第06讲 图形的相似与位似（复习讲义，1考点+12题型+1重点）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

四章 三角形 第06讲 图形的相似与位似 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 与比例相关的计算 题型01比例的性质相关计算 题型02利用设“k”法进行计算 题型03黄金分割 命题点二 相似多边形的性质 题型01利用相似多边形的性质求线段长度 题型02相似多边形的性质综合 命题点三 平行线分线段成比例 题型01由平行线分线段成比例求线段长度 题型02利用平行线分线段成比例判断比例式 题型03平行线分线段成比例与尺规作图 题型04利用平行线分线段成比例求比值 命题点四 位似图形及其应用 题型01利用位似图形的相关性质求解 题型02画已知图形放大或者缩小n倍后的图形 题型03坐标系与位似图形 05·重难突破·思维进阶 42 突破一 相似图形的实践与探究解答题压轴 06·优题精选·练能提分 49 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点一 平行线分线段成比例 1.核心定理：平行线分线段成比例 文字语言：两条直线被一组三条或更多相互平行的直线所截，所得的对应线段成比例。 符号语言：若，则，如图所示。 口诀：上比下=上比下；全比全=全比全。 2.核心推论：三角形中的平行线(重中之重)，这是中考考查最频繁的形式。 文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。 基本图形： A型图：平行线在三角形内部。若，则，如图所示。 X型图(8字型)：平行线在三角形外部(延长线相交)。若，则依然有，如图所示。 1．（2025·天津·一模）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，交边于点，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 过点作交的延长线于点，首先证明是等边三角形，解直角三角形求出，再利用平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点， 由作图可知，平分， ． ∵四边形是平行四边形， ． ． 是等边三角形． ． ， ． ． ，． ． ． ， ． ． 故选：A． 2．（2025·天津南开·一模）如图①，在中，D是边的中点，且．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图②所示）： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交线段于点M，交于点N； ②以点D为圆心，以长为半径画弧，交线段于点P，交线段于点R； ③以点P为圆心，以长为半径画弧，交于点Q，点Q与点C在直线同侧； ④作直线，交于点E． 则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线等分线段定、三角形中位线定理等知识点，说明是解题的关键． 由作图过程可得，可判定A正确；再根据平行线的判定定理可得，由平行线的性质可判定B选项；根据平行线等分线段定理可判断C选项；先说明是的中位线可得，而和不一定相等，据此可判定D选项． 【详解】解：由作图可知，故选项A正确， ∴， ∴，故选项B正确， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴，即，故选项C正确； ∵，， ∴是的中位线， ∴ ∵和不一定相等， ∴不一定成立，故选项D错误． 故选：D． 3．（2025·天津河西·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点B，C均落在格线上，点A在格点上． （Ⅰ）当C为小正方形一边的中点时，线段的长为______； （Ⅱ）以为直径作半圆，在线段上有一点P，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 画法见解析 【分析】（1）由勾股定理即可求解； （2）取格点，连接交于点，连接交于点，连接，与交点即为圆心，因为由正方形的轴对称性可知为中点，故，则，取与格线交点为点，则为中点，因为，连接并延长交于点，连接交于点，则，那么，则，由于为中位线，则，则，即平分，连接并延长与延长线交于点，则，那么，连接并延长与交点即为点，由于点为等腰三角形中线上一点，由轴对称性可得． 【详解】解：（1）如图： 由题意得：，， ∴， 故答案为：； （2）如图：点即为所作： 【点睛】本题考查了使用无刻度直尺作图，涉及勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，正方形的性质等知识点，难度大． 4．（2024·天津和平·三模）如图，在菱形中，对角线交于点O，点E为的中点，连接，．    （Ⅰ）的面积为__； （Ⅱ）若点F为的中点，连接交于点G，，则线段的长为__． 【答案】 12 【分析】（1）根据三角形中线求面积即可； （2）过点E作于点M，由菱形的性质，是的中位线，得，因此，推出，得到，从而求出的长，得到的长，求出的长，由三角形面积公式求出长，得到的长，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：（1）为的中点， ， ； （2）如图，过点E作于点M，     四边形为菱形， ， ， ， ， ， 为的中位线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形中线求面积，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，关键是过点E作于点M，证明，求出的长． 命题点一 与比例相关的计算 ►题型01 比例的性质相关计算 性质名称 条件 结论 解题思路 基本性质 比例化整式，交叉相乘 合比性质 分子加分母，整体比不变 分比性质 分子减分母，差比不变 合分比性质 出现和差结构直接用 等比性质 一串比例相等，分子和÷分母和 【典例】（2026·安徽阜阳·一模）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用分式的运算性质变形所求式子，再代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：． 【变式1】（2026·福建泉州·模拟预测）已知实数，满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题可根据已知比例关系，设参数表示和，再代入所求分式计算结果． 【详解】解：∵ ， ∴ 设，，其中， 将，代入，得． 【变式2】（2026·四川成都·一模）已知，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查比与比例的性质，掌握好相关知识是关键． 由已知比例关系设参数表示和，代入目标式化简求值． 【详解】解：由 ，设 ，（）， ∴． 故答案为： ►题型02 利用设“k”法进行计算 【典例】（2026·上海松江·一模）的三边分别是、、，且， (1)如果的周长为60，求的值； (2)如果的面积为 60，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比例的性质和勾股定理逆定理． （1）设 ，则，利用周长公式列方程求解即可； （2）设 ，则，通过勾股定理逆定理判断直角三角形，再利用面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设 ， 则， ∵的周长为60， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设 ， 则， ∵，， ∴， 即是直角三角形，， ∵的面积为60， ∴， 即， 解得：（负值舍去）， ∴． 【变式2】（2025·浙江杭州·一模）已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)线段的长为12，线段的长为3 (2)线段的长为6 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵， 设，， ∵， ∴， ， ，， 线段的长为12，线段的长为3． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为6． 【变式3】（2025·上海徐汇·一模）已知：． (1)求代数式的值： (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． （1）设，利用比例性质得到，，，然后把它们分别代入所求的代数式值，然后进行分式的化简计算； （2）把，，代入中得到关于的方程，然后求出，从而得到、、的值． 【详解】（1）解：设，则，，， 所以原式； （2）解：把，，代入得， 解得， 所以，，． ►题型03 黄金分割 黄金分割 解题思路 一、先认准三个量 一条线段AB被点C黄金分割，一定有三个量： 全长AB、较长段AC、较短线段BC，且。 二、核心等式（一定要背） 变形： 三、黄金比（固定值） 【典例】（2026·山西吕梁·一模）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，演奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点处，若，则琴弦的长为_______． 【答案】 【分析】直接利用题目给出的比例关系，将已知的琴弦总长度代入计算，即可求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式1】（2026·四川成都·一模）如图，某种蜻蜓的尾巴长度与整个身躯的长度之比满足黄金比，即为黄金比，若的长度为，则的长度为_____． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义列式计算即可． 【详解】解：∵某种蜻蜓的尾巴长度与整个身躯的长度之比满足黄金比， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2026·上海金山·一模）数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高为468米，其上球体点位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果，且．那么上球体到塔底的距离为_____米．（结果保留根号的形式） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，解题关键是掌握黄金分割比． 根据黄金分割比求解即可． 【详解】解：∵点是线段上的一个黄金分割点，且米，， ∴（米）． 故答案为：． 命题点二 相似多边形的性质 ►题型01 利用相似多边形的性质求线段长度 【典例】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、C在坐标轴上，矩形与矩形是以点O为位似中心的位似图形，点B的坐标为．若，则的长是（　　） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】D 【分析】先由点的坐标确定矩形的边长；再结合得到新边长；接着利用位似图形对应线段成比例的性质，列出比例式，计算出；最后用减去，得到结论． 【详解】解：∵点的坐标为，矩形与矩形是以点为位似中心的位似图形， ∴，，即，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【变式1】（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，四边形四边形，则________． 【答案】20 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 利用相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，分别为，两边的中点， ， 两个矩形与原矩形相似， ， ， ， ， ， 故答案为：． ►题型02 相似多边形的性质综合 【典例】（2025·山东菏泽·三模）框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注： 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前面内墙保留宽的空地，其他三面内墙各保留宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽度为，则长为． 根据题意，得 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 所以温室的长为，宽为 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． 老师批改时在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？” (1)请指出小明解答中存在的问题，并给出正确的解答过程． (2)如图，矩形在矩形的内部， ，，且．设与，与，与，与之间的距离分别为，要使矩形矩形，应满足什么条件？请说明理由． 【答案】(1)小明理解题意错误，题干不是矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为；而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为， (2)． 【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可； （2）由使矩形矩形，利用相似多边形的性质，可得＝ ，然后利用比例的性质． 【详解】（1）解：小明理解题意错误，题干不是矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为；而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为， 解：设温室的宽为xm，则长为，则矩形蔬菜种植区域的宽为m，长为m． ∵， 解得：，（不合题意，舍去）， 所以温室的长为， 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． （2）解：要使矩形矩形， 就要＝，即， 即 ， 即， ∴， ． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质及比例的性质，与图形有关的一元二次方程的应用；如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 【变式1】（2025·山东济宁·一模）按照国际标准，打印用的A系列纸为矩形．如图1，将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸……并且通过以上操作得到的矩形纸都是相似图形．        图1                               图2        图3 (1)请直接写出A系列纸的长宽比为________； (2)将纸按如图2所示的方式折叠，求证：； (3)在图2的最后一幅图中，记与的交点为点，连接和，得到图3，求证：四边形为菱形． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查矩形与折叠，相似多边形的性质，菱形的判定和勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）设A系列纸的长为宽为，则对折后形成的矩形的长为，宽为，根据对折得到的矩形纸都是相似图形，列出比例式进行求解即可； （2）由（1）可知：，折叠推出四边形为正方形，进而求得，即可得证； （3）易得，得到，折叠得到，，，进而推出，即可得证． 【详解】（1）解：设A系列纸的长为宽为，则对折后形成的矩形的长为，宽为， ∵通过对折得到的矩形纸都是相似图形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）证明：设，由（1）可得：， ∵矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． （3）由题意可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，等腰面积为． (1)如图②，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (2)如图③，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (3)延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理，正方形相似性质，规律探索，找到规律是解决问题的关键． （1）根据勾股定理可知，所求为以为边长的正方形面积，因为正方形皆相似，利用等腰面积为求出以为边长的正方形面积，再根据已知得到，即可求解． （2）利用（1）的方法求解即可； （3）利用（1）的方法找到规律求解即可． 【详解】（1）解：∵等腰， ， ∴以为边长的正方形面积为1， ∵， ， ∵正方形皆相似， ∴， ∴以为边长的正方形面积为4， 由勾股定理得； 故答案为：4； （2）同（1）得： ， ∴， ∴以为边长的正方形面积为， ； 故答案为：16； （3）同上所得：， ， ∴， ∴以为边长的正方形面积为， ． 故答案为：． 命题点三 平行线分线段成比例 ►题型01 由平行线分线段成比例求线段长度 【典例】（2026·四川成都·一模）如图，直线，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到，即，求出即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 解得：． 故选：D． 【变式1】（2025·河南濮阳·一模）如图，已知中，，若，，，则的长是（   ） A．3 B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理；由平行线分线段成比例定理得出比例式求出是解决问题的关键．由平行线分线段成比例定理得出比例式求出，即可得出结果． 【详解】解：，， ， ∵， ， ． 故选：A． 【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． ►题型02 利用平行线分线段成比例判断比例式 【典例】（2026·上海闵行·一模）如图，已知，直线与边分别相交于点，直线与边分别相交于点，，那么下列比例式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，先结合，得出，，，，再进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，则，故该选项不符合题意； B、∵，由平行线分线段成比例定理，设，， 则，，， ，， ，， ∴， ∴， ∴，故该选项符合题意； C、∵，由平行线分线段成比例定理，设，， 则，，， ，， ，， ，， 则不一定相等， 则不一定相等，故该选项不符合题意； D、∵，则，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（2025·上海闵行·一模）已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．利用平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、，不能判断，本选项不符合题意； B、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； C、，即，能判断，本选项符合题意； D、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 根据平行四边形的性质得出，，，，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故A正确，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴，故B正确，不符合题意； C．∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴，故C错误，符合题意． D．∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：C． ►题型03 平行线分线段成比例与尺规作图 【典例】（2024·天津·一模）如图，在中，，分别以A，为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别交，于点，，连接，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直平分线的作法、垂直平分线的性质、平行等分线段定理、三角形中位线等知识点，根据作法得到是线段的垂直平分线是解题的关键． 根据作法得到是线段的垂直平分线，然后根据垂直平分线的性质、平行等分线段定理、三角形中位线的性质解答即可． 【详解】解：根据作法可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，即，则 ∴是的中位线， ∴． 故选B． 【变式1】（2025·海南·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点；②作直线，分别交于点，连接．若，则的周长是（    ） A． B． C．12 D．18 【答案】D 【分析】本题考查作图—垂直平分线的作法、直线平行的性质、平行直线分线段成比例定理、含角的直角三角形的性质．根据作图方法可知垂直平分线段，从而可得，根据可得，再结合即可求得答案． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：D． 【变式2】（2025·山东济南·一模）如图．以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． 分别以，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点． 作射线交于点． 分别以，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于，两点．作直线，交，分别于点，． 若，， ，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图复杂作图，菱形的判定和性质，平行成比例线段，垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键； 利用作法得平分，垂直平分，所以，，，再证明四边形为菱形，得到，然后利用平行线分线段成比例定理计算的长． 【详解】解：由作法得平分，垂直平分，连接，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， 而， ∴四边形为菱形， ， ， ， 即， ； 故选：C ►题型04 利用平行线分线段成比例求比值 【典例】（2025·陕西汉中·一模）如图，在中，、分别是边、上的点，连接，，若，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题关键是识别平行线对应的线段比例关系． 由，得，结合的比例计算，进而得． 【详解】， ． ， ． 故选：C． 【变式1】（2024·广东·二模）如图，为⊙的弦延长线上一点，切⊙于C，连接交于E，若为等边三角形，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的性质，含30度直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确表示出和的长度．连接，过点B作于点F，由切线的性质、等边三角形的性质、以及直角三角形的性质，分别求出和的长度，再利用平行线分线段成比例，即可求出答案． 【详解】解：连接，过点B作于点F， ∵切于C， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】（2025·陕西商洛·模拟预测）如图，在中，点是边的中点，连接，交于点，过点作交于点，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，由平行四边形的性质可得，，证明得出，再由平行线分线段成比例定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 命题点四 位似图形及其应用 ►题型01 利用位似图形的相关性质求解 【典例】（2026·福建泉州·一模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算，即可得到答案． 【详解】解： 和是以点O为位似中心的位似图形， ，， ，即相似比为， 与的面积比为． 故选：D． 【变式1】（2026·重庆·模拟预测）如图，和关于点O位似，若，的周长为8，则的周长为（   ） A．24 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了图形位似的性质，熟练掌握图形位似的性质是关键．根据图形位似的性质求解即可． 【详解】解：， ， 和关于点O位似， ， ， 的周长的周长． 故选：B． 【变式2】（2025·云南·模拟预测）如图所示，与是位似图形，点为位似中心，且 若的周长为6，则的周长为（　　） A．4 B． C．12 D．32 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的概念、相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：由题意知：，， ∴， ∴， 即和的相似比为， ∴和的周长比为， ∵的周长为6， ∴的周长为12． 故选：C ． ►题型02 画已知图形放大或者缩小n倍后的图形 一、作图步骤 1.确定位似中心 看清题目要求：中心在原点、在图形上，还是在指定点。 2.找出原图形的关键点 一般是多边形的各个顶点，把它们标出来。 3.分别连接关键点与位似中心 把每个顶点和位似中心连起来，并延长。 4.按位似比确定新顶点的位置 ①放大/缩小k倍，就在连线上从中心开始，取长度为原来k倍的点。 ②同侧：新点和原图在位似中心同一边。 ③异侧：新点在位似中心另一边。 5.顺次连接新的顶点 按原图顶点顺序，把新点连起来，就是放大或缩小后的位似图形。 【典例】（2026·安徽蚌埠·一模）无刻度直尺作图如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点（网格线的交点）． (1)将绕点C逆时针旋转，得到请画出． (2)以点O为位似中心，将在网格中放大为原来的2倍，得到，请画出． (3)请仅用无刻度直尺，描出上的点D，使． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3)作图见详解 【分析】（1）分别确定点A、B绕点C逆时针旋转后的对应点、，然后依次连接、、C，得到； （2）分别连接、、并延长，使，，，得到对应点、、，依次连接、、，得到； （3）结合相似三角形，利用平行线分线段成比例的性质，在网格中通过构造合适的平行线来确定点D的位置，使得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，即为所求： （3）解：如图所示，点D即为所求： 过点A向右沿水平方向2格处取点E，过点C向左沿水平方向3格处取点F，连接，，，记与交点为D， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴点D即为所求． 【变式1】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出与关于y轴对称的； (2)以原点O为位似中心在第三象限画出，使它与的相似比为2，并写出点的坐标； (3)仅利用无刻度直尺在线段上找一点P，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)见解析 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到的坐标，然后描点连线得到即可； （2）把A、B、C的坐标都乘以得到的坐标，然后描点连线即可； （3）如图先找到三点，得到，，， 进而，再延长与交于点，进而可得到． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求，； （3）解：如图所示，点即为所求． 【变式2】（2025·安徽亳州·一模）如图，是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，已知顶点在网格线的交点上． (1)以点A为位似中心，利用网格画出的位似图形，使与的相似比为2； (2)将先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，画出． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查位似和平移，熟练掌握位似和平移的性质是解题的关键： （1）根据位似图形的性质，倍长至点，画出即可； （2）根据平移规则，画出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求． ►题型03 坐标系与位似图形 【典例】（2026·浙江温州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，根据点、的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，且点的对应点为， ∴与位似比为， ∴点的对应点的坐标为． 【变式1】（2025·广东深圳·三模）如图，已知与是相似比为的位似图形，点O为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似变换，根据所给图形得到各对应点之间的坐标变化规律是解题的关键． 首先根据与是相似比为的位似图形，可知对应点的横纵坐标均为原来的倍，即可得到答案． 【详解】解：∵，与是相似比为的位似图形，点O为位似中心， ∴的坐标是 故选：B． 【变式2】（2026·浙江·模拟预测）如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点与对应点的坐标分别为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换，掌握根据题意求出位似图形的位似比是解题的关键． 根据点、的坐标求出与的位似比，根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：与是以坐标原点为位似中心的位似图形，点与点的坐标分别为， 与的位似比， 点C坐标为， 点的坐标为． 故选：B． 突破一 相似图形的实践与探究解答题压轴 【典例】（25-26九年级上·上海普陀·期末）【发现问题】顺次连接对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得到一个菱形．小普同学进一步思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个菱形，使其满足四个顶点分别落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？ 【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下的一段数学语言：如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别在边、、、上，且，___________，如果四边形是菱形，那么怎样画出这个菱形呢？ 【分析问题】小普同学在与的交流中，给出了一种解决问题的思考路径： 【解决问题】 (1)根据图，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即“___________”）； (2)根据小普同学与的对话，设，，用含a、b的代数式表示k； (3)在图中，画出符合要求的菱形，写出确定点E的作图步骤，并保留确定点E的作图痕迹． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查平行线分线段成比例，平行四边形的判定； （1）根据是平行四边形，添加条件即可； （2）由题意得，，计算即可解答； （3）延长，利用圆规在延长线上截取，连接；作，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可知是平行四边形，则需添加； （2）解：∵，，， ∴， ∴，； ∵，，， ∴，； ∴ ∴， （3）解：如图所示即为所求： 延长，利用圆规在延长线上截取，连接； 作，交边于点E即可． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多 …．． 【问题提出】 （1）如 图 1 ，是的角平分线，求证 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”． 请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明． 【作图应用】 （2）如图2，是的弦，在上作出点P，使得 要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【深度思考】                                                               （3）如图3， 是的角平分线，若，，则的面积最大值是 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3． 【分析】（1）小明思路，作，利用平行线分线段成比例定理得到，再利用等角对等边求得，即可证明结论； 小红思路，作，利用面积法即可证明结论； （2）作弦的垂直平分线，再作线段的垂直平分线，利用垂径定理即可求解； （3）作的外角平分线，交的延长线于D，在的延长线上截取，易得，由（1）结论可得，由等量代换可得，利用（1）中的结论得到，求得的半径为，当P运动到点，时，的面积最大，计算即可． 【详解】解：（1）小明思路：过点B作交的延长线于点D， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； 小红思路：分别过点P，C作，垂足为D，E，F， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴． ∴； （2）解：①作弦的垂直平分线，交弦于点D，交于点E， 由垂径定理得， ②再作线段的垂直平分线，交弦于点C， ③连接并延长交于点P， 点P即为所求； ∵， ∴平分， ∵， ∴， 由（1）的结论得， 同理，点也为所求； （3）解：如图，作的外角平分线，交的延长线于D，    在的延长线上截取， ∵是的外角平分线， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴点P在以半径为的上， 如图，当P运动到点，时，   的面积最大，最大值为， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，平行线分线段成比例定理，垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【变式2】（2025·福建福州·模拟预测）综合与实践——黄金矩形． 宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自然界中，今天我们利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！ 如图1，矩形纸片的宽，小明按如下步骤操作． 第一步：如图2，沿折叠．使点落在长边上的点处，连接，得正方形； 第二步：对折正方形，使边与重合，得折痕，并展开，如图3，则； 第三步：连接，沿折叠，使点落在延长线上的点处，如图4，则的长为①__________； 第四步：过点折叠纸片，得折痕，使，交于点，并展开，如图5，则矩形为黄金矩形． (1)补全小明操作过程中①所缺的内容__________； (2)小明发现，在图5中，除了黄金矩形外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予证明； (3)小明进一步探究，在黄金矩形中折去正方形，留下的矩形为黄金矩形．类似于“勾股树”．黄金矩形也能不断“生长”，可以在图6中继续折出更多的黄金矩形、黄金矩形，……如图7.若用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连接起来，便会形成一条曲线，通常被称为“黄金螺线”．自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子．若，记的弧长分别为，请探究满足的数量关系． 【答案】(1) (2)另一个黄金矩形是矩形，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质及勾股定理可算得答案； （2）根据黄金矩形的定义及正方形的性质，可得四边形为黄金矩形； （3）在黄金矩形中，设，则，利用题中给出的信息，分别求出，然后分别验证选项是否成立即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 在中，由勾股定理得：， 由折叠的性质可得，， 故答案为：； （2）图5中还有黄金矩形， 证明：， ， ， 矩形是黄金矩形； （3）解：在黄金矩形中，设，则， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，正方形的性质，黄金矩形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 1．（2026·河北沧州·模拟预测）嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段的应用（或相似图形的性质）．根据照片中的物体长度与实际物体长度成比例（即比例尺固定），列出比例式求解即可． 【详解】解：设该古籍的实际长度为 照片上物体的长度与实际物体的长度成正比 ∴ 解得 该古籍的实际长度为故选D． 2．（2026·上海长宁·一模）现有甲、乙、丙三个矩形，矩形甲的一组邻边长为4与9，矩形乙的一组邻边长为3与2，矩形丙的一组邻边长为与2，那么三个矩形间相似关系判断正确的是（   ）． A．甲、乙相似 B．乙、丙相似 C．丙、甲相似 D．甲、乙、丙都不相似 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的判定，掌握好相关知识是关键． 判断矩形相似需比较长宽比是否相等，通过计算各矩形的长宽比进行判断． 【详解】解：矩形甲的长宽比为，矩形乙的长宽比为，矩形丙的长宽比为， ∵，且矩形各内角都是， ∴甲、丙相似，和乙不相似． 故选：C． 3．（2025·浙江宁波·二模）如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似的相关知识，相似多边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，周长比等于相似比．根据位似图形的性质可得四边形和四边形的周长比为，即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形是位似图形，位似比为， ∴四边形和四边形的周长比为， ∵四边形的周长为， ∴四边形的周长为． 故选：C． 4．（2025·四川成都·三模）如图，点C是线段的黄金分割点（），若长为2，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，掌握较长线段是全线段的即是解题的关键． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且，， ∴， ∴； 故选：A． 5．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知，则________． 【答案】3 【分析】本题考查比例的性质，根据设， ，代入计算即可． 【详解】解：设， ， 则 ． 故答案为：3． 6．（2026·湖南长沙·一模）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是点O．若，，则与面积的比值是________． 【答案】 4 【分析】先说明 ，再求出相似比，然后相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵与位似，且点O是位似中心， ∴ ． ∵点， ∴， ∴， 则与的相似比为2， ∴与的面积比是4． 7．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点为格点（网格线的交点）．已知，，． (1)以原点为位似中心在第一象限画出，使它与的相似比为； (2)利用格点，在线段上找一点，使得． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 1．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，在等腰中，，点在的延长线上，以点为圆心，以长为半径作弧交边于点，连接，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作交延长线于点，根据等腰三角形判定与性质，平行线的性质可证，根据作图步骤可知，， 根据等边对等角结合外角的性质可证， 进而可证， 可得， 再利用平行线分线段成比例得，结合线段的等量关系及比例的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， ， ， ， ， ， 根据作图步骤可知，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，即， ， ． 2．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，平分，于点，为的中点，连接并延长，交于点．若，则的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】延长交于点，利用等腰三角形“三线合一”性质证明且为中点，求出的长；再根据三角形中位线定理证明，进而推出为中点，最后利用的中位线性质求出的长． 【详解】解：如图，延长交于点   平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴为的中点 ，， 为的中点，为的中点， 是的中位线 ， ，即 ， 为的中点， ， ∴，即， 为的中点 ， 在中，为的中点，为的中点 ， 是的中位线 ． 3．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点，位似比是，则点对应点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，根据位似变换的性质计算即可，熟练掌握位似变换的性质是解此题的关键． 【详解】解：等边三角形的顶点，， ， 如图：过作轴于， 是等边三角形， ，， ， 与位似，位似中心是原点，位似比是， 点的对应点的坐标是或，即或， 故选：B． 4．（2026·四川成都·一模）如图，将一张三角形纸片按照以下步骤进行操作：第一步，折叠纸片，使得点A恰好落在边上的点M处，折痕为；第二步、展开纸片，再次折叠纸片，使得点M恰好落在边上的点N处，折痕为．若，点N恰好是线段的黄金分割点，且，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先由黄金分割的定义求出，由折叠得，，设，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：∵点N是线段的黄金分割点，且， ∴， 由折叠得，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 5．（2025·山西朔州·二模）如图，在中，，点是边上的中点，于点，是的中点，连接并延长交于点，已知，，则的长为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，勾股定理，解直角三角形及平行线分线段成比例定理，作交于点H，先得出，得出，证明，求出，根据平行线分线段成比例定理求出结论即可得到结论． 【详解】解：作交于点H， ， ， 是的中点， ， ∵D是边上的中点，， ∴， ， ∵，， ∴， ， ∵， ∴（负值舍去）， ， ∵是的中点， ， ， ∵， ∴，即， ， 故答案为：． 6．（2025·山东泰安·一模）如图，已知．    ①以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点M、N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P； ③作射线交BC于点D； ④分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点； ⑤作直线，分别交，于点E，F，依据以上作图，若，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作图方法得平分，垂直平分，所以，，，再证明四边形为菱形得到，然后利用平行线分线段成比例定理计算的长． （2）根据，得，所以，同理：，设，则，，菱形的面积为，，即可求出答案． 【详解】（1）解：连接，，如图，    由作法得平分，垂直平分， ，，， ， ， ， 同理可得， 四边形为平行四边形， 又∵， 四边形为菱形， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， ∴， ， ， 同理：， 设，则，， 菱形的面积为， ， ， ． 【点睛】本题考查了作图复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、平行线分线段成比例定理、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 1．（2025·四川乐山·中考真题）如图，，，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由折叠可得：，，则，那么，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可． 【详解】解：由折叠可得：，， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 3．（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、，    由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 4．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为__________．（结果用表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式．先根据黄金矩形中，且，求出，进而求出，，再根据弧长公式即可求出“黄金螺线”的长．根据黄金矩形的定义求出的长，以及熟练掌握弧长的公式是解题的关键． 【详解】解: ∵黄金矩形中，且， ∴， ∵四边形是正方形， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ∴“黄金螺线”的长为， ． 故答案为：． 5．（2025·甘肃平凉·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为______． 【答案】195 【分析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为，即可解决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， 大风筝和小风筝相似，相似比为， 大风筝两条对角线长小风筝两条对角线长， 大风筝两条对角线的长分别为和， 大风筝两条对角线长的和为， 故答案为：195． 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $ 四章 三角形 第06讲 图形的相似与位似 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 2 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 与比例相关的计算 题型01比例的性质相关计算 题型02利用设“k”法进行计算 题型03黄金分割 命题点二 相似多边形的性质 题型01利用相似多边形的性质求线段长度 题型02相似多边形的性质综合 命题点三 平行线分线段成比例 题型01由平行线分线段成比例求线段长度 题型02利用平行线分线段成比例判断比例式 题型03平行线分线段成比例与尺规作图 题型04利用平行线分线段成比例求比值 命题点四 位似图形及其应用 题型01利用位似图形的相关性质求解 题型02画已知图形放大或者缩小n倍后的图形 题型03坐标系与位似图形 05·重难突破·思维进阶 19 突破一 相似图形的实践与探究解答题压轴 06·优题精选·练能提分 21 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点一 平行线分线段成比例 1.核心定理：平行线分线段成比例 文字语言：两条直线被一组三条或更多相互平行的直线所截，所得的对应线段成比例。 符号语言：若，则，如图所示。 口诀：上比下=上比下；全比全=全比全。 2.核心推论：三角形中的平行线(重中之重)，这是中考考查最频繁的形式。 文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。 基本图形： A型图：平行线在三角形内部。若，则，如图所示。 X型图(8字型)：平行线在三角形外部(延长线相交)。若，则依然有，如图所示。 1．（2025·天津·一模）如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，交边于点，则的长度为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·天津南开·一模）如图①，在中，D是边的中点，且．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图②所示）： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交线段于点M，交于点N； ②以点D为圆心，以长为半径画弧，交线段于点P，交线段于点R； ③以点P为圆心，以长为半径画弧，交于点Q，点Q与点C在直线同侧； ④作直线，交于点E． 则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·天津河西·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点B，C均落在格线上，点A在格点上． （Ⅰ）当C为小正方形一边的中点时，线段的长为______； （Ⅱ）以为直径作半圆，在线段上有一点P，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______． 4．（2024·天津和平·三模）如图，在菱形中，对角线交于点O，点E为的中点，连接，．    （Ⅰ）的面积为__； （Ⅱ）若点F为的中点，连接交于点G，，则线段的长为__． 命题点一 与比例相关的计算 ►题型01 比例的性质相关计算 性质名称 条件 结论 解题思路 基本性质 比例化整式，交叉相乘 合比性质 分子加分母，整体比不变 分比性质 分子减分母，差比不变 合分比性质 出现和差结构直接用 等比性质 一串比例相等，分子和÷分母和 【典例】（2026·安徽阜阳·一模）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·福建泉州·模拟预测）已知实数，满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式2】（2026·四川成都·一模）已知，则的值为_____． ►题型02 利用设“k”法进行计算 【典例】（2026·上海松江·一模）的三边分别是、、，且， (1)如果的周长为60，求的值； (2)如果的面积为 60，求的值． 【变式2】（2025·浙江杭州·一模）已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 【变式3】（2025·上海徐汇·一模）已知：． (1)求代数式的值： (2)当时，求的值． ►题型03 黄金分割 黄金分割 解题思路 一、先认准三个量 一条线段AB被点C黄金分割，一定有三个量： 全长AB、较长段AC、较短线段BC，且。 二、核心等式（一定要背） 变形： 三、黄金比（固定值） 【典例】（2026·山西吕梁·一模）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，演奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点处，若，则琴弦的长为_______． 【变式1】（2026·四川成都·一模）如图，某种蜻蜓的尾巴长度与整个身躯的长度之比满足黄金比，即为黄金比，若的长度为，则的长度为_____． 【变式2】（2026·上海金山·一模）数学在生活中的许多应用，都能给人以美感，也造就了人类建筑史上的无数经典．如图，著名的上海东方明珠广播电视塔，塔高为468米，其上球体点位于塔身的黄金分割点处，使塔体显得挺拔俊美，具有审美效果，且．那么上球体到塔底的距离为_____米．（结果保留根号的形式） 命题点二 相似多边形的性质 ►题型01 利用相似多边形的性质求线段长度 【典例】（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、C在坐标轴上，矩形与矩形是以点O为位似中心的位似图形，点B的坐标为．若，则的长是（　　） A．3 B．6 C．2 D．4 【变式1】（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，四边形四边形，则________． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于___________． ►题型02 相似多边形的性质综合 【典例】（2025·山东菏泽·三模）框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注： 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前面内墙保留宽的空地，其他三面内墙各保留宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽度为，则长为． 根据题意，得 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 所以温室的长为，宽为 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． 老师批改时在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？” (1)请指出小明解答中存在的问题，并给出正确的解答过程． (2)如图，矩形在矩形的内部， ，，且．设与，与，与，与之间的距离分别为，要使矩形矩形，应满足什么条件？请说明理由． 【变式1】（2025·山东济宁·一模）按照国际标准，打印用的A系列纸为矩形．如图1，将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸……并且通过以上操作得到的矩形纸都是相似图形．        图1                               图2        图3 (1)请直接写出A系列纸的长宽比为________； (2)将纸按如图2所示的方式折叠，求证：； (3)在图2的最后一幅图中，记与的交点为点，连接和，得到图3，求证：四边形为菱形． 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）如图①，等腰面积为． (1)如图②，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (2)如图③，延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． (3)延长到，使，延长到，使，以为边长在的左侧作正方形，其面积记作，以为边长在右上方作正方形，其面积记作，则______． 命题点三 平行线分线段成比例 ►题型01 由平行线分线段成比例求线段长度 【典例】（2026·四川成都·一模）如图，直线，直线与这三条平行线分别交于点和点．已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·河南濮阳·一模）如图，已知中，，若，，，则的长是（   ） A．3 B．2 C．1 D．4 【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． ►题型02 利用平行线分线段成比例判断比例式 【典例】（2026·上海闵行·一模）如图，已知，直线与边分别相交于点，直线与边分别相交于点，，那么下列比例式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·上海闵行·一模）已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平行四边形中，E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，则下列结论错误的是 （   ） A． B． C． D． ►题型03 平行线分线段成比例与尺规作图 【典例】（2024·天津·一模）如图，在中，，分别以A，为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于，两点，直线分别交，于点，，连接，则下列结论一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（2025·海南·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点；②作直线，分别交于点，连接．若，则的周长是（    ） A． B． C．12 D．18 【变式2】（2025·山东济南·一模）如图．以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． 分别以，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点． 作射线交于点． 分别以，为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于，两点．作直线，交，分别于点，． 若，， ，则的长是（    ） A． B． C． D． ►题型04 利用平行线分线段成比例求比值 【典例】（2025·陕西汉中·一模）如图，在中，、分别是边、上的点，连接，，若，则（） A． B． C． D． 【变式1】（2024·广东·二模）如图，为⊙的弦延长线上一点，切⊙于C，连接交于E，若为等边三角形，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式2】（2025·陕西商洛·模拟预测）如图，在中，点是边的中点，连接，交于点，过点作交于点，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 命题点四 位似图形及其应用 ►题型01 利用位似图形的相关性质求解 【典例】（2026·福建泉州·一模）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·重庆·模拟预测）如图，和关于点O位似，若，的周长为8，则的周长为（   ） A．24 B．16 C．12 D．8 【变式2】（2025·云南·模拟预测）如图所示，与是位似图形，点为位似中心，且 若的周长为6，则的周长为（　　） A．4 B． C．12 D．32 ►题型02 画已知图形放大或者缩小n倍后的图形 一、作图步骤 1.确定位似中心 看清题目要求：中心在原点、在图形上，还是在指定点。 2.找出原图形的关键点 一般是多边形的各个顶点，把它们标出来。 3.分别连接关键点与位似中心 把每个顶点和位似中心连起来，并延长。 4.按位似比确定新顶点的位置 ①放大/缩小k倍，就在连线上从中心开始，取长度为原来k倍的点。 ②同侧：新点和原图在位似中心同一边。 ③异侧：新点在位似中心另一边。 5.顺次连接新的顶点 按原图顶点顺序，把新点连起来，就是放大或缩小后的位似图形。 【典例】（2026·安徽蚌埠·一模）无刻度直尺作图如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点（网格线的交点）． (1)将绕点C逆时针旋转，得到请画出． (2)以点O为位似中心，将在网格中放大为原来的2倍，得到，请画出． (3)请仅用无刻度直尺，描出上的点D，使． 【变式1】（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出与关于y轴对称的； (2)以原点O为位似中心在第三象限画出，使它与的相似比为2，并写出点的坐标； (3)仅利用无刻度直尺在线段上找一点P，使得． 【变式2】（2025·安徽亳州·一模）如图，是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，已知顶点在网格线的交点上． (1)以点A为位似中心，利用网格画出的位似图形，使与的相似比为2； (2)将先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，画出． ►题型03 坐标系与位似图形 【典例】（2026·浙江温州·一模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·广东深圳·三模）如图，已知与是相似比为的位似图形，点O为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·浙江·模拟预测）如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点与对应点的坐标分别为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 突破一 相似图形的实践与探究解答题压轴 【典例】（25-26九年级上·上海普陀·期末）【发现问题】顺次连接对角线相等的四边形的四条边的中点，就可以得到一个菱形．小普同学进一步思考：如果一个四边形的对角线不相等，那么能否在这个四边形中画出一个菱形，使其满足四个顶点分别落在四边形的四条边上，且两组对边分别与四边形的两条对角线平行？ 【提出问题】小普同学把这个想法改写成如下的一段数学语言：如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别在边、、、上，且，___________，如果四边形是菱形，那么怎样画出这个菱形呢？ 【分析问题】小普同学在与的交流中，给出了一种解决问题的思考路径： 【解决问题】 (1)根据图，将【提出问题】中缺失的条件补充完成（即“___________”）； (2)根据小普同学与的对话，设，，用含a、b的代数式表示k； (3)在图中，画出符合要求的菱形，写出确定点E的作图步骤，并保留确定点E的作图痕迹． 【变式1】（25-26九年级上·江苏南京·期末）“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多 …．． 【问题提出】 （1）如 图 1 ，是的角平分线，求证 小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”． 小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”． 请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明． 【作图应用】 （2）如图2，是的弦，在上作出点P，使得 要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【深度思考】                                                               （3）如图3， 是的角平分线，若，，则的面积最大值是 ． 【变式2】（2025·福建福州·模拟预测）综合与实践——黄金矩形． 宽与长之比为的矩形称为黄金矩形，黄金矩形给我们以协调匀称的美感，它常见于艺术、建筑、自然界中，今天我们利用纸片来折出黄金矩形，创造数学美！ 如图1，矩形纸片的宽，小明按如下步骤操作． 第一步：如图2，沿折叠．使点落在长边上的点处，连接，得正方形； 第二步：对折正方形，使边与重合，得折痕，并展开，如图3，则； 第三步：连接，沿折叠，使点落在延长线上的点处，如图4，则的长为①__________； 第四步：过点折叠纸片，得折痕，使，交于点，并展开，如图5，则矩形为黄金矩形． (1)补全小明操作过程中①所缺的内容__________； (2)小明发现，在图5中，除了黄金矩形外，还有另一个黄金矩形，请找出这个矩形，并给予证明； (3)小明进一步探究，在黄金矩形中折去正方形，留下的矩形为黄金矩形．类似于“勾股树”．黄金矩形也能不断“生长”，可以在图6中继续折出更多的黄金矩形、黄金矩形，……如图7.若用弧线将折得的不断分割的黄金矩形的分割点连接起来，便会形成一条曲线，通常被称为“黄金螺线”．自然界的很多植物、建筑、艺术作品中都有“黄金螺线”的影子．若，记的弧长分别为，请探究满足的数量关系． 1．（2026·河北沧州·模拟预测）嘉嘉周末到沧州博物馆观看沧州诗经文化展．他想了解一本古籍的长度，在古籍旁放了一支笔拍下照片如图所示．回家后量出照片上笔和古籍的长度分别为和，笔的实际长度为，则该古籍的实际长度为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·上海长宁·一模）现有甲、乙、丙三个矩形，矩形甲的一组邻边长为4与9，矩形乙的一组邻边长为3与2，矩形丙的一组邻边长为与2，那么三个矩形间相似关系判断正确的是（   ）． A．甲、乙相似 B．乙、丙相似 C．丙、甲相似 D．甲、乙、丙都不相似 3．（2025·浙江宁波·二模）如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·三模）如图，点C是线段的黄金分割点（），若长为2，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·内蒙古赤峰·一模）已知，则________． 6．（2026·湖南长沙·一模）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是点O．若，，则与面积的比值是________． 7．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点为格点（网格线的交点）．已知，，． (1)以原点为位似中心在第一象限画出，使它与的相似比为； (2)利用格点，在线段上找一点，使得． 1．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，在等腰中，，点在的延长线上，以点为圆心，以长为半径作弧交边于点，连接，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在中，平分，于点，为的中点，连接并延长，交于点．若，则的长为（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，，已知与位似，位似中心是原点，位似比是，则点对应点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（2026·四川成都·一模）如图，将一张三角形纸片按照以下步骤进行操作：第一步，折叠纸片，使得点A恰好落在边上的点M处，折痕为；第二步、展开纸片，再次折叠纸片，使得点M恰好落在边上的点N处，折痕为．若，点N恰好是线段的黄金分割点，且，则的长为_____． 5．（2025·山西朔州·二模）如图，在中，，点是边上的中点，于点，是的中点，连接并延长交于点，已知，，则的长为______． 6．（2025·山东泰安·一模）如图，已知．    ①以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点M、N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P； ③作射线交BC于点D； ④分别以点A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点； ⑤作直线，分别交，于点E，F，依据以上作图，若，，． (1)求的长； (2)求的值． 1．（2025·四川乐山·中考真题）如图，，，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 4．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为__________．（结果用表示） 5．（2025·甘肃平凉·中考真题）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为______． 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $