重难点02 分式方程与不等式综合含参问题分类训练（复习讲义，1大重点6种题型）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学讲义聚焦中考“分式方程与不等式综合含参问题”核心考点，涵盖有解、增根、无解等六大题型，通过“深挖重难·固根基”梳理概念与解题步骤，“分层锤炼·验成效”设置典例与变式训练，构建“考点梳理-方法指导-真题演练”系统复习体系。 亮点在于以数学思维为导向，如通过“去分母化整式方程-参数表示解-列不等式排除增根”的规范步骤训练推理能力，结合2025年各地模拟真题分层设计练习，培养学生抽象能力与应用意识，教师可依托此资料精准把控复习节奏，助力学生高效突破中考难点。

第二章 方程与不等式 重难点02 分式方程与不等式综合含参问题训练 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 8 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 分式方程与不等式综合含参问题 1.含参问题：方程/不等式里除了 x，还有另一个字母（如 a,m,k），求它的取值范围。 2.分式方程：分母里含有未知数的方程。 3.增根：去分母后求出的解，但使原分母=0，不是原方程的解。 4. 解分式方程步骤 去分母 → 整式方程 → 解 x → 检验（是否增根） 5. 增根满足两条 ◦ 使分母为0 ◦ 是去分母后整式方程的解 6. 分式方程无解两种情况 ◦ 整式方程本身无解 ◦ 整式方程的解都是增根 7. 解满足不等式（必考） 先解出 x=含参式子，再： ◦ 满足题目不等式（x>0,x<0,x≥1 等） ◦ 满足：x≠ 增根 联立 → 求参数范围 解题思路 1. 去分母，把分式方程变成整式方程 2. 用参数表示解：x=f(参数) 3. 根据题意列不等式 4. 必须写：解不能是增根 5. 联立求交集，得参数范围 题型01 有解 【典例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）若关于x的分式方程有解，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式1】（2025·四川南充·二模）关于的方程一定有根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·黑龙江牡丹江·一模）若关于的方程有解，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．且 D．且 题型02 有增根 【典例1】（2025·山东潍坊·三模）当 时，解分式方程会出现增根． 【典例2】（2025·山东东营·一模）若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值是 ． 【变式1】（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 【变式2】（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【变式3】（2025·安徽宣城·一模）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 题型03 无解 【典例1】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 【典例2】（2025·广东深圳·模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下： 解：方程两边同乘，得，第一步 整理，得第二步 当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步 你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正． 【典例3】（2025·广东揭阳·三模）若关于的分式方程无解，则的值是 【变式1】（2025·四川南充·一模）关于的方程无解，则的值为 ． 【变式2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）若关于的方程无解，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．无法确定 【变式3】（2025·甘肃定西·三模）已知关于x的分式方程无解，则a的值是（   ） A． B．3或0 C．或4 D．4 【变式4】（2025·黑龙江·二模）若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或3 【变式5】（2025·四川绵阳·模拟预测）若关于的方程无解，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式6】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D．或 题型04至少或至多有n个解 【典例1】（2025·重庆·模拟预测）若关于的不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和是 ． 【典例2】（2025·四川达州·三模）如果关于x的不等式组至多有2个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【典例3】（2025·重庆·模拟预测）已知关于的不等式组有解且至多有个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【变式1】（2025·四川德阳·模拟预测）若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数之和为（    ） A． B． C．2 D．4 【变式2】（2025·重庆垫江·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组至少有两个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【变式3】（2025·重庆·一模）若关于的不等式组有解且最多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 【变式4】（2025·重庆大渡口·二模）若关于的不等式组至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数的值的和为 ． 【变式5】（2025·重庆綦江·一模）若关于x的不等式组有解且至多有4个偶数解，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数加的值之和为 ． 【变式6】（2025·重庆·模拟预测）已知关于的不等式组至少有三个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 【变式7】（2025·重庆·一模）若关于的不等式组有解且至多3个整数解，关于的分式方程的解为整数，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【变式8】（2025·重庆开州·一模）若关于的不等式组有解且至多5个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 题型05恰好有n个解 【典例1】（2025·山东威海·一模）已知实数满足以下条件： ①关于的分式方程的解为非负数； ②关于的不等式组的整数解仅有3个． 则满足以上所有条件的整数是 ． 【典例2】（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 【变式1】（2025·四川眉山·一模）若关于x的不等式组恰有4个整数解，关于t的分式方程的解也为整数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【变式2】（2025·重庆渝中·二模）关于的不等式组只有4个整数解，且关于的方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【变式3】（2025·重庆渝北·一模）若关于的不等式组有且只有3个奇数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【变式4】（2025·重庆·二模）若关于的不等式组有且仅有1个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 题型06已知解集求参数 【典例1】（2025·山东济宁·二模）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【典例2】（2025·山东济宁·二模）若关于x的方程的解为正数，则m的值可以为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例3】（2025·山东东营·一模）若关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围为 ． 【变式1】（2025·重庆·一模）已知关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为正整数，则满足条件的所有整数的乘积为 ． 【变式2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式4】（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于x的分式方程的解的取值范围为，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式5】（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的分式方程的解为非负数，则所有正整数m的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式6】（2025·江苏南通·二模）已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是 ． 【变式7】（2025·江苏宿迁·三模）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 1.（2025·黑龙江·模拟预测）已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 2．（2025·四川泸州·二模）若关于x的分式方程的解为正数，且关于x的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．6 B．9 C．11 D．14 3．（2025·四川广元·模拟预测）若关于x的分式方程有增根，则 ． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值． 5．（2025·江苏南京·二模）（1）解方程：； （2）若关于x的方程无解，则a的值是 ． 1．（2025·四川绵阳·三模）若关于的方程与有一个解相同，则的值为（    ） A．6 B． C．6或 D．或2 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知关于的分式方程的解是非正数，则取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．（2025·广东河源·模拟预测）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·重庆永川·模拟预测）关于 x的一元一次不等式组 的解集为，且关于 y 的分式方程 的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 5．（2025·重庆·模拟预测）若关于的不等式组所有整数解的和为14，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程与不等式 重难点02 分式方程与不等式综合含参问题训练 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 34 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 分式方程与不等式综合含参问题 1.含参问题：方程/不等式里除了 x，还有另一个字母（如 a,m,k），求它的取值范围。 2.分式方程：分母里含有未知数的方程。 3.增根：去分母后求出的解，但使原分母=0，不是原方程的解。 4. 解分式方程步骤 去分母 → 整式方程 → 解 x → 检验（是否增根） 5. 增根满足两条 ◦ 使分母为0 ◦ 是去分母后整式方程的解 6. 分式方程无解两种情况 ◦ 整式方程本身无解 ◦ 整式方程的解都是增根 7. 解满足不等式（必考） 先解出 x=含参式子，再： ◦ 满足题目不等式（x>0,x<0,x≥1 等） ◦ 满足：x≠ 增根 联立 → 求参数范围 解题思路 1. 去分母，把分式方程变成整式方程 2. 用参数表示解：x=f(参数) 3. 根据题意列不等式 4. 必须写：解不能是增根 5. 联立求交集，得参数范围 题型01 有解 【典例1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）若关于x的分式方程有解，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根据分式方程的解确定参数的取值范围，解一元一次不等式；首先将分式方程转化为整式方程，求解后结合分式方程有解的条件（分母不为零且系数不为零）确定参数m的取值范围． 【详解】解：原方程可改写为， 方程两边同乘（注意），得：， 整理得：， 解得：； 因为分母，即， 依题意，，即， 解得：， 综上，且； 故选：D． 【变式1】（2025·四川南充·二模）关于的方程一定有根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程有根的条件，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 解分式方程得，由分式方程有根的条件得，所以，解得，即可得解． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得：， 关于的方程一定有根， ， ， 将代入，得， ， 故选：A． 【变式2】（2025·黑龙江牡丹江·一模）若关于的方程有解，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程．根据分式的求解步骤求解，再根据解的结果求值即可． 【详解】解：， 方程两边同乘得， 去括号、移项、合并同类项得， ∵关于的方程有解， ∴且且，解得且， 故选：C． 题型02 有增根 【典例1】（2025·山东潍坊·三模）当 时，解分式方程会出现增根． 【答案】2 【分析】本题考查分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先解方程可得，再由增根的定义可得，求出m的值即可． 【详解】解：去分母得， 由分母可知，分式方程的增根是， ∴当时，，解得， 故答案为：2． 【典例2】（2025·山东东营·一模）若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，得到，求出的值，再代入到整式方程中，求出m 的值即可． 【详解】解：， 去分母，得：， ∵方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3 【变式1】（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了解分式方程． 将分式方程两边乘以最简公分母，化为整式方程，再根据增根的定义，令x等于使公分母为零的值，代入整式方程求解m． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 即， ∵增根是使公分母为零的x值， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； 则的值为6或． 故答案为：6或． 【变式2】（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解的值． 先确定分式方程的分母为和，令分母为零得增根；再将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后把增根代入整式方程，计算得出的值，进而判断选项． 【详解】解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根． 方程两边同乘去分母，得：． 将增根代入整式方程：， 即，解得． 故选：B． 【变式3】（2025·安徽宣城·一模）若关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，求出的值，代入整式方程中，求出的值即可． 【详解】解：， 方程去分母，得：， ∵方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴； 故选：C． 题型03 无解 【典例1】（2025·黑龙江佳木斯·一模）如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（ ） A． B．1或0 C．1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，理解其意义是解题的关键．将原方程去分母得，整理得，根据题意分情况讨论并求得对应的m的值即可． 【详解】解：原方程去分母得， 整理得， 当时， 无解，那么原方程无解，符合题意， 当时， 若方程无解，那么它有增根， 则， 解得：， 综上，m的值为1或， 故选：． 【典例2】（2025·广东深圳·模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下： 解：方程两边同乘，得，第一步 整理，得第二步 当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步 你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正． 【答案】第三步错误，见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母，再计算得到，分式方程无解有两种情况，第一种情况，第二种情况，则此时原方程有增根，据此求解即可． 【详解】解： 方程两边同乘，得，第一步， 整理，得，第二步， 当，即时，此时满足原方程无解， 当时，， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或， ∴第三步出现错误． 【典例3】（2025·广东揭阳·三模）若关于的分式方程无解，则的值是 【答案】2 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根，即进行求解即可． 【详解】解： 去分母，得：， 整理，得：； ∵分式方程无解，当分式方程有增根时，则：，解得， 把，代入，得：， 解得：； 故答案为：2． 【变式1】（2025·四川南充·一模）关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题．先解分式方程，用含的代数式表示出，根据方程无解得到，代入计算即可． 【详解】解：， 去分母，得 ， 移项，合并同类项，可得 ， 系数化为1，得 ， ∵该方程无解，则， ∴，解得． 故答案为：1． 【变式2】（2025·湖南湘潭·模拟预测）若关于的方程无解，则的值为（   ） A．1 B． C．1或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查分式方程无解问题，分式方程无解，即化为整式方程后，整式方程无解，或者整式方程的解是分式方程的增根，分情况讨论即可．注意考虑整式方程的解是分式方程增根的情况，属于易错题． 【详解】解：方程的增根为， 当时，化为整式方程，等号两边同时乘， 得：， 若原分式方程无解，则： ①无解， ，解得， 时，方程无解； ②的解是增根， 把代入， 得：， 时，方程无解； 的值为1或． 故选：C． 【变式3】（2025·甘肃定西·三模）已知关于x的分式方程无解，则a的值是（   ） A． B．3或0 C．或4 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程无解问题，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．将方程去分母，整理得．分两种情况讨论：①若，则该整式方程无解，原分式方程无解，可求得此时；②若，则整式方程的解为，根据原分式方程无解，得到当时，，从而求得．综合即可解答． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 整理，得， ①若，则该整式方程无解，原分式方程无解， 此时； ②若，则整式方程的解为：， ∵原分式方程无解， ∴当时，， 即， ∴或， 解得：， 综上所述，a的值为4或． 故选：C． 【变式4】（2025·黑龙江·二模）若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或3 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：①方程有增根；②原分式方程化简后的整式方程无解． 【详解】解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 分式方程无解， ①当方程有增根时，原方程无解，即， ，解得； ②当时，原方程无解，即， 综合①②，若分式方程无解，的值为或． 故选：C． 【变式5】（2025·四川绵阳·模拟预测）若关于的方程无解，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，求解方程可得，再由方程无解可得分式方程没有意义时，或，两种情况即可求的值，熟练掌握分式方程的解法，理解方程无解的意义是解题的关键． 【详解】解： ， ， ∵方程无解，可分为以下两种情况： 分式方程没有意义时，或， 此时， 整式不成立时，， ∴， ∴的值为或， 故选：． 【变式6】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解法，分式方程无解的条件，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 两边同乘，得，由原分式方程无解得，求出的值代入中即可求得的值． 【详解】解：两边同乘，得， 原分式方程无解， ， ， 将代入，得， ， 故选：A． 题型04至少或至多有n个解 【典例1】（2025·重庆·模拟预测）若关于的不等式组至少有3个整数解，且关于的分式方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解不等式组，解分式方程． 先求出，得到，再根据分式方程有解得到，最后根据分式方程有正整数解求出符合条件的所有整数的值，求和即可． 【详解】解：解不等式组， 得 不等式组至少有3个整数解， ， ． 解分式方程得． ∵分式方程有解， ， ， ． 分式方程有正整数解， 是正整数且， 符合条件的所有整数为，， 符合条件的所有整数的和是 故答案为：6． 【典例2】（2025·四川达州·三模）如果关于x的不等式组至多有2个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式和分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤． 先解于的不等式组，根据不等式组有解且至多有2个整数解，求出的取值范围，再解关于的分式方程，根据分式方程的解为整数且分母不能为0，列出关于的方程，解方程求出，再找出符合条件的的值，并求出它们的和即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ， 关于的不等式组有解且至多有2个整数解， ∴， 解得：， ∵ ∴ ∵关于y的分式方程的解为非负数， ∴且 ∴且 ∴且 ∵a为整数 ∴ ∴整数a的和为． 故答案为：． 【典例3】（2025·重庆·模拟预测）已知关于的不等式组有解且至多有个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的步骤是解题关键． 解关于的不等式组，得，根据不等式组有解且至多有个整数解，得，再解关于的分式方程得，根据分式方程的解为整数且分母不为可得符合条件的的值，再求和即可． 【详解】解： 由①解得：， 由②解得：， ． 关于x的不等式组有解且至多有个整数解， ， 当时，解得：， 当时，解得：， ， 关于的分式方程， 化简，得：， 关于的分式方程的解为整数，且， ， 或， 所有满足条件的整数的值之和． 故答案为：． 【变式1】（2025·四川德阳·模拟预测）若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数之和为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解求参数的取值范围、解分式方程，由题意可得，得出，解分式方程可得，结合题意确定出的值，求和即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵整数使得关于的不等式组至少有2个整数解， ∴， 解得：， 解分式方程可得：， ∵关于的分式方程方程有整数解， ∴或或， 解得：或或或或或， ∵， ∴， ∵， ∴或或或， ∴满足条件的整数之和为， 故选：C． 【变式2】（2025·重庆垫江·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组至少有两个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为正数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案． 【详解】解：， 解①得：， ， ， 解②得：， ， 关于的一元一次不等式组至少有两个整数解， ， 解得， ， ， ， ， ， 关于的分式方程的解为正数， 且， 解得且， 且， 则所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 【变式3】（2025·重庆·一模）若关于的不等式组有解且最多有4个整数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且最多有4个整数解确定出的范围，再由分式方程解为整数，确定出满足题意整数的值，求出之和即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵关于的不等式组有解， ∴， 不等式组有解且最多有4个整数解， ， 解得：， ∵， 分式方程去分母得：， 解得：，且， 分式方程的解为整数， 或或1或， 则满足题意整数之和为． 故答案为： 【变式4】（2025·重庆大渡口·二模）若关于的不等式组至多有两个偶数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数的值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，先解不等式组，再根据解集的情况得出，解得，然后解分式方程得，根据分式方程的解的情况，确定符合条件的值，即可得出答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∵关于的不等式组至多有两个偶数解， ∴，解得：， 解分式方程， ， ， ∵关于的分式方程的解为正整数， ∴且， ∴的值为或 符合条件的整数的值的和为， 故答案为：． 【变式5】（2025·重庆綦江·一模）若关于x的不等式组有解且至多有4个偶数解，且关于y的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数加的值之和为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了不等式组的求解以及分式方程的求解．熟练掌握不等式组的求解方法以及分式方程的求解方法是解题的关键． 先解不等式组得到的取值范围，根据有解且至多有4个偶数解确定的范围；再解分式方程，根据解是整数进一步确定的值，最后求和即可． 【详解】解： 移项可得：， 通分可得：， 两边同时乘以6可得： 解得：； 因为不等式组有解， 所以，即， 又因为不等式组至多有4个偶数解，大于的偶数有，，，， 所以，即， ∴ 对分式方程，方程两边同时乘以， 得到， 解得：． ∵， ∴， ∴， 因为分式方程的解是整数，所以是6的因数， ，，，． 当时，； 当时，； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 所以满足条件的整数为3，1，0，， 所有满足条件的整数加的值之和为． 故答案为：3． 【变式6】（2025·重庆·模拟预测）已知关于的不等式组至少有三个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组，先解两个不等式，再根据不等式组至少有3个整数解得到 ，再解分式方程确定的值即可得到答案．正确计算是解题的关键． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式，得：， ∵关于的不等式组至少有三个整数解， ∴， ∴， 由，得， ∵关于的分式方程的解为非负整数， ∴且， ∴且，同时是偶数， 则所有满足条件的整数有：，0，4，6 ∴所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：8． 【变式7】（2025·重庆·一模）若关于的不等式组有解且至多3个整数解，关于的分式方程的解为整数，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】22 【分析】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先解一元一次不等式组中的两个不等式，从而可得的取值范围，再解分式方程可得，从而可得是整数，且，则可得出符合条件的所有整数的值，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组有解且至多3个整数解， ∴， 解得， ， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵关于的分式方程的解为整数， ∴是整数，且，即， ∴符合条件的所有整数的值为， ∴符合条件的所有整数的和为， 故答案为：22． 【变式8】（2025·重庆开州·一模）若关于的不等式组有解且至多5个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元一次不等式组的解法等知识点，掌握解分式方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键． 先解不等式组并结合题意确定a的范围，再解出分式方程确定a的范围，进而确定a的所有取值，最后相加即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， ∵不等式组有解且至多5个奇数解， ∴ 解得：． 解分式方程得：． ∵分式方程的解为整数，且（时原分式方程无意义） ∴符合条件的所有整数a的值为， ∴符合条件的所有整数a的和为， 故答案为：． 题型05恰好有n个解 【典例1】（2025·山东威海·一模）已知实数满足以下条件： ①关于的分式方程的解为非负数； ②关于的不等式组的整数解仅有3个． 则满足以上所有条件的整数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解及根据一元一次不等式组解集求参数．不等式组整理后，由有且仅有3个整数解确定出的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，再找出符合条件的整数求和即可得答案． 【详解】解：, 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有3个整数解， ∴， 解得：， ∵是整数， ∴的值可为：、， ， 去分母得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵关于x的分式方程的解为非负数， ∴， ∴， 综上，的值为， 故答案为：． 【典例2】（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识点，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有2个奇数解，确定a的取值范围，再解分式方程，根据方程解是整数，求出a的可能取值，最后求出同时满足已知条件的a的值并求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为： ∵关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解， ∴这两个奇数解为1和3， ∴，解得： 解分式方程，解得：， ∵关于y的分式方程的解是整数， ∴是3的倍数，且，即， 又∵， ∴， ∴满足条件的所有整数的值之和为：2． 故答案为：2． 【变式1】（2025·四川眉山·一模）若关于x的不等式组恰有4个整数解，关于t的分式方程的解也为整数，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且最多有4个整数解确定出的范围，再由分式方程解为整数，确定出满足题意整数的值，求出之和即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 不等式组有解且最多有4个整数解， ， 解得：， ∵， 分式方程去分母得：， 解得：，且， ∴， 分式方程的解为整数， 或， 则满足题意整数之和为． 故答案为：． 【变式2】（2025·重庆渝中·二模）关于的不等式组只有4个整数解，且关于的方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】此题考查了含字母参数的一元一次不等式组和分式方程的求解能力，关键是能准确计算、讨论．先分别解该不等式组和分式方程求得所有满足条件的整数的值，再求和计算． 【详解】解：解不等式组， 得， 可得其4个整数解为：，，， ， 解得； 解方程得， ， 且， 解得且， 且， 所有满足条件的整数的值为：，0，2， ， 即所有满足条件的整数的值之和为1， 故答案为：1． 【变式3】（2025·重庆渝北·一模）若关于的不等式组有且只有3个奇数解，且关于的分式方程的解为正整数，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查解不等式组，解分式方程，根据解的情况确定参数． 先解不等式组，结合不等式组有且只有3个奇数解得到不等式组的解为，奇数解为，从而确定a的取值范围．解分式方程，结合该分式方程的解为整数，得到a是偶数．综上可得a应满足的条件，从而求出整数a的值，从而解答即可． 【详解】解：由不等式得， ∵不等式组有且只有3个奇数解， ∴不等式组的解为，奇数解为， ∴ ∴． 解分式方程得， ∵该分式方程的解为正整数， ∴是2的倍数，即a是偶数．， 又当时，，即， ∴， 综上所述， a应满足且a是偶数且， ∴整数，它们的和为． 故答案为： 【变式4】（2025·重庆·二模）若关于的不等式组有且仅有1个奇数解，且关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先解一元一次不等式组可得，再解分式方程可得，从而可得为整数，且，即，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组有且仅有1个奇数解， ∴， 解得， ， 方程两边同乘以，得， 解得， ∵关于的分式方程的解为整数， ∴为整数，且，即， ∴所有满足条件的整数的值为， ∴所有满足条件的整数的和为， 故答案为：10． 题型06已知解集求参数 【典例1】（2025·山东济宁·二模）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】此题考查了分式方程的解，由于我们的目的是求m的取值范围，根据方程的解列出关于m的不等式，另外，解答本题时，易漏掉分母不等于0这个隐含的条件，这应引起足够重视． 先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围，再根据分母不等于0，即可解答． 【详解】解：由得 ， ∴ ∵x的方程的解是正数， ∴且， ∴且， 解得且． 故选D． 【典例2】（2025·山东济宁·二模）若关于x的方程的解为正数，则m的值可以为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，求出方程的解是解题的关键． 先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：由， 去分母得：， 解得：且， ∵关于的方程的解是正数， ∴且，解得：且， ∴m的值可以为3， 故选：C． 【典例3】（2025·山东东营·一模）若关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查解分式方程及分式方程的解、解不等式，根据方程的解得出不等式是解题的关键，易忽略分式方程的增根的情况，根据方程的解为负数且不能使分母为0，可得关于m的不等式，解不等式可得． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， 解得， ∵解是非负数， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴且． 故答案为：且． 【变式1】（2025·重庆·一模）已知关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为正整数，则满足条件的所有整数的乘积为 ． 【答案】 【分析】本题考查含参一元一次不等式组和分式方程，涉及整数解问题，需要学生注意解的范围限制． 本题首先根据不等式组的解集确定参数的范围，其次结合分式方程的正整数解筛选符合条件的整数，最后求其乘积。关键在于联立两个条件对的限制，确保同时满足． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴． ∴． 关于的分式方程的解为． ∵是原分式方程的增根， ∴． ∴． ∵关于的分式方程的解为正整数， ∴为正整数． ∴． ∵， ∴． ∴所有满足条件的所有整数的乘积为：． 故答案为：． 【变式2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，解不等式等知识；首先将分式方程转化为整式方程，求出解的表达式，再根据解的非正数解不等式，再考虑分母为零时m的取值，综合即可求得的范围． 【详解】解：两边同乘公分母得：， 展开整理得：， 解得：； 由题意，解，即：， 由于分子为负，分母需为正， 故，即； 当时，代入解的表达式得，但不满足，无需额外排除； 当时，代入解的表达式得，此时满足，需排除； 综上，需满足且， 故选：B． 【变式3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查根据分式方程的根求参数，掌握解分式方程的方法，根据根的情况求参数的方法，求一元一次不等式的解的方法是解题的关键．表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于的不等式，解出的范围即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 方程的解为非正数， ， 解得， 又， ， ， ， 的取值范围是． 故选：B． 【变式4】（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于x的分式方程的解的取值范围为，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】此题考查的是根据分式方程解的情况，求参数的取值范围，掌握分式方程的解法和分式方程的增根是解决此题的关键． 先将分式方程化为整式方程求出方程的解，再根据方程解的取值范围以及分母不为零的条件确定的取值范围． 【详解】解： ． 解得． ∵方程的解的取值范围为， ∴， ∴． ∵分母不能为，即， 把代入得， 解得． ∴的取值范围是且， 故选：C． 【变式5】（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的分式方程的解为非负数，则所有正整数m的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解的问题求参数．考虑到分式方程有可能产生增根的情形是解题的关键． 利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由题意得到不等式；分式方程有可能产生使分母为0的增根，所以原方程的解不等于1，由以上两个条件即可得出答案． 【详解】解：去分母，得： ， 移项，合并同类项，系数化1得： ． ∵解为非负数， ∴， ∴． ∵原分式方程有可能产生增根， ∴， ∴， ∴正整数的值为5、4、2、1，故有4个， 故选：A． 【变式6】（2025·江苏南通·二模）已知关于x的方程的解大于1，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，将分式方程转化为整式方程后得出不等式是解题的关键． 分式方程去分母转化成整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程的解大于1结合分式有意义的条件即可求出a的取值范围． 【详解】解：， 去分母得：， 解得： ， ∵关于x的方程的解大于1， ∴得到 ，且， 解得：且． 故答案为：且． 【变式7】（2025·江苏宿迁·三模）若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】，且 【分析】本题主要考查了分式方程的求解，一元一次不等式等知识点，解题的关键是熟练掌握分式方程求解的步骤． 利用分式方程求解的步骤求得，根据方程的解为负数，且分式有意义即可求出的取值范围． 【详解】解： 根据分式方程的解为负数可得，且，即， 解得，且， 故答案为：，且． 1.（2025·黑龙江·模拟预测）已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了解分式方程、分式有意义的条件等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先解分式方程，再令解为负数求参数范围即可解答． 【详解】解：∵方程， ∴分母，即． 方程两边乘得：， 移项得：． 当时，． 解为负数，即， ∴． ∵分子， ∴分母，即． 当时，方程无解，不符合题意． 又∵，即， ∴， 综上，当时解为负数． 故选B． 2．（2025·四川泸州·二模）若关于x的分式方程的解为正数，且关于x的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．6 B．9 C．11 D．14 【答案】C 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数，根据不等式组的解集的情况求参数的值：首先解分式方程，得到解的条件为且；再解不等式组，得到．综合条件得的取值范围为且的整数，求和即可． 【详解】解： 两边同乘得：，整理得． ∵分式方程的解为正数： ∴， ∴， ∵分母不为零， ∴， ∴； 解，得： ∵不等式组有解， ∴， ∴， 综上：且， ∴整数为，； 故选C 3．（2025·四川广元·模拟预测）若关于x的分式方程有增根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，理解分式方程的增根是解题的关键．先将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程得，根据分式方程有增根可得，列出关于的方程，即可求解． 【详解】解： 去分母，得， 解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 4．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值． 【答案】或1或2 【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元二次方程根的判别式，准确分析计算是解题的关键． 先将分式方程去分母化成整式方程，通过二次方程的判别式判断根的个数，再根据分式有意义的条件进行判断即可． 【详解】原方程是分式方程， 且， 两边同时乘以得：， ， 方程只有一个实数解， 若原分式方程有解， ， 解得：， ， 解得：，符合题意； 若原分式方程有增根，则或， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述：的值为或1或2． 5．（2025·江苏南京·二模）（1）解方程：； （2）若关于x的方程无解，则a的值是 ． 【答案】（1）；（2）2 【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的无解问题，熟练掌握解分式方程是关键． （1）去分母化为整式方程，解方程并检验即可； （2）根据分式方程无解的情况进行分析即可． 【详解】解：（1） 去分母得到， 解得， 当时，， ∴是分式方程的解； （2）∵， 方程两边同时乘以，得 ， ∴； 当时，无解，即关于的方程无解， 当时，， ∵原分式方程无解， ∴， 此时无解， ∴a的值是 故答案为： 1．（2025·四川绵阳·三模）若关于的方程与有一个解相同，则的值为（    ） A．6 B． C．6或 D．或2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，分式方程的解法，解题关键能正确求出方程的解． 先求出一元二次方程的解，再将解代入分式方程中，转化为关于待求字母参数的方程求解． 【详解】解：方程，解得：，， 当时，将代入，得，解得：； 当时，此时分母，分式方程无意义，所以不是方程的解． 故选： B． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知关于的分式方程的解是非正数，则取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，解题的关键在于根据分式方程解的情况建立不等式组． 根据题意，先解出分式方程，再根据其解是非正数，建立不等式组求解，注意考虑分母不为0即可． 【详解】解： ， 分式方程的解是非正数， ，且， ， 整理得：，且， 解得，且，， 综上所述，则取值范围是且， 故选：B。 3．（2025·广东河源·模拟预测）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设印刷不清的分母为，由题意得，得出，再逐项分析即可判断． 【详解】解：设印刷不清的分母为， 由题意得，， 解得：， A、当时，，符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：A． 4．（2025·重庆永川·模拟预测）关于 x的一元一次不等式组 的解集为，且关于 y 的分式方程 的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，分式方程的解．先解不等式组得出，再根据不等式组的解集为，得出，解得．再解分式方程得，根据分式方程的解为正整数，确定出符合题意的a值，进而得出答案． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：． 解分式方程， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， ∵分式方程的解为正整数， ∴且， ∴且， ∴且， ∴且， ∴满足条件的整数a的值为0，4，6，8， ∴满足条件的整数a的值之和为：． 故答案为：18． 5．（2025·重庆·模拟预测）若关于的不等式组所有整数解的和为14，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】14 【分析】此题考查了含有字母参数的一元一次不等式组和分式方程问题的解决能力，先通过解一元一次不等式组和分式方程确定所有满足条件的整数的值，再进行计算求解．关键是能准确理解并运用以上知识进行计算求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 该不等式组的解集为， 该不等式组所有整数解的和为14， 该不等式组的整数解为或， 或， 解得或； 解分式方程， 得， 解为非负整数， 这种情况应舍去， ，即且为偶数， 由题意得，当时，； 当时，； 当时，（不合题意，舍去）； 所有满足条件的整数的值为8、6， ， 所有满足条件的整数的值之和为14， 故答案为：14． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $