第02讲 矩形、菱形、正方形（课件）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第02讲 矩形、菱形、正方形 第五章 四边形 2大考点 10大重难突破 2大中考命题点 15题型探究 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 矩形 1.理解矩形的概念，掌握矩形与平行四边形的关系 2.掌握矩形的性质与判定定理 3.能运用矩形的性质与判定解决相关计算与证明问题 1.性质应用：常考矩形的对角线相等、四个角为直角等性质，结合勾股定理、全等三角形求线段长或角度（如2025・浙江卷、2025・山东卷） 2.判定证明：结合平行四边形，证明一个四边形是矩形（如2025・江苏卷） 3.综合应用：与折叠、旋转、坐标系结合，探究线段最值或存在性问题（如2025・湖南卷） 4.实际应用：以矩形为背景的测量、面积计算等实际问题 菱形 1.理解菱形的概念，掌握菱形与平行四边形的关系 2.掌握菱形的性质与判定定理 3.能运用菱形的性质与判定解决相关计算与证明问题 1.性质应用：常考菱形的四条边相等、对角线互相垂直平分等性质，结合勾股定理、三角函数求线段长或面积（如2025・四川卷、2025・广东卷） 2.判定证明：结合平行四边形，证明一个四边形是菱形（如2025・河南卷） 3.综合应用：与相似三角形、圆结合，考查角度与线段比例关系（如2025・湖北卷） 4.动态问题：菱形中的动点轨迹、面积最值等探究问题 正方形 1.理解正方形的概念，掌握正方形与矩形、菱形的关系 2.掌握正方形的性质与判定定理 3.能运用正方形的性质与判定解决相关计算与证明问题 1.性质应用：综合矩形与菱形的性质，考查对角线相等且垂直、边长与对角线的比例关系等（如2025・北京卷、2025・上海卷） 2.判定证明：从平行四边形、矩形、菱形出发，证明一个四边形是正方形（如2025・安徽卷） 3.综合压轴：与坐标系、函数、旋转、折叠结合，作为中考几何压轴题的核心图形（如2025・河北卷、2025・重庆卷） 4.新定义问题：以正方形为背景的新定义运算或图形探究，考查知识迁移能力 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 命题预测 命题趋势：矩形、菱形、正方形是中考几何的核心内容，考查覆盖面广，题型以选择题、填空题、解答题为主，难度跨度从基础到压轴均有涉及。其中，特殊平行四边形的性质与判定是基础考点，而与图形变换（折叠、旋转）、坐标系、函数、三角形全等/相似的综合应用是考查重点，着重考查学生的逻辑推理、数形结合和知识迁移能力。同时，也会涉及到新定义题型，考查学生的阅读理解和创新应用能力。 备考建议： 夯实基础概念：重点掌握矩形、菱形、正方形的性质与判定定理，明确平行四边形与三者的关系，确保在基础证明与计算题上不丢分。 强化性质应用训练：加强对“矩形对角线相等”“菱形对角线垂直平分”“正方形双重性质”等核心特征的应用练习，结合勾股定理、三角函数解决线段与面积计算问题。 突破图形变换综合题：针对折叠、旋转背景下的特殊平行四边形问题，重点训练利用变换不变性（边长、角度不变）推导线段与角度关系的能力。 提升坐标系与函数综合能力：加强坐标系中特殊平行四边形的存在性探究训练，掌握利用中点坐标公式、平移性质等方法求解的技巧，提升数形结合能力。 关注新定义与创新题型：重视以特殊平行四边形为背景的新定义问题，培养材料阅读和逻辑推理能力，提升应对创新题型的能力。 知识导航•网络构建 知识 • 核心梳理 考点一 矩形、菱形、正方形的概念及性质   概念 性质 面积 边 角 对角线 其它 矩形 有一个角为直角的平行四边形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 对角线将其分成4个等腰三角形 （a,b分别为矩形的长和宽） 菱形 有一组邻边相等的平行四边形 对边平行、四条边都相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角 对角线将其分成4个全等的直角三角形 （a为菱形的边长，h为菱形一边上的高）； （m,n分别为两条对角线的长） 正方形 四条边都相等、四个角都是直角的四边形 四个角都是直角 对角线将其分成4个全等的等腰直角三角形 （a为正方形的边长）   真题 • 实战精炼 考点一 矩形、菱形、正方形的概念及性质 1．（2025·陕西·中考真题）如图，在矩形中，，延长至点，延长至点，连接，．若四边形为菱形，则这个菱形的面积为（    ） A．9 B． C． D． 解：∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，， 设，则在中， ∴ ∵， 即， ∴， C 即． ∴， ∴菱形的面积为， 真题 • 实战精炼 考点一 矩形、菱形、正方形的概念及性质 2．（2025·四川巴中·中考真题）如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，，于点H，的长为 ． 解：四边形是菱形， ，， ， 菱形的面积， ， 真题 • 实战精炼 考点一 矩形、菱形、正方形的概念及性质 3．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（    ） 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，P为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， C 真题 • 实战精炼 考点一 矩形、菱形、正方形的概念及性质 4．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形的边长为4，点为的中点，点在上，，则的面积为（    ）  A．10 B．8 C．5 D．4 解：∵四边形为正方形， ∵为的中点，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即，∴， ∴的面积． C 知识 • 核心梳理 考点二 矩形、菱形、正方形的判定 四边形 边 角 对角线 矩形   1）平行四边形+一直角 2）四边形+三直角 平行四边形+两条对角线相等 菱形 1）平行四边形+一组邻边相等 2）四边形+四条边都相等   平行四边形+两条对角线互相垂直 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 矩形+对角线互相垂直 菱形+对角线相等 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 解：∵点O是边的中点，∴， 又，∴四边形是平行四边形， ．若，则四边形是菱形，无法得出四边形为矩形，故该选项符合题意； ．若，则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．∵四边形是平行四边形，∴，又，，∴，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．若，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； 真题 • 实战精炼 考点二 矩形、菱形、正方形的判定 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． A 真题 • 实战精炼 考点二 矩形、菱形、正方形的判定 2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，请添加一个条件 ，使平行四边形为菱形． 解：根据有一组邻边相等的平行四边形为菱形，可以添加：； 根据对角线互相垂线的平行四边形为菱形， 可以添加：； 或 真题 • 实战精炼 考点二 矩形、菱形、正方形的判定 3．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在中，对角线与相交于点．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是 （只需填一种组合即可）． 解：当选择①；②时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵，∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； 当选择①；③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵，∴四边形是正方形； 当选择②；③， 由于四边形是平行四边形，若或，均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或①③均可以， ①②或①③ 矩形、菱形、正方形的基础核心题型 命题点一 ►题型01 矩形性质直接计算题 ►题型02 菱形性质直接计算题 ►题型03 正方形性质直接计算题 ►题型04 矩形判定证明题 ►题型05 菱形判定证明题 ►题型06 正方形判定证明题 ►题型07 特殊平行四边形判定辨析题 ►题型01 矩形性质直接计算题 解题技巧 1)矩形是特殊的平行四边形，所以矩形具有平行四边形的一切性质； 2)矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的勺等腰三角形，经常会用到等腰三角形的性质解决问题 3)利用矩形的性质可以推出：在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半， 解题方法：理解记忆矩形的性质，当题目己矩形或者证明出矩形时，要立刻能想到相应的性质 ►题型01 矩形性质直接计算题 【典例1】（2025·四川·中考真题）如图，在矩形中，对角线相交于点O，则的长为 ． 解：∵四边形为矩形， ∴，且， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴ 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断△AOB是等边三角形是解题的关键． 根据矩形的对角线互相平分且相等，可知OA=OB=OC=OD，然后由∠AOB=60°可得△AOB为等边三角形，然后可求得AC=2AB，进而即可求解 解析 ►题型01 矩形性质直接计算题 【变式1】（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形中，点、分别在上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上的点M处．若A、、三点共线，则的值为 ． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，∴，， 由翻折得，， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， 设，则，， ∴， ∴， ►题型01 矩形性质直接计算题 【变式2】（2025·山东德州·中考真题）如图，矩形的顶点O，A，C的坐标分别是，，，与矩形周长相等，的面积是矩形面积的一半，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 解：过D点作轴，交轴于点，如图： 与矩形周长相等，， ， 的面积是矩形面积的一半，， ， 由勾股定理得：， 点D的坐标为． A F ∟ ►题型01 矩形性质直接计算题 【变式3】（2025·黑龙江绥化·中考真题）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为，则这个矩形的面积是（    ） A．25 B． C． D． 解：如图，∵四边形是矩形，  ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 由勾股定理得，， ∴矩形的面积． B ►题型02 菱形性质直接计算题 方法 ： 1)菱形是特殊的平行四边形，所以菱形具有平行四边形的一切性质；2)菱形的一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形；3)菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形； 4)对角线互相垂直的四边形不一定是菱形(例：垂美四边形); 5)菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，它的对你轴是两条对角线所在的直线，对成中心是对线的交点 辩易错：在利用对角线长求菱形的面积时，要特别注意不要漏掉计算公式中的. ►题型02 菱形性质直接计算题 【典例2】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 解：如图，∵四边形是菱形， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴ B ►题型02 菱形性质直接计算题 【变式1】（2025·山东烟台·中考真题）如图，菱形的顶点在轴正半轴上，，反比例函数的图象过点和菱形的对称中心，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 解：∵菱形的顶点在轴正半轴上，， ∴，， ∴， 设，∴， ∴，解得：， 过作于，∴， ∴，∴， ∴； D H ∟ ►题型02 菱形性质直接计算题 【变式2】（2025·江苏无锡·中考真题）如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为 ． 解：∵菱形的边长为2，， ∴ ， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴； ►题型02 菱形性质直接计算题 【变式3】（2025·青海·中考真题）如图，在菱形中，，，分别为，的中点，且，则菱形的面积为 ． 解：∵，分别为，的中点， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴菱形的面积为: ， 【变式4】（2025·福建·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，则与的面积之和为 ． 解：∵菱形，， ∴，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 1 ►题型02 菱形性质直接计算题 ►题型03 正方形性质直接计算题 在正方形问题中，一般可以通过证三角形全等来得到等线段或等角，也可以利用正方形的角是直角来构造直角三角形，利用勾股定理解题.在正方形中，也常用对角线互相垂直平分证明线段相等. 解： 四边形ABCD是正方形， ，， ，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、， 令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，， 内切于，， ，， ， 解得：，即的内切圆半径为2， ►题型03 正方形性质直接计算题 【典例3】（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 B 解：如图，过作于， ∵正方形， ∴，， ，，，， 由对折可得：，，，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ►题型03 正方形性质直接计算题 【变式1】（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ）  A． B．2 C． D． ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； B H ∟ 解：过点F分别作， 垂足为M，N，连接，则， ∵四边形为正方形， ∴，∴， ∴，∴， ∵, ∴， ∵，垂足为F，，， ∴， ∴，∴， ∴， ∴， ►题型03 正方形性质直接计算题 【变式2】（2025·北京·中考真题）如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为 ． ►题型03 正方形性质直接计算题 【变式3】（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ． 解：如图，设，则， 则在直角三角形中，由勾股定理可得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴正方体的棱长为cm， 故答案为：． ►题型04 矩形判定证明题 四边形 平行四边形 矩形 有三个角是直角 对角线相等 有一个角是直角 矩形 矩形 ►题型04 矩形判定证明题 【典例4】（2025·云南·中考真题）如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． (1)求证：四边形是矩形 (2)若，求的长． （1）证明： ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解： ∵， ， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴，∴的长为10． ►题型04 矩形判定证明题 【变式1】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点 ，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． （1）解：∵ 是的内切圆， 与分别相切于点 ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴的度数分别为． ►题型04 矩形判定证明题 【变式1】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点 ，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． （2）证明：由切线长定理得 ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形，∴， ∵的直径为d，为的半径， ∴， ∴． ►题型04 矩形判定证明题 【变式2】（2025·山东威海·中考真题）（1）如图①，将平行四边形纸片的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形．判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，已知能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形，其中，点M在上，点N在上，点P在上，点Q在上．请用直尺和圆规确定点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 解：（1）四边形是矩形，理由如下： 由折叠的性质可知，，， ， ， ，即， 同理可得：， ∴四边形是矩形； ►题型04 矩形判定证明题 【变式2】（2025·山东威海·中考真题）（1）如图①，将平行四边形纸片的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形．判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图②，已知能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形，其中，点M在上，点N在上，点P在上，点Q在上．请用直尺和圆规确定点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 解：（2）由（1）可知： ， 故分别为的中点， 点在以为直径的圆上， 同理：点分别为的中点， 点在以为直径的圆上， 如图，即为所求． ►题型04 矩形判定证明题 【变式3】（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中，，求的长． （1）解： ∵是等腰三角形， ，， ∴当时， 此时满足三角形三边关系，符合题意； 当时，， 不满足三角形三边关系，不符合题意； 综上，， （2）解：①四边形是矩形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； ►题型04 矩形判定证明题 （2）②过点作于点， ∵，∴是直角三角形，且， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴在中，， 【变式3】（2025·江苏常州·中考真题）在四边形中，对角线、相交于点O，，． (1)若是等腰三角形，则_______； (2)已知，． ①若，判断四边形是怎样的特殊四边形，并说明理由； ②如图，在中，，求的长． E ∟ ∴， ∴在中， ， ∴， ∴． ►题型05 菱形判定证明题 ►题型05 菱形判定证明题 【典例5】（2025·西藏·中考真题）如图，在四边形中，，，点E是的中点，且平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，，求线段的长． （1）证明： ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， （2）解：∵， 根据（1）可得，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形； ►题型05 菱形判定证明题 【变式1】（2025·吉林长春·中考真题）如图，的对角线、相交于点．求证：是菱形． 证明：∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 本题考查了菱形的判定， 勾股定理逆定理，熟练掌握菱形的几种判定定理是解题的关键． 先由勾股定理逆定理得到∠AOB=90°，再根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明． 解析 ►题型05 菱形判定证明题 【变式2】（2025·云南·模拟预测）如图，在中，，为的中点，垂直平分，交于点． (1)请判断四边形的形状； (2)若，，求四边形的面积． （1）解： 四边形是菱形，理由如下： ∵，为的中点， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴ ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴四边形的面积为： ►题型05 菱形判定证明题 【变式3】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，中，点是上一点，点是的中点，过点作平行线，与 的延长线交于点F． (1)判断并证明与之间的数量关系； (2)连接，添加一个与线段有关的条件，使四边形是菱形． (不需要说明理由)． （1）证明：， ，， 点是的中点， ， 在与中， ， ， ； ►题型05 菱形判定证明题 【变式3】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，中，点是上一点，点是的中点，过点作平行线，与 的延长线交于点F． (1)判断并证明与之间的数量关系； (2)连接，添加一个与线段有关的条件，使四边形是菱形． (不需要说明理由)． （2）解：添条件，则四边形是菱形， 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形； 添条件或或， 同理可证平行四边形为菱形； 添条件，四边形是菱形， 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵，∴平行四边形为菱形． ►题型06 正方形判定证明题 在判定一个四边形是正方形时，要弄清是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础之上来判定的，判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等；还可以先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等． 解答此类问题时要认真审题，通过对已知条件的综合分析，最后确定用哪一种判定方法. ►题型06 正方形判定证明题 【典例6】（2025·河南郑州·二模）如图，在四边形中，是线段上的任意一点（点与点、不重合），、、分别是、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连接，若，且，求证：四边形是正方形． （1）证明：，分别是，的中点， 且． 又是的中点， ， 且． 四边形是平行四边形； ►题型06 正方形判定证明题 【典例6】（2025·河南郑州·二模）如图，在四边形中，是线段上的任意一点（点与点、不重合），、、分别是、、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连接，若，且，求证：四边形是正方形． （2）由（1）得四边形是平行四边形 ，分别是，的中点， 且． 又且， ，． 平行四边形是正方形． ►题型06 正方形判定证明题 【变式1】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，正方形的边长为，E，F，G，H分别是上的动点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)填空：四边形面积的最小值为 。 （1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． ►题型06 正方形判定证明题 【变式1】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，正方形的边长为，E，F，G，H分别是上的动点，且． (1)求证：四边形是正方形； (2)填空：四边形面积的最小值为 。 （2）由（1）得：四边形是正方形 设， 则， ， ∴当时，四边形面积取最小值，最小值为． ►题型06 正方形判定证明题 【变式2】（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在矩形中，点是边上的点，，交于点求证：四边形是正方形． 证明：四边形是矩形， ， 点是边上的点， 交于点， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 本题考查了矩形的判定与性质、正方形的判定． 由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°， 由EF∥CD得∠BFE=∠C=90°， 则四边形ABFE是矩形，而AE=AB，所以四边形ABFE是正方形． 解析 ►题型06 正方形判定证明题 【变式3】（2025·山东青岛·二模）已知：如图，在中，M是边的中点，且． (1)判断四边形的形状并证明； (2)如果将沿翻折得到，当和满足什么数量关系时，四边形是正方形，并证明． （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵M是边的中点，∴， 在和中，， ∴（），∴， ∵，∴， ∴， ∴，∴四边形是矩形； ►题型06 正方形判定证明题 【变式3】（2025·山东青岛·二模）已知：如图，在中，M是边的中点，且． (1)判断四边形的形状并证明； (2)如果将沿翻折得到，当和满足什么数量关系时，四边形是正方形，并证明． （2）当时，四边形是正方形. 由翻折得：，． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵M是边的中点， ∴， ∵，∴， ∴，∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是正方形． ►题型06 正方形判定证明题 【变式4】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，中，对角线交于点O，点E在边上，延长交于点F，连接，与互余．  (1)求证：四边形是菱形； (2)再选择添加以下条件中的一个且只添加一个，能使菱形为正方形的是______（填序号），并请加以证明． ①；②；③，，． （1）证明：∵中，对角线交于点O， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵与互余． ∴与互余． ∴ 即， ∴四边形是菱形； ►题型06 正方形判定证明题 【变式4】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，中，对角线交于点O，点E在边上，延长交于点F，连接，与互余．  (1)求证：四边形是菱形； (2)再选择添加以下条件中的一个且只添加一个，能使菱形为正方形的是____ __（填序号），并请加以证明． ①；②；③，，． （2）添加②； 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴菱形是正方形， 添加③，， ∵ ∴是直角三角形，， ∴， ∴菱形是正方形 故答案为： ∴， 解答, ∴， ②或③ ►题型07 特殊平行四边形判定辨析题 【典例7】（2025·内蒙古赤峰·二模）下列正确命题的个数是（    ） ①有一组邻边相等的四边形是菱形；②四条边相等的四边形是正方形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形；④对角线相等的平行四边形是矩形；⑤对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解： ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故命题①错误； ②四条边相等的四边形是菱形，故命题②错误； ③有一个角是直角的平行四边形是矩形；故命题③正确； ④对角线相等的平行四边形是矩形，故命题④正确； ⑤对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故命题⑤正确； 综上所述：命题正确的有3个， C ►题型07 特殊平行四边形判定辨析题 【变式1】（2024·安徽亳州·三模）如图，四边形的对角线，相交于点O，，，则下列说法错误的是（　　）  A．若，则四边形是矩形 B．若平分，则四边形是菱形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 解：∵，∴， ∵，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 若则四边形是矩形， 故A选项不符合题意； 若平分，， ∵， ∴， ∴， 则四边形是菱形，故B选项不符合题意； 若且，则四边形是正方形，故C选项不符合题意； 若且，则四边形是菱形，故D选项符合题意； D ►题型07 特殊平行四边形判定辨析题 【变式2】（2025长沙模拟预测）如图，在中，对角线交于点E，，．   (1)当平分时，求证：为矩形． (2)在以下命题中：①当时，为正方形．②当时，为正方形．③当时，四边形为菱形．④当时，四边形为菱形．正确的有：________，请选择一个正确的命题进行证明． （1）证明：∵， ∴四边形为平行四边形 ∴ ∵平分 ∴ ∵∴ ∵ ∴∴为矩形 ►题型07 特殊平行四边形判定辨析题 【变式2】（2025长沙模拟预测）如图，在中，对角线交于点E，，．   (1)当平分时，求证：为矩形． (2)在以下命题中：①当时，为正方形．②当时，为正方形．③当时，四边形为菱形．④当时，四边形为菱形．正确的有：________，请选择一个正确的命题进行证明． （2）解：①当时， 则，为菱形． 故①错误； ②当时， ∵， ∴四边形为平行四边形 ∴ ∵ ∴， ∴且∴为正方形 故②正确； ③当时，不能推出四边形为菱形．故③错误； ④当时， ∵∴ ∵∴ ∴∴四边形为矩形故④错误 ② ►题型07 特殊平行四边形判定辨析题 【变式3】（2025年江苏省盐城市两地联考中考一模数学试题）如图，四边形是菱形，点、在线段上，且．  (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当的值为________时，四边形是正方形 （直接写出结果，不需要证明） （1）解：四边形的形状是菱形，理由如下： 连接，交于点，如图1所示：  ∵四边形是菱形， ， 点在直线上，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； ►题型07 特殊平行四边形判定辨析题 【变式3】（2025年江苏省盐城市两地联考中考一模数学试题）如图，四边形是菱形，点、在线段上，且．  (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当的值为________时，四边形是正方形 （直接写出结果，不需要证明） （2）解：当时，四边形是正方形，理由如下： 当四边形是正方形时，则， 设， 则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 标题 命题点二 ►题型01 矩形与三角形全等/相似综合证明题 ►题型02 菱形与三角函数综合计算题 ►题型03 正方形与三角形相似综合题 ►题型04 折叠问题 ►题型05 多结论问题 ►题型06 正方形旋转/平移变换题 ►题型07 特殊平行四边形面积最值探究题 ►题型08 特殊四边形与实际问题 ►题型01 矩形与三角形全等/相似综合证明题 由矩形的性质可得到两组对边相等，对角线相等且互相平分和四个直角，解决以矩形为背景的几何问题时，常常借助这些边和直角并结合全等/相似三角形的知识把已知和未知联系起来，使问题得以解决. ►题型01 矩形与三角形全等/相似综合证明题 【典例1】（2025·四川南充·中考真题）矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长． ►题型01 矩形与三角形全等/相似综合证明题 【典例1】（2025·四川南充·中考真题）矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． （1）证明：连接，由折叠可得 ，． ∵四边形为矩形，． ∵为的中点，， ∴． 在与中， ∵，， ∴， ∴ ►题型01 矩形与三角形全等/相似综合证明题 【典例1】（2025·四川南充·中考真题）矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值． （2）解：，点在移动过程中，不变． ∴点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值． ∵，，，∴． ∴， ∴的最小值为． ►题型01 矩形与三角形全等/相似综合证明题 【典例1】（2025·四川南充·中考真题）矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长． （3）解：过点作于，交于点， ∵，∴， ∴．∴． ∵，∴， ∴，∴， ∵，， ∴． 设，， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 解得． ∴，． ，，． 设，则，． 在中，， ∴． 解得，， 即的长为5． ►题型01 矩形与三角形全等/相似综合证明题 【变式1】（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点．  (1)求证：； (2)设的角平分线交于点． ①当时，求点到的距离； ②若，作直线分别交于两点，求的值． （1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，∴； ►题型01 矩形与三角形全等/相似综合证明题 【变式1】（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点．  (1)求证：； (2)设的角平分线交于点． ①当时，求点到的距离； （2）解：①在中，∵， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为，设， 则， ∴，即， ∴点到的距离为2； ►题型01 矩形与三角形全等/相似综合证明题 【变式1】（2025·江苏南通·中考真题）如图，矩形中，对角线相交于点．是的中点，交于点． ②若，作直线分别交于两点，求的值． 在中，， ∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴． ②如图，作，垂足为，作，垂足为，  设， ，， ►题型01 矩形与三角形全等/相似综合证明题 【变式2】（2025·福建·中考真题）如图①，已知四边形中，，，，，，点是边上的动点，连接，作，设射线交线段于，交射线于．  (1)如果射线经过点（即点、与点重合，如图②所示），求的长； (2)若点在的延长线上，不与点重合，设，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围． ►题型01 矩形与三角形全等/相似综合证明题 【变式2】（2025·福建·中考真题）如图①，已知四边形中，，，，，，点是边上的动点，连接，作，设射线交线段于，交射线于．  (1)如果射线经过点（即点、与点重合，如图②所示），求的长； （1）解：如图所示，过点作延长线于点，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中， ， 在中， ， ∵， ∴，且， 解得，或， ∴当时，； 当时，； ∴的长为或； ∴， ∴，则， ∴， 整理得，， 则， ►题型01 矩形与三角形全等/相似综合证明题 【变式2】（2025·福建·中考真题）如图①，已知四边形中，，，，，，点是边上的动点，连接，作，设射线交线段于，交射线于．   (2)若点在的延长线上，不与点重合，设，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围． （2）解：如图所示，在上取点，使得，则，， ∴， ∴，， ∴，， 由（1）得，， ∴，则， ∴， ∴，∴， ∴，即， ∴， ∵点在的延长线上，不与点重合，由（1）得，当的长为或时，点、与点重合， ∴， ∴关于的函数解析式及的取值范围为：． ►题型02 菱形与三角函数综合计算题 菱形的 “对角线互相垂直平分” 会形成多个直角三角形，这是三角函数的天然应用场景。 ►题型02 菱形与三角函数综合计算题 【典例2】（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作交于点，交对角线于点．动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，、两点同时出发，设运动时间为秒．  (1)求点坐标； (2)连接、，求的面积S关于运动时间t的函数解析式； (3)当时，在对角线上是否存在一点，使得是含角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． ►题型02 菱形与三角函数综合计算题 【典例2】（2025·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，，的长是一元二次方程的根，过点作交于点，交对角线于点．动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，、两点同时出发，设运动时间为秒．  (1)求点坐标； （1）解：由解得，，， ∵的长是一元二次方程的根， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴平分， ∴，∴， ∴ 答：点的坐标为． ►题型02 菱形与三角函数综合计算题 【典例2】（2025·黑龙江·中考真题）  (2)连接、，求的面积S关于运动时间t的函数解析式； （2）解：根据题意可知，，， 如图，作于点，则， ∵，，， ∴，作轴于点， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴的面积， 当时，， ∴的面积 ， 综上所述， ， ►题型02 菱形与三角函数综合计算题 【典例2】（2025·黑龙江·中考真题） (3)当时，在对角线上是否存在一点，使得是含角的等腰三角形．若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． （3）解：如图，当时，，点和点重合，，，， 假设在对角线上存在一点，使得是含角的等腰三角形， 当为顶角时，点与点重合，， 当为顶角时，点与点重合，， 当为顶角时，， 设，则， ∵，∴， ∴，∴， ∴， 答：当时，在对角线上存在一点，使得是含角的等腰三角形， ，，． ►题型02 菱形与三角函数综合计算题 【变式1】（2025·广东深圳·中考真题）如图1，在中，是的中点，，．  (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点， ①求__________； ②求的半径； (3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． （1）解：， 四边形为平行四边形， 又，且为中点 ， 平行四边形为菱形． （2）①四边形为菱形．， ， 又，， ， 切于，， ； ； ►题型02 菱形与三角函数综合计算题 【变式1】（2025·广东深圳·中考真题）如图1，在中，是的中点，，．  (1)求证：四边形为菱形； (2)如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点， ①求__________； ②求的半径； (3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由． ②设半径为， ， ， ，， ； 解得：； （3）由题意，作图如下： ►题型02 菱形与三角函数综合计算题 【变式2】（2025·甘肃·中考真题）如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F、点D是延长线上的一点且． (1)求证：是的切线； (2)若四边形是平行四边形，．求的长． （1）证明：如图1，连接， ，， ． ， ． 是的直径， ，即． ， ，即． 为的半径， 是的切线． ►题型02 菱形与三角函数综合计算题 【变式2】（2025·甘肃·中考真题）如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F、点D是延长线上的一点且． (1)求证：是的切线； (2)若四边形是平行四边形，．求的长． （2）解：如图2， 四边形是平行四边形， ． 又， ， ． ， 是菱形， 在中， ． ►题型03 正方形与三角形相似综合题 正方形的 “直角” 和 “边长相等” 的性质，很容易构造出全等/相似三角形. ►题型03 正方形与三角形相似综合题 【典例3】（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线．  (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． ►题型03 正方形与三角形相似综合题 【典例3】（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线．  (1)将射线绕点P逆时针旋转90°，交边于点F． ①如图1，当点P与点O重合时，求证：； （1）①证明：过点P作、，如图所示： 则 四边形是正方形 四边形是矩形 在中， 四边形是正方形 ， ； ►题型03 正方形与三角形相似综合题 【典例3】（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线．  ②如图2，当时，请判断是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； ②过点P作、，如图所示 由①可知四边形是正方形 、 故 为定值，该定值为； ►题型03 正方形与三角形相似综合题 【典例3】（2025·山东德州·中考真题）已知点O是正方形的中心，点P，E分别是对角线，边上的动点（均不与端点重合），作射线．   (2)如图3，连接BP，当时，将射线绕点P顺时针旋转90°，交边于点F．若，，求四边形的面积（用含a，k的式子表示）． （2）解：过点P作、，连接，如图所示： 四边形是正方形 射线绕点P顺时针旋转90°， 交边于点F 、 同理可得 是等腰直角三角形 在中， 由勾股定理得 ． 答：四边形的面积为． ►题型03 正方形与三角形相似综合题 【变式1】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且．  (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． （1）证明：∵正方形， ∴，， ∴，∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ►题型03 正方形与三角形相似综合题 【变式1】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且．  (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （2）解：∵的周长为4， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴的大小是定值，定值为； ►题型03 正方形与三角形相似综合题 【变式1】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且．  (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． （3）解：连接， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴是的高， ∵，∴是的高， 由（2）得，， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为． ►题型03 正方形与三角形相似综合题 【变式2】（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． ►题型03 正方形与三角形相似综合题 【变式2】（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； 解：（1），理由如下， 如图，当点G，H重合时， ∵正方形与正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ►题型03 正方形与三角形相似综合题 【变式2】（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由； （2），理由如下， 由（1）得， ∴， 在上截取， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ►题型03 正方形与三角形相似综合题 【变式2】（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系． （3），理由如下， 由（1）得， ∴，， 在上截取，  ∵，， ∴， ∴，， 同理，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． ►题型03 正方形与三角形相似综合题 【变式3】（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． ►题型03 正方形与三角形相似综合题 【变式3】（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 垂直 相等 （2）证明：过点作于，过点作分别交、于、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ， ∴四边形为矩形，四边形为正方形， ∴， ，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，∴， ∴， ∵， ∴，∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； ►题型03 正方形与三角形相似综合题 【变式3】（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【实践应用】（3）若，，求的长； （3）在正方形中，由， ，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 得， 由等面积法得， 即， ∴， ， 在中， 由（2）可知，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ； ►题型03 正方形与三角形相似综合题 【变式3】（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． （4）如图，构造的外接圆，连接，，， 过点作于点，设的半径为，过点作于， 由（2）可知，，∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵正方形中，， 是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∴最小时，的面积最小， ∵， ∴当最小时，的面积最小， 由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小， 此时如图，点与重合，  则， 解得：， ∴， ∴ ． ►题型04 折叠问题 1.折叠的性质： (1) 折叠的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形； (2) 对应点的连线被折痕所在直线垂直平分。 2.当涉及直角时，常利用勾股定理、相似三角形的性质或锐角三角函数的定义建立方程来解决问题。当题中涉及中点时，常利用中线或中位线的知识解决问题。当折叠背景为平行四边形时，要考虑平行四边形的性质，常利用角平分线和平行线构造等腰三角形解决问题。 ►题型04 折叠问题 【典例4】（2025·河北·中考真题）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵折叠∴ ∴ ∵，即∴，故A不正确 ∵ ∴，故B不正确 ∵折叠，∴ ∵， 故C不正确，D选项正确 D 解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴， ， ∴四边形是矩形，∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵∴， ►题型04 折叠问题 【变式1】（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则 ． 设正方形边长为， 则， ∵， ∴， 在中， ， 即 解得：或 （不合题意舍去） ∴． ►题型04 折叠问题 【变式2】（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F 处．若点F的坐标为．则点E的坐标为 ． 解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上， 如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A的坐标为，∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处． 若点F的坐标为， ∴，，， 在中， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设， 则， ， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为， G ►题型04 折叠问题 【变式3】（2025·江西·中考真题）如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是 . 解：①当与的夹角为时， 即,如图： ，, , , ; 或或 , , ; 综上，的度数可以是或或． ②当与的夹角为时， 即,如图： ，, , , ; 或，如图： ，, ►题型05 多结论问题 【典例5】（2025·山东青岛·中考真题）如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论： ①； ②； ③； ④． 正确的是 （填写序号）． 解：∵正方形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵正方形， ∴，即， ∴， ∵正方形， ∴，， ►题型05 多结论问题 【典例5】（2025·山东青岛·中考真题）如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论： ①； ②； ③； ④． 正确的是 （填写序号）． ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， 设正方形的边长为， ∴， ， ∴ ， 故③错误； ►题型05 多结论问题 【典例5】（2025·山东青岛·中考真题）如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论： ①； ②； ③； ④． 正确的是 （填写序号）． ∵正方形， ∴，， ∵点，分别为，的中点， ∴， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∵点为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴，∴， ∵，∴， ∴，故④正确； ①④ ►题型05 多结论问题 【变式1】（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 解：∵正方形， ∴， ， ，， ∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，， ∴，， ∴， 故③不符合题意； ►题型05 多结论问题 【变式1】（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间的距离的最小值为． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 如图，取的中点，连接， ∵， ∴在以为圆心，为直径的圆上， 当共线时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点与点之间的距离的最小值为 ．故④符合题意； ①②④ ►题型05 多结论问题 【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，对角线，交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，延长交直线于点，延长交直线于点，分别连接，，有如下结论： ①，； ②四边形是菱形； ③若，．则； ④若，，，点为上的一个动点，则的最小值是． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． ①∵四边形是平行四边形， ∴，； 即结论①正确； ②∵中，， ∴， ∵，， ∴≌ ∴ ∵ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； 即结论②正确； ►题型05 多结论问题 【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，对角线，交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，延长交直线于点，延长交直线于点，分别连接，，有如下结论： ①，； ②四边形是菱形； ③若，．则； ④若，，，点为上的一个动点，则的最小值是． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． ③∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∵，， ∴ ， 即结论③错误． ►题型05 多结论问题 【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，对角线，交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，延长交直线于点，延长交直线于点，分别连接，，有如下结论： ①，； ②四边形是菱形； ③若，．则； ④若，，，点为上的一个动点，则的最小值是． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． ④因为点关于的对称点是点， 连接交于点， 当点与重合时， 的值最小即为的长． ∵菱形中， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 在和中， ， ∴∽， ►题型05 多结论问题 【变式2】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，中，对角线，交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，延长交直线于点，延长交直线于点，分别连接，，有如下结论： ①，； ②四边形是菱形； ③若，．则； ④若，，，点为上的一个动点，则的最小值是． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∵中， ∴ ， 即结论④正确． ①②④ ►题型05 多结论问题 【变式3】（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论： ①四边形为平行四边形； ②； ③； ④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 解：∵四边形是菱形， ， ∴，， ∴， ∵，∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形， 故①正确； ∵，∴， ∴，故②正确； ►题型05 多结论问题 【变式3】（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论： ①四边形为平行四边形； ②； ③； ④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ►题型05 多结论问题 【变式3】（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论： ①四边形为平行四边形； ②； ③； ④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 如图，过点H作与点Q，  设菱形的边长为， 则， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故④正确， Q ∟ D ►题型06 正方形旋转/平移变换题 【典例6】（2025·海南·中考真题）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【教学理解】 （2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值． 【知识技能】 （1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①证明，并判断是否成立； ②若，，请计算正方形的周长． ►题型06 正方形旋转/平移变换题 【典例6】（2025·海南·中考真题）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【知识技能】 （1）如图1，在正方形中，、分别是边、上的点，连接、、、且．将绕点按逆时针方向旋转至，则点在的延长线上． ①证明，并判断是否成立； ②若，，请计算正方形的周长． （1）解：①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点B按逆时针方向旋转90°至， ∴，， ，， ∴， ， ∴点M在的延长线上， ∵， ∴ ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴成立； ②∵，，， ， ∴， ∴ ， ∴正方形的边长为: ， ∴正方形的周长为 ； ►题型06 正方形旋转/平移变换题 【典例6】（2025·海南·中考真题）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【教学理解】 （2）如图2，在正方形中，、分别是边、上的点，．连接、，、分别是线段、上的点，连接、、，且（点、、、均不与端点重合）．请猜想线段、、的数量关系，并说明理由． （2），理由如下： 将绕点B逆时针旋转得，连接，如图： 由旋转性质可得：， ∴，， ，， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； ►题型06 正方形旋转/平移变换题 【典例6】（2025·海南·中考真题）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究． 【拓展研究】（3）如图3，是正方形的对角线，、分别为线段、上的点，且．将绕点按顺时针方向旋转（旋转角小于）至．连接，取线段的中点，连接、，求的值． （3）过C作于H，连接，设交于K，如图： ∵四边形是正方形，， ∴H为中点，是等腰直角三角形， ， ∵E为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵将绕点B按顺时针方向旋转 （旋转角小于）至， ∴是等腰直角三角形， ∴，∴， ∴，∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，即的值为． ►题型06 正方形旋转/平移变换题 “变换” 研究内容 提出概念 已知点．如果点满足，那么称点是点的“变换”点． 理解概念 已知点，，求点的“变换”点． 探究性质 如图（1），已知点和点，当时， ①请在图（1）中分别画出点、对应的“变换”点、； ②研究发现：线段可由线段通过一次图形变换得到，点是点的对应点．如果是平移，请写出平移的距离；如果是轴对称或旋转，请用无刻度的直尺和圆规在图（1）中作出对称轴或旋转中心（不写作法，保留作图痕迹） 运用性质 如图（2），在平面直角坐标系中，菱形的顶点、、的坐标分别为，，，曲线是反比例函数（）图像的“变换”线，，交边于点、，直线、分别交边于点、，记、、、的面积分别为、、、，求的值． 【变式1】（2025·江苏盐城·中考真题）请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务． ►题型06 正方形旋转/平移变换题 【变式1】（2025·江苏盐城·中考真题）请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务． 探究性质:如图（1），已知点和点，当时， ①请在图（1）中分别画出点、对应的“变换”点、； 理解概念:已知点，，求点的“变换”点． 解：概念理解： ， ； 探究性质：①根据概念理解可得， ， ， 故点、对应的“变换”点、如图 ►题型06 正方形旋转/平移变换题 【变式1】（2025·江苏盐城·中考真题）请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务． 探究性质:如图（1），已知点和点，当时， ②研究发现：线段可由线段通过一次图形变换得到，点是点的对应点．如果是平移，请写出平移的距离；如果是轴对称或旋转，请用无刻度的直尺和圆规在图（1）中作出对称轴或旋转中心（不写作法，保留作图痕迹） ②线段经过一次平移或轴对称，不能得到， 线段可由线段通过旋转变换得到，旋转中心如图所示， ， ， 旋转中心为点， ， 为等腰三角形， ， 线段可由线段以点为中心，逆时针旋转得到， ►题型06 正方形旋转/平移变换题 【变式1】（2025·江苏盐城·中考真题）请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务． 运用性质:图（2），在平面直角坐标系中，菱形的顶点、、的坐标分别为，，，曲线是反比例函数（）图像的“变换”线，，交边于点、，直线、分别交边于点、，记、、、的面积分别为、、、，求的值． 运用性质：设曲线上任意一点为，点的“变换”点， ， ， 在反比例函数图象上， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得 ， 当时， 解得或， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ，， 的面积， 的面积， 设点到的距离为， ， ， 解得， 的面积 的面积的面积 ， 的面积的面积， 的面积的面积， ． ►题型07 特殊平行四边形面积最值探究题 【典例7】（2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F， 连接交弧于点，则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵，∴， ∴， C 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是: ， ►题型07 特殊平行四边形面积最值探究题 【变式1】（2025·江苏宿迁·中考真题）一块梯形木板，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当 时，矩形桌面面积最大． 5 解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值， 即当时，矩形桌面面积最大． H ∟ ►题型07 特殊平行四边形面积最值探究题 【变式2】（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． (1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；  (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． （1）解：∵， △ABC的面积为， ∴， ∴． 设正方形的边长为， ∵四边形是正方形 ∴，， ∵∴ 得，即， 解得． ∵四边形是正方形 ∴， ∴ ►题型07 特殊平行四边形面积最值探究题 【变式2】（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． (1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；  (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． ∴， 得， 即， ∴． ， ∵ ∴， 得， 即， 解得． ∵， ∴图1的正方形面积较大． ►题型07 特殊平行四边形面积最值探究题 【变式2】（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． (1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；  (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． （2）解：∵四边形是长方形 ∴，， ∵ ∴； 得， 则，， ∴长方形的面积 ， ∵，∴开口向下， 当时， 长方形的面积有最大值为． ►题型07 特殊平行四边形面积最值探究题 【变式2】（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为． (1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；  (2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值． 在图4中，同理得， 得， ∴，， 同理得， 得， 则， ∴长方形的面积 ， ∵∴开口向下， ∴当时， 长方形的面积有最大值为． ►题型07 特殊平行四边形面积最值探究题 【变式3】（2025·四川广元·中考真题）综合与实践 （1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数； （2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值； （3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长． ►题型07 特殊平行四边形面积最值探究题 【变式3】（2025·四川广元·中考真题）综合与实践 （1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数； （1）解：∵ ∴， 即． ． ∴（两边对应成比例且夹角相等）． ∵， ∴． ►题型07 特殊平行四边形面积最值探究题 【变式3】（2025·四川广元·中考真题）综合与实践 （2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值； （2）证明：∵， ∴， 即， ∴ ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴在以为直径的圆上运动， ∴到的最大距离为: ； ►题型07 特殊平行四边形面积最值探究题 【变式3】（2025·四川广元·中考真题）综合与实践 （3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长． （3）解：∵梯形中，，，，， ∴ ， ∵， ∴，即， ∵点E是线段的中点，∴， 如图，取，作矩形， 则，，连接， ∴， ∴，∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴在为直径的圆上， ∴当的面积最小时，在过点且垂直于的直线上，则此时是等腰直角三角形， ∴． ►题型08 特殊四边形与实际问题 【典例】（2025·海南·中考真题）现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） N ∟ （1）解：过点C作， ∵垂直于，∴， ∴， ∵与水平线平行， ∴， ∴， ∴， 64 53 ►题型08 特殊四边形与实际问题 【典例】（2025·海南·中考真题）现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） N ∟ 64 53 H ∟ G ∟ （2）解：过点D作，过点E作，如图所示： ∴四边形为矩形，同理得：四边形为矩形， ∴， ∵为，∴， ∵， ∴，∴， ∵为，， ∴， ∴， ∴， ∵，∴， ∴． 解：（1）如图， 于点H，交于点G， 则四边形， 均为矩形， ， ， ， ， 由题意知， ，， ， ，即， 解得， ， 即旗杆的高度为． ►题型08 特殊四边形与实际问题 【变式1】（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）． 在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． ∟ ►题型08 特殊四边形与实际问题 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． （2）如图， 于点H， 交于点M， 交于点， ， 点P在线段上，四边形， ，，均为矩形， ，， ， ， ， 由题意知， ，， ， ，同理可得， ►题型08 特殊四边形与实际问题 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． ， ， ， ， ， 解得， ， 代入，得：， 解得， 即妙光塔的高度为． ►题型08 特殊四边形与实际问题 【变式2】（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）． (1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； (2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． （1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴这两条路与等长，且它们相互垂直； ►题型08 特殊四边形与实际问题 【变式2】（2025·四川德阳·中考真题） (2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． （2）解：能修建一条这样的直路， 理由如下：由（）得 ，， ∵米，米， ∴米，米，米， ∴， ∴，∴， 又∵在中有 ， 如果另一端点在路段上， 则在中，， ∴此种情况不成立； 如果另一端点在花园边界上时， 设，则在中，有， ∴，∴， ∵，∴能修建成这样的一条直路 ∴，∴， ►突破一 中点四边形 【典例1】（2025·广东广州·中考真题）如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．8 解：连接交于O， ∵四边形是菱形，∴， ∵点E、F、G、H分别是边和的中点， ∴， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积 ， ∴， ∴， ∴四边形的面积为5， B ►突破一 中点四边形 【变式1】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形各边中点分别是，两条对角线与互相垂直，则四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 解：设交于点Q，交于点P，  ∵分别是的中点，     ∴， 且， 且，     ∴，且，         ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， A ►突破一 中点四边形 【变式2】（2025·江苏徐州·中考真题）如图，E，F，G，H分别为矩形各边的中点．若，，则四边形的周长为 ． 解：∵矩形，，， ∴，， ， ∵E，F，G，H分别是矩形各边的中点， ， ． ∴， 同理可得：， ∴四边形的周长为； ►突破一 中点四边形 【变式3】（2025·广西南宁·一模）综合与探究 【初步感知】如图1，是三边的中点，则叫作的内中点三角形，叫作的外中点三角形．  （1）直接写出面积与面积的数量关系； （2）在图2的网格中画出的外中点． 【类比探究】如图3，是四边形各边的中点，则四边形叫作四边形的内中点四边形，四边形叫作四边形的外中点四边形． （3）求证：四边形是平行四边形； （4）若四边形的面积为，四边形面积为，求证：； （5）在图4的网格中画出的一个外中点四边形．（要求：都在网格线的交点上） ►突破一 中点四边形 【变式3】（2025·广西南宁·一模）综合与探究 【初步感知】如图1，是三边的中点，则叫作的内中点三角形，叫作的外中点三角形．  （1）直接写出面积与面积的数量关系； 解：（1）∵是三边的中点， ∴，∴， ∴， ∴； （2）在图2的网格中画出的外中点． （2）如图所示，即为所求； 【类比探究】如图3，是四边形各边的中点，则四边形叫作四边形的内中点四边形，四边形叫作四边形的外中点四边形． （3）求证：四边形是平行四边形； （3）如图，连接， 分别是的中点， ，． 同理：，． ，． 四边形是平行四边形． （4）连接，，． 又为中点，． ，即． 同理， ，， ，即． ►突破一 中点四边形 【变式3】（2025·广西南宁·一模）综合与探究 （4）若四边形的面积为，四边形面积为，求证：； （5）在图4的网格中画出的一个外中点四边形．（要求：都在网格线的交点上） （5）如图所示，四边形即为所求．（画出一种即可） ►突破二 坐标系中矩形存在性探究题 【典例1】（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点．  (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． （1）解：∵点A的坐标是，∴， ∵以原点为中心，把点A顺时针旋转， ∴， 此时点在轴正半轴上，∴； ∵， ∴对称轴为直线； ►突破二 坐标系中矩形存在性探究题 【典例1】（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点．  (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． （2）∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，有最大值为: ， ∴， ∴； ►突破二 坐标系中矩形存在性探究题 【典例1】（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点．   (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． （3）存在；∵， ∴当时，， ∴， 设，，由（1）知：； 当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时， 分三种情况： ①当为对角线时， 则为以为顶点的直角三角形， ，即轴，， ∴轴，∴轴， ∴，； ②当以为对角线时，则：， 解得，∴，， ∵，∴， 解得；∴； ③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在； 综上：或． ►突破二 坐标系中矩形存在性探究题 【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接．  (1)求直线的表达式． (2)当的面积为时，求点B的坐标； (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （1）解：∵直线与反比例函数的图象交于，B两点， ∴，∴， 设直线的表达式为， ∴，∴， ∴直线的表达式为； ►突破二 坐标系中矩形存在性探究题 【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (2)当的面积为时，求点B的坐标； （2）解：如图所示，过点A作轴于T，连接， ∵，∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴； 设， ∴， 解得（已检验符合题意） 或（舍去）， ∴，∴； ►突破二 坐标系中矩形存在性探究题 【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于，B两点(点B位于点A右侧)，连接． (3)在（2）的条件下，作点B关于的对称点C，连接，是否存在点D，使得四边形为矩形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）解：如图所示，连接交于H， ∵，， ∴， ， ， ∴ ， ∴，∴； ∵点B和点C关于对称， ∴，且点H为的中点， ∴， ∴， 设，则， 解得， ∴，∴， ∵， ∴的中点坐标为， ∵四边形是矩形， ∴的中点坐标为， ∴点D的坐标为． ►突破三 坐标系中菱形存在性探究题 【典例3】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接 的面积为5．  (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （1）解：将代入得， ，解得：， ∴正比例函数表达式为， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称， ， 综上，，反比例函数解析式为； ►突破三 坐标系中菱形存在性探究题 【典例3】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接 的面积为5．  (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （2）解：过作轴，交于点， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ，则， ►突破三 坐标系中菱形存在性探究题 【典例3】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接 的面积为5．  (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧，此时轴，且， ； ③如图，为对角线，此时点与点关于轴对称，则； ►突破三 坐标系中菱形存在性探究题 【典例3】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接 的面积为5．  (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 当为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过作轴于点，图④ 设，则， 在中，， 解得， ，， 综上，点坐标为或或或． ►突破三 坐标系中菱形存在性探究题 【变式1】（24-25九年级下·甘肃陇南·月考） 已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点．  (1)求抛物线的表达式； (2)若将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，平移后点的对应点为点，点是平面内任意一点，是否存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （1）解：将点代入抛物线 得： ， 解得：， 抛物线的表达式为； ►突破三 坐标系中菱形存在性探究题 【变式1】（24-25九年级下·甘肃陇南·月考） 已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． (2)若将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，平移后点的对应点为点，点是平面内任意一点，是否存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （2）解：存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形，理由如下： ， 令，则，解得：，， 点，点．， 如图，当四边形为菱形时，， 过点作轴于点， 四边形为菱形， ， ， ，， ►突破三 坐标系中菱形存在性探究题 【变式1】（24-25九年级下·甘肃陇南·月考） 已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），与轴交于点． (2)若将抛物线沿轴向右平移得到抛物线，平移后点的对应点为点，点是平面内任意一点，是否存在以、、、四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 同理，如图，当四边形为菱形时， ，， ． 同理，如图，当四边形为菱形时， ，， ，   当四边形为菱形时，设交于点，则， ， ； 综上所述，点的坐标为或或或． ►突破四 坐标系中正方形存在性探究题 【典例4】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为．  (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． （1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； ►突破四 坐标系中正方形存在性探究题 【典例4】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为 (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； （2）当时， 解得：，∴， ∵， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得：，∴， 作轴，垂足为点， 设， 则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴， 即：， ∵，∴， ∴ ， 解得：或（舍去）； ∴； ►突破四 坐标系中正方形存在性探究题 【典例4】（2025·四川资阳·中考真题）   (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴， 则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设， 直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形，∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． ►突破四 坐标系中正方形存在性探究题 【变式1】（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． ►突破四 坐标系中正方形存在性探究题 【变式1】（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的表达式； （1）解：∵抛物线对称轴为， ∴，∴， 将点D的坐标代入抛物线表达式 得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； （2）解：由题意得： ， 当时， ， 故点D在抛物线上； ►突破四 坐标系中正方形存在性探究题 【变式1】（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使最大，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）解：设点关于抛物线对称轴的对称点为点，∴ 连接并延长交直线于点，此时最大， 令， 解得：，∴， 设直线的表达式为：， 将、两点坐标代入， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，得， ∴ ►突破四 坐标系中正方形存在性探究题 【变式1】（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． （4）存在，理由如下：连接， ∵， ∴当时，，∴， ∵，， ∴ ， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，存在正方形， 作点关于点的对称点， 则：为等腰直角三角形， 当点与重合时，存在正方形， 对于， 当时，， 故，在抛物线上，满足题意； ►突破四 坐标系中正方形存在性探究题 【变式1】（2025·山东烟台·二模）如图，抛物线的图像经过点，与轴交于点，点，抛物线对称轴为． (4)点是平面内的一点，在抛物线和抛物线上是否存在一点，使以点，为顶点的四边形是以为边的正方形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 过点作的平行线交抛物线于点，则：， 同（2）法可得，直线的解析式为：， 设的解析式为：，把代入，得： ，解得：， ∴， 联立， 解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴ ， 故存在正方形； 综上：存在， 点的坐标为或或 ►突破五 特殊平行四边形与一次函数/反比例函数综合题 【典例5】（2025·四川德阳·中考真题）如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点． (1)求反比例函数解析式；(2)求直线的解析式和点的坐标． （1）解：把代入， 得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵，∴， ∵四边形是菱形， ∴，∴， 设直线的解析式为， 把代入得，∴ ∴直线的解析式为， ∵点是反比例函数与正比例函数的交点， ∴联立解析式， 解得或， ∵，∴． ►突破五 特殊平行四边形与一次函数/反比例函数综合题 【变式1】（2025·广东·模拟预测）如图，为正方形的边的中点，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、，，．(1)求的值；(2)求证：； (3)猜想与的数量关系，并证明． （1），设，则， 正方形中，，， 中，由勾股定理得： ， ， ， ，， ，代入得 ； （2）证明：为中点， ， 由已知得，代入得， ，， ， ， 正方形中，， ，， 中，， ， ，即； ►突破五 特殊平行四边形与一次函数/反比例函数综合题 【变式1】（2025·广东·模拟预测）如图，为正方形的边的中点，反比例函数的图象与、分别交于点、，连接、、，，． (3)猜想与的数量关系，并证明． （3）， 理由如下：设的中点为，连接并延长与的延长线交于点，如图所示： ， ，正方形中 ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ． ►突破六 特殊平行四边形与二次函数综合题 【典例6】（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点 (1)求该抛物线的解析式； (2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； (3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值． （1）解：∵抛物线经过点， 与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为 ； ►突破六 特殊平行四边形与二次函数综合题 【典例6】（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点 (2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； （2）解：如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，∴， 在中，当时，， ∴，∴； ∵，∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；设， ∴， ►突破六 特殊平行四边形与二次函数综合题 【典例6】（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点 (2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； ∴；设， ∴， ∵， ∴， ∴，∴， 在中，， ∴， ∴ ， ∴， ∵ 在直线上，∴ ，∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； ►突破六 特殊平行四边形与二次函数综合题 【典例6】（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点 (3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值． （3）解：∵点在抛物线上，点在抛物线 上， ∴， ， 令 ∴ ， ∴二次函数 的对称轴为直线，且开口向上， 当时， ∵时，的最小值为3， ∴当时， ， ∴， 解得或（舍去）； ►突破六 特殊平行四边形与二次函数综合题 【典例6】（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点 (3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值． 当时， ∵时，的最小值为3， ∴当时， ， ∴， 解得或（舍去） 当时， ∵时，的最小值为3， ∴当时， ， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，或． ►突破六 特殊平行四边形与二次函数综合题 【变式1】（2025·湖北·中考真题）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为．  (1)求的值； (2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； (3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； ②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． ►突破六 特殊平行四边形与二次函数综合题 【变式1】（2025·湖北·中考真题）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为．(1)求的值；(2)如图1，若点在对称轴左侧，过点作对称轴的垂线，垂足为，求的值； （1）解：把代入， 得：， ∴； （2）由（1）可知： ， ∴， ∵是抛物线上一动点，设点的横坐标为， ∴， ∵过点作对称轴的垂线，垂足为， ∴ ， ∴； ►突破六 特殊平行四边形与二次函数综合题 【变式1】（2025·湖北·中考真题）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为．   (3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； （3）①当时，， 当时， ， ∴，， 由（2）可知：，， 对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为 ∵在第四象限，∴， 当时，抛物线弧的最高点为， 最低点为， 此时特征矩形的两条邻边的长分别为： ， ∴； ►突破六 特殊平行四边形与二次函数综合题 【变式1】（2025·湖北·中考真题）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为．   (3)定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧（含端点和）．过，分别作轴的垂线，过抛物线弧的最高点和最低点分别作轴的垂线，直线与围成的矩形叫做抛物线弧的特征矩形．若点在第四象限，记抛物线弧的特征矩形的周长为． ①求关于的函数解析式； 当时， 抛物线弧的最高点为， 最低点为， 此时特征矩形的两条邻边的长分别为： ， ∴； 当时， 抛物线弧的最高点为，最低点为， 此时特征矩形的两条邻边的长分别为 ：， ∴； 综上：； ►突破六 特殊平行四边形与二次函数综合题 【变式1】（2025·湖北·中考真题）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． ②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． ②∵轴，∴关于对称轴对称， ∴， 当时，抛物线弧的最高点为， 最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为： ， ∴； ∵，∴， 解得：（舍去）或； ∴； 当时，抛物线弧的最高点为， 最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为： ， ∴； ►突破六 特殊平行四边形与二次函数综合题 【变式1】（2025·湖北·中考真题）抛物线与轴相交于点和点，与轴相交于点，是抛物线的顶点，是抛物线上一动点，设点的横坐标为． ②过点作轴，交抛物线于点，点与点不重合．记抛物线弧的特征矩形的周长为．若，直接写出的长． ∵， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； 当时，抛物线弧的最高点为， 最低点为，此时特征矩形的两条邻边的长分别为： ， ∴； ∵，∴， 解得：（舍去）或； ∴ 综上：或． ►突破七 特殊平行四边形新定义探究题 【典例7】（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开．  (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形； (3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． （1）解： ∵，矩形是黄金矩形， ∴， ∴； ►突破七 特殊平行四边形新定义探究题 【典例7】（2025·广东广州·中考真题）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片，长．如图1，折叠纸片，点B落在上的点E处，折痕为，连接，然后将纸片展开． (2)求证：四边形是黄金矩形； （2）证明：∵折叠黄金矩形纸片，点B落在上的点E处， ∴，， 又∵四边形是矩形， ∴， ，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． ►突破七 特殊平行四边形新定义探究题 【典例7】（2025·广东广州·中考真题）  (3)如图2，点G为的中点，连接，折叠纸片，点B落在上的点H处，折痕为，过点P作于点Q．四边形是否为黄金矩形？如果是，请证明：如果不是，请说明理由． （3）解：四边形是黄金矩形，证明如下： ∵，四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形； 由（2）可知，， ∵为的中点，∴， ∴， 如图，连接，由对折可得 ，， ， 设，则， ∵ ∴ ， 解得：， ∴， ∴，∴四边形是黄金矩形． ►突破七 特殊平行四边形新定义探究题 【变式1】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）2025年4月“春满丝路·鸢韵天山”风筝嘉年华在乌鲁木齐市石人子沟举行，孩子们“忙趁东风放纸莺”（风筝）．传统风筝“两翼舒展、中轴对称”的结构在蓝天划出优美弧线，生动展现传统工艺与数学之美的跨界融合．  【研究对象】 如图1，在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）依据筝形定义，写出一种学过的、符合筝形定义的四边形：_________； 【性质探究】 （2）根据学过的平行四边形、矩形、菱形、正方形的学习经验，请你通过观察、测量、折叠等探究活动，写出一条筝形（如图2）的性质的猜想并证明； 【拓展应用】 （3）如图3，已知在筝形中， ，求对角线，的长． ►突破七 特殊平行四边形新定义探究题 【变式1】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）2025年4月“春满丝路·鸢韵天山”风筝嘉年华在乌鲁木齐市石人子沟举行，孩子们“忙趁东风放纸莺”（风筝）．传统风筝“两翼舒展、中轴对称”的结构在蓝天划出优美弧线，生动展现传统工艺与数学之美的跨界融合．  【研究对象】 如图1，在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）依据筝形定义，写出一种学过的、符合筝形定义的四边形：_________； 【性质探究】 （2）根据学过的平行四边形、矩形、菱形、正方形的学习经验，请你通过观察、测量、折叠等探究活动，写出一条筝形（如图2）的性质的猜想并证明； 菱形 （2）性质：筝形对角线互相垂直； 证明：如图，在和中， （）， ， ， ，； ►突破七 特殊平行四边形新定义探究题 【变式1】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）2025年4月“春满丝路·鸢韵天山”风筝嘉年华在乌鲁木齐市石人子沟举行，孩子们“忙趁东风放纸莺”（风筝）．传统风筝“两翼舒展、中轴对称”的结构在蓝天划出优美弧线，生动展现传统工艺与数学之美的跨界融合．  筝形（如图2）的性质的猜想并证明； 【拓展应用】 （3）如图3，已知在筝形中， ，求对角线，的长． （3）如图，过作于点，连接、交于点， ，， ， ， ， 在中， ， ． 解：如图，将线段绕点A顺时针方向旋转， 得到线段，连接，，， 由题意知，在菱形中，， ， ∴和为等边三角形， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点B，，P，D四点共线时，的最小，此时最小值的长度为．故答案为：． ►突破八 探究动点轨迹与线段最值问题 【典例8】（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． ►突破八 探究动点轨迹与线段最值问题 【变式1】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形中，，，为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为 ． 解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵为线段上的动点， ∴可以看作是定线段， 菱形在方向上水平运动， 则如图1，过点作的平行线， 过点作关于线段的对称点， 由对称性得， ∴， 当且仅当、、依次共线时， 取得最小值， 此时如图2，设与交于点， 交于点， 延长交延长线于点， ∵菱形中，，， ∴， ，， 图1 图2 由题可得， ∴由对称性可得， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即的最小值为， ►突破八 探究动点轨迹与线段最值问题 【变式2】（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（     ） A．6 B．6 C．3 D．4 解：以点B为原点，所以直线为x轴， 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图， 设的中点为G，过点D作， 使，过点H作于点K， 连接，则， ∵正方形边长为6， ∴，∴， ∴，∴， ∵， ∴， ∴点B、E、A、D在上，∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，∴， ∴，∴， ∴， ∴点F是在以点H为圆心，为半径的圆上运动， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点F在上时， 取得最小值， 为． D ►突破八 探究动点轨迹与线段最值问题 【变式3】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、．  (1)直接写出___________°，___________； (2)当时，求的值； (3)如图2，连接并延长交直线于点． ①求证：； ②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值． ►突破八 探究动点轨迹与线段最值问题 【变式3】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、．  (1)直接写出___________°，___________； （1）解：过点E作于点K，∵是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴    ，， 又∵， ∴， ∴， ∴，∴， ∵， ∴，  ►突破八 探究动点轨迹与线段最值问题 【变式3】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、．   (2)当时，求的值； （2）解：∵，， ∴    ， 根据（1）中结论可得， 又∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ►突破八 探究动点轨迹与线段最值问题 【变式3】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、．   (3)如图2，连接并延长交直线于点．①求证：； （3）①证明：根据（1）中结论可得 ， 又∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ； 过点M作交于点L， 则， ， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴，∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ►突破八 探究动点轨迹与线段最值问题 【变式3】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、． ②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值． ②连接，， ∵，， ∴， 又∵垂直平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵，∴， ∴， 即点Q在与线段夹角为的射线上， ∴过点D作于点， 当点Q在时，最小， 这时． ►突破九 综合与实践类问题 【典例9】（2025·江西·中考真题）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． ►突破九 综合与实践类问题 【典例9】（2025·江西·中考真题）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 解：（1）∵正方形， ∴，， ∴旋转角为，， （2）如图， 根据题意得 ， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ►突破九 综合与实践类问题 【典例9】（2025·江西·中考真题）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （3）的值与α无关，理由如下，如图， 同理可证， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵O是的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， ， ∴，∴， ∴的值与α无关； ►突破九 综合与实践类问题 【典例9】（2025·江西·中考真题）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． （4）同理可证， ，， ∴，， ∵， ∴ ， 即． ►突破九 综合与实践类问题 【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (1)【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________； (2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； (3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则__________； (4)【拓展延伸】在矩形中，点为边上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，，则的最小值为__________． ►突破九 综合与实践类问题 【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (1)【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________； （1）∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， 即 又∵， ∴ ∴； 相等 相等 ►突破九 综合与实践类问题 【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形； （2）证明：∵四边形是正方形 ∴， ∵绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∵， ∴ 即 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形 又∵ ∴四边形是正方形； ►突破九 综合与实践类问题 【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题） 综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则__________； （3）解：∵绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∵，∴ ∵四边形是矩形， ，， ∴， ∴∴ ∵， ∴ 即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ►突破九 综合与实践类问题 【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题） 综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则__________； ∴四边形是矩形， 如图，连接交于点，连接 ∵是的中点， 在中， ∴ ∴共圆， ∴， ∵∴ ∴， 在中， ∴ ∵， 在中， ►突破九 综合与实践类问题 【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题） 综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则__________； ∴， ∵ ∴ 又 ∴ ∴， 即 ∴ ∴ ∴ ∴ ►突破九 综合与实践类问题 【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． (4)【拓展延伸】在矩形中，点为边上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，，则的最小值为__________． （4）解：如图，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴是等边三角形，则 ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴ ∴， 即 又 ∴， ∴ ∴在上运动，且 ∴当时，取得最小值， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴当时， ►突破十 特殊平行四边形与圆的综合题 【典例10】（2025·吉林长春·中考真题）数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆． 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（）． ， ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为 ． 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在中，．是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由． 又由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆． 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 如图③，在矩形中，，． （1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点） （2）该矩形的最小覆盖圆的直径为 . （3）若用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为 ． ►突破十 特殊平行四边形与圆的综合题 【典例10】（2025·吉林长春·中考真题）数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆． 理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（）． ， ，即的直径大于的直径． 是线段的最小覆盖圆． “”处应填写的推理依据为 ． 三角形的任意两边之和大于第三边 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 （1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点） 探究二：∵，为的中点， ∴，∴在上； 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆请你判断点与的位置关系，并说明理由． （1）如图，即为矩形的最小覆盖圆； ►突破十 特殊平行四边形与圆的综合题 【典例10】（2025·吉林长春·中考真题）数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 如图③，在矩形中，，． （2）该矩形的最小覆盖圆的直径为 . （2）∵矩形，，， ∴，； （3）作的垂直平分线，交于，交于， ∴四边形，是两个全等的矩形， ∴， ∵用两个等圆完全覆盖矩形， ∴两圆一定过， 连接，交点分别为， 同理可得：这样的两个等圆的最小直径为或或或， ∴最小直径为， 如图，作的垂直平分线交于， 同法作，，此时不是直径最小的等圆； 综上：用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为. ►突破十 特殊平行四边形与圆的综合题 【变式1】（2025·广东东莞·二模）综合与实践：根据以下素材，探索求圆半径的方法． 【背景素材】同学们用若干大小不一的透明圆形或半圆形纸片，及一张宽且足够长的矩形纸带如图设计了一系列任务，探索完成任务． 【任务一】若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过A，B，现测得，求出该圆的半径． 【任务二】按如图3摆放纸片，点A，P在圆上．在AD边上取点M使，作于N，连接恰过圆心O，交圆于点Q，连接，量得 ①判断直线与的位置关系，并说明理由； ②直接写出的半径为 . ►突破十 特殊平行四边形与圆的综合题 【变式1】（2025·广东东莞·二模）综合与实践：根据以下素材，探索求圆半径的方法． 【背景素材】同学们用若干大小不一的透明圆形或半圆形纸片，及一张宽且足够长的矩形纸带如图设计了一系列任务，探索完成任务． 【任务一】若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过A，B，现测得，求出该圆的半径． 解：四边形为矩形， ， 为经过A，B，G三点的圆的直径， ∵，， ∴， 该圆的半径为； ►突破十 特殊平行四边形与圆的综合题 【变式1】（2025·广东东莞·二模）综合与实践：根据以下素材，探索求圆半径的方法． 【背景素材】同学们用若干大小不一的透明圆形或半圆形纸片，及一张宽且足够长的矩形纸带如图设计了一系列任务，探索完成任务． 【任务二】按如图3摆放纸片，点A，P在圆上．在AD边上取点M使，作于N，连接恰过圆心O，交圆于点Q，连接，量得 ①判断直线与的位置关系，并说明理由； ①直线与的位置关系为与相切，理由： 连接，如图， 四边形为矩形， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为圆的半径， 与相切； ►突破十 特殊平行四边形与圆的综合题 【变式1】（2025·广东东莞·二模）综合与实践：根据以下素材，探索求圆半径的方法． 【任务二】按如图3摆放纸片，点A，P在圆上．在AD边上取点M使，作于N，连接恰过圆心O，交圆于点Q，连接，量得 ②直接写出的半径为 . ②，， 四边形为矩形， ，， 四边形为矩形， ，， 由①知：， ，， ， ， ， ， 设的半径为， 则， ， ， ， ， 的半径为. 感谢聆听! $