10.2.1 代入消元法（第1课时 用代入法解二元一次方程组）（教学课件）数学新教材人教版七年级下册

10.2.1 代入消元法 第1课时 用代入法解二元一次方程组 第十章 二元一次方程组 人教版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 了解“消元”思想，理解代入消元法的概念；掌握代入消元法的基本步骤，会用代入消元法解简单的二元一次方程组（至少有一个方程未知数系数为1）；会检验方程组的解是否正确. 经历从二元一次方程组到一元一次方程的转化过程，体会“化未知为已知”的化归思想；通过对比二元与一元方程的联系，培养观察、分析和归纳能力. 在探究解法的过程中，感受数学的内在统一性与简洁美；通过成功解方程组获得学习成就感，增强学习数学的信心. 知识回顾 1. 把下列方程写成用含x的式子表示y的形式. 课前热身 你能把这两个方程写成用含y的式子表示x的形式? （2） 3 1 y x - = （1） 2 3 y x + = 知识回顾 采棉机问题 新疆是我国棉花的主要产地之一.近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机1 h就完成了8 hm2棉田的采摘.如果大型采棉机1 h完成 2 hm2棉田的采摘，小型采棉机1 h完成1 hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台? 新疆是我国棉花的主要产地之一.近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机1 h就完成了8 hm2棉田的采摘.如果大型采棉机1 h完成 2 hm2棉田的采摘，小型采棉机1 h完成1 hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台? 大型采棉机台数+小型采棉机台数=总台数； 大型采棉机采摘面积+小型采棉机采摘面积=总面积. 2.如果只设一个未知数（如大型机x台），如何列方程？ 思考 1. 这个问题中包含哪些相等关系？ 3.若直接设两个未知数（大型机x台，小型机y台）， 2x+(6-x)=8. 2x+y=8 x+y=6 知识回顾 采棉机问题 可列方程组： 设一个未知数 设两个未知数 大型采棉机 x x 小型采棉机 6 - x y 等量关系式 导入新课 新疆是我国棉花的主要产地之一.近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机1 h就完成了8 hm2棉田的采摘.如果大型采棉机1 h完成 2 hm2棉田的采摘，小型采棉机1 h完成1 hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台? 采棉机问题 2x+(6-x)=8. 观察一元一次方程和二元一次方程组，你能发现它们之间的联系吗？ 二元方程组： 一元方程： 新知探究 探究点1 探究“消元” 议一议 采棉机问题中所列出的二元一次方程组能得到所列出的一元一次方程吗？ （1）方程组中的y与(6-x)是什么关系？为什么可以替换？ 设一个未知数 设两个未知数 大型采棉机 x x 小型采棉机 6 - x y 等量关系式 2x + (6 - x) = 8 x+y = 6， 2x+y = 8 y = 6-x 第一个方程 x+y=6 y与（ 6-x ）都表示小型采棉机台数 y=6-x 2x+y = 8中的y换成6-x 一元方程 2x + (6 - x) = 8 转化 替换 2x + (6 - x) = 8 2x+y = 8 代换 y = 6-x 新知探究 探究点1 探究“消元” 议一议 2x+ y = 8 y = 6 - x ， (6 - x ) 2x + (6 - x) = 8 ① ② 转化 等量代换 y = 6 - x ， （2） 你能根据x，y的关系所求出二元一次方程组的解吗？ 解得 x = 2 代入①式 y = 4 所以方程组的解 检验：把求出的未知数的值代入原方程组 所得方程组的解正确吗? ①： x+y = 2+4=6 ②： 2x+y =2×2+4=8 原方程组成立，所得方程组的解正确 新知探究 探究点1 探究“消元” 归一归 将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想。 解二元一次方程组的基本思路“消元” 转化 一元一次方程 二元一次方程组 消元 解二元一次方程组的基本思路是什么？ 二元方程 x+y=6 y与（ 6-x ）都表示小型采棉机台数 y=6-x 2x+y = 8中的y换成6-x 一元方程 2x + (6 - x) = 8 转化 替换 代入消元 新知探究 归一归 探究点2 用代入法解方程组 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 代入消元法解二元一次方程组 一元一次方程 二元一次方程组 代入法是解二元一次方程组常用的方法之一。 代入消元 一个未知数用含另一个未知数的式子表示 分析 新知探究 议一议 探究点2 用代入法解方程组 用代入法解方程组 （1）选择哪个方程进行变形会比较简便？为什么？ 方程①，因为x的系数是1，容易表示. （2）用含y的式子表示x，得到什么？ x = y + 3 ③ x = y + 3 ③ 再代入另一个方程，实现消元， 进而求得这个二元一次方程组的解． x = y + 3 ③ x =2 转化 代入消元 求出y的值 回代 新知探究 探究点2 用代入法解方程组 议一议 解方程组 解： 由①得： x = 3+ y ③ 把③代入②得： 3（3+y）– 8y= 14 把y= – 1代入③，得 x = 3+(-1)=2 1、将方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数； 2、用这个式子代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值； 3、把这个未知数的值代入上面的式子，求得另一个未知数的值； 4、写出方程组的解。 用代入法解二元一次方程组的一般步骤 变 代 求 写 9+3y– 8y= 14 – 5y= 5 y= – 1 ∴方程组的解是 1. 变形：将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数。 2. 代入：将变形后的式子( y=ax+b或 x=ay+b)代入另一个没有变形的方程，得到一元一次方程； 3. 求解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。 4. 回代：把求出的值代入变形后的方程（或原方程），求出另一个未知数的值； 5. 写解：写出方程组的解(把两个未知数的值用大括号联立起来)，并检验. 新知探究 探究点3 代入消元法步骤 议一议 从以上解二元一次方程组的过程，你能归纳出代入消元法的一般步骤吗？请讨论交流. 典例分析 例1. 用代入法解方程组 3x-5y = 3， 2x-y = 16. ① ② ……………… 变形 ………………代入 ………………求解 ………………回代 ………………写解 所以这个方程组的解是 x = 11， y = 6. 把 x = 11代入③，得 y = 6. 把③代入①，得 3x-5(2x -16)=3 . 解：由②，得： y =2x - 16 . ③ 解这个方程，得 x = 11. 用代入法解二元一次方程组时变形的式子的选择技巧: ① 当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的关系式时，直接代入； ② 当方程组中有未知数的系数为1或-1时，选择含有系数为1或-1的方程进行变形； 典例分析 例2：解方程组 ． 解：整理①得， 即 整理②得： ，④ 把代入 得 ， 解得：， 把代入 ， ∴方程组的解为. 代入时此处要带括号. 新知巩固 1.把下列方程改写成用含 x 的式子表示 y 的形式： （1）3x+y-1= 0； （2）2x-y = 3. 解：（1）移项得： y=1-3x （2）移项得： y=2x-3 【教材P93 练习】 新知巩固 2. 用代入法解下列方程组： 2x-y=5， 3x+4y=2. （1） 3x-2y=5 ， 2x+y=8. （2） ① ② 所以这个方程组的解： x = 2， y = -1. 把x=2代入③，得： y=-1. 解这个方程，得： x＝2. 解：（1）由①，得 y=2x-5 ③ 【教材P93 练习】 新知巩固 2. 用代入法解下列方程组： 2x-y=5， 3x+4y=2. （1） 3x-2y=5 ， 2x+y=8. （2） ① ② 【教材P93 练习】 所以这个方程组的解： x = 3， y = 2. 把x=3代入③，得： y=2. 解这个方程，得： x＝3. （2）由②，得 y=8-2x ③ 拓展提升 1.某工厂第一车间人数比第二车间人数的少30人，如果从第二车间调10人到第一车间，那么第一车间人数就是第二车间人数的，求原来每个车间的人数． 解：设原来第一车间有x人，第二车间有y人． 由题意得， 解得：． 答：原来第一车间的人数为170人，第二车间的人数为250人． 真题感知 1．（2025西安·校考）解方程组： ． 解：由②，得：， 把代入①，得：， 整理，得． ∴． 把代入③，得： ． ∴原方程组的解为：． 真题感知 2．（2025•自贡）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形，若大平行四边形短边长40cm，则小地砖短边长（　　） A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm 解：设小地砖的长边长为x cm，短边长为y cm， 由题意得：， 解得：， 即小地砖短边长为8cm， B 课堂小结 知识 总 结 （1） 代入消元法： 将一个方程变形后代入另一个方程，实现消元的方法. （3）消元思想： 将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想. （2）代入消元法的五个步骤： →变形 →代入 →求解 →回代 →写解. 方法 总 结 （2）优化策略： 选择系数简单的方程进行变形，优先选择系数为1的未知数表示. （1）化归思想： 将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，将新问题转化为已解决的问题. （3）检验方法： 代入原方程组验证，确保解的准确性. 易 错 提 醒 （1）代入对象错误： 变形后的式子必须代入另一个方程，不能代入原方程（会得到恒等式）. （2）回代选择不当： 求出第一个未知数后，回代到变形后的方程最简便，不必代入原方程. （3）变形错误： 用含一个未知数的式子表示另一个未知数时，符号和系数容易出错. （4）书写不规范： 解方程组要按规范的步骤书写，逻辑清晰. （5）忘记检验： 解完后要养成检验的习惯，避免计算错误. 课后练习 课本p93课堂练习 2. 用代入法解下列方程组： 4a-3b=5， 2a+b=5. （3） s-3t=-2， s+5t=6. （4） ① ② ∴这个方程组的解是 a = 2， b = 1. 把a=2代入③，得 b=1. 解这个方程，得 a＝2. 把③代入①，得 4a-3(5-2a)=5. （3）由②，得 b=5-2a ③ 课后练习 2. 用代入法解下列方程组： 4a-3b=5， 2a+b=5. （3） s-3t=-2， s+5t=6. （4） ① ② ∴这个方程组的解是 s = 1， t = 1. 把 t=1代入③，得 s=1. 解这个方程，得 t＝1. 把③代入②，得 (3t-2)+5t =6. （4）由①，得 s=3t-2 ③ 课本p93课堂练习 课后练习 教材p99页 (1) x+2y= 1； (2) x+ y= 2； (3) 5x-3y= x+2y； (4) 2(3y-3) = 6x+4 . 1.把下列方程改写成用含 x 的式子表示 y 的形式: （1） 2y= 1- x （4） 3y-6 = 6x+4 3y = 6x+10 （2） y= 2- x （3）移项： -3y-2y= x-5x -5y= -4x 习题10.2 解: 课后练习 ① ② y=x+3 7x+5y =9 (1) 2.用代入法解下列方程组: ∴这个方程组的解是 x = y = . 把 x =代入①，得 y = . 把①代入②，得 7x + 5(x+3) = 9. 解：(1) 解这个方程，得 x = 3s-t=5 5s+2t =15 (2) 习题10.2 教材p99页 课后练习 y=x+3， 7x+5y =9； (1) 2.用代入法解下列方程组: ∴这个方程组的解是 s = t = 把 s =代入③，得 t = . 把③代入②，得 5s + 2(3s-5) = 15. 解：(2)由①，得 t =3s-5.③ 解这个方程，得 s = . ① ② 3s-t=5， 5s+2t =15； (2) 习题10.2 教材p99页 课后练习 5.一条船顺流航行，每小时行驶20km；逆流航行，每小时行驶16km.船在静水中的速度与水流速度分别是多少? 解：设船在静水中的速度为 x km/h，水流速度为 y km/h. 根据题意，列得方程组 答：船在静水中的速度是 18 km/h，水流速度是 2 km/h. x + y = 20， x - y = 16. 习题10.2 教材p99页 解这个方程组，得 x=18， y=2. 谢谢聆听 $