第05讲 直角三角形（复习讲义，2考点+15题型+1重点）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

四章 三角形 第05讲 直角三角形 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 19 命题点一 直角三角形的性质 题型01直角三角形两锐角互余 题型02含30°的直角三角形 题型03斜边上的中线等于斜边的一半 题型04两直角三角形全等证明 命题点二 勾股定理及其应用 题型01用勾股定理直接求解 题型02利用勾股定理列方程进行求解 题型03以直角三角形三边为边长的图形面积 题型04勾股定理与网格问题 题型05勾股定理与折叠问题 题型06以弦图为背景的计算题 题型07勾股定理的实际应用 题型08勾股定理中最短路径问题 命题点三 勾股定理的逆定理及其应用 题型01 判断是否能构成直角三角形 题型02 在网格中判断直角三角形 题型03 利用勾股定理的逆定理求解 05·重难突破·思维进阶 65 突破一 直角三角形中最值问题 06·优题精选·练能提分 72 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 勾股定理及其应用 天津卷 （第17题） 天津卷 （第17/18题） 天津卷 （第17/18题） 1. 能运用勾股定理求解直角三角形的边长；2. 能结合折叠、旋转、网格、圆等图形构造直角三角形，完成线段长度计算；3. 能在复杂几何图形中通过作高构造直角三角形，转化线段关系。 直角三角形与全等三角形 天津卷 （第/题） 天津卷 （第11题） 天津卷 （第/题） 1. 掌握直角三角形全等的判定定理（HL），能与 SSS、SAS、ASA、AAS 结合使用；2. 能在旋转、翻折等图形变换中构造全等直角三角形；3. 能利用全等直角三角形推导线段相等、角相等的关系。 命题预测 考查难度与分值稳定：该考点为天津中考几何核心考点，不含特殊三角函数部分的分值稳定在 10–14 分，覆盖选择、填空、解答全题型，基础题（第10/11题）侧重性质直接应用，中档题（第17/18题）侧重线段计算与构造，压轴题（第24/25题）侧重推理与存在性探究，难度梯度清晰，不会出现大幅波动。 应用场景固定典型：一方面会延续2023–2025年风格，以折叠、旋转、网格、圆、正方形、矩形为核心载体，考查直角三角形的性质、判定与线段计算，重点关注构造直角、勾股定理应用、全等转化；另一方面在压轴题中以二次函数+平面直角坐标系为背景，考查直角三角形存在性的分类讨论，聚焦“几何直观 + 代数计算”的核心能力。 知识衔接更紧密：后续命题会进一步加强直角三角形与其他知识点的融合，比如与全等三角形、勾股定理、斜边中线、图形变换（平移 / 旋转 / 轴对称）、二次函数、圆的性质结合，先构造直角三角形，再利用性质推导线段 / 角关系，或通过坐标法解决存在性问题，强化知识间的内在联系。 题型无大幅创新：不会出现复杂偏怪题型，仍以基础选择+ 中档填空/作图+几何综合解答 + 压轴存在性探究”的形式考查，基础题送分，中档题重构造，压轴题重逻辑，符合天津中考“图形与几何”部分的常规考向，整体保持“稳中有变，以稳为主”的命题节奏。 考点一 直角三角形的性质 一、基本定义 有一个角是直角(90°)的三角形叫做直角三角形。 二、直角三角形的性质 ①角的性质：两锐角互余，和为90°∠A+∠B=90° ②边的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；斜边上中线把直角三角形分成两个等腰三角形。 逆定理也成立：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形一定是直角三角形。 1．（2025·天津河西·一模）如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于E，F两点，连接，与交于点O，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角和线段垂直平分线的定义，直角三角形的性质等等，由作图方法可得垂直平分，则点是的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，则，据此可得答案． 【详解】解；由作图方法可得垂直平分， ∴点是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2025·天津河西·一模）如图，为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交于D，E；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；③作射线，与交于点F，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆周角定理，三角形的外角定理和直角三角形的性质，以及角平分线定义．根据直径所对的圆周角是直角可求出，根据作图可得是的角平分线，从而得到，再由三角形的外角性质可得答案． 【详解】解：∵为半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， 由作图知，是的角平分线， ∴， ∴． 故选：D 3．（2025·天津·一模）如图，已知，点A在边上，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点B，连接；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于点C，则的长为（　　）． A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查尺规作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 由作图过程可得、垂直平分，进而得到、、，即；由直角三角形的性质可得，再根据勾股定理求得即可解答． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由作图知，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． ∴． 故选：B． 4．（2024·天津·模拟预测）如图， 将长为4， 宽为1的矩形纸片沿折叠， 使A点落到处， B点落到边上的处， 如果是正三角形， 则折痕的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，图形翻折的应用，等边三角形和菱形的性质，通过连接，证明四边形为菱形，从而得出四边相等，对角相等，再利用可推出，已知，在利用余弦定义可知的长度即为折痕的长度． 【详解】解：如图：连接， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵四边形为矩形， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵四边形沿翻折成四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 考点二 勾股定理及其应用 1.定理内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.几何表示 在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边为a、b，斜边为c，则： 3.三个常用变形 求斜边： 求直角边： 1．（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2023·天津·中考真题）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（    ）    A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】由作图可知直线为边的垂直平分线，再由得到，则可知三点在以为圆心直径的圆上，进而得到，由勾股定理求出即可． 【详解】解：由作图可知，直线为边的垂直平分线， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴三点在以为圆心直径的圆上， ∴， ∵， ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，圆的基本性质和勾股定理，解答关键是熟练掌握常用尺规作图的作图痕迹，由作图过程得到新的结论． 3．（2024·天津·中考真题）如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为______； （2）若为的中点，则线段的长为______． 【答案】 2 / 【分析】本题考查正方形的性质，中位线定理，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键； （1）运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解， （2）作辅助线，构造中位线求解即可． 【详解】（1）四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ； （2）延长到点，使，连接 由点向作垂线，垂足为 ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， 在中， ， ， 在中，， 为的中位线， ； 故答案为：2；. 4．（2024·天津·模拟预测）直角三角形中，直角边上有一点M，斜边上有一点P，已知，的面积等于四边形的面积的一半，，，那么直角三角形的面积是____ 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，比例的计算、三角形面积的计算、相似三角形面积比等于相似比的平方，由已知条件易知，结合是公共角，易证，而已知的面积等于四边形的面积的一半，那么，于是，利用比例计算可求，从而可求，也就易求． 【详解】解：如图： ∵，为直角三角形， ∴, 又∵， ∴， 又∵的面积等于四边形的面积的一半， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（2024·天津·模拟预测）锐角三角形的内心为I，，则的周长为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理，含有角的直角三角形的性质、勾股定理．求出，再求出，解求出及，再根据切线的性质即可求出的周长． 【详解】解：如图， 设的内切圆与三边切于、、， 由切线长定理可知． 连接、、，则． ∵， ． 由题可知、、分别是三角形三个角的角平分线， ， ， ， ∴的周长为 ． 故答案为：． 命题点一 直角三角形的性质 ►题型01 直角三角形两锐角互余 【典例】（2024·天津红桥·二模）如图，在中，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点；分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形中两个锐角互余，根据作图可得四边形是菱形，进而得出，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵中，， ∴． 故选：C． 【变式1】（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值不等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别在和中，根据正弦的定义求解，根据余角的性质可得出，然后根据同角的正弦相等判断即可． 【详解】解：在中， ， 在中， ， ∵ ， ， ， 在中，， 故选项D符合题意． 【变式2】（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，于点，平分交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直，可得，进而可求，，再根据角平分线，可得，最后根据三角形内角和，计算即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 平分， ， ． 【变式3】（2026·河北邢台·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ►题型02 含30°的直角三角形 【典例】（2025·天津西青·一模）如图，已知，点在边上，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作垂直平分线，含直角三角形的性质，勾股定理． 由作图知是的垂直平分线，可得，然后证明，根据含直角三角形的性质和勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：由作图知，，， ∴， ∴， 由作图知是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴，（负值不合题意舍去） ∴． 故选：B． 【变式1】（2026·陕西宝鸡·模拟预测）如图，将两条宽度均为的纸条相交成的角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为______． 【答案】 【分析】先构造全等的两个直角三角形，得出，进而在含的直角三角形中得到，即，再由题意判定四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的面积公式代值计算即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图所示： 由两条纸条的宽度均为知，，， ， ， ， 在中，，，则， ， 由题意可知，，，则重合部分构成的四边形是平行四边形， 重合部分构成的四边形的面积为． 【变式2】（2024·天津南开·三模）如图，在中，，．按照如下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N； ②作直线，交点D； ③以D为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点E； ④连接，． 则下列结论中错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据是的垂直平分线，从而可得，进而可得，再求得，从而利用三角形的外角性质可得，进而可得，再根据等量代换可得，从而可得，进而可得，从而知道，结合以上信息，可以判断选项A，B，C，最后利用，可知，而，从而判断选项D． 【详解】解：，， ， 由题意得：，是的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， ， 故选项B正确； ， ， ， 即， 又， ， 故选项A正确； ，， ， ， ， 故选项C正确； ，， ， ， ， 故选项D错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行的判定，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． ►题型03 斜边上的中线等于斜边的一半 【典例】（2025·上海浦东新·一模）如图，在中，，D是的重心，若，，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理、三角形的重心，直角三角形的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 延长交于，根据勾股定理可得，根据三角形的重心可得，根据直角三角形的中线性质得到，进而得到． 【详解】解：延长交于，如图， ，，， 点是的重心， 为斜边上的中线，， ， ， 故答案为：． 【变式1】（2026·上海徐汇·一模）如图，中，，，，为斜边上的中线，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边中线定理，等腰三角形的性质及余弦的定义，根据已知条件利用勾股定理求得的值，再由直角三角形斜边中线定理可得，根据等腰三角形的性质得出，进而求得结果． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵为斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025·福建·模拟预测）如图，在中，，，，于点，是斜边的中点，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、等腰直角三角形的性质．二次根式，根据直角三角形的性质求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，根据等腰直角三角形的性质求出． 【详解】解：在中，，， 则， 在中，，，是斜边的中点， 则， ， ， ， ， ， 故答案为：． ►题型04 两直角三角形全等证明 【典例】（2026·湖南长沙·一模）如图，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为2 【分析】（1）根据是的中点，可得，证明，进而即可得证； （2）由（1）可得，则是等边三角形，再求出，最后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴． ∵，， ∴． 在和中： ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴． 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵是中点， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 【变式1】（2026·安徽阜阳·一模）如图，在正方形中，点，分别在，上，是等边三角形．求的度数． 【答案】 【分析】先证，得，结合，可得，在中利用直角两锐角互余即可求的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 【变式2】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，，于D，上有一点F，满足． (1)求证； (2)，点E为的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，求得，再利用证明即可推出； （2）先求得，利用直角三角形的性质求得，再利用斜边中线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：于D， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在和中，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 点E为的中点， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质．掌握上述性质是解题的关键． 命题点二 勾股定理及其应用 ►题型01 用勾股定理直接求解 【典例】（2026·山西临汾·一模）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与的另一个交点为，连接．若，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出，由作图知：，根据等边对等角得出，然后根据正切的定义求出即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图知：， ∴， ∴． 【变式1】（2026·陕西西安·三模）如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长，再通过菱形面积的两种计算方法（对角线乘积的一半、底乘高）建立等式，从而求出菱形的高． 【详解】解：如图，令交于点， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ． ∵菱形面积， 设边上的高为h， ∵菱形面积， ∴， ． 【变式2】（2026·河南周口·模拟预测）如图，在矩形中，点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】连接并延长交于点G，连接，根据中点定义，矩形的性质得到，，再证，得到，根据三角形的中位线定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接并延长交于点G，连接 ． ∵M，N分别是，的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ， ∴， ，即N是的中点． ∴是的中位线． ． ∵点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，，， ∴，，． 在中， ． ． 【变式3】（2026·陕西西安·一模）如图，菱形的对角线交于点O，过点A作于点E，连接，若，则的长为 （   ）    A．6 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先根据菱形对角线互相垂直平分得到，再由勾股定理得到，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵，为的中点， ∴． ►题型02 利用勾股定理列方程进行求解 勾股定理是直角三角形的核心边性质，仅适用于直角三角形，即直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方(a²+b²=c²)。解题核心是“找直角→设未知→表三边→列方程→求解验证”，分5步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤 1.找“直角” 先观察题干图形或已知条件，明确直角三角形中哪个角是90°,标注出直角(如∠C=90°)；若题干未明 确，需先根据直角三角形定义或判定(如勾股定理逆定理)判定出直角。 同时确定直角边和斜边：直角所对的边是斜边，另外两条是直角边。 2.设“未知” 设待求线段或与待求线段相关的线段为x（通常设较短的直角边或待求边为x，计算更简便）。 注意：若为折叠问题，常设折叠后重合的线段为x，便于利用“折叠前后对应边相等”的性质。 3.表“三边” 根据题干条件，把直角三角形的三条边都用含x的代数式表示出来： 4.列“方程” 根据勾股定理，列出三边的平方关系方程：(直角边1)²+(直角边2)²=(斜边)²，代入含x的代数式，得到一元二次方程(或一元一次方程)。 5.解“方程”并验证 ①解方程，求出x的值； ②边长必须为正数，舍去负根； ③计算完成后，将x代回三边表达式，验证是否满足勾股定理，确保计算无误。 【典例】（2025·四川资阳·二模）如图，正方形中，，点为正方形外一点，且，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．若，则的长为 _______ ． 【答案】17 【分析】根据旋转的性质得出有关相等的角、相等的边，从而证明四边形为正方形，再根据勾股定理求出的长，就可得到． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转得到，， ∴, ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴． 设， ∵， ∴， 在正方形中，， 在中， 根据勾股定理，得， 解得， ∴． 【变式1】（2025·河南周口·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：在正方形中，， ∴，， ∵点B落在边上的三等分点M处， ∴和， 设，则， 由折叠的性质得， 当时，则， 在中，，即， 解得； 当时，则， 在中，，即， 解得； 综上，线段的长为或． 【点睛】注意三等分点有和两种情况，不要遗漏． 【变式2】（2025·西藏山南·一模）已知，在中，，点D、E分别在边上，且．将绕点D顺时针旋转，当点C落在线段上的点F处时，恰好是的平分线，此时线段的长是_________． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、一元二次方程的应用．设，则，先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，再根据平行线的判定与性质、角平分线的定义可得，等腰三角形的判定可得，然后根据旋转的性质可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理求出的值，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，设，则，， ，， ， ， ， ， 又平分， ， ， ， 由旋转的性质得：， ， 在中，，即， 解得或（不符题意，舍去）， ， 故答案为：6． ►题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例】（2025·江苏南京·二模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“最美弦图”（如图），图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是______． 【答案】 【分析】此题主要考查整式的加减，全等三角形的性质，根据已知得出用含，表示出，，，再利用求出答案是解决问题的关键．根据图形的特征设四边形的面积设为，其余八个全等的三角形面积中的一个设为，从而用含，的式子表示出，，，得出答案即可． 【详解】解：设四边形的面积为，其余八个全等的三角形面积中的一个设为， 正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， 得出，，， ， 故， ∴， 即． 故答案为：． 【变式1】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，，则阴影部分的面积之和为_____． 【答案】25 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股树问题． 先利用勾股定理求出，再利用勾股定理计算出，根据计算即可． 【详解】解：如图， 在中，， 在中，， ∴ 故答案为：25． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）勾股定理是人类最伟大的数学发现之一、如图1，以的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，两个阴影部分的面积分别记为，，若已知，，的斜边的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，读懂题意得到阴影部分的面积与正方形的面积关系是解题的关键．设边的正方形面积为，边的正方形面积为，边的正方形面积为，根据勾股定理得到，然后根据阴影部分的面积关系得到，，解之得到，即可得到的值． 【详解】解：设边的正方形面积为，边的正方形面积为，边的正方形面积为， ， ， ， ，， ，， ， 解得， ， ． 故答案为：． 【变式3】（2025·河南郑州·模拟预测）如图，在中，，，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】6 【分析】此题考查了勾股定理、圆面积公式等知识．根据勾股定理求出长，两个小半圆面积和直角三角形的面积之和减去大半圆面积即可求出答案． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积为 故答案为：6 ►题型04 勾股定理与网格问题 在方格纸(网格)中，所有小方格的边长通常为1,且网格线互相垂直。解题核心是：“找直角三角形→数格子算边长→用勾股定理→求线段长度/面积/角度”,分4步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤(规范可落地) 1.找“直角三角形” 观察图形，将所求线段(如对角线、斜线)作为斜边，构造直角三角形。 两条直角边分别平行于网格的横线和竖线，这样边长可以直接通过数格子得到。 2.数“格子算边长” 水平方向：数两点之间的格子数，得到直角边长度a。 竖直方向：数两点之间的格子数，得到直角边长度b。 注意：数格子时，从一个点的坐标到另一个点的坐标，差的绝对值就是边长。 3.用“勾股定理” 把a和b看作直角三角形的两条直角边，所求线段c看作斜边。 根据勾股定理：c²=a²+b² 4.求“结果” 对c²开平方，得到线段长度。 若求面积，可先求出相关线段长度，再代入面积公式。 【典例】（2025·天津·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在同一个圆上，且均在格点上，的边上的点F，G均在格点上． （1）线段的长为______； （2）若点M，N分别在射线上，满足且，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）． ______ 【答案】 见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图，勾股定理等，垂径定理知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据网格与勾股定理即可求解； （2）连接，与网格线相交于点O，取格点H，连接与射线相交于点M，连接与圆O交于点I，连接并延长，与圆O交于点J，连接并延长，与射线相交于点N，则点M，N即为所求． 【详解】解：（1）由网格可得：， 故答案为：； （2）连接，与网格线相交于点O，取格点H，连接与射线相交于点M，连接与圆O交于点I，连接并延长，与圆O交于点J，连接并延长，与射线相交于点N，则点M，N即为所求，如图： 【变式1】（2025·天津河北·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，中，顶点A是圆与格线的交点，顶点B在格线上，顶点C是格点，点D是格点，连接． （Ⅰ）线段的长为_____； （Ⅱ）线段交圆于点E，线段交圆于格线上一点F，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，作出的内心I（所作直线、射线及线段的总数不得大于6条），并简要说明点I的位置是如何找到的（不要求证明）______________________________________________． 【答案】 取格点G，作射线交圆于点K，连接，取圆与格线交点J，连接交于点O，连接交格线于点H，作射线交于点M，连接交于点I 【分析】本题考查勾股定理，圆周角定理，三角形内心，正确理解题意，灵活运用知识点是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）先利用网格的特征结合圆周角定理找到圆心，再利用圆周角定理结合网格的特征找到的角平分线，两条角平分线的交点即为内心． 【详解】解：（Ⅰ）， 故答案为：； （Ⅱ）取格点G，作射线交圆于点K，连接，取圆与格线交点J，连接交于点O，连接交格线于点H，作射线交于点M，连接交于点I，点I即为所求． 由作图得，即点为圆心，为直径， 由网格的特征得点为中点，即， ∴， ∴，即是的角平分线， ∵，即是的角平分线， ∴点I为的内心． 故答案为：取格点G，作射线交圆于点K，连接，取圆与格线交点J，连接交于点O，连接交格线于点H，作射线交于点M，连接交于点I． 【变式2】（2025·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，均为格点，为的外接圆． （1）的直径长为_____； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，使得点为的中点；使得点在线段上，且．简要说明点，点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 分别取与格线的交点E、O，连接并延长交圆与点P，则点P即为所求；取格点G、H，连接交于Q，连接，则点Q即为所求． 【分析】本题主要考查了垂径定理，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，90度的圆周角所对的弦是直径等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）根据勾股定理分别求出的长，根据勾股定理的逆定理可得，从而得到的直径为； （2）分别取与格线的交点E、O，连接并延长交圆与点P，则点P即为所求；取格点G、H，连接交于Q，连接，则点Q即为所求． 【详解】解：（1）根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴的直径为， 即的直径长为． 故答案为：； （2）如图所示，分别取与格线的交点E、O，连接并延长交圆与点P，则点P即为所求； 根据网格的特点可得分别是的中点，则点O是圆心，由垂径定理可得点为的中点； 如图所示，取格点G、H，连接交于Q，连接，则点Q即为所求； 可证明，则；则； 过点C作于T，由（1）可得， 则，则， 则，则有； 故答案为：分别取与格线的交点E、O，连接并延长交圆与点P，则点P即为所求；取格点G、H，连接交于Q，连接，则点Q即为所求． 【变式3】（2025·天津西青·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，E，F均在格点上．    （Ⅰ）线段的长为_________． （Ⅱ）点D在竖直网格线上，过点A，D，E作圆，经过圆与竖直网格线的交点作切线，分别与的延长线相交于点B，C，中，点G在边上，点H在边上，点P在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点G，H，P，使的周长最短，并简要说明点G，H，P的位置是如何找到的（不要求证明）___________． 【答案】 图见解析，说明见解析 【分析】本题考查勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键． （Ⅰ）直接根据勾股定理进行求解即可； （Ⅱ）作点关于的对称点，连接，分别与交于点H，P，的周长等于的长，等腰三角形的的腰长为的长，故当最小时，的长最短，故点为切点，据此作图即可． 【详解】解：（Ⅰ）由勾股定理，得：； 故答案为：； （Ⅱ）如图，根据题意，切点为点G；连接并延长与网格线交于点：取圆与网格线的交点M与格点N，连接并延长，与网格线交于点：连接，分别与交于点H，P，则点G，H，P即为所求．    ►题型05 勾股定理与折叠问题 【典例】（2025·广东汕头·一模）如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由折叠的性质得出，，，，推出，再由勾股定理求出，设，则，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：由折叠的性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 【变式1】（2025·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，是边上的点，将矩形沿所在的直线折叠，得到点的对应点，点的对应点．若点在边的延长线上，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据矩形性质和折叠性质，得出 ，利用勾股定理求出的长度，设，并表示出，在中，再利用勾股定理表示出三边关系列出方程，解出方程即可． 【详解】解：四边形是矩形， ． 设，则． 由折叠的性质，得 ，点在边的延长线上， ． 在中， ， 解得 的长为4． 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠变换的性质、矩形的性质和勾股定理，根据性质找到相等线段及一些关系，并利用直角三角形的三边关系列出方程是解题关键． 【变式2】（2025·四川绵阳·一模）如图，在矩形中，，点E在上，且，连接，将矩形沿直线翻折，点D恰好落在上的点F处，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到，，，设，则，勾股定理求出，然后得出，然后求出，然后利用代数求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴， ∵ ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则 ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠的性质，求角的正弦值，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式3】（2025·山东青岛·二模）如图，在矩形中，，，点是线段上一点，，连接，将沿翻折，得到，延长，交的延长线于点，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质，角的正切等知识，解题的关键是分类讨论． 如图当点E在线段上时，设交于G，先证明，设，由勾股定理求出，最后根据计算即可计算即可z 【详解】解：如图，设交于G， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 设， 在中，， ， ， ， ， ， 故选：A． ►题型06 以弦图为背景的计算题 【典例】（2025·宁夏中卫·二模）在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形，分别以点为圆心，长为半径作弧，若，，则图中阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用全等直角三角形的性质，得出线段之间的数量关系，求出小正方形边长，再分别计算扇形面积和小正方形中相关三角形（或直接小正方形）面积，通过面积和差求出阴影部分面积．本题主要考查赵爽弦图的性质、扇形面积公式，熟练掌握全等三角形对应边关系求小正方形边长，以及利用“扇形面积和-重叠部分面积（小正方形）”计算阴影面积是解题关键． 【详解】解：根据题意可得， 小正方形的边长． ∴ 故选：． 【变式1】（2025·浙江杭州·二模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”．如图是由四个全等的直角三角形（）拼接而成，直线与分别交于点M，N，已知，则正方形与正方形的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点M作于K，证明，可得，设，则，表示的长，由勾股定理计算，根据正方形的面积公式即可解答． 本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：如图，过点M作于K， ∵， ∴ ∵， ∴（垂直于同一直线的两条直线互相平行）， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴（正方形的对角线平分一个内角）， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（2025·河南周口·三模）赵爽是三国时期非常有名的数学家，他大约在年的时候深入研究了《周髀算经》，书中的一段余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献，这个注文也让赵爽对勾股定理产生新的证明方法．“赵爽弦图”被誉为中国数学界的图腾，年在北京召开的国际数学家大会上，就以此为会徽，足以见得它的完美．如图，若大正方形与小正方形的边长之比为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和相似三角形，三角函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 设，，，可得：，，，在中，根据勾股定理可得，即可得，，在中，根据勾股定理可得，然后作，垂足为，证得，可求，然后即可求解； 【详解】解：设，，， ∴， ∴，， 在中，，即， ∵， ∴，且，， 化简得：， 解得：或（舍去）， ∴，， 即， ∴， 在中，， 作，垂足为，如图： ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 故选：A. ►题型07 勾股定理的实际应用 【典例】（2025·广东云浮·一模）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是（    ）尺．（丈和尺是长度单位，1丈尺）       A．5，6 B．10，11 C．11，12 D．12，13 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设尺，则：尺，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设尺，则：尺， 由题意，得：尺， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴， 即水深为12尺，芦苇长13尺； 故选D． 【变式1】（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）我国古代经典数学著作《九章算术》有一“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边的中点，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少？（小知识：1丈=10尺）若设水深为尺，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为尺，根据勾股定理可得方程即可． 此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 【详解】解：设水池的深度为x尺，由题意得：， 故选：A． 【变式2】（2025·湖南岳阳·二模）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点． 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度；第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的长度． 测量数据 测量项目 数值（单位：米） 图①中的长度 1 图②中的长度 5 ．．．．．． ．．． (1)根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆的高度． (2)如图③，第三次操作：某同学从点前行至点处，再次将绳子拉直，此时测得绳子末端到地面的距离的长度为1米，求该同学前进的距离的长度． 【答案】(1)旗杆的高度为12米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用、矩形的判定和性质等知识，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）设旗杆的高度为x米，根据题意可得：（米），则在直角三角形中，根据勾股定理构建方程求解即可； （2）作于点G，如图，则由题意可得四边形是矩形，米，在直角三角形中，根据勾股定理求出，即的长度即可解决问题． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：， 则在直角三角形中（图②），根据勾股定理可得：， 即， 解得：， 所以旗杆的高度为12米. （2）解：作于点G，如图， 又∵， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， 则在直角三角形中，根据勾股定理得：， 即， 解得：，即， ∴ ； 该同学前进的距离的长约为米． 【变式3】（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 【答案】 【分析】延长，交点为，过点作于点，过作交于点．设，根据题意可得，解方程得出答案． 【详解】解：如图，延长，交点为，过点作于点，过作交于点． 由题意得，，，， ，之间的距离为，在的中点处， ， ∵中，， ，， ，为中点， ∴， 为的中点， 即，， 设 ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴, , ， ， 解得， 答：甲航行的距离约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定，掌握锐角三角函数的定义，理解方向角的概念是解题的关键． 【变式4】（2026·重庆大渡口·一模）如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心移动路线的最近距离400，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离也是． (1)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？ (2)假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航行多少小时？ 【答案】(1)如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区 (2) 【分析】本题考查行程问题，方向角； （1）求出当台风中心移动到距 时，轮船是否通过点即可判断； （2）分别确定轮船停止和重新开始移动时台风中心的位置，根据台风中心移动的时间就是停止时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 方法一： 设小时后，当台风中心在点时，轮船在点，此时，则，， ∵， ∴， 整理得， 解得， 当时，，此时轮船还没有经过， ∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区； 方法二：当台风中心移动到距 时，移动时间小时， 此时轮船航行距离，即还没有通过点，如果不改变航向，后续必定会进入台风影响区， ∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区； （2）解：如图，取点、，使， 当轮船运动到警戒线的点时，此时台风中心移动到点处，运动时间，此时； 轮船从点运动到点用时（小时）， 设台风中心小时从移动到，则， ∴当轮船重新开始移动到点时，此时台风中心距离刚好，此后都不再受台风影响， ∴在轮船停止航行时间段，台风从移动到点，， ∴轮船停止航行时间为（小时）， ∴设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，它至少需要停止航行小时． ►题型08 勾股定理中最短路径问题 【典例】（2025·广东广州·二模）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图（主视图）上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，平面展开-最短路径问题，简单组合体的三视图，关键是得到点M、N所在位置． 先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面上，点N在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果． 【详解】解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的处，即处，如图， 所以所求的最短路径的长度为． 故选：D． 【变式1】（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键． 先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可． 【详解】解：向正表面展开，如图， ∴最短路径的长是， 向左表面展开，如图， ∴最短路径的长是， 向上表面展开，如图， ∴最短路径的长是， ∵， ∴最短路径的长是， 故答案为：． 【变式2】（2025·山东淄博·二模）如图，护城河在处直角转弯，宽度保持4米，从往处，经过两座桥：，．设护城河是东西—南北方向，，在东西方向上相距64米，南北方向距84米，恰当地架桥可使，，的路程最短．则这个最短距离是_____米． 【答案】108 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向右平移至点，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点，；过点作于点D，过点作于点，可证明四边形和四边形都是平行四边形，得到，则当四点共线时，有最小值，即此时，，的路程最短，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示， 将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向右平移至点，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点，；过点作于点D，过点作于点，则四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴当四点共线时，有最小值，即此时，，的路程最短， ∵，在东西方向上相距64米，南北方向距84米，且河宽为4米， ∴点G与点F的东西距离为米，南北距离为米， ∴点G与点F的距离为米， ∴这个最短距离是米， 故答案为：108． 命题点三 勾股定理的逆定理及其应用 ►题型01 判断是否能构成直角三角形 【典例】（2025·湖南·模拟预测）如图所示，设为等边内的一点，且，，，则______度． 【答案】150 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及勾股定理的逆定理，正确作出辅助线是解题的关键．以为边，构造等边，连接，，先根据等边三角形的性质，用判定证得，再根据勾股定理的逆定理证得为直角三角形，从而有，最后根据求得角度． 【详解】解：如图，以为边，构造等边，连接，， ∵是等边三角形，是等边三角形， ，，， ∴， ∴， ， 在中，，，， ∴， 为直角三角形，且， ∴． 故答案为：． 【变式1】（2025·广东广州·二模）三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理等知识点，掌握直角三角形的外心就是斜边中点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，且斜边就是外接圆的直径，据此即可解答． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为3，4，5， 又∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为5， ∴此三角形的外接圆半径是． 故答案为． 【变式2】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在四边形中，，是边上的点，连接．已知，．现要在边上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，等腰三角形的定义，利用勾股定理可得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，得到，即得，再分和两种情况解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 当点是的中点时，如图， ∵， ∴，此时是以为腰的等腰三角形； 当时，是以为腰的等腰三角形； 综上，的长为或， 故选：． ►题型02 在网格中判断直角三角形 核心前提:在边长为1的正方形网格中，可通过数格子得到三角形各边的长度平方，再用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形。解题核心是：“数格子算三边平方→找最长边→验证勾股逆定理→得出结论”,分4步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤(规范可落地) 1.数格子，算三边的平方 对三角形的每条边，构造以它为斜边的直角三角形，数出水平和竖直方向的格子数a、b。 用勾股定理计算每条边的平方：边长²=a²+b² 2.找最长边，确定斜边 比较三边的平方值，最大的平方值对应的边就是最长边，即潜在的斜边c。 3.验证勾股定理的逆定理 验证：最长边的平方是否等于另外两边的平方和。c²=a²+b² 若成立，则该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角；若不成立，则不是直角三角形。 4.得出结论 明确写出：“因为c²=a²+b²，所以△ABC是直角三角形，∠C=90°。” 【典例】（2025·浙江温州·二模）如图是由正方形所组成的网格，点A，B，C分别在格点上，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及逆定理，求角的正切值，先利用勾股定理求出各边长度，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据正切的定义求解． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ， 是直角三角形， ， 故答案为：． 【变式1】（2025·福建·模拟预测）如图， 点A、B、C 都在正方形网格的格点上， 则的值是_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理与网格问题，正确作出辅助线是解答本题的关键，取格点，连接．证明三点共线，再证明是直角三角形，，根据，最后求出． 【详解】解：如图，取格点，连接． 由网格的特特征可知，， ∴， ∴三点共线， 由格点三角形可知：，， ∴ ∴是直角三角形，， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2】（2025·福建龙岩·模拟预测）在网格中，每个单位小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点都在格点上，则的值是______． 【答案】2 【分析】解法一：标注正方形，连结．由网格用勾股定理可得，，从而得到，则，． 解法二：标注正方形，连结．由网格可得，，可得，则，进而可得，． 【详解】解：标注正方形，连接．由网格可知： 解法一： 在中，， ． 在中，， ． 在中，， ． ． ，． 解法二： 在与中，，， ． ， ，． 【点睛】网格中，求格点生成的角的三角函数值问题的通解为：先利用勾股定理求出格点线段长，再用割补法求出格点三角形的面积，然后作格点生成角的一边上的高，利用面积法求出格点三角形的高，最后利用锐角三角函数求得结论． 【变式3】（2025·山东滨州·二模）如图，如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． ①为______三角形． ②只用无刻度的直尺在线段上找一个点，使．__________ 【答案】 直角 见解析 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关判定定理是解题的关键． ①借助格点计算三角形各边长度的平方，根据勾股定理的逆定理即可求解； ②根据三角形相似的判定和性质，找点，连线，即可． 【详解】①解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形， 故答案为： 直角． ②解：如图，点为所求． ►题型03 利用勾股定理的逆定理求解 【典例】（2025·浙江衢州·三模）如图，中，D，E分别是的中点．若，则的长等于______． 【答案】15 【分析】本题考查斜边上的中线，与三角形的中位线有关的计算，勾股定理逆定理，得到为直角三角形，，斜边上的中线得到，三角形的中位线定理得到，进而得到即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∵D，E分别是的中点， ∴， ∴； 故答案为：15． 【变式1】（2025·贵州黔东南·二模）如图，P是正方形内一点，，，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，下列结论：①可以由绕点A逆时针旋转得到；②点P与的距离为4；③；④；其中正确的结论是__________．（填序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的判断和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； 利用旋转的性质和正方形的性质，证明，可判定结论①正确； 利用勾股定理可得，可判定结论②错误； 利用等腰三角形的性质推出，利用勾股定理逆定理可推出，可判定结论③正确； 过点D作交延长线于点E，利用勾股定理可求出，进而可判定结论④错误． 【详解】由旋转可知，，， 四边形是正方形， ，， ，， ， ， 可以由绕点A逆时针旋转得到， 故结论①正确； 由勾股定理得， 故结论②错误； ，， ， 由得， ，， ， 为直角三角形，且， ， 故结论③正确； 如图，过点D作交延长线于点E，则， ，， ， ， 由勾股定理得，，即， 解得， ，， 由勾股定理得， 正方形的面积等于， 故结论④错误； 综上可知，正确的结论是①③． 故答案为：①③． 突破一 直角三角形中最值问题 【典例】（2026·福建泉州·一模）如图，正方形的边在的边上，点在边上，，，点为射线上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当取最小值时，则___________． 【答案】 【分析】连接，由旋转的性质得到，，推出是等腰直角三角形，当时，取得最小值，作于点，延长交于点，在中，由勾股定理计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴当取最小值时，也取得最小值， ∴当时，取得最小值， 如图，作于点，延长交于点， ∵，，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得． 【变式1】（2026·河南郑州·一模）如图，在中，点P为斜边的中点，点Q为边上不与端点重合的一动点，连接，．若，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】延长到点D，使，连接，交于点Q，连接，根据线段垂直平分线的性质得出，从而得出，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，证明，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：延长到点D，使，连接，交于点Q，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵点P为斜边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 【变式2】（2026·广东深圳·一模）在平行四边形中，，，，点，分别在边，上运动，且，以为边作等边，且使点在四边形的内部或边上．当的面积最大时，的长为_________． 【答案】/2.5 【分析】在平行四边形中，由，可得出，根据是等边三角形，可得，，连接，作的平分线交于点，证明点在上运动，由，可得当取最大值时，的面积最大，由，，可得，可得，则可得，，则与重合时，最大，再证明是等边三角形，可得，则，即可求得的长． 【详解】解：如图，连接，作的平分线交于点， ∵在平行四边形中，，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴平分， ∵平分， ∴与重合，即点在上运动， ∵是等边三角形， ∴， ∴当取最大值时，的面积最大， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴, ∴, ∴, ∴最大时，最大， ∵点在四边形的内部或边上， ∴当与重合时，最大， ∵，， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∴， ∴． 【变式3】（2026·陕西西安·一模）如图，在四边形中，，，，，连接，，延长至点，使，连接，则的最大值为______． 【答案】 【分析】作，作，垂足为，取的中点，连接、、，根据夹角相等两边对应成比例的相似判定定理证明，由相似三角形的性质可知，，从而得到．根据线段公理有，，从而求得的最大值，再结合中位线的性质，求出的最大值． 【详解】解：如图，作，作，垂足为，取的中点，连接、、， 在直角中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，点是斜边的中点， ∴， 由线段公理可得，，当、、三点共线时，取得最大值， ∵，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴最大值为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，线段最值问题，勾股定理，根据动点特征判断轨迹并添加正确的辅助线是解题关键． 1．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，，是斜边上的高，于点E，则图中与（除外）相等的角的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【详解】解：∵，是斜边上的高，， ∴，， ∴， ∴图中与(除外)相等的角的个数是2． 2．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，则的长为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质．过点D作于点F，根据角平分线的性质，可得，再由含30度角的直角三角形的性质，可得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点F， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A 3．（2025·福建漳州·三模）如图，中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于两点，连接，与交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角和线段垂直平分线的定义，直角三角形的性质等等，由作图方法可得垂直平分，则点O是的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，则，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可得垂直平分， 点O是的中点． ， ． ． ． 故选：A． 4．（2026·河南商丘·一模）如图1，中，动点P从B点出发向点C运动，连接，设的长为x，的长为y，则y关于x的函数图象如图2所示，该图象的最低点为M，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作先根据图像判断，，再根据勾股定理和三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵当时，取最小值，即， 当点P与点C 重合时取最大值，即， 作如图 ∵，， ∴． 5．（2026·湖南长沙·一模）如图是一条隧道的横截面，它是以点O为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心O交于点D，并且，的半径长为，则隧道的高为________． 【答案】6 【分析】连接，先根据垂径定理可得的长和，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是中弦的中点，经过圆心，且， ∴，， ∵的半径长为， ∴， ∴在中，， ∴． 6．（2026·江苏南通·一模）将的直角三角板与有刻度的直尺按如图所示的方式放置，点，表示的刻度分别为，当时，线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，先求出，，由长求出长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题可知， ， ， ，的刻度分别为，， ， ， 在中，． 故答案为：． 7．（2024·福建泉州·二模）如图，中，． (1)用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； (2)在（1）条件下，连接，当，时，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为． 【分析】本题考查了尺规作图——垂直平分线的作法、勾股定理、三角形的周长，掌握垂直平分线的作图技巧及勾股定理的应用是解题关键． (1)根据垂直平分线的定义，利用尺规作图技巧作图即可； (2)由，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，再利用垂直平分线的性质得出，最后，运用三角形周长公式计算即可． 【详解】（1）解：分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，分别交于，交于，连接． ∴边上的垂直平分线，如图所示： （2）解：∵，，， ∴ ． ∵垂直平分线段， ∴， ∴的周长． 8．（2025·河北唐山·三模）如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 【答案】(1)山顶点C到水平面的距离为 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把数值代入，进行计算得山顶点C到水平面的距离； （2）先证明四边形是矩形．得，结合，得，运用勾股定理得，同理得，即可作答． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为F． 在中， ∵，，， ∴． 答：山顶点C到水平面的距离为． （2）解：过点B作，，垂足分别为H、E． ∴ ∴四边形是矩形． ∴，， 在中， ∵的坡度为， ∴． ∴． 在中， ∵山坡的坡度为， ∴． ∴． ∴山坡的长为：． 答：山坡的长为． 1．（2026·河南商丘·一模）如图，中，，，将沿射线方向平移得对应，过点作，垂足为，交于点，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一，求出，；根据勾股定理求出，则，根据线段的和差求出，再根据等边三角形的判定和性质，可得，最后根据． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 设，则， 在直角三角形中，， ∴， 解得：， ∴； ∴，则， ∵且， ∴，， ∵沿射线方向平移得对应， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴． 故选：C． 2．（2026·福建泉州·一模）如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在上，且，延长交边于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，，，再根据对顶角和正方形的性质证明得，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·山西太原·一模）跳棋是一种老少皆宜、流传广泛的游戏．如图，跳棋的棋盘是由一个正六边形以及六个等边三角形组成．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若点的横坐标为1，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点P作轴于点M，过点E作轴于点N，先求出，得出，再在等边三角形中求出和，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作轴于点M，过点E作轴于点N， 由题意可得、是等边三角形，是正六边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵点的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 4．（2026·福建泉州·一模）如图，点是矩形的边上的一点（点不与点C，D重合），将沿直线翻折得到，边，分别与边相交于点G，H，若图中阴影部分的周长为14，，点是矩形的对称中心，则___________． 【答案】 【分析】根据题意求得，再根据矩形的性质结合勾股定理求得． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 由折叠的性质知，，， ∵阴影部分的周长为 ， ∵图中阴影部分的周长为14，， ∴， ∴， 连接， ∵点是矩形的对称中心， ∴． 5．（2026·湖南长沙·一模）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．连接并延长交于点． (1)求的度数； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的作图，勾股定理，三角形的面积，三角形的外角，直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握以上知识，进行解答，即可． （1）由作图过程可得，平分，根据三角形的内角和，求出，根据三角形的外角，则，即可； （2）根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，求出，根据勾股定理求出，再根据，即可． 【详解】（1）解：由作图过程可得，平分， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)或或或 【分析】（1）过点作交于，延长交于，结合矩形的判定及性质，由判定，由判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）由点的运动路径得，设，由直角三角形的特征得，可求，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：过点作交于，延长交于， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 四边形是矩形， ， ， 点是上的一个动点（点不与端点重合）， ， ， 设， 是的中点， ， ， 解得， ， 线段的长为整数， 为或或或， 为或或或， 当时， ， 同理可求时，， 时，， 时，， 综上，的长为或或或． 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图-角平分线，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．由作图可得平分，由得，再由点为的中点得，进而即可得解． 【详解】解：由作图知，平分， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 2．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，反比例函数，根据相似求出点A的坐标是解题的关键． 过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D，证明，根据相似三角形对应边长成比例求出点A的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为C，过点B作轴，垂足为D， 直角三角板中， ， 轴， ， 直角三角板中， ， ， 又 ， ， ， 点B坐标为， ，， ，， 点A坐标为， 点A在反比例函数的图像上， ， 故选：C． 3．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质得；再由旋转的性质得，从而得，故可得，从而可求出结论． 【详解】解：在中，， ∴； 由旋转可知， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2025·江苏南京·中考真题）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 【答案】13 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则是的直径，过作，连接，再结合正方形的性质以及垂径定理得，，由勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示：是的直径，过作，连接， 依题意，， ∵， ∴，， ∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， ∴， 在中，， 即这枚古钱币的半径为， 故答案为：13 5．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，根据旋转知，则和，可知垂直平分，有，设，则和，利用勾股定理列出代入求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转可知， ∴，，， ∴点F、B、C三点共线， ∵ ， ∴ H为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设， ∵，， ∴正方形的边长为3， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、中垂线的判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟悉旋转的性质和利用勾股定理列方程． 6．（2025·江苏镇江·中考真题）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 【答案】5尺 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．过点作于点，先证出四边形是矩形，则可得尺，，再设尺，则尺，尺，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，尺，尺，尺， ∴四边形是矩形， ∴尺，， 设尺，则尺，尺， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， 即尺， 答：折断处离地面5尺． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 四章 三角形 第05讲 直角三角形 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 19 命题点一 直角三角形的性质 题型01直角三角形两锐角互余 题型02含30°的直角三角形 题型03斜边上的中线等于斜边的一半 题型04两直角三角形全等证明 命题点二 勾股定理及其应用 题型01用勾股定理直接求解 题型02利用勾股定理列方程进行求解 题型03以直角三角形三边为边长的图形面积 题型04勾股定理与网格问题 题型05勾股定理与折叠问题 题型06以弦图为背景的计算题 题型07勾股定理的实际应用 题型08勾股定理中最短路径问题 命题点三 勾股定理的逆定理及其应用 题型01 判断是否能构成直角三角形 题型02 在网格中判断直角三角形 题型03 利用勾股定理的逆定理求解 05·重难突破·思维进阶 26 突破一 直角三角形中最值问题 06·优题精选·练能提分 27 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 勾股定理及其应用 天津卷 （第17题） 天津卷 （第17/18题） 天津卷 （第17/18题） 1. 能运用勾股定理求解直角三角形的边长；2. 能结合折叠、旋转、网格、圆等图形构造直角三角形，完成线段长度计算；3. 能在复杂几何图形中通过作高构造直角三角形，转化线段关系。 直角三角形与全等三角形 天津卷 （第/题） 天津卷 （第11题） 天津卷 （第/题） 1. 掌握直角三角形全等的判定定理（HL），能与 SSS、SAS、ASA、AAS 结合使用；2. 能在旋转、翻折等图形变换中构造全等直角三角形；3. 能利用全等直角三角形推导线段相等、角相等的关系。 命题预测 考查难度与分值稳定：该考点为天津中考几何核心考点，不含特殊三角函数部分的分值稳定在 10–14 分，覆盖选择、填空、解答全题型，基础题（第10/11题）侧重性质直接应用，中档题（第17/18题）侧重线段计算与构造，压轴题（第24/25题）侧重推理与存在性探究，难度梯度清晰，不会出现大幅波动。 应用场景固定典型：一方面会延续2023–2025年风格，以折叠、旋转、网格、圆、正方形、矩形为核心载体，考查直角三角形的性质、判定与线段计算，重点关注构造直角、勾股定理应用、全等转化；另一方面在压轴题中以二次函数+平面直角坐标系为背景，考查直角三角形存在性的分类讨论，聚焦“几何直观 + 代数计算”的核心能力。 知识衔接更紧密：后续命题会进一步加强直角三角形与其他知识点的融合，比如与全等三角形、勾股定理、斜边中线、图形变换（平移 / 旋转 / 轴对称）、二次函数、圆的性质结合，先构造直角三角形，再利用性质推导线段 / 角关系，或通过坐标法解决存在性问题，强化知识间的内在联系。 题型无大幅创新：不会出现复杂偏怪题型，仍以基础选择+ 中档填空/作图+几何综合解答 + 压轴存在性探究”的形式考查，基础题送分，中档题重构造，压轴题重逻辑，符合天津中考“图形与几何”部分的常规考向，整体保持“稳中有变，以稳为主”的命题节奏。 考点一 直角三角形的性质 一、基本定义 有一个角是直角(90°)的三角形叫做直角三角形。 二、直角三角形的性质 ①角的性质：两锐角互余，和为90°∠A+∠B=90° ②边的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；斜边上中线把直角三角形分成两个等腰三角形。 逆定理也成立：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形一定是直角三角形。 1．（2025·天津河西·一模）如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于E，F两点，连接，与交于点O，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津河西·一模）如图，为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交于D，E；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；③作射线，与交于点F，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·天津·一模）如图，已知，点A在边上，，以点A为圆心，的长为半径画弧交于点B，连接；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P，Q，作直线交于点C，则的长为（　　）． A．2 B． C．4 D． 4．（2024·天津·模拟预测）如图， 将长为4， 宽为1的矩形纸片沿折叠， 使A点落到处， B点落到边上的处， 如果是正三角形， 则折痕的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 考点二 勾股定理及其应用 1.定理内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.几何表示 在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边为a、b，斜边为c，则： 3.三个常用变形 求斜边： 求直角边： 1．（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（   ） A． B． C．4 D． 2．（2023·天津·中考真题）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则的长为（    ）    A．9 B．8 C．7 D．6 3．（2024·天津·中考真题）如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为______； （2）若为的中点，则线段的长为______． 4．（2024·天津·模拟预测）直角三角形中，直角边上有一点M，斜边上有一点P，已知，的面积等于四边形的面积的一半，，，那么直角三角形的面积是____ 5．（2024·天津·模拟预测）锐角三角形的内心为I，，则的周长为______． 命题点一 直角三角形的性质 ►题型01 直角三角形两锐角互余 【典例】（2024·天津红桥·二模）如图，在中，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点；分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值不等于的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西榆林·一模）如图，在中，于点，平分交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·河北邢台·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． ►题型02 含30°的直角三角形 【典例】（2025·天津西青·一模）如图，已知，点在边上，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，连接；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线交于点，则的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式1】（2026·陕西宝鸡·模拟预测）如图，将两条宽度均为的纸条相交成的角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为______． 【变式2】（2024·天津南开·三模）如图，在中，，．按照如下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N； ②作直线，交点D； ③以D为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点E； ④连接，． 则下列结论中错误的是（    ）． A． B． C． D． ►题型03 斜边上的中线等于斜边的一半 【典例】（2025·上海浦东新·一模）如图，在中，，D是的重心，若，，则______． 【变式1】（2026·上海徐汇·一模）如图，中，，，，为斜边上的中线，则的值为______． 【变式2】（2025·福建·模拟预测）如图，在中，，，，于点，是斜边的中点，则线段的长为______． ►题型04 两直角三角形全等证明 【典例】（2026·湖南长沙·一模）如图，在中，D是的中点，，，垂足分别为E，F，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式1】（2026·安徽阜阳·一模）如图，在正方形中，点，分别在，上，是等边三角形．求的度数． 【变式2】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，，于D，上有一点F，满足． (1)求证； (2)，点E为的中点，，求的长． 命题点二 勾股定理及其应用 ►题型01 用勾股定理直接求解 【典例】（2026·山西临汾·一模）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与的另一个交点为，连接．若，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式1】（2026·陕西西安·三模）如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的高为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·河南周口·模拟预测）如图，在矩形中，点E是边上靠近点B的三等分点，点F是边上靠近点C的三等分点，连接，，M，N分别是，的中点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D．2 【变式3】（2026·陕西西安·一模）如图，菱形的对角线交于点O，过点A作于点E，连接，若，则的长为 （   ）    A．6 B．6 C．7 D．8 ►题型02 利用勾股定理列方程进行求解 勾股定理是直角三角形的核心边性质，仅适用于直角三角形，即直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方(a²+b²=c²)。解题核心是“找直角→设未知→表三边→列方程→求解验证”，分5步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤 1.找“直角” 先观察题干图形或已知条件，明确直角三角形中哪个角是90°,标注出直角(如∠C=90°)；若题干未明 确，需先根据直角三角形定义或判定(如勾股定理逆定理)判定出直角。 同时确定直角边和斜边：直角所对的边是斜边，另外两条是直角边。 2.设“未知” 设待求线段或与待求线段相关的线段为x（通常设较短的直角边或待求边为x，计算更简便）。 注意：若为折叠问题，常设折叠后重合的线段为x，便于利用“折叠前后对应边相等”的性质。 3.表“三边” 根据题干条件，把直角三角形的三条边都用含x的代数式表示出来： 4.列“方程” 根据勾股定理，列出三边的平方关系方程：(直角边1)²+(直角边2)²=(斜边)²，代入含x的代数式，得到一元二次方程(或一元一次方程)。 5.解“方程”并验证 ①解方程，求出x的值； ②边长必须为正数，舍去负根； ③计算完成后，将x代回三边表达式，验证是否满足勾股定理，确保计算无误。 【典例】（2025·四川资阳·二模）如图，正方形中，，点为正方形外一点，且，将绕点逆时针方向旋转得到，的延长线交于点．若，则的长为 _______ ． 【变式1】（2025·河南周口·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿折叠，使点B落在边上的三等分点M处，点C的对应点为点N，若 ，则线段的长为______． 【变式2】（2025·西藏山南·一模）已知，在中，，点D、E分别在边上，且．将绕点D顺时针旋转，当点C落在线段上的点F处时，恰好是的平分线，此时线段的长是_________． ►题型03 以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例】（2025·江苏南京·二模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“最美弦图”（如图），图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是______． 【变式1】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，，则阴影部分的面积之和为_____． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）勾股定理是人类最伟大的数学发现之一、如图1，以的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，两个阴影部分的面积分别记为，，若已知，，的斜边的长为___________． 【变式3】（2025·河南郑州·模拟预测）如图，在中，，，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为________． ►题型04 勾股定理与网格问题 在方格纸(网格)中，所有小方格的边长通常为1,且网格线互相垂直。解题核心是：“找直角三角形→数格子算边长→用勾股定理→求线段长度/面积/角度”,分4步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤(规范可落地) 1.找“直角三角形” 观察图形，将所求线段(如对角线、斜线)作为斜边，构造直角三角形。 两条直角边分别平行于网格的横线和竖线，这样边长可以直接通过数格子得到。 2.数“格子算边长” 水平方向：数两点之间的格子数，得到直角边长度a。 竖直方向：数两点之间的格子数，得到直角边长度b。 注意：数格子时，从一个点的坐标到另一个点的坐标，差的绝对值就是边长。 3.用“勾股定理” 把a和b看作直角三角形的两条直角边，所求线段c看作斜边。 根据勾股定理：c²=a²+b² 4.求“结果” 对c²开平方，得到线段长度。 若求面积，可先求出相关线段长度，再代入面积公式。 【典例】（2025·天津·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在同一个圆上，且均在格点上，的边上的点F，G均在格点上． （1）线段的长为______； （2）若点M，N分别在射线上，满足且，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）． ______ 【变式1】（2025·天津河北·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，中，顶点A是圆与格线的交点，顶点B在格线上，顶点C是格点，点D是格点，连接． （Ⅰ）线段的长为_____； （Ⅱ）线段交圆于点E，线段交圆于格线上一点F，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，作出的内心I（所作直线、射线及线段的总数不得大于6条），并简要说明点I的位置是如何找到的（不要求证明）______________________________________________． 【变式2】（2025·天津南开·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，均为格点，为的外接圆． （1）的直径长为_____； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，使得点为的中点；使得点在线段上，且．简要说明点，点的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【变式3】（2025·天津西青·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，E，F均在格点上．    （Ⅰ）线段的长为_________． （Ⅱ）点D在竖直网格线上，过点A，D，E作圆，经过圆与竖直网格线的交点作切线，分别与的延长线相交于点B，C，中，点G在边上，点H在边上，点P在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点G，H，P，使的周长最短，并简要说明点G，H，P的位置是如何找到的（不要求证明）___________． ►题型05 勾股定理与折叠问题 【典例】（2025·广东汕头·一模）如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，是边上的点，将矩形沿所在的直线折叠，得到点的对应点，点的对应点．若点在边的延长线上，则的长为（    ） A． B．3 C．4 D． 【变式2】（2025·四川绵阳·一模）如图，在矩形中，，点E在上，且，连接，将矩形沿直线翻折，点D恰好落在上的点F处，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【变式3】（2025·山东青岛·二模）如图，在矩形中，，，点是线段上一点，，连接，将沿翻折，得到，延长，交的延长线于点，则为（   ） A． B． C． D． ►题型06 以弦图为背景的计算题 【典例】（2025·宁夏中卫·二模）在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形，分别以点为圆心，长为半径作弧，若，，则图中阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【变式1】（2025·浙江杭州·二模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”．如图是由四个全等的直角三角形（）拼接而成，直线与分别交于点M，N，已知，则正方形与正方形的面积比为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南周口·三模）赵爽是三国时期非常有名的数学家，他大约在年的时候深入研究了《周髀算经》，书中的一段余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献，这个注文也让赵爽对勾股定理产生新的证明方法．“赵爽弦图”被誉为中国数学界的图腾，年在北京召开的国际数学家大会上，就以此为会徽，足以见得它的完美．如图，若大正方形与小正方形的边长之比为，则等于（   ） A． B． C． D． ►题型07 勾股定理的实际应用 【典例】（2025·广东云浮·一模）我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是（    ）尺．（丈和尺是长度单位，1丈尺）       A．5，6 B．10，11 C．11，12 D．12，13 【变式1】（2025九年级下·云南楚雄·学业考试）我国古代经典数学著作《九章算术》有一“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边的中点，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少？（小知识：1丈=10尺）若设水深为尺，则符合题意的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·湖南岳阳·二模）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点． 第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度；第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的长度． 测量数据 测量项目 数值（单位：米） 图①中的长度 1 图②中的长度 5 ．．．．．． ．．． (1)根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆的高度． (2)如图③，第三次操作：某同学从点前行至点处，再次将绳子拉直，此时测得绳子末端到地面的距离的长度为1米，求该同学前进的距离的长度． 【变式3】（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：） 【变式4】（2026·重庆大渡口·一模）如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心移动路线的最近距离400，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离也是． (1)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？ (2)假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航行多少小时？ ►题型08 勾股定理中最短路径问题 【典例】（2025·广东广州·二模）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图（主视图）上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B．2 C． D． 【变式1】（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是_______________． 【变式2】（2025·山东淄博·二模）如图，护城河在处直角转弯，宽度保持4米，从往处，经过两座桥：，．设护城河是东西—南北方向，，在东西方向上相距64米，南北方向距84米，恰当地架桥可使，，的路程最短．则这个最短距离是_____米． 命题点三 勾股定理的逆定理及其应用 ►题型01 判断是否能构成直角三角形 【典例】（2025·湖南·模拟预测）如图所示，设为等边内的一点，且，，，则______度． 【变式1】（2025·广东广州·二模）三边长为3，4，5的三角形，它的外接圆半径为_______． 【变式2】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在四边形中，，是边上的点，连接．已知，．现要在边上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 ►题型02 在网格中判断直角三角形 核心前提:在边长为1的正方形网格中，可通过数格子得到三角形各边的长度平方，再用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形。解题核心是：“数格子算三边平方→找最长边→验证勾股逆定理→得出结论”,分4步规范解题，同时规避常见易错点。 一、核心解题步骤(规范可落地) 1.数格子，算三边的平方 对三角形的每条边，构造以它为斜边的直角三角形，数出水平和竖直方向的格子数a、b。 用勾股定理计算每条边的平方：边长²=a²+b² 2.找最长边，确定斜边 比较三边的平方值，最大的平方值对应的边就是最长边，即潜在的斜边c。 3.验证勾股定理的逆定理 验证：最长边的平方是否等于另外两边的平方和。c²=a²+b² 若成立，则该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角；若不成立，则不是直角三角形。 4.得出结论 明确写出：“因为c²=a²+b²，所以△ABC是直角三角形，∠C=90°。” 【典例】（2025·浙江温州·二模）如图是由正方形所组成的网格，点A，B，C分别在格点上，则的值为______． 【变式1】（2025·福建·模拟预测）如图， 点A、B、C 都在正方形网格的格点上， 则的值是_______． 【变式2】（2025·福建龙岩·模拟预测）在网格中，每个单位小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点都在格点上，则的值是______． 【变式3】（2025·山东滨州·二模）如图，如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． ①为______三角形． ②只用无刻度的直尺在线段上找一个点，使．__________ ►题型03 利用勾股定理的逆定理求解 【典例】（2025·浙江衢州·三模）如图，中，D，E分别是的中点．若，则的长等于______． 【变式1】（2025·贵州黔东南·二模）如图，P是正方形内一点，，，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，下列结论：①可以由绕点A逆时针旋转得到；②点P与的距离为4；③；④；其中正确的结论是__________．（填序号） 突破一 直角三角形中最值问题 【典例】（2026·福建泉州·一模）如图，正方形的边在的边上，点在边上，，，点为射线上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，当取最小值时，则___________． 【变式1】（2026·河南郑州·一模）如图，在中，点P为斜边的中点，点Q为边上不与端点重合的一动点，连接，．若，，则的最小值为______． 【变式2】（2026·广东深圳·一模）在平行四边形中，，，，点，分别在边，上运动，且，以为边作等边，且使点在四边形的内部或边上．当的面积最大时，的长为_________． 【变式3】（2026·陕西西安·一模）如图，在四边形中，，，，，连接，，延长至点，使，连接，则的最大值为______． 1．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，，是斜边上的高，于点E，则图中与（除外）相等的角的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，则的长为（    ） A． B． C．5 D．6 3．（2025·福建漳州·三模）如图，中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于两点，连接，与交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南商丘·一模）如图1，中，动点P从B点出发向点C运动，连接，设的长为x，的长为y，则y关于x的函数图象如图2所示，该图象的最低点为M，则的周长为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南长沙·一模）如图是一条隧道的横截面，它是以点O为圆心的圆的一部分，如果是中弦的中点，经过圆心O交于点D，并且，的半径长为，则隧道的高为________． 6．（2026·江苏南通·一模）将的直角三角板与有刻度的直尺按如图所示的方式放置，点，表示的刻度分别为，当时，线段的长为______． 7．（2024·福建泉州·二模）如图，中，． (1)用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； (2)在（1）条件下，连接，当，时，求的周长． 8．（2025·河北唐山·三模）如图，已知山坡的坡度为，山坡的坡度为，山坡的坡角，已知点B到水平面的距离为，山坡的长为．某登山队沿山坡上山后，再沿山坡下山． (1)求山顶点C到水平面的距离； (2)求山坡的长． 1．（2026·河南商丘·一模）如图，中，，，将沿射线方向平移得对应，过点作，垂足为，交于点，若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建泉州·一模）如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在上，且，延长交边于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山西太原·一模）跳棋是一种老少皆宜、流传广泛的游戏．如图，跳棋的棋盘是由一个正六边形以及六个等边三角形组成．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若点的横坐标为1，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·福建泉州·一模）如图，点是矩形的边上的一点（点不与点C，D重合），将沿直线翻折得到，边，分别与边相交于点G，H，若图中阴影部分的周长为14，，点是矩形的对称中心，则___________． 5．（2026·湖南长沙·一模）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点和点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点．连接并延长交于点． (1)求的度数； (2)若，求的面积． 6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 2．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（   ） A． B．4 C． D．6 4．（2025·江苏南京·中考真题）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 5．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为________． 6．（2025·江苏镇江·中考真题）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $