学易金卷：八年级数学下学期期中模拟卷（新教材苏科版，范围：第6～9章）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：100分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：苏科版2024八年级下册第6~9章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列调查中，适合普查的是（   ） A．一批新型电动车电池的使用寿命 B．全班同学最喜爱的体育运动 C．黄海森林公园内树木的平均高度 D．某市学生的家庭一周内丢弃垃圾袋的数量 2．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．一个不透明的袋子中装有4个红球，2个黄球，这些球除了颜色外都相同，从中随机抽出3个球，下列事件为必然事件的是（   ） A．至少有1个球是红球 B．至少有1个球是黄球 C．至少有2个球是红球 D．至少有2个球是黄球 4．如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 5．明明和丽丽在因式分解关于x的多项式时，明明获取的其中一个正确的因式为，丽丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C．11 D．13 6． 如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为 （   ） A．3 B．4 C． D． 7．若实数，，满足，，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，在矩形纸片中，，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则（   ） A． B． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．分解因式：_______________． 10．每年4月23日是“世界读书日”，为了解某校八年级1080名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了200名学生进行调查，在这次调查中，样本容量是__________． 11．“头盔是家校路的守护罩”，社区安全志愿队对家长骑电瓶车接送孩子时使用的头盔合格情况抽样检查，结果如下表： 抽查的头盔数 100 200 300 500 900 1000 2000 合格的头盔数 98 193 292 484 873 970 1940 合格头盔的频率 0.980 0.965 0.973 0.968 0.970 0.970 0.970 如果从家长常用的电瓶车头盔中任取一个，则该头盔合格的概率为______________（精确到0.01）． 12．如图，在平行四边形中，点M为边上任意一点，点E，点F分别是的中点，若，则的长为___________． 13．已知，则的值为________． 14．如图，菱形的对角线相交于点O，点E在边上，连接并延长交于点F．若，则与的面积之和为 ____________________ ． 15．当或时，代数式的值相等，则时，代数式的值为______． 16．如图，正方形的边长为4，点是边上的点，，点为边上一动点，将点绕点顺时针旋转得到点，则的最小值是______． 三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）分解因式： (1)； (2)． 18．（6分）如图，在中，分别是的中点，．求的度数． 19．（6分）某校组织开展了汉字书写大赛，同学们踊跃参加，王老师随机调查了部分参加汉字书写大赛的学生成绩，成绩由分数转化为优秀、良好、及格、不及格四个等级，并将调查结果绘制成如下两幅统计图． 请根据已知信息，解答下列问题： (1)条形统计图中________． (2)扇形统计图中，表示“不及格”的扇形的圆心角度数为________度； (3)若该校共有240名同学参加了汉字书写大赛，请你估计该校成绩优秀的学生人数． 20．（6分）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中，_____，_____； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1） (3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 21．（6分）如图，在中，，点为中点，连接，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，求四边形的周长． 22．（6分）对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中的另一个因式为，于是我们可以得到．这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式， (1)请你用试根法分解以下多项式： ①        ② (2)已知多项式是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解． 23．（6分）如图1，是锐角，点A，B分别在边，上． (1)利用无刻度直尺与圆规作图：在图1中的的内部作一点C，使得四边形是平行四边形；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在图2中将绕点C顺时针旋转，使得点B落在上的点D处，点A的对应点记作点E，点O的对应点记作点要求：仅用圆规作出点D，E，F，并简要说明点F的作图过程． 24．（8分）先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题． 若多项式有一个因式是，求m的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得． 解法二：设（A为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)若多项式有一个因式是，则m的值为_________； (2)若多项式有因式和，求m，n的值； (3)若是多项式的一个因式，请将该多项式分解因式． 25．（8分）如图，等腰梯形中，，，，，动点从点出发沿方向向终点运动，动点同时以相同速度从点出发沿方向向终点运动． (1)求的长； (2)探究：在边上是否存在点使得四边形是菱形？若存在，请找出点；不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，求：线段的中点运动的路程． 26．（10分）在长方形中，． (1)如图1，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，求的长． (2)如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长： (3)如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当三点在同一直线上时，请直接写出的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：100分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：苏科版2024八年级下册第6~9章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列调查中，适合普查的是（   ） A．一批新型电动车电池的使用寿命 B．全班同学最喜爱的体育运动 C．黄海森林公园内树木的平均高度 D．某市学生的家庭一周内丢弃垃圾袋的数量 【答案】B 【分析】本题考查普查与抽样调查的适用范围，普查适用于调查范围较小、不具有破坏性、易完成的情况，抽样调查适用于范围大、有破坏性或工作量大的调查，据此判断各选项即可。 【详解】解：普查是对调查对象的所有个体进行调查的方式，需满足范围小、无破坏性、易实施的特点 A、测试电池使用寿命具有破坏性，适合抽样调查 B、全班同学范围小，易完成，适合普查 C、森林公园内树木数量多，工作量大，适合抽样调查 D、调查某市学生的家庭一周内丢弃垃圾袋的数量，工作量大，适合抽样调查 故选：B． 2．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义和识别．因式分解是将一个多项式表示为几个整式的乘积的形式．根据定义逐一判断各选项，即可得答案． 【详解】解：A．是整式乘法，不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意； B．选项左边是多项式，右边是与的积，符合因式分解的定义，故该选项符合题意； C．选项右边不是积的形式，不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意； D．，选项等式不成立，不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意． 故选：B． 3．一个不透明的袋子中装有4个红球，2个黄球，这些球除了颜色外都相同，从中随机抽出3个球，下列事件为必然事件的是（   ） A．至少有1个球是红球 B．至少有1个球是黄球 C．至少有2个球是红球 D．至少有2个球是黄球 【答案】A 【分析】必然事件是一定发生的事件，列举抽取3个球的所有可能情况即可判断． 【详解】解：∵袋子中共有4个红球，2个黄球，从中随机抽取3个球， 红球和黄球的数量组合有以下三种可能：3个红球，2个红球1个黄球，1个红球2个黄球， 观察所有结果可知，每种情况都至少有1个红球， 因此“至少有1个球是红球”是必然事件． 4．如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：A、仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 A错误； B、∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形．故B正确． C、由无法判定为平行四边形，故C错误； D、且，四边形可能是等腰梯形，故D错误； 故选：B． 5．明明和丽丽在因式分解关于x的多项式时，明明获取的其中一个正确的因式为，丽丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C．11 D．13 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，熟练掌握“多项式因式分解后，展开因式的乘积可通过系数对应求出原多项式的系数”是解题的关键．根据因式分解的性质，多项式等于两个正确因式的乘积，通过展开比较系数求和的值，再计算 【详解】解：∵ 多项式 有两个正确因式 和， ∴ ， 展开右边：， 比较系数得：，， ∴ ，， ∴ ． 故选：A． 6．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，由菱形的性质可得，，，在中，根据勾股定理可得，然后根据可得，于是得解．熟练掌握菱形的性质与菱形面积的计算方法是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 是菱形的高， ， ， 故选：C． 7．若实数，，满足，，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解、代数式的求值、实数的性质，掌握相关知识点是解题的关键．先将题目的两个等式相加，整理得到，再利用因式分解的知识将等式变形为，利用完全平方的非负性求出、的值，即可求出的值． 【详解】解：，， ， 整理得：， ， ， ，， 解得：，， ， ． 故选：A． 8．如图，在矩形纸片中，，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，延长交的延长线于H，根据折叠的性质及矩形的性质，证明，进而得到为直角三角形，设，则，，证明为等腰三角形，求出，即可解答． 【详解】解：如图，连接，延长交的延长线于H， ∵矩形中，，，E为边的中点， ∴，， ∴，， ∵将沿翻折，点D的对应点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形， 设，则，， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，掌握这些性质定理是解题的关键． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．分解因式：_______________． 【答案】 【分析】观察原式结构，可将其转化为平方差的形式，再利用平方差公式进行因式分解，最后化简括号内的整式即可． 【详解】解： ． 10．每年4月23日是“世界读书日”，为了解某校八年级1080名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了200名学生进行调查，在这次调查中，样本容量是__________． 【答案】200 【分析】此题考查了样本容量，样本中个体的数量叫做样本容量，据此进行解答即可． 样本容量是样本中个体的数量，本题中抽取了200名学生，因此样本容量为200． 【详解】解：从总体1080名学生中随机抽取200名学生进行调查，样本容量指样本中包含的个体数目,即为200． 故答案为200． 11．“头盔是家校路的守护罩”，社区安全志愿队对家长骑电瓶车接送孩子时使用的头盔合格情况抽样检查，结果如下表： 抽查的头盔数 100 200 300 500 900 1000 2000 合格的头盔数 98 193 292 484 873 970 1940 合格头盔的频率 0.980 0.965 0.973 0.968 0.970 0.970 0.970 如果从家长常用的电瓶车头盔中任取一个，则该头盔合格的概率为______________（精确到0.01）． 【答案】0.97 【分析】本题主要考查由频率估计概率，通过观察表格中合格头盔的频率，发现当抽查数量较大时，频率稳定在0.970附近，根据频率估计概率的原理，可确定概率值． 【详解】从表格数据可知，当抽查数量为900、1000和2000时，合格头盔的频率均为0.970， 且随着增大，频率趋于稳定，因此该头盔合格的概率为0.97． 故答案为：0.97． 12．如图，在平行四边形中，点M为边上任意一点，点E，点F分别是的中点，若，则的长为___________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据平行四边形的性质得出相等的边，然后判定是的中位线，根据三角形中位线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E，点F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：3． 13．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，因式分解；先根据已知求出，，然后把提取公因式分解因式，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴将代入可得， ∴， 故答案为：． 14．如图，菱形的对角线相交于点O，点E在边上，连接并延长交于点F．若，则与的面积之和为 ____________________ ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质及面积计算．利用菱形对边平行、对角线互相垂直平分的性质，证明与全等，进而将两个三角形的面积之和转化为的面积求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，是等边三角形，，对角线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．当或时，代数式的值相等，则时，代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，由已知得，进而得，再代入代数式计算即可求解，熟练运用提公因式法因式分解和公式法因式分解是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 整理得， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， ， 故答案为：． 16．如图，正方形的边长为4，点是边上的点，，点为边上一动点，将点绕点顺时针旋转得到点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，线段极值问题，判断出点Q的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，将线段绕E顺时针旋转至M，连接，过C作于N，过E作于F，由已知可得，，故Q在射线上运动，而，的长度即是的最小值，易知四边形为矩形，，中，，即可得． 【详解】解：将线段绕E顺时针旋转至M，连接，过C作于N，过E作于F，如图： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴Q在射线上运动， ∵， ∴的长度即是的最小值， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， 中，，， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）直接提取公因式即可； （2）先提取公因式，再由完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解：原式． ； （2）解：原式 ． 18．（6分）如图，在中，分别是的中点，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键，直接证明四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的对角相等即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． ，分别是，的中点， ，， ，． 四边形是平行四边形． ． 19．（6分）某校组织开展了汉字书写大赛，同学们踊跃参加，王老师随机调查了部分参加汉字书写大赛的学生成绩，成绩由分数转化为优秀、良好、及格、不及格四个等级，并将调查结果绘制成如下两幅统计图． 请根据已知信息，解答下列问题： (1)条形统计图中________． (2)扇形统计图中，表示“不及格”的扇形的圆心角度数为________度； (3)若该校共有240名同学参加了汉字书写大赛，请你估计该校成绩优秀的学生人数． 【答案】(1)20 (2)24 (3)名 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用良好的人数除以其人数占比可求出参与调查的人数，进而可求出m的值； （2）用360度乘以不及格的人数占比即可得到答案； （3）用240乘以样本中优秀的人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：名， ∴这次一共调查了60名学生， ∴； （2）解：， ∴扇形统计图中，表示“不及格”的扇形的圆心角度数为； （3）解：名， ∴估计该校成绩优秀的学生人数为48名． 20．（6分）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中，_____，_____； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1） (3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 【答案】(1)，1802 (2) (3)估计还要移植4000棵这种苹果树苗 【分析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率. （1）根据成活率成活数移植棵树，可算出a，根据成活数移植棵数成活率，可算出b； （2）利用频率估计概率即可； （3）利用概率公式计算即可. 【详解】（1）解：∵成活率成活数移植棵数，成活数移植棵数成活率， ∴，， （2）解：∵随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近，显示出一定的稳定性， ∴可以估计该种苹果树苗成活的概率是0.9. 故答案为：0.9. （3）解：（棵） 答：估计还要移植4000棵这种苹果树苗. 21．（6分）如图，在中，，点为中点，连接，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，角平分线的性质，等角对等边，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据直角三角形斜边中线定理得出，根据条件证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等即可得出结论； （2）根据菱形的性质得出相等的边和平行线，根据角平分线的性质和等角对等边得出，求出相关线段的长度即可求解． 【详解】（1）证明：∵，点为中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴四边形的周长为． 22．（6分）对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中的另一个因式为，于是我们可以得到．这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式， (1)请你用试根法分解以下多项式： ①        ② (2)已知多项式是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解． 【答案】(1)①；② (2)，； 【分析】此题考查了因式分解，多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上知识点． （1）①利用试根法求解即可； ②利用试根法求解即可； （2）设另一个因式为，然后计算为，然后比较系数求解即可． 【详解】（1）解：①当时，，当时， ∴； ②当时，， 当时，， 当时，， ∴； （2）解：∵多项式是多项式的一个因式 ∴设另一个因式为 ∴ ∴ ∴ 解得． ． 23．（6分）如图1，是锐角，点A，B分别在边，上． (1)利用无刻度直尺与圆规作图：在图1中的的内部作一点C，使得四边形是平行四边形；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在图2中将绕点C顺时针旋转，使得点B落在上的点D处，点A的对应点记作点E，点O的对应点记作点要求：仅用圆规作出点D，E，F，并简要说明点F的作图过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意正确作出图形． （1）分别以为圆心，为半径作弧两弧交于点，连接即可； （2）以为圆心为半径作弧交于点的左侧作，在射线上截取线段，使得，分别以为圆心，为半径作弧，两弧交于点，连接即可． 【详解】（1）如图1中，四边形即为所求； 证明： 四边形是平行四边形； （2）如图2中，四边形即为所求． 方法：以为圆心为半径作弧交于点的左侧作，在射线上截取线段，使得，分别以为圆心，为半径作弧，两弧交于点，连接即可． 24．（8分）先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题． 若多项式有一个因式是，求m的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得． 解法二：设（A为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)若多项式有一个因式是，则m的值为_________； (2)若多项式有因式和，求m，n的值； (3)若是多项式的一个因式，请将该多项式分解因式． 【答案】(1)1 (2)， (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用，读懂阅读材料中的分解方法是解此题的关键． （1）设另一个因式为，从而得出，对应相等可得，，计算即可得出结果； （2）设，由于上式为恒等式，分别取，得，求解即可得出结果； （3）设，则，比较系数得，解得，从而可得该多项式为，最后分解因式即可得出结果． 【详解】（1）解：∵设另一个因式为， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：设， 由于上式为恒等式，分别取，得， 解得，． （3）解：设， 则， 比较系数得， 解得， 该多项式为， ． 25．（8分）如图，等腰梯形中，，，，，动点从点出发沿方向向终点运动，动点同时以相同速度从点出发沿方向向终点运动． (1)求的长； (2)探究：在边上是否存在点使得四边形是菱形？若存在，请找出点；不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，求：线段的中点运动的路程． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)． 【分析】（）首先过点作交于，得四边形是平行四边形，即可求得的长，继而可得是等边三角形，则可求得的长； （）若存在满足条件的点，则必须等于，即可求得恰为等边三角形，过点作于点，延长交于点，连接，则垂直平分，继而可得，则可求得的长； （）分析可得的中点运动的轨迹分为两部分；当在上时，的中点关于对称的一条线段，长度是相同的，起点是的中点、终点是的中点；当在上时，的中点始终不动，则可求得线段的中点运动的路程． 【详解】（1）解：过点作交于， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：存在满足条件的点，则必须等于， 设动点与的运动时间为， 于是， ∴， 此时，点的位置如图所示，恰为等边三角形， 则， 过点作于点，延长交于点，连接，则垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，即， ∴四边形是菱形， ∴存在满足条件的点，且； （3）解：的中点运动的轨迹分为两部分； 当在上时，的中点关于对称的一条线段，长度是相同的，起点是的中点、终点是的中点； 当在上时，的中点始终不动，此段中点运动的距离为， ∴线段的中点运动的路程为． 【点睛】此题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 26．（10分）在长方形中，． (1)如图1，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，求的长． (2)如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长： (3)如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当三点在同一直线上时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)或 (3)2或8 【分析】（1）由翻折可得，再利用勾股定理解答即可； （2）分和两种情况，分别画出图形，利用翻折的性质和勾股定理求解即可； （3）分点M在线段上和点M在的延长线上两种情况，分别画出图形，利用翻折的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1∶四边形是矩形， ， 由翻折变换的性质可知∶， ， ， 设，则 在中，，解得：． （2）解：如图2-1中，当，过点作于点． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴； 如图中，当时， ∵， ∴， 设，则， 在中， ∵， ∴，解得：， ∴． 综上所述，的长为或． （3）解：如图中，当点在线段上时， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ． 如图3-2中，当点在的延长线上时，同法可证， ， ， ． 综上所述，满足条件的的长为2或8． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、翻折的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B A B A C C 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.(5-x)(x-1 10.200 11.0.97 12.3 13.7 14.3 15.2025 2 16 三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(6分)【解析】(1)解：原式=m(a-3)-2(a-3). =(a-3)m-2);(3分) (2)解：原式=4a2b(b2+2ab+a2) =4a2b(a+b)2.(6分) 18.(6分)【解析】解：：四边形ABCD是平行四边形， .DC=AB,DC I AB :E,F分别是AB,CD的中点， BE-TAR:DF=-CD 2 :BE =DF BEl DF. :四边形DEBF是平行四边形.(4分) :∠BFC=80° ·∠BFD=180°-∠BFC=180°-80°=100° :∠BED=∠BFD=100°.(6分) 19.(6分)【解析】（1)解：24÷40%=60名， .这次一共调查了60名学生， ∴.m=60-12-24-4=20;(2分) (2)解：360×4=240， 60 ∴.扇形统计图中，表示“不及格”的扇形的圆心角度数为24°；(4分) 1/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (3)解：240× 2=48名， 6 ∴.估计该校成绩优秀的学生人数为48名.(6分) 20.(6分)【解析】(1)解：，成活率=成活数÷移植棵数，成活数=移植棵数×成活率， .a=362÷400=0.905,b=2000×0.901=1802,(2分) (2)解：，随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0900附近，显示出一定的稳定性， ∴.可以估计该种苹果树苗成活的概率是0.9 故答案为：0.9.(4分) (3)解：(8100-4500)÷0.9=4000（棵） 答：估计还要移植4000棵这种苹果树苗.(6分) 21.(6分)【解析】(1)证明：，LACB=90°，点D为AB中点， :.CD=BD=-AB, 2 贴号 .'CD=BE, 又.BECD, ∴.四边形BDCE是平行四边形， .CD=BD, ∴.平行四边形BDCE是菱形；(3分) (2)解：由(1)得四边形BDCE是菱形， ∴.BD=BE=CE=CD,CE∥AB, ∴.∠AEC=∠BAE, ,AE平分∠BAC, ∴.∠BAE=∠CAE, ∴.∠AEC=LCAE, ,∴.AC=CE=1, ∴.BD=BE=CE=1, ,点D为AB中点， ∴.AB=2BD=2, ∴.四边形ABEC的周长为AC+CE+BE+AB=1+1+1+2=5.(6分) 2/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22.(6分)【解析】(1)解：①当x=-1时，2x2+5x+3=0,当x=- C时，22+5x+3=0 .2x2+5x+3=(x+1)(2x+3: ②当x=1时，x3-7x2-10x+16=0, 当x=-2时，x3-7x2-10x+16=0, 当x=8时，x3-7x2-10x+16=0, .x3-7x2-10x+16=x-1)(x+2)(x-8);(3分) (2)解：，多项式x2+2x+1是多项式x-x2-2ar-b的一个因式 ∴.设另一个因式为x+m .x2+2x+1(x+mj =x+mx2+2x2+2mx+x+m =x3+m+2)x2+2m+1)x+m .x3-x2-2ax-b=x2+2x+1(x+m)=x3+m+2）x2+(2m+1x+m [-1=m+2 -2a=2m+1 -b=m m=-3 _5 解得a=2 b=3 x3-x2-2ax-b=(x2+2x+1(x-3)=(x-3(x+1)2.(6分) 23.(6分)【解析】(1)如图1中，四边形0ACB即为所求； B A M 证明：：OA=BC,OB=AC :四边形OACB是平行四边形；(3分) (2)如图2中，四边形CEFD即为所求. 3/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 0 M 方法：以C为圆心CB为半径作弧交NO于点D,CA的左侧作LACT=∠BCD,在射线CT上截取线段CE, 使得CE=CA,分别以E,D为圆心，CD,CE为半径作弧，两弧交于点F,连接FD,EF即可.(6分) 24.(8分)【解析】(1)解：设另一个因式为(x+m), ∴.x2+mx-12=（x+4(x+n=x2+(n+4)x+4n, .4n=-12,m=n+4, ∴.n=-3, ∴.m=n+4=1;(2分) (2)解：设x3+mx2+nx+6=A(x-2)(x+1）, [8+4m+2n+6=0 由于上式为恒等式，分别取x=2,x=-1得 -1+m-n+6=0’ 解得m=-4,n=1.(4分) (3)解：设x3+x2+ax+b=(x-p)川x2+4x+4), 则x3+x2+ax+b=x3+(4-p)x2+(4-4p)x-4p, 4-p=1 比较系数得{4-4p=a, -4p=b a=-8 解得b=-12, (p=3 ·该多项式为x3+x2-8x-12, x3+x2-8x-12=(x-3)x2+4x+4=(x-3)x+2)2.(8分) 25.(8分)【解析】(1)解：过点A作AE∥BC交CD于E, 4/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B D EP :AB∥CD, '.四边形ABCE是平行四边形， ∴.AE=BC,CE=AB=4, .DE=CD-CE=12-4=8, ..AD BC, ∴.AE=AD, ,∠C=60°， ∴.∠D=∠C=60°， “△AED是等边三角形， .AD=DE=8;(2分) (2)解：存在满足条件的点M,则PD必须等于DQ, 设动点P与Q的运动时间为t, 于是12-1=1， ∴.1=6， 此时，点P、Q的位置如图2所示，△PDQ恰为等边三角形，则∠1=60°， 过点D作DO⊥PQ于点O,延长DO交BC于点M,连接PM、QM,则DM垂直平分PO, B M .MP =MO ,∠C=60°， .∠1=∠C, .P0∥BC, 又.D01P0, .MC⊥MD 5/8 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .MP= D=PD,MP=PD=DO=OM, 2 ∴四边形PDQM是菱形， .存在满足条件的点M,且BM=BC-MC=8-6=2;(5分) (3)解：PQ的中点O运动的轨迹分为两部分： B M 当Q在AD上时，PQ的中点O关于AF对称的一条线段，长度是相同的，起点是CD的中点、终点是AF的 中点： 当Q在AB上时，PQ的中点O始终不动，此段Q中点运动的距离为O, ∴.线段Q的中点0运动的路程为4.(8分) 26.(10分)【解析】(1)解：如图1：：四边形ABCD是矩形， ∴.∠D=90°， 由翻折变换的性质可知：AB=AQ=5, .AD=4, DQ=VAQ2-AD2=V52-42=3, ∴.CQ=2 设PB=x,则P2=x,CP=4-x :在Rt△PCQ中，(4-x2+22=x2,解得：x= .(2分) 21 (2)解：如图2-1中，当DE=DB',过点D作DJ⊥EB'于点J. D C B F:DE=DB,DJ⊥EB', --------1B E 图2-1 ∴.EJ=JB, DE⊥EF, ∠BEF+∠DEA=90°，∠FEB'+∠DEB'=90°， 6/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠BEF=∠BEF', ∠DEJ=LDEA, :∠A=∠DJE=90°，DE=DE, ∴△DEA≌△DEJ(AAS, .AE=EJ=JB, EB EB', .BE 2AE, :AB=5, ·AE=,AB= 3 3 6- 如图2-2中，当DE=EB'时， E B 图2-2 .BE B'E, ∴.BE=B'E=DE, 设BE=B'E=DE=X,则AE=5-x, 在RtAADE中， .AD2+AE2=DE2, 六4+5-=，解得：x= 10 六AE=AB-BE=5-41=9 1010 综上所运，AE的长为号或 9 .(6分) (3)解：如图3-1中，当点M在线段AB上时， 7/8 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 D :四边形ABCD是矩形， 4L--- B M 图3-1 AB∥CD, ∠CDM=∠AMD, :∠AMD=∠A'MD, :∠CDM=∠CMD, .CD=CM=5, :∠CBM=90°， .BM=VCM2-BC2=V52-42=3, AM=AB-BM=5-3=2. 如图3-2中，当点M在AB的延长线上时，同法可证CD=CM=5, .·∠CBM=90°，CB=4, B M 图3-2 BM=VCM2-CB2=V52-42=3, AM=AB+BM=5+3=8. 综上所述，满足条件的AM的长为2或8，(10分) 8/82025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 考生禁填： 缺考标记 证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题 以上标记由监考人员用2B铅 必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂 或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 选择题填涂样例： 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×】【1[/] 一、 选择题（每小题2分，共16分） 1[A][B][CD] 4[A][B][CI[D] 7[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 8[A][B][C][DI 3[A][B][CD] 6[A][B][C][D] 二、填空题（每小题2分，共16分） 91 10. 11 12. 13 14. 15 16 三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步聚。 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(6分) 人数/名 30 24 2 良好 40% 优秀 10 及格 5 4 0 不及格 优秀良好及格不及格等级 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(6分) 21.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(6分) 23.(6分) B A 图1 图2 请在各题目的答题区域教养第，4出零碗边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(8分) 25.(8分) 请在各题目的答题区域内秘馨，第超黑@知框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(10分) 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内数喾，第黑顾边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：100分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：苏科版2024八年级下册第6~9章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列调查中，适合普查的是（   ） A．一批新型电动车电池的使用寿命 B．全班同学最喜爱的体育运动 C．黄海森林公园内树木的平均高度 D．某市学生的家庭一周内丢弃垃圾袋的数量 2．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．一个不透明的袋子中装有4个红球，2个黄球，这些球除了颜色外都相同，从中随机抽出3个球，下列事件为必然事件的是（   ） A．至少有1个球是红球 B．至少有1个球是黄球 C．至少有2个球是红球 D．至少有2个球是黄球 4．如图，在四边形中，，对角线和交于点O，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 5．明明和丽丽在因式分解关于x的多项式时，明明获取的其中一个正确的因式为，丽丽获取的另一个正确的因式为，则的值为（   ） A． B． C．11 D．13 6．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，则菱形的高为 （   ） A．3 B．4 C． D． 7．若实数，，满足，，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，在矩形纸片中，，，为边的中点，点在边上，连接，将沿翻折，点的对应点为，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9．分解因式：_______________． 10．每年4月23日是“世界读书日”，为了解某校八年级1080名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了200名学生进行调查，在这次调查中，样本容量是__________． 11．“头盔是家校路的守护罩”，社区安全志愿队对家长骑电瓶车接送孩子时使用的头盔合格情况抽样检查，结果如下表： 抽查的头盔数 100 200 300 500 900 1000 2000 合格的头盔数 98 193 292 484 873 970 1940 合格头盔的频率 0.980 0.965 0.973 0.968 0.970 0.970 0.970 如果从家长常用的电瓶车头盔中任取一个，则该头盔合格的概率为______________（精确到0.01）． 12．如图，在平行四边形中，点M为边上任意一点，点E，点F分别是的中点，若，则的长为___________． 13．已知，则的值为________． 14．如图，菱形的对角线相交于点O，点E在边上，连接并延长交于点F．若，则与的面积之和为 ____________________ ． 15．当或时，代数式的值相等，则时，代数式的值为______． 16．如图，正方形的边长为4，点是边上的点，，点为边上一动点，将点绕点顺时针旋转得到点，则的最小值是______． 三、解答题：本题共10小题，共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）分解因式： (1)； (2)． 18．（6分）如图，在中，分别是的中点，．求的度数． 19．（6分）某校组织开展了汉字书写大赛，同学们踊跃参加，王老师随机调查了部分参加汉字书写大赛的学生成绩，成绩由分数转化为优秀、良好、及格、不及格四个等级，并将调查结果绘制成如下两幅统计图． 请根据已知信息，解答下列问题： (1)条形统计图中________． (2)扇形统计图中，表示“不及格”的扇形的圆心角度数为________度； (3)若该校共有240名同学参加了汉字书写大赛，请你估计该校成绩优秀的学生人数． 20．（6分）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中，_____，_____； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1） (3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 21．（6分）如图，在中，，点为中点，连接，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，求四边形的周长． 22．（6分）对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中的另一个因式为，于是我们可以得到．这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式， (1)请你用试根法分解以下多项式： ①        ② (2)已知多项式是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解． 23．（6分）如图1，是锐角，点A，B分别在边，上． (1)利用无刻度直尺与圆规作图：在图1中的的内部作一点C，使得四边形是平行四边形；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在图2中将绕点C顺时针旋转，使得点B落在上的点D处，点A的对应点记作点E，点O的对应点记作点要求：仅用圆规作出点D，E，F，并简要说明点F的作图过程． 24．（8分）先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题． 若多项式有一个因式是，求m的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得． 解法二：设（A为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)若多项式有一个因式是，则m的值为_________； (2)若多项式有因式和，求m，n的值； (3)若是多项式的一个因式，请将该多项式分解因式． 25．（8分）如图，等腰梯形中，，，，，动点从点出发沿方向向终点运动，动点同时以相同速度从点出发沿方向向终点运动． (1)求的长； (2)探究：在边上是否存在点使得四边形是菱形？若存在，请找出点；不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，求：线段的中点运动的路程． 26．（10分）在长方形中，． (1)如图1，P为边上一点，将沿直线翻折至的位置，其中点是点的对称点，当点落在边上时，求的长． (2)如图2，点是边上一动点，过点作交边于点，将沿直线翻折得，连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长： (3)如图3，点是射线上的一个动点，将沿翻折，其中点的对称点为，当三点在同一直线上时，请直接写出的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ) ( ) 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 2 分，共 16 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 2 分，共 16 分） ______________ 10 ． ______________ 11 ． ______________ 12 ． ______________ 13 ． ______________ 14 ． ______________ 15 ． ______________ 16 ． ______________ 三 、解答题：本题共 10 小题，共 68 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17． （6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18． （6分） 19． （6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20． （6分） 21． （6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22． （6分） 23． （6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24． （8分） 25． （8分） （ 3 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 26． （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $