第02讲 概率（复习讲义1考点+9题型+1重点）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第八章 统计与概率 第02讲 概率 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 5 命题点一 概率的几种常见题型 题型01列举法求概率 题型02利用公式法求概率 题型03列表法求概率 题型04树状图求概率 题型05利用概率求数量 题型06概率中的几何问题 题型07频率估算概率 命题点二 概率的应用 题型01概率的公平性 题型02概率的综合应用 05·重难突破·思维进阶 27 突破一 概率的实践探究问题 06·优题精选·练能提分 35 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 概率的综合 天津卷 （第13题） 天津卷 （第13题） 天津卷 （第13题） 1. 能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率；2. 知道通过大量重复试验，可以用频率来估计概率；3. 能计算一些简单随机事件的概率，能用概率解决简单的实际问题；4. 能根据问题的实际背景，设计合理的模拟试验，估算概率；5. 能通过概率分析，对简单的决策问题提出合理建议。 命题预测 考查难度与分值稳定：该考点作为基础题，未来仍会以中等难度题目为主，分值固定为3分，以选择题形式考查（每年1道，位置稳定在第13题），确保基础概率计算能力的考查占比，不会出现难度陡增的情况。 应用场景贴近生活：一方面会延续2023-2025年风格，继续选取游戏公平性、抽奖、摸球、掷骰子等经典场景为核心载体，考查列表法或树状图法求概率；另一方面可能融入校园活动、体育比赛、生活消费等真实情境，让题目更贴近学生生活，聚焦“由情境定模型、由模型算概率”的核心能力。 知识衔接更紧密：后续命题可能进一步加强概率与统计的融合。比如在统计数据基础上计算随机事件概率，或用频率估计概率，或结合样本估计总体的思想，考查用统计数据推断概率的思维，强化“统计→概率→决策” 的知识链条。 题型无大幅创新：不会出现复杂偏怪题型，仍以两步概率计算解答题为主要考查形式，固定为“判断游戏公平性→画树状图/列表→计算概率→得出结论”的结构，符合天津中考 “统计与概率”部分每年1道概率题的常规考向，整体保持“稳中有变，以稳为主”的命题节奏。 考点一 概率的简单计算 一、概率公式 n：所有等可能出现的结果总数；m：事件A包含的结果数 二、适用条件 所有结果必须等可能（机会均等），否则不能直接用公式。 三、取值范围 ①必然事件：；②不可能事件：；③随机事件： 1．（2025·天津·中考真题）不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为____________． 2．（2024·天津·中考真题）不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为______． 3．（2023·天津·中考真题）不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为________． 4．（2025·天津南开·二模）在一个不透明的袋子中，装有8个红球和一些白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出一个球，取出红球的概率为，则袋中白球的个数是________． 5．（2025·天津西青·二模）不透明袋子中装有9个球，其中有1个红球、8个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是________． 命题点一 概率的几种常见题型 ►题型01 列举法求概率 【典例】（2026·安徽阜阳·一模）酱香拿铁咖啡为了促进消费，在一箱6瓶的酱香拿铁咖啡中设置2瓶有奖，在该瓶的瓶盖内印有“奖”字，明明买了一箱，连续打开2瓶均未能中奖，如果在剩下的咖啡中任意拿出2瓶，那么他拿出的2瓶都中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·河南驻马店·三模）有5个外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、碳酸钠、氯化钠、氢氧化钾五种溶液．小东从这5个试剂瓶中随机抽取2个，则均能使酚酞溶液变红的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·安徽·模拟预测）为了培养学生的劳动能力，学校将一块正方形实验地分成A，B，C，D四部分给学生种白菜、茄子、辣椒、毛豆四种蔬菜（如图所示），每块实验田只能种一种农作物，则白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（   ） A． B． C． D． ►题型02 利用公式法求概率 【典例】（2026·浙江温州·一模）在一个不透明的袋子里装有3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·四川南充·一模）某校组织红色研学活动，需要从朱德故里、邓小平故里、罗瑞卿纪念馆、张思德纪念馆四个红色教育基地中任选一个前往，则选中朱德故里的概率是__________． 【变式2】（2026·安徽蚌埠·一模）甲有点数分别为2，4，6的三张扑克牌，乙有点数分别为1，3，5的三张扑克牌．每人从自己手中随机取出一张牌比较点数的大小，点数大的获胜，则乙获胜的概率是________． ►题型03 列表法求概率 【典例】（2026·广东佛山·一模）随机抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子（各面上的点数分别为1，2，3，4，5，6）两次．两次点数积为偶数的概率为________． 【变式1】（2026·安徽阜阳·一模）某机械零件要求承受的压力为，同时承受的压强要大于．现生产出四个机械零件的表面受力面积分别为，则从中随机同时选取两个零件，两个零件都合格的概率是______． 【变式2】（2026·河南商丘·一模）永城市有四项非物质文化遗产被成功申报为省级非物质文化遗产项目，分别是“永城大铙”、“柳琴戏”、“清音”和“芒山石雕”．为更好的宣传永城的历史文化，文化部门准备在文化节推出其中两项进行今年的宣传重点，为公平推介，主办方用四张相同的卡片分别写上这四项非物质文化遗产的名称，正面向下，随机抽取两张卡片，则抽到的卡片书写着“清音”和“芒山石雕”的概率为______． ►题型04 树状图求概率 【典例】（2026·安徽阜阳·一模）物理学中把光线按波长从大到小分为红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七色光，人们通常把红、橙、黄三种颜色称为暖色，其余四种称为冷色．从七色光中任意选取两种颜色均为暖色的概率是________． 【变式1】（2025·四川广元·一模）有5张卡片，每张卡片上印着、，，0，中的某一个数字，若从中随意抽取两张卡片，两张卡片上数字都是无理数的概率是______． 【变式2】（2025·河南·模拟预测）如图，在某次体育课上，A，B，C，D四位同学分别站在正方形的4个顶点处（面向正方形内）做传球游戏．规定：传球的同学每次可以将手中的球任意传给其他三位同学中的一位（即A同学传球时，可以将球任意传给B，C，D三位同学中的一位），且游戏中传球和接球都没有失误．若由B同学开始第一次传球，则第二次传球B同学接到球的概率为______． 【变式3】（2025·浙江·模拟预测）掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子的点数分别记为，，则关于的方程有两个不相等的实数根的概率为___________． ►题型05 利用概率求数量 【典例】（2026·重庆·一模）一个不透明的袋子中，装有除颜色外均相同的白球和红球共个，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中白球的个数为______． 【变式1】（2026·江苏徐州·一模）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共10个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能的是（   ） A．10 B．0.3 C．3 D．7 【变式2】（2026·陕西宝鸡·一模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有10枚黑棋和若干枚白棋，这些棋子除颜色外都相同，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回．不断重复这一过程，共摸了200次，发现有50次摸到黑棋，由此可估计盒中白棋子共有（    ） A．170枚 B．60枚 C．50枚 D．30枚 ►题型06 概率中的几何问题 【典例】（2026·四川成都·一模）如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____． 【变式1】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，将一枚飞镖任意投掷到等边镖盘内，已知分别是边的三等分点，连接．若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为___________． ►题型07 频率估算概率 【典例】（2026·四川成都·一模）一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则可估计这个口袋中白球的个数是_____． 【变式1】（2025·四川广安·一模）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数n “射中9环及以上”的次数m “射中9环及以上”的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环及以上”的概率为________．（结果精确到） 【变式2】（2025·贵州遵义·模拟预测）某生物实验室为研究果蝇的基因遗传特性，对培养皿内的果蝇群体进行抽样统计．培养皿中共有200只除基因标记外完全一致的果蝇，实验通过多次随机抽样（每次抓取后放回并摇匀），统计携带显性基因标记果蝇的频率，实验数据记录如下： 实验次数 100 300 500 700 900 1000 1100 携带显性基因标记果蝇 43 138 226 319 408 451 495 频率 0.43 0.46 0.452 0.456 0.453 0.451 0.45 通过实验，估计培养皿中携带该显性基因标记的果蝇数量约为______． 命题点二 概率的应用 ►题型01 概率的公平性 【典例】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，分别标有数字，，，；盘中圆心角为的扇形上标有数字，其余部分标有数字．他们用如图所示的两个转盘做游戏，制定如下规则：随意转动，转盘各一次，转盘停止后，将，转盘的指针所指数字相乘（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘），若积为偶数，则小明胜；若积为奇数，则小春胜． (1)随意转动盘，指针指向的概率为____________； (2)这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【变式1】（2026·陕西西安·一模）如图，有四张背面完全相同的卡片，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上 (1)从4张卡片中抽取一张，这张卡片的数字为3的倍数的概率是_______； (2)元旦联欢会需要从小明和小亮中选择一名同学作为男主持人，老师让他俩通过抽卡片的方式选拔，获胜的同学担任主持，游戏规则如下：小明先从中抽出一张卡片，小亮再从剩余的3张卡片中也抽出一张卡片，把两人抽取的卡片上的数字相加，若和大于11小明胜，否则小亮胜，这个游戏公平吗？请用画树状图或列表法的方法说明理由． 【变式2】（2026·陕西西安·一模）小明和小亮玩游戏：将正面分别写有数字1，7，8，8的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后，背面向上放在桌面上，小明从中任意抽取一张卡片（不放回），小亮从剩余的卡片中任意抽取一张，若两张卡片上的数字之和是8的倍数，则小亮获胜，否则小明获胜． (1)小明抽到写有偶数的卡片的概率是______； (2)请利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏是否公平． 【变式3】（2025·江西抚州·二模）某班在选拔人员参加年级数学竞赛过程中，有A，B两同学分数相同，由于参赛名额所限，这两人中只能一个参赛，经商议决定采取摸球方式解决，将2个红球、1个绿球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出2个球． (1)“摸出的2个球，都是红球”是________事件；（填“随机”或“不可能”或“必然”） (2)若两同学以摸球方式决定代表参加数学竞赛，摸出的2个球，若颜色相同，则同学去参赛；若颜色不同，则同学去参赛，这游戏方案设计公平吗？说明理由． ►题型02 概率的综合应用 【典例】（2026·四川南充·一模）某校团委为了了解全校学生对“川北大木偶”的了解情况进行抽样调查，调查问卷中设计了四个选项：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．要求每名学生必选且只选一项．调查结束后，校团委根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)这次参与调查的学生有________人，B的圆心角是________度； (2)若该校共有名学生，请估计全校对川北大木偶有了解（包括A、B、C三类）的学生有多少人？ (3)调查发现，A选项的学生中有2名男生和2名女生的能力特别出众，校团委决定从这4名学生中随机选出2名学生参加南充市非遗文化展示活动．请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 【变式1】（2026·福建泉州·一模）为了调查学生上课举手回答问题的情况，某校研究性学习小组利用视频分析，随机抓拍初三年（1）班甲、乙两组同学在某节数学课中的“举手次数”，记录如下：（单位：次） 序号 组别 抓拍1 抓拍2 抓拍3 抓拍4 抓拍5 抓拍6 甲组 11 11 14 15 13 14 乙组 11 13 13 12 14 15 (1)从本节课甲组6次抓拍中，随机抽取一次，则抽取到“举手次数”不小于14的概率为__________； (2)分别从甲、乙两组“举手次数”不小于14的抓拍数据中各随机抽取一次，若两次抽取“举手次数”的和不小于29的概率大于，则称该节课为“成功互动课堂”．请利用树状图或列表分析，判断该节课是否为“成功互动课堂”． 【变式2】（2026·安徽蚌埠·二模）综合与实践 【问题背景】修订后的《中华人民共和国食品安全法》自2025年12月1日起实施，《道德与法治》老师想了解班级学生对这部法律的了解程度，组织本校九年级学生参与“学习食品安全法，保障身体健康”的知识竞赛． 【数据收集与整理】竞赛成绩公布后，老师随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 学生竞赛成绩频数分布表 等级 成绩（x） 频数 频率 A 90<x≤100 a m B 80<x≤90 20 0.4 C 70<x≤80 16 n D x≤70 4 0.08 【问题解决】 (1)本次调查的学生为___________人，a=___________，m=___________，n=___________，并补全频数直方图； (2)若该校九年级学生数为1800人，估计这次竞赛成绩在80分以上（不含80分）的人数； (3)现从成绩等级为A的甲，乙，丙，丁4人中随机选出2人参加《中华人民共和国食品安全法》的宣传，请通过列表或画树状图的方法求出甲被选中的概率． 【变式3】（2026·河南周口·一模）学习消防知识是青少年成长的“必修课”．某校九年级共有1300名学生，为了解九年级学生对消防知识的掌握情况，对九年级全体学生进行相关测试（满分100分），并选取了部分学生作为样本，根据他们的成绩（单位：分）绘制出如下的频数分布表． 九年级部分学生测试成绩频数分布表 组别 测试成绩/分 频数 A 1 B 3 C 5 D 12 E 4 根据以上信息，回答下列问题． (1)关于选取的部分学生，下列最合适的是　　　　　　．（填序号） ①随机选取该校九年级25名男生； ②随机选取该校九年级25名女生； ③随机选取该校九年级25名学生． (2)若90分以上为非常优秀，估计该校九年级这1300名学生对消防知识的掌握情况为非常优秀的人数． (3)为积极促进学生对消防知识的掌握，学校计划从本次测试在90分以上的1名女同学和3名男同学中，随机选择两名同学给全校同学分享学习消防知识的心得与方法，请用列表或画树状图的方法，求选择的两名同学恰好是一男一女的概率． 突破一 概率的实践探究问题 【典例】（25-26九年级下·安徽安庆·月考）【项目背景】为切实关心青少年身心健康，安师中学积极开展“我运动，我快乐，我健康”的阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等．该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计． 【数据收集与整理】 （一）现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：米）进行整理．A组：；B组：；C组：；D组：；E组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀． （二）该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个/分钟）进行统计，成绩统计表如下． 一分钟限时跳绳比赛成绩统计表 成绩（个/分钟） 60~100 101~130 131~160 161~190 人数 5 8 23 a 【数据分析与应用】 任务一  掷实心球的女生有______人；其中成绩合格的有______人； 任务二  掷实心球的女生成绩的中位数落在哪一组？请说明理由； 任务三  将跳绳个数在161~190的选手依次记为，从中随机抽取两名选手做经验交流．请用树状图或列表法求恰好抽取到选手的概率． 【变式1】（2026·上海杨浦·二模）小明正在进行“关于生物遗传概率的探究”： 他从互联网上收集到了这些信息： 1．相对性状：同种生物同一性状的不同表现形式（如卷发、直发、双眼皮、单眼皮）； 2．显隐性：题目中标注“显性”的性状，只要有1个显性基因就会表现（如 表现卷发）；“隐性”性状必须有2个隐性基因才会表现（如表现直发）； 3．基因型：用字母表示基因组成，显性基因用大写（D、A、B），隐性基因用小写（d、a、b）； 显性性状基因型：2种可能（纯合子：如，2个显性基因；杂合子：如，1显1隐）； 隐性性状基因型：只有1种（纯合子：如，2个隐性基因）； 4．遗传规律：亲代会将一对基因（例如：）中的1个（例如：D）传给子代，子代的一对基因来自父亲和母亲； 5．独立遗传：本题三对性状的基因互不影响》 已知性状显隐性（均为常染色体遗传） ①毛发直卷：卷发（D）对直发（d）为显性（表现卷发，表现直发）； ②眼睑形状：双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性（表现双眼皮，表现单眼皮）； ③拇指形态：直拇指（B）对弯拇指（b）为显性（表现直拇指，表现弯拇指）． 小明的数学老师提出了下列问题： (1)一对卷发夫妇，丈夫基因型为，妻子基因型为，求二人生育一个直发孩子的概率． (2)一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子，据此先判断夫妇的基因型，再求二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的概率． (3)已知男性基因型为（卷发、直拇指），女性基因型为（直发、直拇指），求二人生育一个卷发、弯拇指孩子的概率． (4)一对卷发夫妇，男方父母均为“卷发、单眼皮”（且男方父亲为卷发纯合子，男方母亲为卷发杂合子），女方母亲为“直发、单眼皮”、女方父亲为“卷发、双眼皮（纯合子）”．求这对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率． 【变式2】（2026·安徽安庆·模拟预测）综合与实践 【项目主题】一种基于等可能假设的概率模型：几何概率． 【项目准备】 （1）基本原理：设想每个结果是一个点，所有结果的点组成一个区域G，而组成事件A的结果是G中的部分区域g，G，g可以是直线上的线段，也可以是平面或空间的区域．因此，这种概率可以表示为两个线段的长度之比，或两个平面区域的面积之比，或两个空间区域的体积之比．常用公式：①如果是在线段上，；②如果是在平面图形上，；③如果是在立体图形上，． （2）初步探究： 场景1：假设有一根长的绳子，随机在绳子上画一个点，想知道点落在绳子中间段（从到）的概率． 分析：目标线段长度：，总线段长度：，则概率①________； 场景2：一个操场是长、宽的长方形，里面有一个篮球场是长、宽的长方形．如果你随机往操场扔一个球，球落在篮球场内的概率是多少？ 分析：操场的面积：，篮球场的面积：，概率②_________； 【实践应用】现在利用这个模型解决一个生活中的问题． （1）项目条件：小明每天早上之间随机出门赶到公交站，公交车每天之间随机到达公交站，小明能赶上公交车的概率是多少？ （2）原理分析：用“平面直角坐标系”把“小明赶到公交站时间”和“公交车到达时间”的所有可能情况变成一个矩形区域，再找出“能赶上公交”的区域，用“面积比例”算概率； （3）实施步骤： 第一步：定义“时间变量”，把抽象时间变具体——为了方便计算，我们给时间赋上数字（去掉“7点”，只算分钟）设小明赶到公交站时间为x分钟：就是，就是，所以x的取值范围是．（所有可能的赶到公交站时间）； 第二步：画“所有可能情况”的图形（总区域）——我们用“平面直角坐标系”来表示．横轴（x轴）：小明赶到公交站时间（0到），纵轴（y轴）：公交车到达时间（10到）；所有可能的情况，就是坐标系里一个“矩形”，计算矩形的面积（总度量）：矩形面积③_________． 第三步：找“能赶上公交”的条件（符合条件的区域）——小明能赶上公交，必须满足：小明赶到公交站时间≤公交车到达时间，也就是． 先在矩形里画一条直线（这条线表示“赶到公交站时间到达时间”），满足的区域，是直线上及其④________（填写“左侧”或“右侧”）的部分． 第四步：计算符合条件的面积和概率——符合条件的面积⑤________，小明能赶上公交车的概率⑥________（精确到）． 【项目总结】根据以上分析，几何概率可以解决生活中的问题． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 【变式3】（2026·福建厦门·一模）圆周率是指圆的周长与其直径的比值，是无限不循环小数，其常用近似值可表示为3.141592653……．古往今来，历代中外数学家均围绕圆周率的精确估算展开了深入的探索，产生了很多方法，如我国魏晋时期数学家刘徽首创的“割圆术”，此外还有如下方法： 1．利用“布丰投针试验”估算 1777年，法国数学家布丰设计了著名的投针试验：如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上．针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟该试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值________附近（结果精确到0.001）；根据上述数据请你估计的近似值为________（精确到0.01）． 2．利用“莱布尼茨无穷级数”逼近 17世纪，德国数学家莱布尼茨创立微积分，推导出计算的另一种表达式 （n为非负整数） 记，则； 当时，，； 当时，，； 当时，，； ……随着n增大，逐渐逼近，的值越接近的值． 问题2：当与的常用近似值的绝对差值小于0.21时，求n的最小值． 1．（2026·广东佛山·一模）在“溯源经典，致敬先贤”数学文化节中，小明从我国古代5位著名数学家：祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶中，随机选取一位介绍其生平事迹，赵爽被选中的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东滨州·一模）甲、乙两位同学在一次试验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　） A．掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率 B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率 C．任意写出一个整数，能被2整除的概率 D．一个袋子中装着只有颜色不同其他都相同的2个红球和1个黄球，从中任意取出一个球是黄球的概率 3．（2026·河北沧州·一模）某烘焙店对蛋挞进行了A，B，C三个方案的改进，如图是10位顾客对每种方案的整体口感评分的折线图，随机抽取一位顾客，在这三个方案中最喜爱方案C的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·重庆·一模）一个不透明的袋子中，装有除颜色外均相同的白球和红球共个，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中白球的个数为______． 5．（2026·重庆·模拟预测）2026年全国铁路一季度调图自2026年1月26日起施行，重庆北站到成都东站的列车车次、时间有所变化．2月6日下午放假后，小懂准备从重庆北站乘坐高铁前往成都东站，他在18点30分左右可到达重庆北站，进站安检、检票、下站台乘车平均需约15分钟，他想在19点25分之前从重庆北站出发．假设小懂的出行预算足够，则在下表中18点30分到19点30分时段的列车，符合要求的概率是___________． 车次 D2373 D637 G3357 G8634 D2237 G3480 D953 G8684 D361 G978 G1015 D3057 列车类型 动车 动车 高铁 高铁 动车 高铁 动车 高铁 动车 高铁 高铁 动车 （重庆北站）发车时间 18∶33 18∶38 18∶41 18∶47 18∶50 19∶01 19∶06 19∶06 19∶12 19∶17 19∶23 19∶29 （成都东站）到站时间 20∶28 20∶33 21∶38 20∶02 20∶45 20∶37 21∶01 21∶09 21∶06 20∶45 21∶59 21∶46 6．（2026·云南·模拟预测）2025年6月1日是第75个国际儿童节．某学校组织了一场特色活动，活动设有A．非遗时装展，B．舞蹈情景剧，C．亲子朗诵会，D．科创竞技赛．该校要求每人从四个活动中随机选择一个活动参加，且每个活动被选到的可能性相等，小昆和小明两名同学各自选择了喜欢的一个活动，记小昆的选择为x，小明的选择为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求小昆和小明选择不同活动的概率． 7．（2026·山东潍坊·一模）近年来，我市坚持以人民为中心的发展思想，将普惠性，基础性，兜底性民生建设作为重中之重，积极探索在发展中保障和改善民生的新路径，为人民群众带来更多获得感和幸福感．按照市委市政府工作安排，为认真贯彻落实市两会提出的免费乘坐公交民生实事，公交公司从2023年5月起，实行本市内免费乘坐公交车政策．某小区物业为了解本小区居民免费乘车情况和满意度，设计了一份问卷调查，并在该小区随机调查了50人，并将部分调查数据制成如下两个统计图． 调查问卷 年龄_____岁 具体地址：_____ 问题1：您乘坐免费公交车吗？_____ A．从不坐 B．偶尔坐 C．经常坐 问题2：若您乘坐免费公交车，请对乘车体验作出评价 _____ A．满意 B．不太满意 请根据统计图回答问题： (1)①调查的50人中，55岁以上的有_________人，m的值为_________； ②物业人员准备从已经筛选出的经常乘坐免费公交车的调查问卷中，随机抽取一份问卷，则恰好抽到乘车体验为“满意”的概率为_________； (2)本次活动结束后，物业人员从经常乘车但不太满意的几位居民中，随机抽取两位到物业公司座谈并提出合理有效的解决乘坐免费公交车的方案．求恰好抽到20岁岁这个范围内的居民的概率． 1．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，O为正方形的中心，从正方形4个顶点及中心这5个点中，任选2个点，则这2个点之间的距离不大于正方形边长的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山西晋中·一模）为开展跨学科实践活动，某小组准备了四款功能不同的AI智能辅助软件：“智学助手”“思维导图大师”“速记精灵”“解题通”．小聪和小明各自从这四款软件中随机选择一款，若选择每款软件的可能性相同，则下列事件中，发生可能性最大的是（   ） A．两人选择的软件完全相同 B．两人选择的软件完全不同 C．小明选中“思维导图大师”，小聪选中“解题通” D．至少有一人选中“智学助手” 3．（2026·河北张家口·一模）如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，2，4，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点D的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广西南宁·一模）小球从入口下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从②号出口落下的概率是______． 5．（2025·福建福州·模拟预测）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率为______． 6．（2026·广东广州·模拟预测）学校举办爱心义卖活动，各班都在操场上摆摊，小明和小红拿着零花钱去逛，想买些小文具，他们在一个摊位前看到一款很喜欢的帆布笔袋，标价20元/个．摊主给出了两种销售方式：方式1：直接按标价打八折，即16元；方式2：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：袋子里有红、白、黄3个仅颜色不同的小球，先摸一个（记下颜色），放回搅匀，再摸一个．如果两次颜色相同，就算“中奖”，可按五折（10元）买下；否则按原价20元购买．小红觉得五折的优惠力度比八折大，想选方式2． (1)求小红以五折价格买到笔袋的概率； (2)小明说：“如果我们要买很多很多个，我估计选方式2不如方式1划算．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 1．（2025·山东东营·中考真题）盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北武汉·中考真题）掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（    ） A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1 C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数 4．（2025·四川绵阳·中考真题）水是生命之源．水分子的化学式为，即1个水分子由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是__________． 5．（2025·北京·中考真题）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商_______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为_______万元． 6．（2025·青海西宁·中考真题）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷． 调查问卷 年  月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是(   )(单选) A．玩偶        B．冰箱贴        C．创意摆件        D．手机挂件 【数据的收集与整理】 数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶ (1)本次抽样调查的样本容量是________； (2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________； 【做出合理估计】 (3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？ 【解决概率问题】 (4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 统计与概率 第02讲 概率 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 5 命题点一 概率的几种常见题型 题型01列举法求概率 题型02利用公式法求概率 题型03列表法求概率 题型04树状图求概率 题型05利用概率求数量 题型06概率中的几何问题 题型07频率估算概率 命题点二 概率的应用 题型01概率的公平性 题型02概率的综合应用 05·重难突破·思维进阶 27 突破一 概率的实践探究问题 06·优题精选·练能提分 35 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 概率的综合 天津卷 （第13题） 天津卷 （第13题） 天津卷 （第13题） 1. 能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率；2. 知道通过大量重复试验，可以用频率来估计概率；3. 能计算一些简单随机事件的概率，能用概率解决简单的实际问题；4. 能根据问题的实际背景，设计合理的模拟试验，估算概率；5. 能通过概率分析，对简单的决策问题提出合理建议。 命题预测 考查难度与分值稳定：该考点作为基础题，未来仍会以中等难度题目为主，分值固定为3分，以选择题形式考查（每年1道，位置稳定在第13题），确保基础概率计算能力的考查占比，不会出现难度陡增的情况。 应用场景贴近生活：一方面会延续2023-2025年风格，继续选取游戏公平性、抽奖、摸球、掷骰子等经典场景为核心载体，考查列表法或树状图法求概率；另一方面可能融入校园活动、体育比赛、生活消费等真实情境，让题目更贴近学生生活，聚焦“由情境定模型、由模型算概率”的核心能力。 知识衔接更紧密：后续命题可能进一步加强概率与统计的融合。比如在统计数据基础上计算随机事件概率，或用频率估计概率，或结合样本估计总体的思想，考查用统计数据推断概率的思维，强化“统计→概率→决策” 的知识链条。 题型无大幅创新：不会出现复杂偏怪题型，仍以两步概率计算解答题为主要考查形式，固定为“判断游戏公平性→画树状图/列表→计算概率→得出结论”的结构，符合天津中考 “统计与概率”部分每年1道概率题的常规考向，整体保持“稳中有变，以稳为主”的命题节奏。 考点一 概率的简单计算 一、概率公式 n：所有等可能出现的结果总数；m：事件A包含的结果数 二、适用条件 所有结果必须等可能（机会均等），否则不能直接用公式。 三、取值范围 ①必然事件：；②不可能事件：；③随机事件： 1．（2025·天津·中考真题）不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为____________． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，解题的关键是掌握概率公式． 用绿球的个数除以总球的个数即可得出答案． 【详解】解：袋子中绿球的个数为6， 球的总数为13， 所以抽到绿球的概率为， 故答案为：． 2．（2024·天津·中考真题）不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为______． 【答案】/0.3 【分析】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键．用绿球的个数除以球的总数即可． 【详解】解：∵不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别， ∴从袋子中随机取出1个球， 它是绿球的概率为， 故答案为：． 3．（2023·天津·中考真题）不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为________． 【答案】/ 【分析】直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：由题意，从装有10个球的不透明袋子中，随机取出1个球，则它是绿球的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查求简单事件的概率，理解题意是解答的关键． 4．（2025·天津南开·二模）在一个不透明的袋子中，装有8个红球和一些白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出一个球，取出红球的概率为，则袋中白球的个数是________． 【答案】8 【分析】此题考查了概率公式的应用．设有白球x个，根据概率公式得：，解得x的值即可． 【详解】解：设有白球x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 故答案为：8． 5．（2025·天津西青·二模）不透明袋子中装有9个球，其中有1个红球、8个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是________． 【答案】 【分析】本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 用红球的个数除以总球的个数即可得出取出红球的概率． 【详解】解：∵不透明袋子中装有9个球，其中有1个红球、8个黑球， ∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为， 故答案为：． 命题点一 概率的几种常见题型 ►题型01 列举法求概率 【典例】（2026·安徽阜阳·一模）酱香拿铁咖啡为了促进消费，在一箱6瓶的酱香拿铁咖啡中设置2瓶有奖，在该瓶的瓶盖内印有“奖”字，明明买了一箱，连续打开2瓶均未能中奖，如果在剩下的咖啡中任意拿出2瓶，那么他拿出的2瓶都中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，先确定剩余咖啡的总数和其中有奖咖啡的数量，再列举出所有等可能的结果，找出符合要求的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：∵一箱共6瓶咖啡，原本有2瓶有奖，明明连续打开2瓶均未中奖， ∴剩余咖啡数量为瓶，剩余咖啡中有奖咖啡仍为2瓶，未中奖咖啡为2瓶， 将剩余4瓶编号：有奖两瓶记为、，未中奖两瓶记为、， 从4瓶中任意拿2瓶，所有等可能的情况有：，，，，，，共6种， 其中2瓶都中奖的情况只有这1种， ∴所求概率为， 故选：D． 【变式1】（2025·河南驻马店·三模）有5个外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、碳酸钠、氯化钠、氢氧化钾五种溶液．小东从这5个试剂瓶中随机抽取2个，则均能使酚酞溶液变红的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是用列举法或列表法或树状图法求概率．准确列出事件的所有结果是解题的关键； 根据题意列出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】酚酞遇碱性溶液变红，五种溶液中，只有碳酸钠和氢氧化钾可使酚酞变红． 从这5个试剂瓶中随机抽取2个，共有10种等可能结果，列举如下： 稀硫酸和稀盐酸，稀硫酸和碳酸钠，稀硫酸和氯化钠，稀硫酸和氢氧化钾，稀盐酸和碳酸钠， 稀盐酸和氯化钠，稀盐酸和氢氧化钾，碳酸钠和氯化钠，碳酸钠和氢氧化钾，氯化钠和氢氧化钾， 其中均能使酚酞溶液变红的只有碳酸钠和氢氧化钾这一种，其概率为， 故选：C． 【变式2】（2025·安徽·模拟预测）为了培养学生的劳动能力，学校将一块正方形实验地分成A，B，C，D四部分给学生种白菜、茄子、辣椒、毛豆四种蔬菜（如图所示），每块实验田只能种一种农作物，则白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用枚举法求概率，解题关键是枚举出所有可能结果． 先枚举出所有可能结果，并求出所有可能结果种数与符合条件的结果数，再利用概率公式求解． 【详解】根据题意，如果A部分种植白菜，则A，B，C，D四部分种植蔬菜的方式如下： 白菜、茄子，辣椒、毛豆； 白菜、茄子、毛豆、辣椒； 白菜、辣椒、茄子、毛豆； 白菜、辣椒、毛豆、茄子； 白菜、毛豆、茄子、辣椒； 白菜、毛豆、辣椒、茄子． 共有6种等可能的结果，其中白菜与辣椒两种蔬菜不相邻的结果有2种． 类似的，如果部分种植茄子，辣椒或毛豆结果均一样， （白菜与辣椒两种蔬菜不相邻）． 故选：A． ►题型02 利用公式法求概率 【典例】（2026·浙江温州·一模）在一个不透明的袋子里装有3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据概率公式，事件A的概率等于事件A发生的可能结果数与所有可能结果数的比值，代入计算即可． 【详解】解：∵袋子中共有3个红球，5个白球，所有球除颜色外都相同， ∴球的总个数为 (个)，摸出红球的可能结果数为3， ∴摸出红球的概率为 ． 【变式1】（2026·四川南充·一模）某校组织红色研学活动，需要从朱德故里、邓小平故里、罗瑞卿纪念馆、张思德纪念馆四个红色教育基地中任选一个前往，则选中朱德故里的概率是__________． 【答案】/0.25 【分析】确定所有等可能的结果总数与所求事件包含的结果数，再代入概率公式计算． 【详解】解：根据题意，从四个红色教育基地中任选一个，所有等可能发生的结果共有种，选中朱德故里的结果有种， 则根据概率公式可得选中朱德故里的概率为． 【变式2】（2026·安徽蚌埠·一模）甲有点数分别为2，4，6的三张扑克牌，乙有点数分别为1，3，5的三张扑克牌．每人从自己手中随机取出一张牌比较点数的大小，点数大的获胜，则乙获胜的概率是________． 【答案】 【分析】先利用列举法得到所有等可能的结果数，再找出乙获胜的结果数．最后根据概率公式计算即可得到所求概率． 【详解】解：根据题意，每人从自己手中随机取一张牌，所有等可能的结果列举如下： 甲取时，乙可取，，，共种， 甲取时，乙可取，，，共种， 甲取时，乙可取，，，共种， 因此一共有种等可能的结果， 其中乙点数大于甲点数，即乙获胜的结果有：，，，共种， 根据概率公式，乙获胜的概率为． ►题型03 列表法求概率 【典例】（2026·广东佛山·一模）随机抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子（各面上的点数分别为1，2，3，4，5，6）两次．两次点数积为偶数的概率为________． 【答案】/0.75 【分析】先列表确定抛掷两次骰子所有等可能的结果数，再从中找出两次点数积为偶数的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 所有36种等可能的情况，其中两次点数积为偶数的有27种， 则两次点数积为偶数的概率为：． 【变式1】（2026·安徽阜阳·一模）某机械零件要求承受的压力为，同时承受的压强要大于．现生产出四个机械零件的表面受力面积分别为，则从中随机同时选取两个零件，两个零件都合格的概率是______． 【答案】 【分析】先根据压强公式结合题意求出合格零件受力面积的范围，确定合格零件的数量，再列举出从四个零件中随机选取两个的所有等可能结果，数出两个都合格的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：根据压强公式 ，由题意得， 当一定时，与成反比，即， 当时，， 当时，， 已知四个零件的受力面积分别为，因此合格零件是共个，不合格零件是共个． 随机同时选取两个，所有可能的结果列表如下： 两个都合格 两个都合格 一个合格 两个都合格 两个都合格 一个合格 两个都合格 两个都合格 一个合格 一个合格 一个合格 一个合格 共12种等可能的结果，其中两个零件都合格的结果共有6种， 根据概率公式，（两个零件都合格）． 【变式2】（2026·河南商丘·一模）永城市有四项非物质文化遗产被成功申报为省级非物质文化遗产项目，分别是“永城大铙”、“柳琴戏”、“清音”和“芒山石雕”．为更好的宣传永城的历史文化，文化部门准备在文化节推出其中两项进行今年的宣传重点，为公平推介，主办方用四张相同的卡片分别写上这四项非物质文化遗产的名称，正面向下，随机抽取两张卡片，则抽到的卡片书写着“清音”和“芒山石雕”的概率为______． 【答案】 【分析】先确定随机抽取两张卡片所有等可能的结果数，再找出抽到“清音”和“芒山石雕”的结果数，根据概率公式计算即可得到结果． 【详解】解：将四项非物质文化遗产“永城大铙”“柳琴戏”“清音”“芒山石雕”分别记为A，B，C，D，其中C对应“清音”，D对应“芒山石雕”． 列表如下， ∴共有种等可能的结果． 其中抽到“清音”和“芒山石雕”的结果有种，分别为先抽C后抽D，先抽D后抽C． 根据概率公式，可得所求概率． ►题型04 树状图求概率 【典例】（2026·安徽阜阳·一模）物理学中把光线按波长从大到小分为红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七色光，人们通常把红、橙、黄三种颜色称为暖色，其余四种称为冷色．从七色光中任意选取两种颜色均为暖色的概率是________． 【答案】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：可画树状图为： 由树状图可知一共有42种等可能性的结果数，其中任意选取两种颜色均为暖色的结果数有6种， ∴任意选取两种颜色均为暖色的概率是． 【变式1】（2025·四川广元·一模）有5张卡片，每张卡片上印着、，，0，中的某一个数字，若从中随意抽取两张卡片，两张卡片上数字都是无理数的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，首先识别卡片中的无理数，然后列树状图计算概率即可． 【详解】卡片上的数字分别为：（有理数）、（有理数）、（无理数）、0（有理数）、（无理数）． 其中无理数有2个，即和， 则抽取卡片的情况如下： 从中随意抽取两张卡片共20种，两张卡片上数字都是无理数的有2种， 因此，概率为． 故答案为：． 【变式2】（2025·河南·模拟预测）如图，在某次体育课上，A，B，C，D四位同学分别站在正方形的4个顶点处（面向正方形内）做传球游戏．规定：传球的同学每次可以将手中的球任意传给其他三位同学中的一位（即A同学传球时，可以将球任意传给B，C，D三位同学中的一位），且游戏中传球和接球都没有失误．若由B同学开始第一次传球，则第二次传球B同学接到球的概率为______． 【答案】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率． 先画树状图表示出9种等可能的结果，再找出第二次B接到球的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【详解】画树状图如解图， 由树状图知，共有9种等可能的结果，其中第二次传球B同学接到球的结果有3种， P(第二次传球B同学接到球) ． 故答案为：． 【变式3】（2025·浙江·模拟预测）掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子的点数分别记为，，则关于的方程有两个不相等的实数根的概率为___________． 【答案】 【分析】本题考查了用列表法与画树状图法求概率，以及根的判别式，通过列表法或画树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件的结果数目，然后根据概率公式求出事件的概率为．先画树状图展示所有种等可能的结果数，然后根据判别式的意义找出满足的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果数，其中满足的结果数有，，，，，，，，，，，，，，，，，共有种情况， 关于的方程有两个不等实数根的概率为． 故答案为：． ►题型05 利用概率求数量 【典例】（2026·重庆·一模）一个不透明的袋子中，装有除颜色外均相同的白球和红球共个，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中白球的个数为______． 【答案】 【分析】根据用频率估计概率，得到摸到白球的概率约为，结合总球数计算白球个数即可． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后，摸到白球的频率约为， ∴由用频率估计概率可得，估计摸到白球的概率为， 又∵袋中白球和红球共个， ∴估计袋中白球的个数为：． 【变式1】（2026·江苏徐州·一模）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共10个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数最有可能的是（   ） A．10 B．0.3 C．3 D．7 【答案】C 【分析】在大量重复试验中，频率会稳定在概率附近，用总球数乘稳定的频率即可得到红球个数的估计值． 【详解】解：∵多次试验后摸出红球的频率稳定在0.3左右， ∴可估计摸出红球的概率为0.3， ∵袋子中共有10个球， ∴红球个数约为 （个）， 因此袋子中红球的个数最有可能是3个． 【变式2】（2026·陕西宝鸡·一模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有10枚黑棋和若干枚白棋，这些棋子除颜色外都相同，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回．不断重复这一过程，共摸了200次，发现有50次摸到黑棋，由此可估计盒中白棋子共有（    ） A．170枚 B．60枚 C．50枚 D．30枚 【答案】D 【分析】本题考查用频率估计概率及利用概率公式求数量，先通过试验数据得到摸到黑棋的频率，以此估计概率，再结合黑棋数量求出总棋子数，进而算出白棋数量。 【详解】解：∵共摸了200次，有50次摸到黑棋 ∴摸到黑棋的频率为 设盒中白棋子有枚 ∴ 解得 ∴盒中白棋子共有30枚 故选：D． ►题型06 概率中的几何问题 【典例】（2026·四川成都·一模）如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，三角形中位线定理以及中点四边形的性质．根据中点四边形的性质以及三角形中位线定理得出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的中位线， ∴，， ∴， 同理， ∴， 同理， ∴， ∴， 同理，， ∴飞镖命中阴影区域的概率为． 故答案为：． 【变式1】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，将一枚飞镖任意投掷到等边镖盘内，已知分别是边的三等分点，连接．若飞镖落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为___________． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，相似三角形的判定和性质，先证明，得到，同理得到，，进而得到阴影部分的面积为，再根据几何概率公式，进行计算即可． 【详解】解：∵分别是边的三等分点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理：，， ∴阴影部分的面积为， ∴飞镖落在阴影区域的概率为； 故答案为：． ►题型07 频率估算概率 【典例】（2026·四川成都·一模）一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球，则可估计这个口袋中白球的个数是_____． 【答案】 【分析】本题考查频率的计算，用频率估算概率，掌握好相关知识是关键． 先计算出红球的频率，从而得到白球的频率，由频率的稳定性估算出概率，得到结果． 【详解】解：摸到红球的频率为， ∴摸到白球的频率为， ∴白球个数估计为． 故答案为：． 【变式1】（2025·四川广安·一模）某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数n “射中9环及以上”的次数m “射中9环及以上”的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环及以上”的概率为________．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在附近， 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环及以上”的概率为， 故答案为：． 【变式2】（2025·贵州遵义·模拟预测）某生物实验室为研究果蝇的基因遗传特性，对培养皿内的果蝇群体进行抽样统计．培养皿中共有200只除基因标记外完全一致的果蝇，实验通过多次随机抽样（每次抓取后放回并摇匀），统计携带显性基因标记果蝇的频率，实验数据记录如下： 实验次数 100 300 500 700 900 1000 1100 携带显性基因标记果蝇 43 138 226 319 408 451 495 频率 0.43 0.46 0.452 0.456 0.453 0.451 0.45 通过实验，估计培养皿中携带该显性基因标记的果蝇数量约为______． 【答案】90 【分析】本题考查了用频率估计概率，用稳定的频率来估计携带显性基因标记果蝇在总体中的概率是解决本题的关键． 先根据实验数据可得携带显性基因标记果蝇的频率稳定在0.45，根据用频率估计概率可知，携带显性基因标记果蝇的概率为0.45，由此计算即可． 【详解】解：由实验数据可得携带显性基因标记果蝇的频率稳定在0.45， ∴携带显性基因标记果蝇的概率为0.45， ∵培养皿中共有200只除基因标记外完全一致的果蝇， ∴估计培养皿中携带该显性基因标记的果蝇数量约为(只)． 故答案为：90 ． 命题点二 概率的应用 ►题型01 概率的公平性 【典例】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，小明和小春制作了两个质地均匀、可以自由转动的转盘，A盘被等分为四个扇形，分别标有数字，，，；盘中圆心角为的扇形上标有数字，其余部分标有数字．他们用如图所示的两个转盘做游戏，制定如下规则：随意转动，转盘各一次，转盘停止后，将，转盘的指针所指数字相乘（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘），若积为偶数，则小明胜；若积为奇数，则小春胜． (1)随意转动盘，指针指向的概率为____________； (2)这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【答案】(1) (2)游戏公平，见解析 【分析】（1）根据概率公式计算，即可求解． （2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案，运用列表法求得各自获胜的概率是解题的关键． 【详解】（1）解：∵盘中圆心角为的扇形上标有数字，其余部分标有数字． ∴指针指向的概率为 （2）解：游戏公平，理由， 将盘上数字的扇形平分成两个圆心角为的扇形，则列表如下，          共有种等可能的结果，其中积为偶数的结果有种，积为奇数的结果有种． ∴小明胜的概率，小春胜的概率， ∵， ∴游戏公平． 【变式1】（2026·陕西西安·一模）如图，有四张背面完全相同的卡片，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上 (1)从4张卡片中抽取一张，这张卡片的数字为3的倍数的概率是_______； (2)元旦联欢会需要从小明和小亮中选择一名同学作为男主持人，老师让他俩通过抽卡片的方式选拔，获胜的同学担任主持，游戏规则如下：小明先从中抽出一张卡片，小亮再从剩余的3张卡片中也抽出一张卡片，把两人抽取的卡片上的数字相加，若和大于11小明胜，否则小亮胜，这个游戏公平吗？请用画树状图或列表法的方法说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见详解 【分析】（1）直接计算出抽到数字为3的倍数的概率即可； （2）用树状图列举出所有情况，看和大于11的情况占所有情况的比值，即可求得小明赢的概率，进而求得小亮赢的概率比较即可． 【详解】（1）解：∵四个数字中和为3的倍数， ∴； （2）解：画树状图如下 一共有12种可能，和大于11的个数有8种，和小于等于11的数有4种， ， ∴游戏不公平 【变式2】（2026·陕西西安·一模）小明和小亮玩游戏：将正面分别写有数字1，7，8，8的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后，背面向上放在桌面上，小明从中任意抽取一张卡片（不放回），小亮从剩余的卡片中任意抽取一张，若两张卡片上的数字之和是8的倍数，则小亮获胜，否则小明获胜． (1)小明抽到写有偶数的卡片的概率是______； (2)请利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏是否公平． 【答案】(1) (2)见解析，这个游戏不公平 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两张卡片上的数字之和是8的倍数的结果数和两张卡片上的数字之和不是8的倍数的结果数，最后根据概率公式求出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有四张卡片，其中写有偶数的卡片有两张， ∴小明抽到写有偶数的卡片的概率是； （2）解：画树状图如下： 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两张卡片上的数字之和是8的倍数的结果数有4种，两张卡片上的数字之和不是8的倍数的结果数有8种， ∴小亮获胜的概率为，小明获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平． 【变式3】（2025·江西抚州·二模）某班在选拔人员参加年级数学竞赛过程中，有A，B两同学分数相同，由于参赛名额所限，这两人中只能一个参赛，经商议决定采取摸球方式解决，将2个红球、1个绿球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出2个球． (1)“摸出的2个球，都是红球”是________事件；（填“随机”或“不可能”或“必然”） (2)若两同学以摸球方式决定代表参加数学竞赛，摸出的2个球，若颜色相同，则同学去参赛；若颜色不同，则同学去参赛，这游戏方案设计公平吗？说明理由． 【答案】(1)随机 (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据事件的分类进行判断即可； （2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可． 【详解】（1）解：∵一个不透明的袋子中放有2个红球、1个绿球， ∴摸出的2个球都是红球”是随机事件， 故答案为：随机； （2）解：不公平．理由如下： 列表如下：      球1 球2 红1 红2 绿 红1 （红2，红1） （绿，红1） 红2 （红1，红2） （绿，红2） 绿 （红1，绿） （红2，绿） ∴共有6种结果，每种结果出现的可能性相等，且摸出的2个球颜色相同的结果有2种． ∴P（摸出的2个球颜色相同）， P（摸出的2个球颜色不同）． 故该游戏方案对双方不公平． ►题型02 概率的综合应用 【典例】（2026·四川南充·一模）某校团委为了了解全校学生对“川北大木偶”的了解情况进行抽样调查，调查问卷中设计了四个选项：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．要求每名学生必选且只选一项．调查结束后，校团委根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)这次参与调查的学生有________人，B的圆心角是________度； (2)若该校共有名学生，请估计全校对川北大木偶有了解（包括A、B、C三类）的学生有多少人？ (3)调查发现，A选项的学生中有2名男生和2名女生的能力特别出众，校团委决定从这4名学生中随机选出2名学生参加南充市非遗文化展示活动．请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 【答案】(1)； (2)估计全校对川北大木偶有了解的学生有人 (3) 【分析】（1）根据D等级的人数和所占百分比求出调查的学生数，再用总人数减去其他等级的人数求出C的人数，根据B的人数和总人数得到圆心角度数；； （2）用总人数乘以全校对川北大木偶有了解（包括A、B、C三类）的学生学生所占百分比； （3）根据题意列出等可能情况，找出符合条件的情况，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：参与调查的学生有：（人）， B的圆心角为：， 故答案为：；； （2）解：（人）， 答：估计全校对川北大木偶有了解的学生有人； （3）解：画树状图如下： 由图可知，总共有种等可能结果，恰好抽到一男一女的情况有8种， ． 【变式1】（2026·福建泉州·一模）为了调查学生上课举手回答问题的情况，某校研究性学习小组利用视频分析，随机抓拍初三年（1）班甲、乙两组同学在某节数学课中的“举手次数”，记录如下：（单位：次） 序号 组别 抓拍1 抓拍2 抓拍3 抓拍4 抓拍5 抓拍6 甲组 11 11 14 15 13 14 乙组 11 13 13 12 14 15 (1)从本节课甲组6次抓拍中，随机抽取一次，则抽取到“举手次数”不小于14的概率为__________； (2)分别从甲、乙两组“举手次数”不小于14的抓拍数据中各随机抽取一次，若两次抽取“举手次数”的和不小于29的概率大于，则称该节课为“成功互动课堂”．请利用树状图或列表分析，判断该节课是否为“成功互动课堂”． 【答案】(1) (2)该节课是“成功互动课堂” 【分析】（1）先由表格找出甲组6次抓拍中，抽取到“举手次数”不小于14的次数，再根据概率公式计算即可； （2）先由表格找出甲、乙两组“举手次数”不小于14的抓拍数据，再画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得出结论． 【详解】（1）解：甲组6次抓拍中，“举手次数”不小于14的有3次，故抽取到“举手次数”不小于14的概率为； （2）解：分别从甲、乙两组“举手次数”不小于14的抓拍数据中各随机抽取一次，画出树状图如下： 一共有6种可能，其中两次抽取“举手次数”的和不小于29的情况有4种， ∴两次抽取“举手次数”的和不小于29的概率为：， ∵，即， ∴该节课是“成功互动课堂”． 【点睛】概率所求情况数与总情况数之比． 【变式2】（2026·安徽蚌埠·二模）综合与实践 【问题背景】修订后的《中华人民共和国食品安全法》自2025年12月1日起实施，《道德与法治》老师想了解班级学生对这部法律的了解程度，组织本校九年级学生参与“学习食品安全法，保障身体健康”的知识竞赛． 【数据收集与整理】竞赛成绩公布后，老师随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 学生竞赛成绩频数分布表 等级 成绩（x） 频数 频率 A 90<x≤100 a m B 80<x≤90 20 0.4 C 70<x≤80 16 n D x≤70 4 0.08 【问题解决】 (1)本次调查的学生为___________人，a=___________，m=___________，n=___________，并补全频数直方图； (2)若该校九年级学生数为1800人，估计这次竞赛成绩在80分以上（不含80分）的人数； (3)现从成绩等级为A的甲，乙，丙，丁4人中随机选出2人参加《中华人民共和国食品安全法》的宣传，请通过列表或画树状图的方法求出甲被选中的概率． 【答案】(1)，，，，图见解析 (2)人 (3) 【分析】（1）用等级的频数和频率可计算出本次调查的学生人数，然后用本次调查的人数减去其它各组的频数可得的值，用和等级的频数分别除以本次调查的学生人数得到、的值；然后补全频数分布直方图； （2）用总人数乘以样本中成绩在分以上（不含分）的频率即可； （3）画树状图展示所有等可能的结果数，找出甲被选中的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：由统计图表知，等级频数为，频率为， 本次调查的学生数为（人）， ，，； 补全频数直方图如下： （2）解：估计这次竞赛成绩在分以上（不含分）的人数为（人）； （3）解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中甲被选中的结果有种， （甲被选中的概率）． 【变式3】（2026·河南周口·一模）学习消防知识是青少年成长的“必修课”．某校九年级共有1300名学生，为了解九年级学生对消防知识的掌握情况，对九年级全体学生进行相关测试（满分100分），并选取了部分学生作为样本，根据他们的成绩（单位：分）绘制出如下的频数分布表． 九年级部分学生测试成绩频数分布表 组别 测试成绩/分 频数 A 1 B 3 C 5 D 12 E 4 根据以上信息，回答下列问题． (1)关于选取的部分学生，下列最合适的是　　　　　　．（填序号） ①随机选取该校九年级25名男生； ②随机选取该校九年级25名女生； ③随机选取该校九年级25名学生． (2)若90分以上为非常优秀，估计该校九年级这1300名学生对消防知识的掌握情况为非常优秀的人数． (3)为积极促进学生对消防知识的掌握，学校计划从本次测试在90分以上的1名女同学和3名男同学中，随机选择两名同学给全校同学分享学习消防知识的心得与方法，请用列表或画树状图的方法，求选择的两名同学恰好是一男一女的概率． 【答案】(1)③ (2)208 (3) 【分析】（1）利用样本的代表性即可作出判断； （2）由全校总人数乘以达到优秀的学生人数所占的比例即可； （3）列表，共有12种等可能的结果，其中选择的两位同学恰好是一位男生和一位女生的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：随机选取该校25名男生或选取该校25名女生，这些对象都缺乏代表性和广泛性，得到的结果也缺乏准确性， 随机选取该校九年级25名学生符合题意； （2）解：选取的学生中90分以上的人数有4人，本次选取的学生人数为25人， ∴九年级1300名学生对消防知识的掌握情况为非常优秀的学生人数约为（人）； （3）解：记三个男生分别为男1，男2，男3，列表如下： 女 男1 男2 男3 女 （男1，女） （男2，女） （男3，女） 男1 （女，男1） （男2，男1） （男3，男1） 男2 （女，男2） （男1，男2） （男3，男2） 男3 （女，男3） （男1，男3） （男2，男3） 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中选择的两位同学恰好是一位男生和一位女生的结果有6种， ∴P（选择的两位同学恰好是一男一女）＝＝． 突破一 概率的实践探究问题 【典例】（25-26九年级下·安徽安庆·月考）【项目背景】为切实关心青少年身心健康，安师中学积极开展“我运动，我快乐，我健康”的阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等．该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计． 【数据收集与整理】 （一）现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：米）进行整理．A组：；B组：；C组：；D组：；E组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀． （二）该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个/分钟）进行统计，成绩统计表如下． 一分钟限时跳绳比赛成绩统计表 成绩（个/分钟） 60~100 101~130 131~160 161~190 人数 5 8 23 a 【数据分析与应用】 任务一  掷实心球的女生有______人；其中成绩合格的有______人； 任务二  掷实心球的女生成绩的中位数落在哪一组？请说明理由； 任务三  将跳绳个数在161~190的选手依次记为，从中随机抽取两名选手做经验交流．请用树状图或列表法求恰好抽取到选手的概率． 【答案】任务一：50，45；任务二：成绩的中位数落在C组，见解析；任务三： 【分析】任务一、根据掷实心球的女生的人数和占比可求掷实心球的女生总人数； 任务二、根据中位数的定义求解即可； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽取到选手的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：任务一、由题意知A组占，有5人， 所以掷实心球的女生的人数为：（人）． 因为只有A组的女生成绩不合格，所以合格人数为：（人）； 任务二、将这50个女生的成绩由低到高分组排列，A组有5人，B组有10人，C组有15人，D组有15人，E组有5人，所以成绩的中位数落在C组； 任务三  由成绩统计表得跳绳个数在161～190的选手共有4人，依次记为，画树状图如下： 共有12种不同的情况，且每一种可能性都相同，其中恰好抽到选手的有两种， ∴恰好抽到选手的概率为． 【变式1】（2026·上海杨浦·二模）小明正在进行“关于生物遗传概率的探究”： 他从互联网上收集到了这些信息： 1．相对性状：同种生物同一性状的不同表现形式（如卷发、直发、双眼皮、单眼皮）； 2．显隐性：题目中标注“显性”的性状，只要有1个显性基因就会表现（如 表现卷发）；“隐性”性状必须有2个隐性基因才会表现（如表现直发）； 3．基因型：用字母表示基因组成，显性基因用大写（D、A、B），隐性基因用小写（d、a、b）； 显性性状基因型：2种可能（纯合子：如，2个显性基因；杂合子：如，1显1隐）； 隐性性状基因型：只有1种（纯合子：如，2个隐性基因）； 4．遗传规律：亲代会将一对基因（例如：）中的1个（例如：D）传给子代，子代的一对基因来自父亲和母亲； 5．独立遗传：本题三对性状的基因互不影响》 已知性状显隐性（均为常染色体遗传） ①毛发直卷：卷发（D）对直发（d）为显性（表现卷发，表现直发）； ②眼睑形状：双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性（表现双眼皮，表现单眼皮）； ③拇指形态：直拇指（B）对弯拇指（b）为显性（表现直拇指，表现弯拇指）． 小明的数学老师提出了下列问题： (1)一对卷发夫妇，丈夫基因型为，妻子基因型为，求二人生育一个直发孩子的概率． (2)一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子，据此先判断夫妇的基因型，再求二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的概率． (3)已知男性基因型为（卷发、直拇指），女性基因型为（直发、直拇指），求二人生育一个卷发、弯拇指孩子的概率． (4)一对卷发夫妇，男方父母均为“卷发、单眼皮”（且男方父亲为卷发纯合子，男方母亲为卷发杂合子），女方母亲为“直发、单眼皮”、女方父亲为“卷发、双眼皮（纯合子）”．求这对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率． 【答案】(1) (2)夫妇基因型均为，概率为 (3) (4) 【分析】（1）根据题意，两人无法生出基因为的孩子，即可得出结果； （2）根据单眼皮为隐性，双眼皮为显性，进而得到夫妇的基因为，列表法求出概率即可； （3）根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可； （4）根据题意，得到男方的基因型为或，概率均为，女方的基因型为，再求出男方的基因型为时，生出一个直发、单眼皮孩子的概率，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵卷发（D）对直发（d）为显性，丈夫基因型为，妻子基因型为， ∴无法得到基因型为的孩子，即二人不可能生育一个直发孩子， ∴； （2）解：∵双眼皮（A）对单眼皮（a）为显性，且一对双眼皮夫妇，生育了1个单眼皮孩子， ∴孩子的基因型为， ∴夫妇的基因型均为， 列表如下： A a A a 共有4种等可能的结果，其中二人再生育一个双眼皮纯合子孩子的结果有1种， ∴； （3）解：由题意，列表如下： 共有8种等可能的结果，其中二人生育一个卷发、弯拇指孩子的结果只有1种， ∴； （4）解：由题意，男方父亲的基因型为，母亲的基因型为，女方父亲的基因型为，母亲的基因型为， ∴男方的基因型为或，概率均为，女方的基因型为， 当男方的基因型为时，孩子的头发不能是直发， 当男方的基因型为时，列表如下： 共有8种等可能的结果，其中生育一个直发、单眼皮孩子的结果只有1种， ∴， 又∵男方的基因型为的概率为， ∴该对夫妇生育一个直发、单眼皮孩子的概率为． 【变式2】（2026·安徽安庆·模拟预测）综合与实践 【项目主题】一种基于等可能假设的概率模型：几何概率． 【项目准备】 （1）基本原理：设想每个结果是一个点，所有结果的点组成一个区域G，而组成事件A的结果是G中的部分区域g，G，g可以是直线上的线段，也可以是平面或空间的区域．因此，这种概率可以表示为两个线段的长度之比，或两个平面区域的面积之比，或两个空间区域的体积之比．常用公式：①如果是在线段上，；②如果是在平面图形上，；③如果是在立体图形上，． （2）初步探究： 场景1：假设有一根长的绳子，随机在绳子上画一个点，想知道点落在绳子中间段（从到）的概率． 分析：目标线段长度：，总线段长度：，则概率①________； 场景2：一个操场是长、宽的长方形，里面有一个篮球场是长、宽的长方形．如果你随机往操场扔一个球，球落在篮球场内的概率是多少？ 分析：操场的面积：，篮球场的面积：，概率②_________； 【实践应用】现在利用这个模型解决一个生活中的问题． （1）项目条件：小明每天早上之间随机出门赶到公交站，公交车每天之间随机到达公交站，小明能赶上公交车的概率是多少？ （2）原理分析：用“平面直角坐标系”把“小明赶到公交站时间”和“公交车到达时间”的所有可能情况变成一个矩形区域，再找出“能赶上公交”的区域，用“面积比例”算概率； （3）实施步骤： 第一步：定义“时间变量”，把抽象时间变具体——为了方便计算，我们给时间赋上数字（去掉“7点”，只算分钟）设小明赶到公交站时间为x分钟：就是，就是，所以x的取值范围是．（所有可能的赶到公交站时间）； 第二步：画“所有可能情况”的图形（总区域）——我们用“平面直角坐标系”来表示．横轴（x轴）：小明赶到公交站时间（0到），纵轴（y轴）：公交车到达时间（10到）；所有可能的情况，就是坐标系里一个“矩形”，计算矩形的面积（总度量）：矩形面积③_________． 第三步：找“能赶上公交”的条件（符合条件的区域）——小明能赶上公交，必须满足：小明赶到公交站时间≤公交车到达时间，也就是． 先在矩形里画一条直线（这条线表示“赶到公交站时间到达时间”），满足的区域，是直线上及其④________（填写“左侧”或“右侧”）的部分． 第四步：计算符合条件的面积和概率——符合条件的面积⑤________，小明能赶上公交车的概率⑥________（精确到）． 【项目总结】根据以上分析，几何概率可以解决生活中的问题． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________． 【答案】①；②；③450；④左侧；⑤；⑥ 【分析】本题考查了综合实践问题，求事件的概率，正确理解题意是关键．根据题中的基本原理逐一求解即可． 【详解】解：①目标线段长度：，总线段长度：，则概率为． 故答案为：． ②操场的面积：，篮球场的面积：，则概率为． 故答案为：． ③根据图形可知，矩形的面积． 故答案为：450． ④满足的区域，即的区域，由图形可知，该区域是直线上及其左侧． 故答案为：左侧． ⑤对于直线，令，则；令，则； 的区域的面积为． 故答案为：． ⑥小明能赶上公交车的概率． 故答案为：． 【变式3】（2026·福建厦门·一模）圆周率是指圆的周长与其直径的比值，是无限不循环小数，其常用近似值可表示为3.141592653……．古往今来，历代中外数学家均围绕圆周率的精确估算展开了深入的探索，产生了很多方法，如我国魏晋时期数学家刘徽首创的“割圆术”，此外还有如下方法： 1．利用“布丰投针试验”估算 1777年，法国数学家布丰设计了著名的投针试验：如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为的针任意投掷在这个平面上．针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值．某数学兴趣小组利用计算机模拟该试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值________附近（结果精确到0.001）；根据上述数据请你估计的近似值为________（精确到0.01）． 2．利用“莱布尼茨无穷级数”逼近 17世纪，德国数学家莱布尼茨创立微积分，推导出计算的另一种表达式 （n为非负整数） 记，则； 当时，，； 当时，，； 当时，，； ……随着n增大，逐渐逼近，的值越接近的值． 问题2：当与的常用近似值的绝对差值小于0.21时，求n的最小值． 【答案】问题1：0.318；；问题2： 【分析】本题考查根据频率估计概率，解不等式，代数式求值； 问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值0.318附近，即，再代入计算即可； 问题2：根据题意，解得，再逐个取的值，一直到满足条件即可． 【详解】解：问题1：观察试验数据，当试验次数逐渐增大时，相交频率逐渐稳定在数值0.318附近，即， ∵，， ∴， 解得， ∴估计的近似值为， 故答案为：0.318；； 问题2：当与的常用近似值的绝对差值小于0.21时，即， 解得， ∵当时，，，不满足； 当时，，，不满足； 当时，，，不满足； 当时，，，不满足； 当时，，，满足； ∴n的最小值． 1．（2026·广东佛山·一模）在“溯源经典，致敬先贤”数学文化节中，小明从我国古代5位著名数学家：祖冲之、刘徽、赵爽、杨辉、秦九韶中，随机选取一位介绍其生平事迹，赵爽被选中的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率公式：概率等于所求事件的结果数除以所有等可能结果的总数即可计算． 【详解】解：∵从5位数学家中随机选取一位，所有等可能的结果共有5种， 其中赵爽被选中的结果只有1种， ∴赵爽被选中的概率为． 2．（2026·山东滨州·一模）甲、乙两位同学在一次试验中统计了某一结果出现的频率，给出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　　） A．掷一枚正六面体的骰子，出现6点的概率 B．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率 C．任意写出一个整数，能被2整除的概率 D．一个袋子中装着只有颜色不同其他都相同的2个红球和1个黄球，从中任意取出一个球是黄球的概率 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 【详解】解：由图可得该试验的概率在之间 对于A，骰子上共有6个数，出现6点的概率为 ，故A选项错误； 对于B，掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为 ，故B选项错误； 对于C，任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故C选项错误； 对于D，摸到黄球的概率为 ，故D选项正确. 3．（2026·河北沧州·一模）某烘焙店对蛋挞进行了A，B，C三个方案的改进，如图是10位顾客对每种方案的整体口感评分的折线图，随机抽取一位顾客，在这三个方案中最喜爱方案C的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察折线图，找出最喜爱方案C的人数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：由折线图知：最喜爱方案C的顾客为②、⑤、⑨，共3人， ∴最喜爱方案C的概率是． 4．（2026·重庆·一模）一个不透明的袋子中，装有除颜色外均相同的白球和红球共个，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中白球的个数为______． 【答案】 【分析】根据用频率估计概率，得到摸到白球的概率约为，结合总球数计算白球个数即可． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后，摸到白球的频率约为， ∴由用频率估计概率可得，估计摸到白球的概率为， 又∵袋中白球和红球共个， ∴估计袋中白球的个数为：． 5．（2026·重庆·模拟预测）2026年全国铁路一季度调图自2026年1月26日起施行，重庆北站到成都东站的列车车次、时间有所变化．2月6日下午放假后，小懂准备从重庆北站乘坐高铁前往成都东站，他在18点30分左右可到达重庆北站，进站安检、检票、下站台乘车平均需约15分钟，他想在19点25分之前从重庆北站出发．假设小懂的出行预算足够，则在下表中18点30分到19点30分时段的列车，符合要求的概率是___________． 车次 D2373 D637 G3357 G8634 D2237 G3480 D953 G8684 D361 G978 G1015 D3057 列车类型 动车 动车 高铁 高铁 动车 高铁 动车 高铁 动车 高铁 高铁 动车 （重庆北站）发车时间 18∶33 18∶38 18∶41 18∶47 18∶50 19∶01 19∶06 19∶06 19∶12 19∶17 19∶23 19∶29 （成都东站）到站时间 20∶28 20∶33 21∶38 20∶02 20∶45 20∶37 21∶01 21∶09 21∶06 20∶45 21∶59 21∶46 【答案】 【分析】先确定该时段列车的总数量，再根据小懂的时间条件筛选出符合要求的列车数量，最后依据概率的定义计算概率． 【详解】由表格可知，18点30分到19点30分时段的列车总共有12列． 根据题意，小懂 18∶30 到达重庆北站，进站安检、检票共需 15 分钟，因此他最早可乘车的发车时间为： 分钟 他想在 19∶25 之前出发，所以发车时间需满足： 发车时间 逐一核对列车发车时间，符合要求的列车有G8634、G3480、G8684、G978、G1015，共8列． 根据概率的定义，符合要求的概率为． 故答案为：． 6．（2026·云南·模拟预测）2025年6月1日是第75个国际儿童节．某学校组织了一场特色活动，活动设有A．非遗时装展，B．舞蹈情景剧，C．亲子朗诵会，D．科创竞技赛．该校要求每人从四个活动中随机选择一个活动参加，且每个活动被选到的可能性相等，小昆和小明两名同学各自选择了喜欢的一个活动，记小昆的选择为x，小明的选择为y． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求小昆和小明选择不同活动的概率． 【答案】(1)所有可能出现的结果有16种，见解析 (2) 【分析】（1）根据题意列出表格，根据表格即可求解； （2）根据表格求出概率即可； 【详解】（1）解：列表如下： A B C D A B C D ∴由表可知，所有可能出现的结果有16种， （2）解：由（1）得小昆和小明选择不同活动的结果有12种，分别为，，，，，，，，，，，， ∴． 7．（2026·山东潍坊·一模）近年来，我市坚持以人民为中心的发展思想，将普惠性，基础性，兜底性民生建设作为重中之重，积极探索在发展中保障和改善民生的新路径，为人民群众带来更多获得感和幸福感．按照市委市政府工作安排，为认真贯彻落实市两会提出的免费乘坐公交民生实事，公交公司从2023年5月起，实行本市内免费乘坐公交车政策．某小区物业为了解本小区居民免费乘车情况和满意度，设计了一份问卷调查，并在该小区随机调查了50人，并将部分调查数据制成如下两个统计图． 调查问卷 年龄_____岁 具体地址：_____ 问题1：您乘坐免费公交车吗？_____ A．从不坐 B．偶尔坐 C．经常坐 问题2：若您乘坐免费公交车，请对乘车体验作出评价 _____ A．满意 B．不太满意 请根据统计图回答问题： (1)①调查的50人中，55岁以上的有_________人，m的值为_________； ②物业人员准备从已经筛选出的经常乘坐免费公交车的调查问卷中，随机抽取一份问卷，则恰好抽到乘车体验为“满意”的概率为_________； (2)本次活动结束后，物业人员从经常乘车但不太满意的几位居民中，随机抽取两位到物业公司座谈并提出合理有效的解决乘坐免费公交车的方案．求恰好抽到20岁岁这个范围内的居民的概率． 【答案】(1)①30、10；②； (2)． 【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，统计表和简单的概率计算，能从表中获取信息和正确计算是解题的关键． （1）①用调查的总人数乘以55岁以上所占的百分比即可；②用1减去其余两项所占的百分比即可； （2）利用列表法或树状图法计算即可． 【详解】（1）解：①55岁以上的有（人）， ， ， 故答案为：30，10； ②恰好抽到乘车体验为“满意”的概率为， 故答案为：； （2）解：不满意的人有（人）， 设岁这个范围内不满意的居民为A，55岁以上的三位不满意的居民分别为， 根据题意，列表格如下∶ 二 一 A A 或画树状图如下： 由表格(或树状图)可知：随机选居民去参加座谈，共有12种等可能的情况，其中恰好选岁这个范围内居民的有6种情况，即，，，，，， ∴， 故答案为：． 1．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，O为正方形的中心，从正方形4个顶点及中心这5个点中，任选2个点，则这2个点之间的距离不大于正方形边长的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，点O为与的交点，假设正方形边长为a，求出正方形的斜边和斜边的一半，再根据题意画出树状图，选出符合题意的情况即可得出概率． 【详解】如图，连接，， ∴点O为与的交点， 设正方形边长为a，则，， 根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中符合题意的结果有16种， ∴所求概率为． 2．（2026·山西晋中·一模）为开展跨学科实践活动，某小组准备了四款功能不同的AI智能辅助软件：“智学助手”“思维导图大师”“速记精灵”“解题通”．小聪和小明各自从这四款软件中随机选择一款，若选择每款软件的可能性相同，则下列事件中，发生可能性最大的是（   ） A．两人选择的软件完全相同 B．两人选择的软件完全不同 C．小明选中“思维导图大师”，小聪选中“解题通” D．至少有一人选中“智学助手” 【答案】B 【分析】本题考查了简单事件的概率计算，掌握概率公式是解题的关键．先求出所有等可能的结果总数，再分别计算四个选项事件包含的结果数，求出概率后比较大小即可． 【详解】解：将“智学助手”、“思维导图大师”、“速记精灵”、“解题通”分别记为A、B、C、D，画树状图如下： ∴一共有16种等可能的结果． A选项：两人选择的软件完全相同的结果有4种，； B选项：两人选择的软件完全不同时，共种，； C选项：小明选中指定软件、小聪选中另一指定软件，结果只有1种，； D选项：“至少有一人选中‘智学助手’”包括：只有小明选中“智学助手”，只有小聪选中“智学助手”以及小明和小聪均选中“智学助手”这三种事件； 其中，只有小明选中“智学助手”，小聪任意选择剩下三种软件中的一种，此情况有3种不同的选法；同理，只有小聪选中“智学助手”，小明任意选择剩下三种软件中的一种，此情况有3种不同的选法；而两人均选中“智学助手”只有1种选法， 故符合题意的选法共7种， ∴； 比较概率得 ，即最大． 故选：B． 3．（2026·河北张家口·一模）如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，2，4，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点D的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】理解题意，熟练掌握列表法和概率公式是关键 根据题意列出表格，然后找出符合题意的情况，利用概率公式法求解即可 【详解】解：根据题意列表求和如下： 1 2 4 1 2 3 5 2 3 4 6 4 5 6 8 ∵点P经过两次运动后到达点D， ∴点P两次运动的数字和为3或8， 由表格得：共有9种等可能的结果，其中符合题意的有3种， ∴点P经过两次运动后到达点D的概率是 4．（2026·广西南宁·一模）小球从入口下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从②号出口落下的概率是______． 【答案】/ 【分析】根据题意，小球在每个交叉口有向左或向右两种可能且可能性相等，可以通过列举法列出所有可能的路径，找出从②号出口落下的路径数，利用概率公式求解． 【详解】解：由图可知，小球从入口落下，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．所有可能的路径共有4种，分别为： 第一层向左，第二层向左，从①号出口落下； 第一层向左，第二层向右，从②号出口落下； 第一层向右，第二层向左，从②号出口落下； 第一层向右，第二层向右，从③号出口落下． 其中从②号出口落下的情况有2种． 根据概率公式，小球从②号出口落下的概率． 5．（2025·福建福州·模拟预测）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率为______． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，设“东方魔板”的边长为，则“东方魔板”的面积为，根据七巧板中各图形的关系求出阴影部分的面积，点落在阴影部分的概率就是阴影部分的面积除以正方形的面积. 【详解】解：设“东方魔板”的边长为，则“东方魔板”的面积为， ， ， 在中，， ， ， 如下图所示，过点作， 则， ， 又， ， ， ， ， 在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率为． 故答案为： 6．（2026·广东广州·模拟预测）学校举办爱心义卖活动，各班都在操场上摆摊，小明和小红拿着零花钱去逛，想买些小文具，他们在一个摊位前看到一款很喜欢的帆布笔袋，标价20元/个．摊主给出了两种销售方式：方式1：直接按标价打八折，即16元；方式2：抽奖打折．每买一件，都先抽奖：袋子里有红、白、黄3个仅颜色不同的小球，先摸一个（记下颜色），放回搅匀，再摸一个．如果两次颜色相同，就算“中奖”，可按五折（10元）买下；否则按原价20元购买．小红觉得五折的优惠力度比八折大，想选方式2． (1)求小红以五折价格买到笔袋的概率； (2)小明说：“如果我们要买很多很多个，我估计选方式2不如方式1划算．”你同意小明的说法吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)同意小明的说法，理由见解析 【分析】（1）画出树状图，利用概率公式即可求解； （2）设买件该物件，分别求出选择2方式和选择1方式的总花费，比较后即可得到结论． 【详解】（1）解：依题意可列树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球同色的结果有3种， ∴两次摸出的球同色的概率， ∴小红以五折价格买到笔袋的概率为． （2）解：同意小明的说法，理由如下： 由（1）可知，两次摸出的球不同色的概率为， ∵对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性， ∴可以估计，若买很多很多该物件，以五折的价格买到该物件的频率为，以标价购买该物件的频率为， 设买件该物件，若选择2方式，可估计总花费为：（元）， 若选择1方式，总花费为：， ∵， ∴选择2方式不如1方式划算， ∴同意小明的说法． 1．（2025·山东东营·中考真题）盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案，它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回），则他们抽到的卡片图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法求概率，通过列举所有可能的抽取结果，再找出两人抽到卡片图案相同的结果，最后根据概率公式计算出相应概率． 【详解】解：记印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案的卡片分别为a，b，c，d，列表如下： a b c d a b c d 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽到的卡片图案相同的结果有4种， ∴所求概率为， 故选：D． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列举法求概率，列举所有可能结果红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝，然后用概率公式即可求解，掌握列举法求概率是解题的关键． 【详解】解：∵从红、蓝两种颜色中随机选取一种， ∴有红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝， ∴故相邻两个方格所涂颜色不同的概率是， 故选：． 3．（2025·湖北武汉·中考真题）掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字．下列事件是必然事件的是（    ） A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1 C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数 【答案】B 【分析】本题考查了事件分类．熟练掌握必然事件，不可能事件，随机事件的概念是解题的关键．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件． 分析各选项中两骰子点数和的可能情况，判断是否必然成立． 【详解】选项A：和为5的可能组合有（1,4）、（2,3）、（3,2）、（4,1），共4种，概率为，非必然事件． 选项B：两骰子最小点数为1，最小和为，因此和必定大于1，概率为1，是必然事件． 选项C：两骰子最大和为，无法超过12，概率为0，为不可能事件． 选项D：和为偶数的概率为，可能发生但不必然． 故选：B． 4．（2025·四川绵阳·中考真题）水是生命之源．水分子的化学式为，即1个水分子由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是__________． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有 24 种等可能性，其中这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的可能性有 12 种， ∴这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率为， 故答案为：． 5．（2025·北京·中考真题）某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 B 30 55 75 90 100 105 C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … （1）如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商_______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； （2）如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值为_______万元． 【答案】 【分析】本题考查列举等可能的结果，根据表格列举出增长量的变化是解题关键． （1）分别计算各经销商销售完第2台比第1台的利润的增长量，比较即可得答案； （2）分别求出一家分配时、四家分配时、三家分配时、两家分配时的最大利润，比较即可得答案． 【详解】解：（1）当时， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， 经销商的利润为，比时增加（万元）， ∵， ∴应向经销商分配2台设备． （2）当给这四家经销商中的一家分配时，最大利润为经销商的万元， 当分配给多家销售时： 当分配四家时，最大利润为（万元）， 当分配给三家时，最大利润为（万元）， 当分配给两家时，最大利润为（万元）或（万元）， 综上所述：企业可获得的总利润的最大值为万元． 故答案为：， 6．（2025·青海西宁·中考真题）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷． 调查问卷 年  月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是(   )(单选) A．玩偶        B．冰箱贴        C．创意摆件        D．手机挂件 【数据的收集与整理】 数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶ (1)本次抽样调查的样本容量是________； (2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________； 【做出合理估计】 (3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？ 【解决概率问题】 (4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率． 【答案】(1)120；(2)；(3)600人；(4)． 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合利用，树状图法求概率，从统计图中有效的获取信息是解题的关键； （1）用喜爱冰箱贴的人数除以所占的比例，求出样本容量即可； （2）用360度乘以喜爱玩偶的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （4）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：(1)； 故答案为：120； (2)喜爱玩偶的人数为， ； 故答案为：； (3)(人) 答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有600人． (4)根据题意，可以画出如下树状图： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的结果共有4种，即． 所以，P(甲，乙两人恰好获得同一类文创产品)． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $