点和点，使的值最小，则最小值是______． 【答案】[问题探究] 补全证明过程见解析；[问题探究]的值最小为． 【分析】[问题探究]（）根据菱形的性质可得，然后证明是等边三角形，则，，然后证明，所以，，最后通过三角形内角和定理即可求解； [问题解决]（）作关于对称点，连接交于点，交于点，连接交延长线于点，所以，，根据两点之间线段最短可得的值最小，由四边形是菱形，故有，，则，，由是外接圆，取上一点，连接，通过，可得点是在以为直径的圆上，则，证明，然后证明，所以，则，求出，再由勾股定理得，则，从而求出，故有，从而得出的最小值． 【详解】解：[问题探究]（）∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在外接圆的劣弧上运动； [问题解决]（）如图， 作关于对称点，连接交于点，交于点，连接交延长线于点， ∴，，根据两点之间线段最短可得的值最小， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 由是外接圆，取上一点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点是在以为直径的圆上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值最小为． 5．（2025·吉林长春·模拟预测）[问题再现]如图①，是的半径，，点在上，将点沿的方向平移到点，使．当点在上运动一周时，可在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质即可推出点的运动路径是以点为圆心、5为半径的圆．(不用证明) [变式探究]如图②，是的半径，，点在上，过点作，且点在点的上方，．当点在上运动一周时，判断点的运动路径并证明． [结论应用]如图③，在上述问题的条件下，点在线段上，且，当点在上运动一周时，点的运动路径长为___________ [拓展应用]如图④，在矩形中，，点是平面内一点，，点在点的上方．点是线段上的任意一点，连结．设线长度的最大值为，最小值为，则___________，___________． 【答案】[变式探究]点的运动路径是以为圆心，为半径的圆； [结论应用]； [拓展应用], 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是应用[问题再现]的方法，作出辅助线． [变式探究]作，截取，可推出四边形是平行四边形，从而，从而得出点的运动路径是以为圆心，为半径的圆； [结论应用]在上截取，连接，可得，点运动路径是以为圆心，为半径的圆，进而得出结果； [拓展应用]作，截取，可得出点在以上的点为圆心，为半径色圆上运动，连接，并延长，交于点，连接，交于， 此时最大，最小，进一步得出结果． 【详解】解：[变式探究]如图， 作，截取， ， ， 四边形是平行四边形， ， 点的运动路径是以为圆心，为半径的圆； [结论应用]如图， 在上截取，连接， 同理可得，点运动路径是以为圆心，为半径的圆， 因为， 故答案为：； [拓展应用]如图， 作，截取， 由上可知：， 点在以上的点为圆心，为半径的圆上运动， 连接，并延长，交于点，连接，交于， 此时最大，最小， 在中，，， 在中，， ， 故答案为：， 1．（2025·山东德州·一模）如图，在矩形中，，为上一点，且，连结，是中点，连结，以为直径作； (1)用a的代数式表示___________，___________； (2)求证：必过的中点： (3)若与矩形各边所在的直线相切时，求的值； (4)作关于直线的对称点，若落在矩形内部（不包括边界），则的取值范围___________，（直接写出答案） 【答案】(1)，； (2)见解析 (3)a的值为或 (4) 【分析】本题是圆和四边形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质定理、垂径定理、矩形与折叠问题，第三问和第四问中采用分类讨论的思想，注意不要丢解，第四问有难度，准确画出图形是关键． （1）如图1，根据勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，代入可得结果； （2）如图1，证明四边形是矩形，得，所以必过的中点； （3）因为不可能与边和相切，所以分两种情况：①如图2，当与边相切时，根据中，，列式，求的值；②如图3，当与边相切时，设切点为，根据： 且，列式可得结论； （4）分别计算当最小和最大时，即在边上和边上，作辅助线，根据对称点的连线被对称轴垂直平分，由线段垂直平分线的性质列式可得结论． 【详解】（1）解：如图1， 四边形是矩形， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 设交于，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ，， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为：；； （2）解：如图1，设交于，连接， 是的直径， ， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， 即必过的中点； （3）解：分两种情况： ①如图2，当与边相切时，设切点为，连接、交于，则， 由（2）得，，， ， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， ②如图3，当与边相切时，设切点为，连接，则，连接，交于， 同理可得，，， ， 由（1）知： 且， ， 解得， 综上所述，若与矩形各边所在的直线相切时，的值为或； （4）解：如图4，当的对称点恰好在边上时，连接交于，连接、，过作，交于，交于，则， 关于直线的对称点， 是的垂直平分线， ，， 由（1）（2）得：，， ， 由勾股定理得： 即， 解得：（舍，， 当时，落在矩形外部（包括边界）； 如图5，当落在边上时，连接、，设交于，连接，延长交于点， ，， ， 四边形为矩形， ， 关于直线的对称点， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， 在中，， 解得（负值舍去）， 的取值范围是：， 故答案为：． 2．（2025·云南·模拟预测） 如图， 是的直径， 是上异于点A，B的一动点， 连接， ， 过点A 作射线．为射线上一点，连接． 【初步探究】 （1） 若，求的长； 【深入探究】若在点 P 的运动过程中，始终有 （2） 如图1， 若，求证：直线与相切； （3） 如图2， 连接， 设，求m的取值范围． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）证明，再利用勾股定理求解即可； （2）如图1，连接，证明， 求解，证明是等边三角形，可得，再进一步求解即可； （3）如图2，过点A作射线，作射线使得，射线与交于点D，连接，则在中，求解，，证明，可得，可得，结合根据三角形的三边关系，得，进一步可得答案． 【详解】解：（1）是的直径，P是上异于点的一动点， ， 在中，由勾股定理，得； （2）证明：如图1，连接， ， ， ， 是的直径，， ， ， 是等边三角形， ， ，即， ，又是的半径， 是的切线，即直线与相切； （3）如图2，过点A作射线，作射线使得，射线与交于点D，连接，则在中， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，根据三角形的三边关系，得， ，即， ； 【点睛】本题考查的是圆周角定理，勾股定理，特殊三角函数值，三角函数，等边三角形的判定与性质，切线的判定与性质，解直角三角形，三角形相似的判定与性质，三角形三边关系，作出合适的辅助线是解本题的关键． 3．（2025·江苏南京·模拟预测）综合与实践 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知（1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______． 类比迁移（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用（3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），；（2），，证明见解析；（3）①，的最小值为32；②或 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用、圆周角定理、垂径定理、一元二次方程的应用等知识，综合性强，难度大，通过作辅助线，构造圆，利用到圆的性质是解题关键． （1）根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，，则，即，由此即可得； （2）先证出，再根据相似三角形的性质可得，，则，即，由此即可得； （3）①先证出四边形是正方形，再过点作于点，则，分和两种情况，求出的长，然后利用勾股定理可得，则可得关于的函数表达式，利用二次函数的性质即可得的最小值； ②连接交于点，连接，则正方形是的内接正方形，对角线是的两条直径，先根据圆周角定理可得点在上，，再过点作于点，过点作于点，根据垂径定理可得，，根据矩形的判定与性质可得，利用勾股定理可得的长，然后求出正方形的面积的值，代入函数关系式求解即可得． 【详解】解：（1）当时，， ∴，， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：，． （2），，证明如下： ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． （3）①当时，， ∴，， ∵， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形． 如图，过点作于点，则， 当时，， ∴； 当时，， ∴； 综上，， 由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，最小值为32． ②如图，连接交于点，连接，则正方形是的内接正方形，对角线是的两条直径， 由上已证：，即， ∴点在上， 由圆周角定理得：， 过点作于点，过点作于点， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴直径， ∴正方形的面积， 由（3）①已得：， ∴， 解得或，均符合题意， 所以的长度为或． 4．（2025·河北邯郸·二模）已知AB为的直径，，C为上的动点，D为上的动点（点C，D均不与点A，B重合），连接，，． (1)如图1，当C为的三等分点，且时， ． (2)如图2，若点C在半径上（点C不与点O重合），将绕点C逆时针旋转后得到，且点落在所在直线上，设，，求y与x之间的关系式，并写出y的取值范围． (3)如图3，若，延长交于点E，在上取一点F，使得． ①求的值； ②连接，记，直接写出d的最小值． 【答案】(1)2 (2)， (3)①；② 【分析】（1）利用同高的两个三角形之间的面积关系可得答案； （2）如图1，过点作于点，作于点，则，证明，可得，设点到的距离为，可得，即，进一步可得答案； （3）①根据题意可知，．如图2，连接，证明，结合，证明，进一步可得结论； ②如图2，取的中点，连接，过点作于点，由①可知，，求解，在中，，求解，，，结合，可得答案. 【详解】（1）解：∵当C为的三等分点，且时， ∴， ∴； （2）解：如图1，过点作于点，作于点，则． 由旋转，得． 是的直径， ， ， ， 又， ， 在和中，， ， ， 设点到的距离为， 则， ，即． ， 的取值范围是． （3）解：①根据题意可知，． 如图2，连接， 是的直径， ， ， ∵， 在和中，， ， ，； ②如图2，取的中点，连接，过点作于点， 由①可知，， ． 在中，， ，， 在中，， ， ， 的最小值为． 5．（2025·陕西咸阳·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，的半径为4，圆心到直线的距离为6，则圆上一动点到直线的距离的最大值为______，最小值为______； （2）如图②，已知，，若，，求的长； 【问题解决】 （3）随着2025年“体重管理年”的正式启动，社会各界纷纷响应，倡导健康生活方式，提升全民体重管理意识．某市为积极响应国家号召，拟开设一所健康管理中心，其设计示意图如图③所示，在四边形中，，，米，米，点为的中点，根据设计要求，在四边形内部存在一点使得米，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，，规划区域为实训中心，是否存在点使得的面积最大？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）10，2（2），详见解析（3）存在使得的面积最大，最大值为，详见解析 【分析】（1）过点O作于点，交于点和，此时点到直线的距离的最大值为，最小值为； （2）连接，推出四边形是圆内接四边形，且是直径，作于点，推出是等腰直角三角形、利用勾股定理求解即可； （3）连接，过点作与直线交于点，证明，推出，得到点在以为圆心，为半径的圆A上，当三点共线时，的值最大，即的面积最大；延长交的延长线干点G，此时四个点在同一直线上、且，证明是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：过点O作于点，交于点和，如图， 此时点到直线的距离的最大值为，最小值为， 故答案为：10，2； （2）解：连接，作于点，如图， ， 四边形是圆内接四边形、且是直径， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； （3）解：存在使得的面积最大；理由如下， 连接，过点作与直线交于点，如图， 将绕点逆时针旋转至， ，， 为的中点，， ， ， ， ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上， 要使得的面积最大，且为定值， 的值要最大， 当三点共线时，的值最大，即的面积最大； 连接，延长交的延长线干点，此时四个点在同一直线上，且，如图， ， 是等腰直角三角形， ， 将绕点逆时针旋转至， ，， ， ， 是等腰直角三角形 ， ， ，， 连接， ， 是等腰直角三角形， ，， 点在上， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 面积的最大值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 图形的性质 重难点12 圆中的动态问题分类训练 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 16 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 圆中的动态问题 1. 圆的基本性质 同弧/等弧所对圆周角相等；直径所对圆周角=90°；垂径定理。 2. 点与圆的位置关系 点在圆外、圆上、圆内（由点到圆心距离与半径比较）。 3. 直线与圆的位置关系 相离、相切、相交（由圆心到直线距离与半径比较）。 4. 切线性质与判定 切线垂直于过切点的半径；有垂直+半径=切线。 5. 最值常用结论 ◦ 圆外一点到圆上点：最小=d−r，最大=d+r ◦ 圆上动点到定直线：最小=d−r，最大=d+r 6. 轨迹思想 动点满足固定条件时，轨迹多为：圆、圆弧、直线、线段。 解题方法 1. 抓“不变量” 不管怎么动，先找：定点、定长、定角、定直径、定弦。 2. 转化为“直角/等腰/相似” 圆中动态题，90%靠： ◦ 直径→直角 ◦ 垂径→直角 ◦ 圆周角相等→相似三角形 3. 用“距离公式/勾股定理”列方程 设未知数，用半径、弦长、距离列方程求解。 4. 判断轨迹 ◦ 到定点距离=定长 → 圆 ◦ 定角对定弦 → 圆弧 ◦ 到定直线距离=定长 → 平行线 5. 求最值三步走 ① 确定动点轨迹 ② 找定点/定直线 ③ 用“d±r”直接算最值 题型01 点动型（一个动点） 【典例1】（2025·山东威海·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，点是线段的中点．点是直线上一动点，以为边作等边交轴于点，连接，分别交，轴于点，． (1)求点坐标；（提示：，的中点坐标） (2)若点位于线段上（不与点，重合），判断与轴的位置关系，并说明理由； (3)已知点是第一象限一动点（不与点重合），当最小时，连接，．将沿直线折叠，点的对应点为点．连接，取中点，连接，则取值范围为___________． 【典例2】（2025·山东威海·一模）（1）如图（1），四边形是一个正方形，是延长线上一点，且，则的度数为______； （2）如图（2），将（1）中的沿折叠，得到，延长交于点，若，求的长； （3）如图（3），当点在射线上运动时，把（2）中的正方形变为矩形，且，，连接，与交于点，连接．求，两点间的最短距离． 【典例3】（2025·陕西·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，点是半径为5的上一点，直线是外一条直线，于点，圆心到直线的距离为7，则线段的最大值为__________； 【问题探究】 （2）如图②，以正方形的边为直径作半圆，圆心为，为半圆上一动点，若正方形的边长为2，求长度的最大值； 【问题解决】 （3）如图③，某植物园有一块圆形游览区，经测量，的直径为8km，通道km．为方便游客游玩过程中休息，计划建造一块三角形休息区，并设立一些茶点铺．按规划设计要求，点为优弧上一点，，与通道的延长线交于点，为充分满足高峰期游客需求，要求休息区的面积尽可能大．请问，是否存在符合要求的休息区？若存在，求出休息区面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2025·河南郑州·一模）如图，点是正方形的边上一个动点，连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规在线段上作一点，使（保留作图痕迹，不写作法）； (2)延长交于点，求证：； (3)随着点在边上运动，当时，直接写出线段长的最小值． 【变式2】（2025·山东德州·二模）如图，在中，是直径，，过的中点作的垂线交于点和点，是上一动点．连接，，，． (1)求的长度； (2)过点作圆的切线交线段的延长线于点，求证： 【变式3】（2025·江苏苏州·二模）如图1，以为直径的与的边交于点D，，点M是直径下方半圆上的一动点，连接，．交于点P． (1)若，，求的值； (2)记的面积为，的面积为，若，的半径为．求线段的长； (3)如图2，当动点M运动到恰好使得P为的中点时，的角平分线交于点E，交于点F，求的值． 【变式4】（2025·河南开封·三模）日晷仪，亦简称日晷，是一种通过观测日影来记录时间的古老仪器(如图（1）)，在我国古代被广泛使用．小明为了探究日晷的奥秘，在不同时间段对日晷进行了仔细观察．如图（2），日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段为日晷的底座，点E为日晷与底座的接触点(即与的切点)，为某一时刻晷针的影长(点C恰好落在上)，并且此时点C，O，A恰好在一条直线上．连接交于点D，连接交于点F，连接，．已知，，． (1)求证：是的切线． (2)随着时间的推移，点C从图（2）所示的位置开始在圆周上顺时针方向缓缓移动，当点C第一次移动至与的距离为时，求出点C在这段时间内所经过的路径长．(参考数据：) 题型02 点动型（两个动点） 【典例1】（2025·山东日照·一模）如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，点B，D的横坐标分别为m，n（），以线段为对角线作矩形，轴． (1)求证：四边形是正方形； (2)如图2，若反比例函数的图象过点A．以点O为圆心，长为半径作． ① （用含m，n的代数式表示）； ②若，当与相切时，求k的值． 【典例2】（2025·四川成都·三模）如图，在矩形中，，，E是边上的一个动点，F是边上的一个动点，连接，将矩形沿折叠，点A、B的对应点分别为点M，． (1)当点N在射线上时． ①如图1，连接，若点N与点D重合，求的长； ②如图2，连接交边于点P，交线段于点Q．当时，求的长． (2)若，连接，，求面积的最大值与最小值之和． 【变式1】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，的半径为2，点是上一动点，点是外一点，连接，取的中点，当点在上运动时，判断点的运动轨迹．小明同学进行了探究，他连接线段，取其中点，他猜想点的运动轨迹应该是以为圆心，1为半径的圆．请你帮小明同学完成证明过程； 【问题解决】 （2）某政府为提升居民生活品质，对废旧广场及周边进行绿化改造．如图②，现规划重新建设一处运动场所正方形．按设计要求，要在正方形的边上取中点记为，以为圆心，长为直径作，设置一个儿童游乐场所，为方便人们通行，在点处设置小门，点为上一动点，连接进行路面硬化，取的中点，连接设置休息长廊，且．为尽可能满足居民的活动需要，想让休息长廊尽可能短．请问，是否存在符合设计要求且长度最短的长廊？若存在，求最短长廊的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2025·河北石家庄·二模）如图1，在菱形中，，连接，点为的中点，点从点出发，以每秒个单位长度沿线段向点运动，设运动时间为秒，连接，作点关于直线的对称点，连接． (1)当点落在上时，的值为______； (2)如图2，当时，与交于点，求证：； (3)如图3，假设对角线上的点和点同时出发，点从点沿着向运动，运动速度为每秒个单位长度，连接，当和相似时，求的值； (4)利用图4，作答： ①尺规作图，作出的内心（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②连接，直接写出的最小值． 题型03 线动型 【典例1】（2025·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径长为1，点B的坐标为，点C是上一点，连接，将 绕点C逆时针旋转，得到线段 ，连接 ． (1)若最大，则点D坐标为________； (2)若点D刚好落在y轴上，请求出点C的坐标(原点除外)； (3)若直线经过的圆心，请直接写出直线的函数表达式． 【典例2】（2025·上海崇明·二模）如图，中，，，，过点的直线与边平行，点在射线上，是以为圆心，为半径的圆． (1)当直线与相切时，求的长； (2)当直线与相交时，交点记为点、，且点在点的右边；以为圆心、为半径长作与的另一个交点记为． ①若四边形是矩形，求的长； ②若是以为腰的等腰三角形，求的正切值． 【变式1】（2025·四川广元·二模）如图，在中，，，以点O为圆心、2为半径画圆，点C是上任意一点，连接．将绕点O按顺时针方向旋转，交于点D，连接． (1)当与相切时， 求证：是的切线； 求点C到的距离． (2)直接写出的最大值与最小值的差． 【变式2】（2025·重庆·模拟预测）在等边三角形中，点是边上一点(点不与端点重合)，连接，，延长至点，连接，． (1)如图，若，求的度数(用含的代数式表示)； (2)如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，是边的中点，点关于直线的对称点为，连接，当将为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 题型04 形动型 【典例1】（2025·贵州遵义·模拟预测）综合与探究： 问题情境：如图，和都是等腰直角三角形，，连接，是的中点，连接． (1)【问题发现】 如图1，当点在边上时，连接，则___________，___________； (2)【进阶探究】 如图2，当点在边上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明该结论；若不成立，请说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，将图1中绕点逆时针旋转度（），若，．直接写出的最小值． 【典例2】（2025·山东潍坊·二模）小颖在数学实践课上进行折纸操作，将圆形纸片连续对折两次后展开，将直径四等分，其四等分点分别记为，，，如图1所示．（虚线为折痕） (1)如图2，若折叠后点恰好与点重合，折痕为，顺次连接，，，，得到四边形．请判断四边形的形状并证明； (2)如图3，若折叠后点恰好与点重合，折痕仍记为，连接．请判断直线与所在圆的位置关系，并简述理由． 【典例3】（2025·山东青岛·三模）如图，把绕点逆时针旋转得，点，分别对应点，，且满足，，三点在同一条直线上连结交于的中点，的外接圆与交于，两点． (1)求证：是的切线． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【变式1】（2025·山东临沂·二模）如图，将矩形沿对角线翻折，C的对应点为点，以矩形的顶点A为圆心、r为半径画圆，与相切于点E，延长交于点F，连接交于点G． (1)求证：； (2)当，时，求的长． 【变式2】（2025·广东·模拟预测）将一张边长为4的正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把正方形纸片展平．再一次折叠纸片，点A落在点G处，并使折痕经过点E，得到折痕，点P在边上，过点P作的垂线交的延长线于点H． 【知识技能】 （1）如图1，若点H落在边上，求证：是等边三角形． 【数学理解】 （2）如图2，设，，试求关于的函数解析式． 【拓展探索】 （3）如图3，为的外接圆，若与边相切，求的长． 【变式3】（2025·河北石家庄·三模）如图1，边长为6的正方形纸片上，有一个圆，圆心在正方形的中心． 操作：①将纸片对折，然后打开，得到折痕，折痕与圆交于点E，F，如图2； ②再将纸片折叠、使点B，C分别落在边上，然后打开后，折痕恰好经过点F，连接、与圆交于点G，如图3，，（注：） 发现：直线与圆的位置关系是_________． 探究：（1）求的长； （2）求线段的长． 拓展：连接，直接写出的值． 【变式4】（2025·广东佛山·三模）如图1，在中，，将绕点顺时针旋转到，连接． (1)绕点旋转过程中，求证：； (2)绕点旋转过程中，延长交线段于点，当四边形为平行四边形时，求线段的长度； (3)在绕点旋转过程中，是否存在以、、为顶点，且为腰的等腰三角形，若存在，直接写出的长度，若不存在，说明理由． 【变式5】（2025·福建厦门·二模）如图，矩形中，，，点E在边上运动，点F在上，且，连接，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，点H是的中点，连接． (1)若E为的中点，判断的形状，并说明理由； (2)试探究，随着E的运动，点H的位置的变化规律，并说明理由． 【变式6】（2025·江苏泰州·三模）已知，如图，等边，点D是平面内一点（点D不在直线上），连接、．将绕点A按逆时针方向旋转得到，点D的对应点是点E． 设直线与直线交于点G． (1)如图1，判断线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)当点D是线段的中点，根据题意，在图2中画出图形，求的度数； (3)探索与的数量关系，直接写出结论． 题型05 圆动型 【典例1】（2025·山东潍坊·三模）如图1，在平面直角坐标系中，一个三角形和二次函数图象的一部分围成的封闭图形，称为“冰激凌型”．已知是二次函数图象与轴的交点，的中点坐标为，二次函数的最小值为，点是轴上方的一个动点，． (1)求二次函数的表达式； (2)如图2，连接，，若得到的四边形有一组对边平行，求的长； (3)连接，请直接写出线段的最大值． 【典例2】（2025·广东东莞·一模）在矩形中，，，点从点出发，在线段上向点以每秒的速度移动，以点为圆心，为半径作．设运动时间为秒．解答下列问题： 【知识技能】 （1）如图1，当过点时，求时间的值； 【数学理解】 （2）如图2，若在运动过程中，是否存在的值，使得与直线相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【拓展探索】 （3）如图3，当与直线相切时，切点为，为弧上的任意一点，过点作的切线分别交，于点，，设长度为． ①求的周长； ②记的面积为，的面积为，当时，求的值． 【变式1】（2025·福建厦门·二模）在矩形中，，点P从点C出发，在线段上向点B以每秒的速度移动，以点P为圆心，为半径作．设运动时间为t秒．解答下列问题： (1) （用含t的代数式表示）． (2)如图2，在运动过程中，是否存在t的值，使得与直线相切？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)如图3，当与直线相切时，切点为E，T为弧上的任意一点，过点T作的切线分别交，于点M、N，设长度为x． ①求证：为定值； ②记的面积为，的面积为，当时，求x的值． 【变式2】（2025·浙江杭州·二模）如图，在中，，D是中点，E是上的动点（不与端点B，C重合），连接与交于点F，过E，F，D三点的圆与交于点G（不与B，D重合），连接． (1)若，，求的度数； (2)若，求的值； (3)求证：． 【变式3】（2025·湖南长沙·一模）在中，，，，O为线段上的动点，圆O的半径为，与射线交于点M，圆A的半径为，与射线交于点N． (1)如图1，当时，判断圆O与圆A的位置关系； (2)如图2，当圆O与圆A存在公共弦时，与交于点H． ①设，，求y关于x的关系式，并写出x的取值范围； ②若，求两圆重合部分的周长l． ③设圆A与边交于点F，连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求圆O的半径． 1．（2025·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，，，点是线段上一动点．以点为圆心，长为半径作交的延长线于点，交直线于点和点，连结并延长交于点，连结． (1)求的度数； (2)①若，求证：； ②求的最大值． 2．（2025·江苏南京·三模）如图①，是的一条弦，是上的一个动点（不与点，重合），连接，以，为边作． (1)如图②，当点在上时，求证：是矩形； (2)若的半径为，． ①当的某一边与相切时，直接写出点到的距离； ②（I）随着点的运动，点的运动路径是__________； ．线段 ．圆 ．抛物线 ．平行四边形 （Ⅱ）连接，则的长的最大值为__________． 3．（2025·湖南长沙·二模）如图，已知半径为半圆的直径为，点在半径上运动（点不与点重合），点是半圆弧的中点，点C在弧上，以，为邻边作矩形，边交于点． (1)若点为的中点，求的值； (2)连接，①当点在半径上运动时，的度数是否发生变化，若不变，求出，若变化，请说明理由； ②若，，求矩形的边的长； (3)假设，，求与之间的函数关系，当时，求函数的取值范围． 4．（2025·吉林长春·三模）【问题原型】如图，菱形的边长为，．点分别在边上，且．点在直线上，试探究当的值最小时，点的位置． 【问题探究】（1）小丽同学由已知条件可以证明，为了求最小值问题，首先要探究点的轨迹问题．研究发现：当的边为定长，为定角且时，点在外接圆的劣弧上运动．以下是小丽求的度数的部分过程： 解：∵四边形是菱形，∴， 又∵， 是等边三角形， ∴，， 又∵，∴ 证明过程缺失 ∴______ ∴点在外接圆的劣弧上运动． 请您补全证明过程． 【问题解决】（2）请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图中作出【问题原型】中的点和点，使的值最小，则最小值是______． 5．（2025·吉林长春·模拟预测）[问题再现]如图①，是的半径，，点在上，将点沿的方向平移到点，使．当点在上运动一周时，可在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质即可推出点的运动路径是以点为圆心、5为半径的圆．(不用证明) [变式探究]如图②，是的半径，，点在上，过点作，且点在点的上方，．当点在上运动一周时，判断点的运动路径并证明． [结论应用]如图③，在上述问题的条件下，点在线段上，且，当点在上运动一周时，点的运动路径长为___________ [拓展应用]如图④，在矩形中，，点是平面内一点，，点在点的上方．点是线段上的任意一点，连结．设线长度的最大值为，最小值为，则___________，___________． 1．（2025·山东德州·一模）如图，在矩形中，，为上一点，且，连结，是中点，连结，以为直径作； (1)用a的代数式表示___________，___________； (2)求证：必过的中点： (3)若与矩形各边所在的直线相切时，求的值； (4)作关于直线的对称点，若落在矩形内部（不包括边界），则的取值范围___________，（直接写出答案） 2．（2025·云南·模拟预测） 如图， 是的直径， 是上异于点A，B的一动点， 连接， ， 过点A 作射线．为射线上一点，连接． 【初步探究】 （1） 若，求的长； 【深入探究】若在点 P 的运动过程中，始终有 （2） 如图1， 若，求证：直线与相切； （3） 如图2， 连接， 设，求m的取值范围． 3．（2025·江苏南京·模拟预测）综合与实践 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知（1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______． 类比迁移（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用（3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为． ①求与的函数表达式，并求出的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 4．（2025·河北邯郸·二模）已知AB为的直径，，C为上的动点，D为上的动点（点C，D均不与点A，B重合），连接，，． (1)如图1，当C为的三等分点，且时， ． (2)如图2，若点C在半径上（点C不与点O重合），将绕点C逆时针旋转后得到，且点落在所在直线上，设，，求y与x之间的关系式，并写出y的取值范围． (3)如图3，若，延长交于点E，在上取一点F，使得． ①求的值； ②连接，记，直接写出d的最小值． 5．（2025·陕西咸阳·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，的半径为4，圆心到直线的距离为6，则圆上一动点到直线的距离的最大值为______，最小值为______； （2）如图②，已知，，若，，求的长； 【问题解决】 （3）随着2025年“体重管理年”的正式启动，社会各界纷纷响应，倡导健康生活方式，提升全民体重管理意识．某市为积极响应国家号召，拟开设一所健康管理中心，其设计示意图如图③所示，在四边形中，，，米，米，点为的中点，根据设计要求，在四边形内部存在一点使得米，连接，将绕点逆时针旋转至，连接，，规划区域为实训中心，是否存在点使得的面积最大？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $