第07讲 相似三角形及其应用（复习讲义1考点+8题型+3重点）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

四章 三角形 第07讲 相似三角形及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 6 命题点一 相似三角形的判定 题型01相似三角形的综合判定 题型02选择或补充条件使得两个三角形相似 题型03利用相似三角形的判定判断选项是否正确 题型04裁剪中三角形相似问题 命题点二 相似三角形的性质 题型01与相似三角形的性质相关计算 题型02在网格中画出与已知三角形相似的三角形 题型03相似三角形的性质与判定综合 题型04相似三角形的实际应用 05·重难突破·思维进阶 22 突破一 相似三角形的性质与判定和几何综合 突破二 相似三角形的性质与判定和函数综合 突破三 相似三角形的性质与判定动点问题 06·优题精选·练能提分 18 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 相似三角形的判定与性质 天津卷 （第/题） 天津卷 （第/题） 天津卷 （第17题） 1. 掌握相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS）；2. 理解相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质；3. 能利用相似三角形解决线段成比例、角度相等问题；4. 能在复杂图形中识别或构造相似三角形。 命题预测 考查难度与分值稳定：该考点作为天津中考几何核心中档-压轴考点，未来仍会以中等偏上难度题目为主，分值大概率维持在10–14分，固定以填空题（第17题）+几何综合题（第24题）+二次函数压轴题（第25题）的形式考查，确保区分度与基础分的平衡，不会出现难度陡增的情况。 应用场景典型具象：一方面会延续2023–2025年风格，继续选取正方形、矩形、圆、折叠 / 旋转、网格图为核心载体，考查相似三角形的判定与性质应用，重点关注“A字型、8字型、一线三垂直”等经典模型的识别与构造；另一方面可能融入生活中的测量场景（如测高、测距）或古代数学问题（如《九章算术》中的测望问题），让题目更贴近直观认知，聚焦“由形建模、用相似求解”的核心能力。 知识衔接更紧密：后续命题可能进一步加强相似三角形与其他知识点的融合。比如和全等三角形、勾股定理结合，通过“先证全等→再证相似”或“相似得比例→勾股算边长”的逻辑链解题；或与解直角三角形、圆的性质（圆周角、切线）结合，先由相似得到角相等，再转化为直角三角形边角关系；或融入平面直角坐标系、二次函数，考查相似三角形存在性问题，强化数形结合与分类讨论的内在联系。 题型无大幅创新：不会出现复杂偏怪题型，仍以“基础填空（比例计算）+几何综合（构造相似证明/计算）+压轴探究（存在性分类讨论）”为主要考查形式，偶尔在第 22 题解直角三角形中结合相似解决实际问题。单独考查相似判定或性质的题目大概率会继续保留，符合天津中考“图形与几何”部分每年稳定考查相似三角形的常规考向，整体保持“稳中有变，以稳为主”的命题节奏。 考点一 相似三角形的性质与判定与几何综合 相似三角形的判定 判定定理1：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边的延长线），所得的三角形与原三角形相似。 几何语言：在△ABC 中，若 DE∥BC，则 △ADE ∽ △ABC 常见的两种模型：①A字型：在三角形内部平行；②8字型（X 型）：在三角形外部平行（具体内容请参照第06讲） 判定2：两角分别相等（AA）→两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言∠A =∠A1，∠B =∠B1⇒ △ABC∽△A1B1C1 提示：三角形内角和 180°，两个角相等 ⇒第三个角一定相等。 判定3：两边成比例且夹角相等（SAS～） 文字两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。（如上图） 几何语言：，且 ∠A = ∠A1⇒ △ABC∽△A1B1C1 判定4：三边成比例（SSS）：三条边对应成比例的两个三角形相似。 几何语言⇒ △ABC∽△A1B1C1 相似三角形的性质 一、相似三角形的基本性质 对应角相等∠A = ∠A1，∠B = ∠B1，∠C = ∠C1 对应边成比例这个比值叫做相似比k。 二、相似三角形的“线”性质（必考） 对应线段的比=相似比k包括： ①对应高的比= k ②对应中线的比= k ③对应角平分线的比= k ④对应周长的比= k 一句话记：只要是“对应线段”，比都等于相似比。 三、相似三角形的面积性质（必考点） 面积的比 = 相似比的平方 超级易错：边长比→面积比：平方；面积比 → 边长比：开平方 1．（2025·天津·三模）如图，正方形的边长为2，点E是的中点，与交于点 P，F 是上一点，连接分别交于点M，N，且，连接， 则（1）的长为_________．        （2）的长为_________． 2．（2025·天津河东·模拟预测）如图，在矩形中，，，作等腰三角形，其中， （1）为_______； （2）连接，若P为的中点，则的长为_______． 3．（2025·天津南开·三模）如图，菱形的边长为，，为边中点，为对角线延长线上一点，连接，，，与相交于点，且． （1）线段的长为______； （2）线段的长为______． 4．（2025·天津滨海新·三模）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，F是延长线上一点，，交于点G．正方形的边长为4 （1）若，则线段的长为______； （2）若G为的中点，则线段的长为______． 命题点一 相似三角形的判定 ►题型01 相似三角形的综合判定 一、5个全等判定定理(必须背熟) ①SSS：三边对应相等 ②SAS：两边及夹角对应相等 ③ASA：两角及夹边对应相等 ④AAS：两角及其中一角的对边相等 ⑤HL：直角三角形中，斜边和一条直角边相等 二、证明全等的标准思路(万能步骤) 1.标图：把已知相等的边、角、公共边、公共角、对顶角全部标出来 2.凑条件：①先看有没有直接给的边等/角等；②再找隐藏条件：公共边、公共角、对顶角 ○最后由平行、垂直、等腰、中点、角平分线推导边或角相等 3.选判定： ①三边都有→SSS ②两边一角→必须是夹角才可用SAS ③两角→ASA或AAS ④直角三角形→优先考虑HL 4.写格式 5.用结论：由全等得对应边相等、对应角相等 【典例】（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 【变式1】（2025·江苏无锡·二模）如图，点E在的对角线上，当平分，且时． 求证： (1)四边形是菱形； (2)． 【变式2】（2025·上海·模拟预测）四边形与四边形均为平行四边形．连接和交于点G． (1)求证：； (2)若点在延长线上，且，求证：． 【变式2】（2026·河南周口·一模）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． (1)求证：∽； (2)若，求的长； (3)过点作的平行线交的延长线于点，直接写出的值． ►题型02 选择或补充条件使得两个三角形相似 【典例】（2025·云南·模拟预测）如图所示，在中，，D为边上的点，连接，添加一个条件________________，使．(只需写出一个) 【变式1】（2025·云南·模拟预测）如图，是的边上一点，添加一个条件，使．你添加的条件是________． 【变式2】（2025·天津·一模）如图，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，F是的中点，连接，则的面积是________． 【变式3】（2025·四川广元·模拟预测）如图，点C是与的公共顶点，且，有下列3个条件：①；②；③． (1)请在上述条件中选择一个条件来证明，并写出证明过程． (2)在（1）的结论下，若，求的长． ►题型03 利用相似三角形的判定判断选项是否正确 【典例】（2026·河北沧州·模拟预测）如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·青海西宁·中考真题）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，与在一条直线上，，将图（2）的三角形截去一块，使他变为与图（1）相似的图形，下列做法不正确的是(    ) A．过点E作，交于点G，则 B．取的中点M，连接，则 C．在线段和上分别取点M、N，使得，则 D．在上取一点G，使得，则 ►题型04 裁剪中三角形相似问题 【典例】（2026·上海长宁·一模）在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形．原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A． B． C． D． 命题点二 相似三角形的性质 ►题型01 与相似三角形的性质相关计算 【典例】（2025·陕西渭南·一模）如图，一块周长为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是（点A、B、C的对应点分别是点、、），若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·上海普陀·三模）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】（2025·云南昆明·二模）如图，，和分别是和的高，若，，则值为（ ） A． B． C． D． ►题型02 在网格中画出与已知三角形相似的三角形 【典例】（2025·安徽宣城·一模）如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C均为格点（网格线的交点）． (1)将绕点C按顺时针方向旋转得到，请画出． (2)请画一个格点，使，且． (3)将线段向右平移得到线段，使四边形的面积为4，在网格中作出四边形． 【变式1】（2025·安徽合肥·三模）如图网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均在格点上，利用无刻度的直尺，按要求画图（不要求写出画法，保留作图痕迹．） (1)画出关于对称的； (2)在边上找一点D，在边上找一点E，使得，且相似比为． 【变式2】（2025·安徽·一模）如图，在每个边长为1个单位长度的小正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将先向左平移6个单位长度，再向下平移3个单位得到，请画出． (2)请在给定网格中画一个格点，使，且相似比不为1（画出一个即可）． (3)的度数是_________． ►题型03 相似三角形的性质与判定综合 【典例】（2026·上海普陀·一模）如图，点是斜边上的中点，点位于边上，且． (1)求证： (2)若，，求的长． 【变式1】（2026·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，，，对角线与相交于点．已知，，．    (1)求与的面积之比； (2)求的正弦值． 【变式2】（2025·山东烟台·一模）已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，． (1)请写出与之间的数量关系，并证明； (2)求证：点E是线段的黄金分割点． ►题型04 相似三角形的实际应用 【典例】（2026·陕西榆林·二模）“挂甲柏”又称“将军树”，位于陕西省境内．志书记载，汉武帝刘彻北巡朔方还，挂甲于此树．某综合与实践小组在阳光明媚的一天开展测量挂甲柏高度的活动．如图，挂甲柏前方的地面上放有两个长方体木箱，其截面分别是矩形和矩形，在某一时刻，挂甲柏顶端A在阳光下的影子落在木箱的点M处，点M在边上，，同时，木箱上点H在阳光下的影子落在地面上的点P处，．已知，，，、、均与地面垂直，点B、D、、、在同一水平直线上，图中所有点在同一平面内．求挂甲柏的高度． 【变式1】（2026·陕西西安·三模）刘徽是中国历史上杰出的数学家之一，《海岛算经》是他留给后世宝贵的数学遗产．某校数学兴趣小组决定参考《海岛算经》中的方法测量校园围墙外某建筑物的高度．因其在墙外，底部不可直接到达，故在校园内的，两点处分别竖立两根高为的标杆和（如图），两标杆间隔为，并且建筑物、标杆和在同一竖直平面内，将测量仪器（仪器高度忽略不计）放在标杆右侧远的点处，此时测得点D，F，A在同一条直线上；将测量仪器放在标杆右侧远的点处，测得点C，H，A在同一条直线上．已知点B，E，D，G，C在同一条直线上，，，，求该建筑物的高度． 【变式2】（2026·河南商丘·一模）焦裕禄纪念碑是焦裕禄纪念园的核心组成部分，位于河南省兰考县城北关的黄河故堤沙丘上，与焦裕禄烈士墓、纪念馆等建筑共同构成中轴对称的纪念性园林，旨在缅怀焦裕禄同志并弘扬其精神．数学小组的同学开展了测量焦裕禄纪念碑高度的实践活动． 课题 测量焦裕禄纪念碑的高度 示意图 测量过程 步骤一：如图，小明在点D处竖立了一根高为的标杆，发现地面上的点G、标杆顶端C和焦裕禄纪念碑顶端A在一条直线上； 步骤二：小亮站在点F处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在E处时，恰好看到标杆顶端C和焦裕禄纪念碑底端B在一条直线上． 测量数据 小亮的眼睛到地面的距离．，，．已知，，，点B，D，G，F在一条水平线上，图中所有点在同一平面内． 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出焦裕禄纪念碑的高度AB． 【变式3】（2026·上海金山·一模）某数学学习小组成员对“重差”开展了深入探究． 重差汉代天文学家测量太阳的高和远的方法．最早见于《周髀算经》．刘徽《九章算术注》序说：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差，勾股则必以重差为率，故曰重差也．”如图1，“日去地”减去表高与表高之比或“南戴日下”与南影之比，等于两表到“日下”距离之差与两表影长差之比．后者是两个差数，故有“重差”的称谓．下面作简要介绍． 如图1，为了测量海岛的高度，设为岛的顶点，过点的铅垂线与地面的交点为，则岛的高度即为．接下来要进行两次操作，第一次把一根木杆（算经中称之为“表”，下文称为“测量杆”）竖直立在地面上距离点较近的点处，从点处透过测量杆的上端望岛顶的连线（把它叫做测量线）延长后交地面于点．第二次，把测量杆竖直立在距离点较远的点处三点在一条直线上），同样地，从点处透过测量杆的上端望岛顶（即测量线）的连线延长后交地面于点．连接并延长交于点． 求证：①或②． 学习小组的成员经探究后都认为：要想证明①和②都成立，只需证明和①或②成立．大家分别提出了自己的分析或证明思路． 小海同学：针对问题及求证结论的数学结构特征自然想到应用三角形一边的平行线、合比性质、等比性质有关知识加以解决； 小明同学：锐角三角比是沟通边角关系的一座桥梁，记； 欢欢同学：利用相似三角形的性质； 乐乐同学：过点作的平行线．．．．．．； 请根据同学们提出的分析或思路完成（1）和（2）． (1)求证：； (2)求证：①； (3)在课本阅读材料二《漫谈“出入相补原理”》中，如图2，设是矩形的对角线上任意一点，过点分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点，直线分别与边交于点，那么矩形的面积等于矩形的面积．说理如下：如果把图形看作由移置到处，同时、各移到、，那么依据出入相补原理，得（指面积相等）．请利用这个结论证明①成立． 突破一 相似三角形的性质与判定和几何综合 【典例】（2025·天津·一模）如图，在正方形的边上有一点，连接，过点作（点在边右侧），垂足为点，与相交于点，连接，若，点为的中点，且． （Ⅰ）线段的长为_____； （Ⅱ）线段的长为_____． 【变式1】（2025·天津河北·二模）如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接． （Ⅰ）四边形的面积为_____； （Ⅱ）若点是正方形对角线上一点，且，点是线段的中点，连接，线段的长为_____． 【变式2】（2025·天津滨海新区·二模）如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，过点作，垂足为点． （Ⅰ）线段的长为______； （Ⅱ）连接，若为中点，连接，则线段的长为______． 突破二 相似三角形的性质与判定和函数综合 【典例】（2026·天津西青·模拟预测）对称轴为直线的抛物线（）与轴相交于，两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点的坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度取最大值时点到的距离． 【变式1】（2024·天津·模拟预测）已知直线，直线，设它们分别与x轴、y轴相交于A、B和 C、 D (1)如果，设线段与相交于E点， 当k为常数，，变化时，点E在怎样的曲线上运动？求出该曲线的解析式 (2)当时， 求证：，并用含或的式子表示的值 【变式2】（2025·天津西青·一模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，，点是边的中点． (1)填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)连接，将直角三角形纸片沿剪开，把水平向右平移得到，点，，的对应点分别是，，，设． ①如图②，当与重叠部分为五边形时，分别与，相交于点，，与相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； ②当时，求与重叠部分的面积的取值范围．（直接写出结果即可） 突破三 相似三角形的性质与判定动点问题 【典例】（2024·天津宝坻·二模）在平面直角坐标系中，为原点，的顶点，，点是线段上一动点（点不与点重合），过作交于点，将沿翻折，使点落在轴的点处． (1)如图①，当点与点重合时，求点的坐标； (2)设，与重叠部分的面积为． ①如图②，当重叠部分为四边形时，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【变式1】（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，D为边的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点B停止，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点D停止，当点Q停止运动时，点P也停止运动．设点Q的运动时间为t（秒）． (1)当点Q与点D重合时，t的值为________； (2)用含t的代数式表示长； (3)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求t的值； (4)当点Q不与的顶点重合时，过点Q作交的边于点M，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，在矩形中，，点E为的中点，连接．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为2；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为1；当一个点停止运动，另一个点也停止运动． 连接，设运动时间为，解答下列问题：    (1)当为何值时，与相似； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)如图②，点从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，连接．在运动过程中，是否存在某一时刻，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1．（2026·江西九江·一模）如图，一张锐角纸片，点，分别在边，上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 2．（2026·重庆·二模）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的面积之比是，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河北沧州·一模）约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，连接，交于点．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·四川成都·一模）在成都仰天窝熊猫广场，某游客想利用影子测量熊猫雕塑的高度．在同一时刻，该游客测得自己的影长为米，熊猫雕塑的影长为米，若该游客的身高为米，则熊猫雕塑的高度是_____米． 6．（2026·广西贵港·一模）如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则__________． 7．（2026·上海金山·一模）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 8．（2025·四川成都·一模）在一次数学综合实践活动中，小颖和同学准备测量学校某幢教学楼的高度，他们选择平面镜、强光电筒、皮尺等工具进行测量．小颖身高为且位于图中的处，平面镜位于点处，教学楼高为．小颖头戴强光电筒，同学们帮忙调节强光电筒和平面镜的位置进行观察与测量（误差忽略不计），当强光电筒开启，光线通过平面镜反射后恰好照射在教学楼顶点的位置（点、、在同一水平线上，且），此时同学们测得，，请求教学楼的高度． 1．（2026·河南平顶山·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点A在y轴正半轴上，已知，，将沿翻折得到交于点 F，则点 F的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北沧州·一模）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，的三个顶点，，分别在，，边上，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，正六边形与正方形都内接于，若正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为________． 5．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在矩形中，为的中点，连接，过点作，与的延长线交于点，平分，且点在边上，则的长为______． 6．（2026·安徽阜阳·一模）如图，为的直径，点在上，与过点的切线垂直，垂足为，过点的切线与的延长线交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)若点为的中点，，求的长． 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 3．（2025·山东济南·中考真题）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 4．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________． 6．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形中，，点在四边形内，，于点，将沿翻折，点恰好与点重合，延长交折痕的延长线于点，，则点到直线的距离为__________． 1 / 91 学科网（北京）股份有限公司 $ 四章 三角形 第07讲 相似三角形及其应用 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 相似三角形的判定 题型01相似三角形的综合判定 题型02选择或补充条件使得两个三角形相似 题型03利用相似三角形的判定判断选项是否正确 题型04裁剪中三角形相似问题 命题点二 相似三角形的性质 题型01与相似三角形的性质相关计算 题型02在网格中画出与已知三角形相似的三角形 题型03相似三角形的性质与判定综合 题型04相似三角形的实际应用 05·重难突破·思维进阶 47 突破一 相似三角形的性质与判定和几何综合 突破二 相似三角形的性质与判定和函数综合 突破三 相似三角形的性质与判定动点问题 06·优题精选·练能提分 51 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 相似三角形的判定与性质 天津卷 （第/题） 天津卷 （第/题） 天津卷 （第17题） 1. 掌握相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS）；2. 理解相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质；3. 能利用相似三角形解决线段成比例、角度相等问题；4. 能在复杂图形中识别或构造相似三角形。 命题预测 考查难度与分值稳定：该考点作为天津中考几何核心中档-压轴考点，未来仍会以中等偏上难度题目为主，分值大概率维持在10–14分，固定以填空题（第17题）+几何综合题（第24题）+二次函数压轴题（第25题）的形式考查，确保区分度与基础分的平衡，不会出现难度陡增的情况。 应用场景典型具象：一方面会延续2023–2025年风格，继续选取正方形、矩形、圆、折叠 / 旋转、网格图为核心载体，考查相似三角形的判定与性质应用，重点关注“A字型、8字型、一线三垂直”等经典模型的识别与构造；另一方面可能融入生活中的测量场景（如测高、测距）或古代数学问题（如《九章算术》中的测望问题），让题目更贴近直观认知，聚焦“由形建模、用相似求解”的核心能力。 知识衔接更紧密：后续命题可能进一步加强相似三角形与其他知识点的融合。比如和全等三角形、勾股定理结合，通过“先证全等→再证相似”或“相似得比例→勾股算边长”的逻辑链解题；或与解直角三角形、圆的性质（圆周角、切线）结合，先由相似得到角相等，再转化为直角三角形边角关系；或融入平面直角坐标系、二次函数，考查相似三角形存在性问题，强化数形结合与分类讨论的内在联系。 题型无大幅创新：不会出现复杂偏怪题型，仍以“基础填空（比例计算）+几何综合（构造相似证明/计算）+压轴探究（存在性分类讨论）”为主要考查形式，偶尔在第 22 题解直角三角形中结合相似解决实际问题。单独考查相似判定或性质的题目大概率会继续保留，符合天津中考“图形与几何”部分每年稳定考查相似三角形的常规考向，整体保持“稳中有变，以稳为主”的命题节奏。 考点一 相似三角形的性质与判定与几何综合 相似三角形的判定 判定定理1：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边的延长线），所得的三角形与原三角形相似。 几何语言：在△ABC 中，若 DE∥BC，则 △ADE ∽ △ABC 常见的两种模型：①A字型：在三角形内部平行；②8字型（X 型）：在三角形外部平行（具体内容请参照第06讲） 判定2：两角分别相等（AA）→两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言∠A =∠A1，∠B =∠B1⇒ △ABC∽△A1B1C1 提示：三角形内角和 180°，两个角相等 ⇒第三个角一定相等。 判定3：两边成比例且夹角相等（SAS～） 文字两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。（如上图） 几何语言：，且 ∠A = ∠A1⇒ △ABC∽△A1B1C1 判定4：三边成比例（SSS）：三条边对应成比例的两个三角形相似。 几何语言⇒ △ABC∽△A1B1C1 相似三角形的性质 一、相似三角形的基本性质 对应角相等∠A = ∠A1，∠B = ∠B1，∠C = ∠C1 对应边成比例这个比值叫做相似比k。 二、相似三角形的“线”性质（必考） 对应线段的比=相似比k包括： ①对应高的比= k ②对应中线的比= k ③对应角平分线的比= k ④对应周长的比= k 一句话记：只要是“对应线段”，比都等于相似比。 三、相似三角形的面积性质（必考点） 面积的比 = 相似比的平方 超级易错：边长比→面积比：平方；面积比 → 边长比：开平方 1．（2025·天津·三模）如图，正方形的边长为2，点E是的中点，与交于点 P，F 是上一点，连接分别交于点M，N，且，连接， 则（1）的长为_________．        （2）的长为_________． 【答案】 / 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．作于．证明，由全等三角形的性质得出，，由三角形的面积求出，由勾股定理求出，由相似三角形的判定与性质求出，的长，根据勾股定理可得出答案． 【详解】解：（1）作于． 正方形的边长为2，点是的中点， ，，， ， （2）， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ，， ， 故答案为：，． 2．（2025·天津河东·模拟预测）如图，在矩形中，，，作等腰三角形，其中， （1）为_______； （2）连接，若P为的中点，则的长为_______． 【答案】 / 【分析】（1）先利用勾股定理求得，再利用余弦函数的定义求解即可； （2）过点作的垂线，垂足为点，交于点，作于点，作于点，利用等腰三角形的性质结合余弦函数的定义求得，，，证明，求得，，，，由勾股定理求得，利用等积法求得，在中，利用勾股定理求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴，，， ∴； 故答案为：； （2）解：过点作的垂线，垂足为点，交于点，作于点，作于点， ∵矩形， ∴四边形和四边形都是矩形， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，∴， ∵P为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·天津南开·三模）如图，菱形的边长为，，为边中点，为对角线延长线上一点，连接，，，与相交于点，且． （1）线段的长为______； （2）线段的长为______． 【答案】 【分析】（1）先证明为等边三角形，可得，再证明，推出，再由全等三角形的性质得出结论； （2）先得出是等边三角形，可得，，可得，证明，可得，再利用相似三角形的性质得出结论． 【详解】解：（1）菱形的边长为，为边中点， ， 在菱形中，， ，，， 为等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， 故答案为：； （2）由（1）知，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明全等三角形或相似三角形是解题的关键． 4．（2025·天津滨海新·三模）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，F是延长线上一点，，交于点G．正方形的边长为4 （1）若，则线段的长为______； （2）若G为的中点，则线段的长为______． 【答案】 【分析】（）证明，得，进而利用余角性质和对顶角的性质可得，得到即可； （）过点作于，利用等腰三角形的性质可得，再证明，可得，最后利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，为对角线上一点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）过点作于， 则， ∵，为中点，正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 命题点一 相似三角形的判定 ►题型01 相似三角形的综合判定 一、5个全等判定定理(必须背熟) ①SSS：三边对应相等 ②SAS：两边及夹角对应相等 ③ASA：两角及夹边对应相等 ④AAS：两角及其中一角的对边相等 ⑤HL：直角三角形中，斜边和一条直角边相等 二、证明全等的标准思路(万能步骤) 1.标图：把已知相等的边、角、公共边、公共角、对顶角全部标出来 2.凑条件：①先看有没有直接给的边等/角等；②再找隐藏条件：公共边、公共角、对顶角 ○最后由平行、垂直、等腰、中点、角平分线推导边或角相等 3.选判定： ①三边都有→SSS ②两边一角→必须是夹角才可用SAS ③两角→ASA或AAS ④直角三角形→优先考虑HL 4.写格式 5.用结论：由全等得对应边相等、对应角相等 【典例】（2025·江苏南京·二模）如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 设正方形的边长为．则，，再利用正方形的性质与勾股定理求得，．即可根据相似三角形的判定定理得出结论． 【详解】证明：法一：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． ． ． 在和中，， ． 法二：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． 在中，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． 法三： ． 四边形为正方形， ． 是的中点， ， ． 在和中， ， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． 【变式1】（2025·江苏无锡·二模）如图，点E在的对角线上，当平分，且时． 求证： (1)四边形是菱形； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得，，从而即可得证； （2）由菱形的性质可得，．则．由，，证明三角形相似即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定及性质，相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式2】（2025·上海·模拟预测）四边形与四边形均为平行四边形．连接和交于点G． (1)求证：； (2)若点在延长线上，且，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定，三角形相似的判定与性质： （1）证明四边形是平行四边形，得到，利用易证全等； （2）由可得，由可得，从而可得，据此可证，从而得到，再由四边形是平行四边形和即可得到角的关系，从而得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴ 同理， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴ 在和中 ∴； （2）证明：∵ ∴ 又∵ 又 在和中， ∵是公共角 ∵四边形是平行四边形 ． 【变式2】（2026·河南周口·一模）如图，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． (1)求证：∽； (2)若，求的长； (3)过点作的平行线交的延长线于点，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)1 【分析】（1）根据旋转的性质和相似三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据相似三角形的性质可知是直角三角形，根据旋转的性质可知，使用勾股定理计算即可； （3）根据旋转可构造角度相等，证明，可知． 【详解】（1）证明： 将绕点旋转得到，点的对应点在边上， ∴，，， ，， （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ， ∴在中，， ， ， ， ， 在中，， ， （3）解：由旋转的性质可知，，，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ►题型02 选择或补充条件使得两个三角形相似 【典例】（2025·云南·模拟预测）如图所示，在中，，D为边上的点，连接，添加一个条件________________，使．(只需写出一个) 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，则：，此时； 故添加的条件可以为：； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】（2025·云南·模拟预测）如图，是的边上一点，添加一个条件，使．你添加的条件是________． 【答案】或或（任选一个） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似的判定定理即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：在和中，∵， ∴当或或时，， 故答案为：或或． 【变式2】（2025·天津·一模）如图，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，F是的中点，连接，则的面积是________． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得的长，延长和交于点G，证明，可得，，得，根据F是的中点，证明是的中位线，再证明，可得，根据，证明，可得，进而可以求出的面积． 【详解】解：如图，延长和交于点G， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， ∴， ∵F是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 【变式3】（2025·四川广元·模拟预测）如图，点C是与的公共顶点，且，有下列3个条件：①；②；③． (1)请在上述条件中选择一个条件来证明，并写出证明过程． (2)在（1）的结论下，若，求的长． 【答案】(1)选择①或③均正确，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质． （1）选择①，根据对应边成比例且夹角相等证明相似；选择③，根据对应两角相等证明相似； （2）先根据相似的性质得，再由，证明，得，再代入已知的值计算，即可得的长． 【详解】（1）解：选择①或③均正确． 选择①证明如下： ∵， ， ∵， ∴， 即， ∴； 选择③证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：由（1）得， ， 又∵， ∴， ， 又∵， ， ． ►题型03 利用相似三角形的判定判断选项是否正确 【典例】（2026·河北沧州·模拟预测）如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由及，可证明，即可得到；另三个结论均无法证明． 【详解】解：，， ， ， B选项正确； 和不是同位角， 无法证明， A选项错误； ， ， C选项错误； ，且与不一定会相等， 与不一定会相等， D选项错误． 【变式1】（2024·青海西宁·中考真题）如图，在中，是角平分线，是中线，，且，垂足为F，G为的中点，连接，．下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，先运用是角平分线，证明，得，证明，故，结合是中线，G为的中点，得是中位线，故，代入数值整理得，在和中，为公共角，但和，和均不相等，相应边不成比例，故和，即可作答． 【详解】解：∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故B选项正确，不符合题意； ∵是中线， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴是中位线， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 在和中，为公共角， 但和，和均不一定相等，相应边不成比例， 故和不相似， 故D选项错误，符合题意， 故选：D． 【变式2】（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，与在一条直线上，，将图（2）的三角形截去一块，使他变为与图（1）相似的图形，下列做法不正确的是(    ) A．过点E作，交于点G，则 B．取的中点M，连接，则 C．在线段和上分别取点M、N，使得，则 D．在上取一点G，使得，则 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，平行线的性质，难度不大，运用空间想象判断是解题的关键．根据题意可得，即一组角相等，选项A、C，都可以利用平行证明另一组角相等，选项D直接给出另一组角相等，从而可以证明相似，选项B不能证明三角形相似，从而得解． 【详解】解：连接， ∵与在一条直线上， ∴点B，C，E，F四点共线， ∵， ∴， A、如下图，过点E作，交于点G， ∵， ∴， 又∵， ∴，选项A正确，不符合题意； B、如下图，取的中点M，连接， 无法证明，，因此无法证明，选项B错误，符合题意； C、如图在线段和上分别取点M、N，使得， ∵， ∴， 又∵， ∴，选项C正确，不符合题意； D、如下图，在上取一点G，使得， ∵，， ∴，选项D正确，不符合题意； 故选：B． ►题型04 裁剪中三角形相似问题 【典例】（2026·上海长宁·一模）在三角形纸片中，，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：三角形纸片中，， A、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； B、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； C、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误； D、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与相似，故此选项正确； 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·辽宁沈阳·月考）如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形．原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定等知识，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 如图， ∵， ∴，故A选项不合题意； B. 如图， ∵， ∴，故B选项不合题意； C.如图， ∵ ∴， ∵， ∴，故C选项不合题意； D. 如图， ∵， ∴， 但不一定等于， ∴无法判定与相似，故D选项符合题意． 故选：D 【变式2】（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：选项A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意； 选项D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意， 故选：C． 命题点二 相似三角形的性质 ►题型01 与相似三角形的性质相关计算 【典例】（2025·陕西渭南·一模）如图，一块周长为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是（点A、B、C的对应点分别是点、、），若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据题意可知，求出相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可； 【详解】解：投影可知：，， ， ， 与的相似比是， ， ， 与的相似比是， 与的周长比是， 的周长为， ， ； 故选． 【变式1】（2025·上海普陀·三模）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了位似的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：与位似， ． ． 的面积为4， 故选：D． 【变式2】（2025·云南昆明·二模）如图，，和分别是和的高，若，，则值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边、对应高成比例直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，和分别是和的高， ∴， ∴， 故选：D． ►题型02 在网格中画出与已知三角形相似的三角形 【典例】（2025·安徽宣城·一模）如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，A，B，C均为格点（网格线的交点）． (1)将绕点C按顺时针方向旋转得到，请画出． (2)请画一个格点，使，且． (3)将线段向右平移得到线段，使四边形的面积为4，在网格中作出四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了旋转作图，平移作图，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质．熟练掌握旋转的性质，相似三角形的性质，是解题的关键． （1）根据旋转的性质，作点A、B的对应点、，然后顺次连接即可； （2）根据相似三角形的判定，作，，即可； （3）将线段向右平移2个单位，得出线段，连接，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； （3）解：如图，四边形即为所求作的四边形． 根据平移可知：，， ∴四边形为平行四边形， ∴． 【变式1】（2025·安徽合肥·三模）如图网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均在格点上，利用无刻度的直尺，按要求画图（不要求写出画法，保留作图痕迹．） (1)画出关于对称的； (2)在边上找一点D，在边上找一点E，使得，且相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了格点图形中的轴对称作图和相似三角形的无刻度直尺作图，解题的关键是利用正方形格点的坐标或边长特征确定对称点位置，以及结合网格等分线段和构造平行线实现相似比要求． （1）通过观察格点中的位置，利用对称点到的格点距离相等的特征，在另一侧找到B的对称点，连接、完成轴对称作图； （2）先根据网格确定的格点长度，按的相似比在上找到点D，使，则，再利用格点中与平行的连线与交于点E，于是满足． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）如图，点D、E即为所求． 【变式2】（2025·安徽·一模）如图，在每个边长为1个单位长度的小正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． (1)将先向左平移6个单位长度，再向下平移3个单位得到，请画出． (2)请在给定网格中画一个格点，使，且相似比不为1（画出一个即可）． (3)的度数是_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了画平移图形，画相似图形，熟知上述图形的性质是解题的关键． （1）根据平移的概念，画出图形即可； （2）根据相似三角形的性质，画图即可； （3）利用等腰直角三角形的性质，即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求；（答案不唯一） （3）解：如图，， ， ，由平移得到， ， 故答案为：． ►题型03 相似三角形的性质与判定综合 【典例】（2026·上海普陀·一模）如图，点是斜边上的中点，点位于边上，且． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由直角三角形的性质得，即得，又由，得，进而即可求证； （）由直角三角形的性质得，即得，再根据相似三角形的性质解答即可求解； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：点是斜边上的中点， ， ， ， ， 又， ， ； （2）解：点是斜边上的中点，， ， ， ∵， ， 即， 解得或不合题意，舍去， 的长为． 【变式1】（2026·上海徐汇·一模）如图，在梯形中，，，对角线与相交于点．已知，，．    (1)求与的面积之比； (2)求的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先证明四边形是矩形，从而可得，，再利用勾股定理求得，从而可求得，再求得，然后证明，从而可求得与的面积之比； （2）先得出，再求得，，从而可求得，再求得即可． 【详解】（1）解：作于点E，则，    ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的面积之比为； （2）解：作于点L，则，    ∴， ， 又由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴的正弦值为． 【点睛】本题考查了几何问题(一元一次方程的应用)，用勾股定理解三角形，根据矩形的性质与判定求线段长，利用相似三角形的性质求解，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 【变式2】（2025·山东烟台·一模）已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，． (1)请写出与之间的数量关系，并证明； (2)求证：点E是线段的黄金分割点． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据，得出，根据，得出，即可证明． （2）根据，得出．证出．根据为等边三角形，得出，结合，得出，证出为等边三角形，即可得，结合和，得出，即可证明点E是线段的黄金分割点． 【详解】（1）解：， 证明：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点E是线段的黄金分割点． ►题型04 相似三角形的实际应用 【典例】（2026·陕西榆林·二模）“挂甲柏”又称“将军树”，位于陕西省境内．志书记载，汉武帝刘彻北巡朔方还，挂甲于此树．某综合与实践小组在阳光明媚的一天开展测量挂甲柏高度的活动．如图，挂甲柏前方的地面上放有两个长方体木箱，其截面分别是矩形和矩形，在某一时刻，挂甲柏顶端A在阳光下的影子落在木箱的点M处，点M在边上，，同时，木箱上点H在阳光下的影子落在地面上的点P处，．已知，，，、、均与地面垂直，点B、D、、、在同一水平直线上，图中所有点在同一平面内．求挂甲柏的高度． 【答案】挂甲柏的高度为17m 【分析】先延长交于点，延长交于点，再根据矩形的性质和平行线的性质，得出，最后利用相似三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， 由题可得：，，四边形是矩形， 则，，，， ，， ， ， ，即， ， ， ∴挂甲柏的高度为17m． 【变式1】（2026·陕西西安·三模）刘徽是中国历史上杰出的数学家之一，《海岛算经》是他留给后世宝贵的数学遗产．某校数学兴趣小组决定参考《海岛算经》中的方法测量校园围墙外某建筑物的高度．因其在墙外，底部不可直接到达，故在校园内的，两点处分别竖立两根高为的标杆和（如图），两标杆间隔为，并且建筑物、标杆和在同一竖直平面内，将测量仪器（仪器高度忽略不计）放在标杆右侧远的点处，此时测得点D，F，A在同一条直线上；将测量仪器放在标杆右侧远的点处，测得点C，H，A在同一条直线上．已知点B，E，D，G，C在同一条直线上，，，，求该建筑物的高度． 【答案】 【分析】设，由题意可知两组三角形相似，利用相似比找出关于x的方程，即可求出建筑物的高度． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴ 解得：， 答：该建筑物的高度为． 【变式2】（2026·河南商丘·一模）焦裕禄纪念碑是焦裕禄纪念园的核心组成部分，位于河南省兰考县城北关的黄河故堤沙丘上，与焦裕禄烈士墓、纪念馆等建筑共同构成中轴对称的纪念性园林，旨在缅怀焦裕禄同志并弘扬其精神．数学小组的同学开展了测量焦裕禄纪念碑高度的实践活动． 课题 测量焦裕禄纪念碑的高度 示意图 测量过程 步骤一：如图，小明在点D处竖立了一根高为的标杆，发现地面上的点G、标杆顶端C和焦裕禄纪念碑顶端A在一条直线上； 步骤二：小亮站在点F处，调整自己眼睛的位置，当眼睛在E处时，恰好看到标杆顶端C和焦裕禄纪念碑底端B在一条直线上． 测量数据 小亮的眼睛到地面的距离．，，．已知，，，点B，D，G，F在一条水平线上，图中所有点在同一平面内． 请你根据以上实践报告，帮助该小组求出焦裕禄纪念碑的高度AB． 【答案】19米 【分析】根据垂直的定义可得，再结合可证明，可求得，再证明，最后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 解得． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：焦裕禄纪念碑的高度AB为19米． 【变式3】（2026·上海金山·一模）某数学学习小组成员对“重差”开展了深入探究． 重差汉代天文学家测量太阳的高和远的方法．最早见于《周髀算经》．刘徽《九章算术注》序说：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差，勾股则必以重差为率，故曰重差也．”如图1，“日去地”减去表高与表高之比或“南戴日下”与南影之比，等于两表到“日下”距离之差与两表影长差之比．后者是两个差数，故有“重差”的称谓．下面作简要介绍． 如图1，为了测量海岛的高度，设为岛的顶点，过点的铅垂线与地面的交点为，则岛的高度即为．接下来要进行两次操作，第一次把一根木杆（算经中称之为“表”，下文称为“测量杆”）竖直立在地面上距离点较近的点处，从点处透过测量杆的上端望岛顶的连线（把它叫做测量线）延长后交地面于点．第二次，把测量杆竖直立在距离点较远的点处三点在一条直线上），同样地，从点处透过测量杆的上端望岛顶（即测量线）的连线延长后交地面于点．连接并延长交于点． 求证：①或②． 学习小组的成员经探究后都认为：要想证明①和②都成立，只需证明和①或②成立．大家分别提出了自己的分析或证明思路． 小海同学：针对问题及求证结论的数学结构特征自然想到应用三角形一边的平行线、合比性质、等比性质有关知识加以解决； 小明同学：锐角三角比是沟通边角关系的一座桥梁，记； 欢欢同学：利用相似三角形的性质； 乐乐同学：过点作的平行线．．．．．．； 请根据同学们提出的分析或思路完成（1）和（2）． (1)求证：； (2)求证：①； (3)在课本阅读材料二《漫谈“出入相补原理”》中，如图2，设是矩形的对角线上任意一点，过点分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点，直线分别与边交于点，那么矩形的面积等于矩形的面积．说理如下：如果把图形看作由移置到处，同时、各移到、，那么依据出入相补原理，得（指面积相等）．请利用这个结论证明①成立． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，矩形的性质，合比的性质，等比的性质； （1）利用得，再利用合比的性质可将转化为； （2）由（1）可得，再利用等比的性质可得； （3）在图1上分别以、为邻边构建矩形，以、为邻边构建矩形，以、为邻边构建矩形，以、为邻边构建矩形，由出入相补原理得：，得出，，进而得出，再由等比的性质可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴由等比的性质得：． （3）证明：如图所示，在图1上分别以、为邻边构建矩形，以、为邻边构建矩形，以、为邻边构建矩形，以、为邻边构建矩形， 由出入相补原理得：，， ∴，， 将上述等积式写成比例式得：，， ∵，， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴由等比的性质得：． 突破一 相似三角形的性质与判定和几何综合 【典例】（2025·天津·一模）如图，在正方形的边上有一点，连接，过点作（点在边右侧），垂足为点，与相交于点，连接，若，点为的中点，且． （Ⅰ）线段的长为_____； （Ⅱ）线段的长为_____． 【答案】 2 【详解】解：如图，作交于点， ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2，． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握以上性质和定理，合理做出辅助线是解题的关键． 【变式1】（2025·天津河北·二模）如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接． （Ⅰ）四边形的面积为_____； （Ⅱ）若点是正方形对角线上一点，且，点是线段的中点，连接，线段的长为_____． 【答案】 18 【分析】（Ⅰ）根据正方形的性质，中位线的判定和性质可证四边形是正方形，由此即可求解； （Ⅱ）根据题意得到，，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：（Ⅰ）∵四边形是正方形， ∴， 如图所示，连接，交于点， ∴，， ∵点是中点， ∴，， 同理，，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴平行四边形是正方形， ∴四边形的面积为； （Ⅱ）∵点是线段中点， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∵点是中点， ∴， 由正方形的对角线相互垂直得到，点共线， ∴， ∴， ∴； 故答案为：①；② ． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，中位线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识的综合，掌握正方形的判定和性质，勾股定理的计算是关键． 【变式2】（2025·天津滨海新区·二模）如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，连接，过点作，垂足为点． （Ⅰ）线段的长为______； （Ⅱ）连接，若为中点，连接，则线段的长为______． 【答案】 1 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理，结合图形构造直角三角形和相似三角形，利用相关性质求出线段长度是解题的关键． （1）利用正方形的性质和勾股定理求出、的长，再通过证明得到，代入数据即可求解； （2）作于点，作于点，先证明，利用相似三角形的性质求出、的长，再证明，得到，求出、的长，进而得到的长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（Ⅰ）边长为的正方形， ，，， ， 点是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：1； （Ⅱ）如图，作于点，作于点， 由（Ⅰ）得，，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 为中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 突破二 相似三角形的性质与判定和函数综合 【典例】（2026·天津西青·模拟预测）对称轴为直线的抛物线（）与轴相交于，两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线与轴的交点； ①点在抛物线上，且，求点的坐标； ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度取最大值时点到的距离． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）因为抛物线的对称轴为直线，点坐标为且点在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； （2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标； ②先运用待定系数法求出线段的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值和点的坐标，接着作交于点，证明，利用相似三角形的性质即可求解点到的距离． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，点坐标为且点在抛物线上， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①∵抛物线的解析式为， ∴令，解得，即， 令，解得，即， ∴， ． ∵， ∴． 设点坐标为， ∵， ∴，解得． 当时，， 当时，， ∴或； ②设线段的解析式为， 把代入得 ，解得， ∴线段的解析式为， 设点坐标为， ∵轴， ∴点坐标为， ∴， ∴当时，线段长度取最大值，最大值为， 此时点坐标为． ∵， ∴． 作交于点， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为． 【点睛】本题考查了二次函数—几何综合，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图像及性质． 【变式1】（2024·天津·模拟预测）已知直线，直线，设它们分别与x轴、y轴相交于A、B和 C、 D (1)如果，设线段与相交于E点， 当k为常数，，变化时，点E在怎样的曲线上运动？求出该曲线的解析式 (2)当时， 求证：，并用含或的式子表示的值 【答案】(1)点E在直线上运动，该直线的解析式为 (2)证明见详解， 【分析】（1）先求得A、B、C、D四个点的坐标，根据再分别用待定系数法求出直线与直线的解析式，进而求得两线交点E的坐标，观察点E的横纵坐标，发现彼此之间的关系，此时点E的轨迹为直线； （2）证明时，先确定各点坐标，进而可得到相关线段长度的表达式，再利用已知条件推导出对应边的比例相等：，再结合直角相等证明出，由相似三角形的对应角相等，结合直角三角形的角的关系，推导出与的夹角为，从而证明；求的值时，先用勾股定理表示线段与的长度，将前面得到的线段长度表达式代入中，利用进行化简，最终得到的值． 【详解】（1）解：由题意知，直线和分别与x轴、y轴相交于A、B和C、D， ∵， 又点A是直线与x轴交点， ∴令，解得，因此点， ∵点B是直线与y轴交点， ∴令，解得，因此点， ∵点C是直线与x轴交点， ∴令，解得，因此点， ∵点D是直线与y轴交点， ∴令，解得，因此点， 设直线的解析式为， 将点A、点D坐标代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点B、点C坐标代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ∵直线与的交点为E， ∴点E的坐标为， 设，， 则有， ∴， 即点E在直线上运动，该直线的解析式为． （2）证明：如图，连接，，延长与交于点F，与交于点E， 由（1）知，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，直线的解析式为，直线的解析式为， ∴，，，， ∵， ∴，则， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 即． 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴， 综上所述，得证，． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，利用相似三角形的定理和性质求对应线段比例，难度系数大，综合性强． 【变式2】（2025·天津西青·一模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，，，点是边的中点． (1)填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)连接，将直角三角形纸片沿剪开，把水平向右平移得到，点，，的对应点分别是，，，设． ①如图②，当与重叠部分为五边形时，分别与，相交于点，，与相交于点，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； ②当时，求与重叠部分的面积的取值范围．（直接写出结果即可） 【答案】(1)，； (2)①；②． 【分析】（1）由点，得到，根据点是边的中点，得到，从而得出点坐标，连接，过点作于点，证明为等边三角形，求出，即可得出点坐标； （2）①由平移可知，，，有，得到，再得到，根据解直角三角形可得答案； ②分两种情况：当时，重叠部分为五边形，当时，重叠部分为直角三角形，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴点， 如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 故答案为：，； （2）解：①由（1）可知，为等边三角形， 由平移可知，，，有， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； ② 当时，重叠部分为五边形， ∴， 由平移可得，， ∴， ∴为等边三角形， 同理，， 在中， ， ， ∵， ∴时，时，， ， 当时，重叠部分为直角三角形， 在中， ∵， ∴， ， ∵， ∴时，时，， ∴综上所述，取值范围为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，平移的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 突破三 相似三角形的性质与判定动点问题 【典例】（2024·天津宝坻·二模）在平面直角坐标系中，为原点，的顶点，，点是线段上一动点（点不与点重合），过作交于点，将沿翻折，使点落在轴的点处． (1)如图①，当点与点重合时，求点的坐标； (2)设，与重叠部分的面积为． ①如图②，当重叠部分为四边形时，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)① ②或 【分析】本题主要考查相似的应用及二次函数的最值问题． （1）确定点为中点，再利用中点坐标求解； （2）①先确定自变量取值范围，再通过相似表示出相应线段即可求解；②通过二次函数的数形结合确定自变量的取值范围． 【详解】（1）解：由翻折知，， ∴轴， ∴， ∵，， ∴利用坐标中点公式得， 即； （2）①当重叠部分为四边形时，即时，如图，设与y轴交于点M， ∵， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴，即， 解得， ∴． 故答案为：． ②当时，， 当时，， 根据解析式绘制函数图象，结合函数图象， 由，解得（负值舍）， 当时，解得或， 当时，解得或， 结合函数图象可得自变量取值范围为或； 综上，当时，的取值范围为或． 【变式1】（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，D为边的中点．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点B停止，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点D停止，当点Q停止运动时，点P也停止运动．设点Q的运动时间为t（秒）． (1)当点Q与点D重合时，t的值为________； (2)用含t的代数式表示长； (3)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求t的值； (4)当点Q不与的顶点重合时，过点Q作交的边于点M，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）由勾股定理求得，从而有，点与点重合，则，求解即可； （2）分两种情况：当时，则点Q在上 ，当时，则点Q在上，分别求解即可； （3）分两种情况：当，则点Q在上时，当，则点Q在上时，根据相似三角形性质求解即可； （4）分两种情形：如图1中，连接，交于点．当时，，根据经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积，知此时平分平行四边形的面积．如图2中，连接，交于点，当时，，此时平分平行四边形的面积．分别求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∵为边的中点， ， ∵点与点重合， ∴， ． 故答案为：． （2）解：当时，则点Q在上 ， ∴； 当时，则点Q在上 ， ∴； 综上，． （3）解：当，则点Q在上时， 则，， ∵将的分成的两部分，其中的三角形与相似时， ∴当时， 则，即， 解得：； 当时， 则，即， 解得：（舍去）； 当，则点Q在上时， 当时， 则，即， 解得：； 当时， 则，即 解得：（舍去）． 综上，将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，t值为或． （4）解：如图1中，连接、相交于点．当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵， ∴， ， ， 解得． 如图2中，连接、相交于点O，当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵ ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的t的值为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，列代数式，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，在矩形中，，点E为的中点，连接．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为2；同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为1；当一个点停止运动，另一个点也停止运动． 连接，设运动时间为，解答下列问题：    (1)当为何值时，与相似； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)如图②，点从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，连接．在运动过程中，是否存在某一时刻，使得为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，或 【分析】（1）根据，线段的长度小于线段的长度，可推出若与相似，只有这一种情况；根据即可求解； （2）根据即可求解； （3）由题意得：，；分类讨论若，若，若，三种情况，结合等腰三角形的性质即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， ∴； ∵，线段的长度小于线段的长度， ∴若与相似，则； ∴，即， 解得：； 即：，与相似； （2）解：由题意得：， （3）解：由题意得：，； 若，则，解得：； 若，作，如图所示：    则； ∵， ∴，解得：； 若，作，如图所示：    则； ∵， ∴，解得：； 综上所述，当的值为，或时，可使得为等腰三角形； 【点睛】本题考查了几何中的动点问题，涉及了相似三角形、等腰三角形、三角函数等知识点，根据动点作出相应的几何图，找出几何关系是解题关键. 1．（2026·江西九江·一模）如图，一张锐角纸片，点，分别在边，上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意证明，再根据“沿将剪成面积相等的两部分”可得，进而即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵沿将剪成面积相等的两部分， ∴的面积是原面积的一半， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·重庆·二模）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的面积之比是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：已知与位似， 则, ∵与的面积之比是， 则与的相似比是， 则． 3．（2026·河北沧州·一模）约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答即可． 【详解】解：设蜡烛火焰倒立的像的高度是， 由相似三角形性质得到：． 解得，经检验，符合题意； 即蜡烛火焰倒立的像的高度是． 4．（2026·陕西·模拟预测）如图，在矩形中，点在边上，连接，交于点．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定及性质求解即可. 【详解】解：∵矩形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 5．（2026·四川成都·一模）在成都仰天窝熊猫广场，某游客想利用影子测量熊猫雕塑的高度．在同一时刻，该游客测得自己的影长为米，熊猫雕塑的影长为米，若该游客的身高为米，则熊猫雕塑的高度是_____米． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，理解物体高度和影长的关系是关键． 利用相似三角形的性质，同一时刻物体高度与影长成正比，代入计算即可． 【详解】解：设熊猫雕塑的高度是米， ∵同一时刻物体高度与影长成正比， ∴， ∴（米） 故答案为：． 6．（2026·广西贵港·一模）如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据题意得到，再判定，即可求解． 【详解】解：设点到的高为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 7．（2026·上海金山·一模）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）等边对等角，得到，三角形的外角的性质结合角的和差关系求出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∴，即， ∴． 8．（2025·四川成都·一模）在一次数学综合实践活动中，小颖和同学准备测量学校某幢教学楼的高度，他们选择平面镜、强光电筒、皮尺等工具进行测量．小颖身高为且位于图中的处，平面镜位于点处，教学楼高为．小颖头戴强光电筒，同学们帮忙调节强光电筒和平面镜的位置进行观察与测量（误差忽略不计），当强光电筒开启，光线通过平面镜反射后恰好照射在教学楼顶点的位置（点、、在同一水平线上，且），此时同学们测得，，请求教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为． 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的实际应用，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证得后，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：由题意可得：，，， ，， ， ，即， ． 故教学楼的高度为． 1．（2026·河南平顶山·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点A在y轴正半轴上，已知，，将沿翻折得到交于点 F，则点 F的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，解直角三角形求出，，结合翻折的性质可求出，过F作于H，并反向延长交于H，根据矩形的判定与性质求出，证明，求出，则，根据待定系数法求出直线解析式为，然后把代入，求出x的值即可． 【详解】解：∵的边在x轴上，， ∴，， 在中，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， 过F作于G，并反向延长交于H， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为，将代入得， 则， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴． 2．（2026·河北沧州·一模）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质和勾股定理求出，根据翻折的性质得出，，，根据三角形内角和定理，等角对等边可求出，证明，根据相似三角形的性质求出，结合，即可求解． 【详解】解：∵正方形中， ∴，，，， ∴，， ∵翻折， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 3．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，，，的三个顶点，，分别在，，边上，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过作辅助线，利用同角的余角相等得到角相等，结合已知条件证明，从而将转化为；再由证明，最后结合的边长关系，求出的值． 【详解】如图，作于， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 在和中， ， ∴ ， ∴． ∵， ∴，． ∵， 不妨设，则， 则， ∴， ∴． 4．（2026·河北沧州·模拟预测）如图，正六边形与正方形都内接于，若正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】/ 【分析】本题考查圆和正多边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点与准确添加辅助线是解题的关键． 取图形中心为点，连接、、，令与、分别交于点、，连接，交于点，根据图形性质，得出、、、、、的长度，由，可得，先计算出，可得，由此可求出，由可得出最后结果． 【详解】解：取图形中心为点，连接、、，令与、分别交于点、，连接，交于点，如下图所示： ∵正方形的边长为， ∴， ∵，， 由勾股定理得， ∵六边形为正六边形， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在矩形中，为的中点，连接，过点作，与的延长线交于点，平分，且点在边上，则的长为______． 【答案】 【分析】证明，得出，过点G作于点H，证明，再推出，可得，解得即可解答． 【详解】解：四边形为矩形， ， ， ， ，即， ， ， ， E为的中点， ， ， 如图，过点G作于点H． ， ，则， ，， ， ． ，平分， ， ， ，即， 解得， ． 6．（2026·安徽阜阳·一模）如图，为的直径，点在上，与过点的切线垂直，垂足为，过点的切线与的延长线交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)若点为的中点，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用切线性质得，结合，推出，得到．由得，故，即平分．结合、及公共边，用证明，得结论； （2）由得半径，是中点，故，，由全等得．由，得，建立比例．设，代入、，解方程，得，即． 【详解】（1）证明：如图，连接， 直线为的切线， ， 与切线垂直， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， 解得， 即． 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形，等腰三角形，相似三角形，垂直平分线； 连接，证出是的垂直平分线，即可判断，根据题意得到，，在中，即可判断；根据题意证出是的垂直平分线，即可判断的长度；先证出，，即可判断，即可求出． 【详解】解：如图所示，连接． ∵，分别为的中点， ∴， ∴． ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴．故A正确； ∵ ， ∴， ∴．         ∵， ∴．         ∵ ， ∴． 在中， ， ∴．故B正确； ∵在， ， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，故C错误； ∵， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确； 故选：C． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 设，可证明，则，，那么，再由，即可求解． 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2025·山东济南·中考真题）如图，在中，按如下步骤作图： ①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F． 根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图−复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 根据作法得平分，垂直平分，所以，，从而证明，可得，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解． 【详解】解：连接， 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4．（2025·广东深圳·中考真题）如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键. 根据折叠得出，，利用相似三角形的判定和性质得出，再由正方形的性质求解即可. 【详解】解：∵正方形沿折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 故选：D. 5．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，是边上的高，证明，故，则，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则 ∴， 故答案为：． 6．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形中，，点在四边形内，，于点，将沿翻折，点恰好与点重合，延长交折痕的延长线于点，，则点到直线的距离为__________． 【答案】/ 【分析】过点作，交的延长线于，过点作于，可证得，进而证得四边形是正方形，再证得，求得，利用三角函数求得，即可求得答案． 【详解】解：过点作，交的延长线于，过点作于，如图， ∵将沿翻折，点恰好与点重合， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 即， ， ， ， ， ， ∴四边形是正方形， ， ， 在中，， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 则点到直线的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，翻折变换的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数等，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 1 / 91 学科网（北京）股份有限公司 $