精品解析：江苏扬州市扬州中学教育集团树人学校2025-2026学年八年级下学期3月阶段检测数学试题

初二数学巩固练习3 一、选择题（每题3分，共8小题） 1. 下列算法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 2. 已知，，则a与b的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化，先对a进行分母有理化化简，再结合b的表达式分析a与b的数量关系，进而选择正确选项即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，即． 故选：A． 3. 在中，：：：的值可以是（ ） A. ：：： B. ：：： C. ：：： D. ：：： 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，，根据以上结论即可选出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， 即和的数相等，和的数相等，且， 故选：D． 【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能根据平行四边形的性质进行判断是解此题的关键，题目比较典型，难度适中． 4. 如图，在中，于点E，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，进而求出，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 5. 要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（　　） A. 测量两组对边是否相等 B. 测量对角线是否相等 C. 测量对角线是否互相平分 D. 测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理判定即可． 【详解】A.测量两组对边是否相等，能判定平行四边形，故A错误； B.对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定四边形的形状，故B错误； C.测量对角线是否互相平分，能判定平行四边形，故C错误； D.根据对角线相等且互相平分四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形．故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定定理，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形． 6. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（ ） A. 6cm B. 4cm C. 2cm D. 1cm 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处， ∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1， 又∵∠BAD=90°， ∴四边形ABEB1是正方形， ∴BE=AB=6cm， ∴CE=BC﹣BE=8﹣6=2cm． 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质；翻折变换（折叠问题）． 7. 如图所示,在菱形ABCD中,∠BAD＝120°.已知ΔABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是 (　　) A. 25 B. 20 C. 15 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据菱形对角线性质可求∠BAC=60°，而AB=BC=AC，易证△BAC是等边三角形，结合△ABC的周长是15，从而可求AB=BC=5，那么就可求菱形的周长． 【详解】∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线， ∴AB=BC=CD=AD，∠BAC=∠CAD=∠BAD， ∴∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵△ABC的周长是15， ∴AB=BC=5， ∴菱形ABCD的周长是20． 故选B． 8. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为 A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°， ∵∠BAE=22.5°，∴∠DAE=90°－∠BAE=90°－22.5°=67.5°． 在△ADE中，∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠DAE=∠DEA．∴AD=DE=4． ∵正方形的边长为4，∴BD=．∴BE=BD－DE=． ∵EF⊥AB，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形． ∴EF=BE==． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共10小题） 9. 若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的定义，二元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，列出方程求解得到x与y的关系，得到的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴被开方数相等，即， ． 故答案为4． 10. 若，则的值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，正确解出，的值，是解答本题的关键．先根据二次根式有意义的条件确定的取值，再求出的值，最后计算有理数的乘方运算． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得 解此不等式组，得． 将代入，得． 则． 故答案为：． 11. 如图，在平行四边形中，，点、分别是、的中点，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，由三角形的中位线定理可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E，F分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴ 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 12. 如图，小驰用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合题意得到，由，代入计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 13. 如图，在平行四边形中，，，平分交的延长线于点．则______． 【答案】2 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的可得，即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 14. 如图，在中，，将绕点旋转得到，连接、．当为________度时，四边形为矩形． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等，可知AF=BE，即可推出AC=BC，推出△ABC是等边三角形即可解决问题； 【详解】如果四边形ABFE为矩形，根据矩形的性质， 那么AF=BE，AC=BC， 又因为AC=AB， 那么三角形ABC是等边三角形， 所以∠ACB=60°． 故答案是：60． 【点睛】考查了矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分． 15. 如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出是等腰三角形，从而求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解： ∵四边形ABCD是正方形，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质，利用等边对等角求角的度数，是解题的关键． 16. 如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，先求得到的平移方式，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点A，B的坐标分别为， ∴将向左平移1个单位，向上平移1个单位得到 ∴将向左平移1个单位，向上平移1个单位得到，即 17. 如图，在中，，，，分别是，边上的中点，点在的延长线上，，若，则的长为 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位线定理，圆的有关概念，勾股定理等知识，取中点，连接，由中位线定理得，又，，则，因为分别是上的中点，所以，从而得，则点在以为圆心，为直径的圆上，如图，然后通过勾股定理即可求解，熟练掌握中位线定理，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接， ∵分别是上的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵分别是上的中点， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，为直径的圆上，如图， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，正方形的边长为2．为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，勾股定理，连接、、，证可得，当、、、四点共线时，即得最小值； 【详解】解：如图，连接、、， ∵ ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴ ∴ 当时，最小， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共10小题） 19. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式直接提取公因式即可； （2）原式提取公因式后，再运用平方差公式解答即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解： ． 21. 如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF． 求证：四边形BECF是平行四边形． 【答案】 证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠AEB=∠DFC=90°， ∵AB∥CD， ∴∠A=∠D， 在△AEB与△DFC中， ∴△AEB≌△DFC（ASA）， ∴BE=CF． ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴BE∥CF． ∴四边形BECF是平行四边形． 【解析】 【分析】通过全等三角形（△AEB≌△DFC）的对应边相等证得BE=CF，由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得BE∥CF．则四边形BECF是平行四边形． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 22. 如图，已知中，，CE是的中线，连接CE，分别过点A，C作CE和AB的平行线相交于点D． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若，，求菱形AECD的面积． 【答案】（1）， 四边形是平行四边形， ，CE是的中线， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意由可得四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得进而可得四边形是菱形； （2）连接根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据勾股定理求得，根据菱形的面积公式即可求得． 【详解】（1） 略 （2）如图，连接， ，， ， 在中， ， 四边形是菱形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 菱形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 23. 在中，分别是的中点，连接 求证：四边形是矩形； 请用无刻度的直尺在图中作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）证明：分别是的中点， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形 （2）如图射线即为所求． 【解析】 【分析】首先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断． 连接交于点，作射线即可． 【详解】略 略 【点睛】本题考查三角形中位线定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识. 24. 如图，点D，E分别是，的中点，F在上，且，若，，求的长． 【答案】2 【解析】 【分析】由三角形中位线的性质可得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，最后根据线段的和差求解即可． 【详解】解：∵点D，E分别是，的中点，， ∴， ∵，点D是的中点， ∴， ∴． 25. 阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 （1） 由此可归纳出结论： _________． （2）根据上面的结论计算： 类似的： __________； （3）类比应用：__________； （4）请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，与实数有关的规律探索，实数比较大小等等： （1）根据题意可得规律； （2）根据结合题意求解即可； （3）先求出，再由进行求解即可； （4）仿照（3）求出，，再利用作差法求解即可． 【小问1详解】 解： 以此类推可得， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解： ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵， ， ∴， ， ∵， ∴． 26. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解∶设 原式(第一步) (第二步) (第三步) (第四步) 请问∶ （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______ A．提取公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？______．(填"彻底"或"不彻底")若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______ （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】（1）C （2）不彻底； （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握整体思想和公式法进行因式分解，是解题的关键： （1）根据完全平方公式法进行因式分解，作答即可； （2）根据完全平方公式法继续进行因式分解即可； （3）仿照题干方法，进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式； 故选C； 【小问2详解】 分解结果不彻底， 原式 ； 【小问3详解】 设， 原式． 27. 如图，四边形是平行四边形，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． （1）请求出点的坐标； （2）已知点是线段上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点的坐标； （3）已知直线：恰好将平行四边形分成面积相等的两部分，求出与之间满足的关系式． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平移的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，一次函数的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用平行四边形的性质和平移的性质即可求解； （2）设，分情况进行讨论，当时，当时，当时，利用勾股定理求解即可； （3）连接，交于，利用中点坐标公式求出中点，再利用待定系数法可表示出和的关系． 【小问1详解】 解：点坐标是，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点坐标是， ∴； 【小问2详解】 解：∵点是线段上一个动点， ∴设， ①当时，三角形是等腰三角形，根据勾股定理得， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ②当时，三角形是等腰三角形， 则点在的垂直平分线上， ∴， ③时，根据勾股定理得， ∴， ∴（不合题意舍去），（不合题意舍去）， 综上所述，或； 【小问3详解】 解：如图，连接，交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点坐标是，点坐标是， ∴， ∵正好将平行四边形分成面积相等的两部分， ∴直线过， ∴ ∴， 即与的函数关系式为． 28. 【问题背景】在正方形中： 如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等（无需证明）； （1）如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 （2）如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于，．若正方形的边长为2，，则_____； 【继续探索】 （3）如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为，则_____． 【答案】（1） ，证明如下： 过点A作，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） （3），理由： 延长，交的延长线于点I，如图所示： 同理（1）可得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴点D为的中点， ∵， ∴， ∴； （4） 【解析】 【分析】（1）过点A作，则有四边形是平行四边形，然后可得，进而问题即可得证； （2）连接，交于点K，由折叠的性质可知，同理可得，进而根据勾股定理可进行求解； （3）延长，交的延长线于点I，同理①可得：，然后通过证明，进而根据全等三角形的性质及直角三角形斜边中线定理可进行求解； （4）由题意易得，，则有，然后根据完全平方公式及线段的和差关系可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，交于点K，如图所示： 由折叠的性质可知：， 同理②可得：， 在正方形中，， ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 同理①可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：（负根舍去）； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学巩固练习3 一、选择题（每题3分，共8小题） 1. 下列算法正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则a与b的关系是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，：：：的值可以是（ ） A. ：：： B. ：：： C. ：：： D. ：：： 4. 如图，在中，于点E，若，则为（ ） A. B. C. D. 5. 要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（　　） A. 测量两组对边是否相等 B. 测量对角线是否相等 C. 测量对角线是否互相平分 D. 测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等 6. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（ ） A. 6cm B. 4cm C. 2cm D. 1cm 7. 如图所示,在菱形ABCD中,∠BAD＝120°.已知ΔABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是 (　　) A. 25 B. 20 C. 15 D. 10 8. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为 A. 1 B. C. D. 二、填空题（每题3分，共10小题） 9. 若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 10. 若，则的值为_____ 11. 如图，在平行四边形中，，点、分别是、的中点，则__________． 12. 如图，小驰用四根木条钉成一个木框，推动得到．现测得，，则的度数为__________． 13. 如图，在平行四边形中，，，平分交的延长线于点．则______． 14. 如图，在中，，将绕点旋转得到，连接、．当为________度时，四边形为矩形． 15. 如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________． 16. 如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为_______． 17. 如图，在中，，，，分别是，边上的中点，点在的延长线上，，若，则的长为 ______ ． 18. 如图，正方形的边长为2．为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为________． 三、解答题（共10小题） 19. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 20. 计算： （1）； （2）． 21. 如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF． 求证：四边形BECF是平行四边形． 22. 如图，已知中，，CE是的中线，连接CE，分别过点A，C作CE和AB的平行线相交于点D． （1）求证：四边形ADCE是菱形； （2）若，，求菱形AECD的面积． 23. 在中，分别是的中点，连接 求证：四边形是矩形； 请用无刻度的直尺在图中作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． 24. 如图，点D，E分别是，的中点，F在上，且，若，，求的长． 25. 阅读下列材料： 小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小 请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题 （1） 由此可归纳出结论： _________． （2）根据上面的结论计算： 类似的： __________； （3）类比应用：__________； （4）请你根据以上总结的结论，比较与的大小． 26. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解∶设 原式(第一步) (第二步) (第三步) (第四步) 请问∶ （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______ A．提取公因式法 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？______．(填"彻底"或"不彻底")若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______ （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 27. 如图，四边形是平行四边形，其中点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是． （1）请求出点的坐标； （2）已知点是线段上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点的坐标； （3）已知直线：恰好将平行四边形分成面积相等的两部分，求出与之间满足的关系式． 28. 【问题背景】在正方形中： 如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等（无需证明）； （1）如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 （2）如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于，．若正方形的边长为2，，则_____； 【继续探索】 （3）如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为，则_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $