第02讲 投影与视图（课件）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第02讲 投影与视图 第七章 图形的变化 2大考点 1大重难突破 2大中考命题点 7题型探究 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 投影的概念 了解投影、平行投影、中心投影的定义，区分不同投影类型；知道正投影的含义。 识别投影类型（如判断路灯下的影子是中心投影，阳光下的影子是平行投影）；结合生活场景判断投影方式（如 2025・浙江温州卷、2025・广东深圳卷）。 投影的性质 掌握平行投影、中心投影下物体与投影的对应关系；能根据正投影绘制简单图形的投影。 利用平行投影的平行性计算物体高度（如 2025・山东济南卷）；根据正投影还原物体形状（如 2025・江苏苏州卷），多与实际测量结合考查。 三视图的识别 会识别几何体（棱柱、圆柱、圆锥、球等）的主视图、左视图、俯视图；能区分简单组合体的三视图。 直接判断几何体的三视图（如 2025・河南卷、2025・四川成都卷）；识别组合体的三视图（如正方体与圆锥组合的视图，2025・湖北武汉卷），为基础必考题型。 三视图的绘制 能画出基本几何体及简单组合体的三视图；会根据三视图的形状和尺寸规范作图。 补全三视图的缺失部分（如 2025・陕西卷）；根据实物图绘制三视图（如 2025・安徽卷），考查作图规范与空间想象能力。 三视图与实物还原 能根据三视图描述几何体的形状；会计算由三视图确定的几何体的表面积、体积。 由三视图求几何体的体积（如长方体、圆柱、圆锥组合体的体积，2025・湖南长沙卷）；计算表面积（如 2025・北京卷），是高频考点，常结合公式计算。 视图的实际应用 能利用视图解决实际问题（如建筑、机械制图中的视图分析）。 结合实际物体的视图判断其结构（如 2025・重庆卷）；利用视图进行测量与设计（如 2025・福建卷），难度中等，侧重应用能力。 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 命题预测 命题趋势：投影与视图是中考数学的基础内容，考查覆盖面广，题型以选择题、填空题为主，难度中等偏低。其中，三视图的识别、还原与相关计算（体积、表面积）是重点，着重考查学生的空间想象能力与公式应用能力，同时也会涉及与生活场景、图形变换的综合应用，考查学生的知识迁移与实际应用能力。 备考建议： 夯实基础概念： 牢记投影类型（平行 / 中心 / 正投影）、三视图的定义与绘制规则，确保基础题不丢分。 强化空间想象： 多练习几何体与组合体的三视图识别、绘制，通过实物模型或图形对照提升空间感知能力。 熟练计算应用： 掌握常见几何体（长方体、圆柱、圆锥等）的体积、表面积公式，能根据三视图准确计算。 结合生活实例： 关注生活中的投影现象，理解投影与物体位置、光线方向的关系，提升实际应用能力。 知识导航•网络构建 知识 • 核心梳理 考点一 投影   平行投影 中心投影 定义 由平行光线形成的投影 由一点发出的光线形成的投影   区 别 光源 平行光源(如太阳等) 点光源(如台灯等) 投影线 平行 相交于一点 投影方向 同一时刻，同一地点相同 由点光源与物体的相对位置确定 影长 同一时刻,同一地点,平行投影下不同物体的影子长度与物体高度成比例 不同物体的影子长度与物体高度不一定 成比例 联系 1）都是投影现象，都是物体在光线下形成的影子； 2）影子都随投影面的变化而发生变化; 3）都可以根据物体与影子的对应点判断光线的来源和方向. 真题 • 实战精炼 考点一 投影 1．（2025·宁夏·中考真题）下列判断正确的是（    ） A．若点关于轴的对称点在第二象限，则 B．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长 C．4的平方根是2 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 选项 点关于x轴的对称点坐标为．若对称点在第二象限，则横坐标，纵坐标，即，该选项正确． 选项 夜晚走向路灯时，人与光源的距离逐渐减小，根据中心投影特点，影长应由长变短，而非由短变长，该选项错误． 选项的平方根是，并非只有2，该选项错误． 选项 垂线的性质为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，选项中未强调“同一平面内”，表述不严谨，该选项错误． A 解： 真题 • 实战精炼 考点一 投影 2．（2025·河北邯郸·三模）如图1，某小区内有一条笔直的小路，路的旁边有一盏路灯，图象（图2）表示小红晚上在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的关系，则小红的行走过程是（　　） A．由A走向D，再走回A B．由B走向C C．由A走向C，再走回A D．由C走向B，再走回A 解路的旁边有一盏路灯，当小红走到灯下以前： l随s的增大而减小； 当小红走到灯下以后再往前走时： l随s的增大而增大， 小红的行走过程是由A走向C，再走回A， C A． B． C． D． 真题 • 实战精炼 考点一 投影 3．（2025·广东深圳·三模）数学课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形正确的是（　） 解： A：得到的平面图形是扇形，故该选项不符合题意； B：得到的平面图形是矩形，故该选项不符合题意； C：得到的平面图形是圆形，故该选项不符合题意； D：得到的平面图形是正方形，故该选项符合题意． D 真题 • 实战精炼 考点一 投影 4．（2025·广东深圳·二模）如图，在一间黑屋子里，用一盏白炽灯照射直角三角板形成影子，三角板始终保持与地面平行，它向白炽灯靠近的过程中（不与光源接触），下列说法正确的是（   ） A．越来越大 B．影子不是直角三角形 C．影子越来越小 D．影子越来越大 A、根据位似图形的性质可得，，大小始终保持不变，该选项错误，故不符合题意； B、根据位似图形的性质可得，影子是直角三角形，该选项错误，故不符合题意； C、 根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项错误，故不符合题意； D、根据位似图形的性质可得，影子越来越大，该选项正确，故符合题意； D 解： 知识 • 核心梳理 考点二 视图 1.三视图的定义及画法  定 义 从正面观察物体得到的视图叫做主视图； 从左面观察物体得到的视图叫做左视图； 从上面观察物体得到的视图叫做俯视图。 画 法 主视图与俯视图要长对正； 主视图与左视图要高平齐； 左视图与俯视图要宽相等； 看得见的轮廓线画成实线；看不见的轮廓线画成虚线。 知识 • 核心梳理 考点二 视图 2.常见几何体的三视图 真题 • 实战精炼 考点二 视图 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图所示几何体，由5个完全相同的正方体组合而成，它的主视图是（   ） C A． B． C． D． 解：根据三视图的概念，主视图为正方向上看所得图形，其中C选项符合该特征， 真题 • 实战精炼 考点二 视图 2．（2025·山东滨州·中考真题）如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（   ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同 解：圆锥的主视图和左视图相同且均为三角形，俯视图为圆； A 真题 • 实战精炼 考点二 视图 3．（2025·山东德州·中考真题）某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（ ） A． B． C． D． 由俯视图中有圆，得物体上方侧面应为曲面，排除选项A； 由主视图和左视图中下方是长方形，得物体下方应为长方体，排除选项D； 由圆柱的直径与长方体的宽度关系，选项B中圆柱直径过宽，不符合视图特征，选项C符合． C 解： 真题 • 实战精炼 考点二 视图 4．（2025·黑龙江·中考真题）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（    ） A．7 B．8 C．6 D．5 解：根据俯视图可知，这个几何体的底层最少有个小正方体， 第二层最少有2个小正方体，因此组成这个几何体的小正方体最少有：个． 如图：（其中一种情形） A 投影 命题点一 ►题型01 投影类型判断 ►题型02 平行投影计算 ►题型03 中心投影计算 ►题型01 投影类型判断 根据两物体的影子判断其是在灯光下还是在阳光下的投影，关键是看这两个物体的顶端和其影子的顶端的连线所在直线是平行还是相交， 若平行，则是在阳光下的投影，即平行投影； 若相交，则是在灯光下的投影，即中心投影. ►题型01 投影类型判断 A． B． C． D． 【典例1】（2025·浙江温州·三模）下列投影中，属于平行投影的是（　　） 解：A．如图， 属于中心投影， 故不符合题意； D B．如图， 属于中心投影， 故不符合题意； D．如图， 属于平行投影， 故符合题意； C．如图， 属于中心投影， 故不符合题意； ►题型01 投影类型判断 【变式1】（2025·广东茂名·模拟预测）圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度以定节令的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成．当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间，则表在圭面上形成的投影是（    ） A．中心投影 B．平行投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定 解：太阳光下表的影子为平行投影． B 【变式2】（2025·浙江金华·二模）下列投影中，属于中心投影的是（    ） A． B． C． D． 解：A.是平行投影，不符合题意； B.是中心投影，符合题意； C.是平行投影，不符合题意； D.是平行投影，不符合题意． B ►题型01 投影类型判断 ►题型01 投影类型判断 【变式3】（2025·辽宁·模拟预测）下列关于物体投影与视图的说法不正确的是（    ）  A．生活中，由灯泡发出的光线形成的投影叫做正投影 B．正三棱柱（如图）的俯视图为等边三角形 C．日晷是我国古时重要的计时用具，其原理为平行投影 D．三视图在历史上有非常重大的应用，蒙日的《画法几何》与埃及金字塔均用到了视图原理 解：生活中，由灯泡发出的光线形成的投影不叫做正投影， 故选项A错误，符合题意； 正三棱柱（如图）的俯视图为等边三角形， 故选项B正确，不符合题意； 日晷是我国古时重要的计时用具，其原理为平行投影， 故选项C正确，不符合题意； 三视图在历史上有非常重大的应用，蒙日的《画法几何》与埃及金字塔均用到了视图原理，故选项D正确，不符合题意； A ►题型01 投影类型判断 【变式4】（2025·湖北武汉·模拟预测）图中圆锥体的正投影是（   ） A． B． C． D． 解：圆锥体的投影是， C ►题型02 平行投影计算 1)不等高的物体垂直地面放置时，同一时刻同一地点，它们在太阳光下的物高与影长成正比例， 即: = 利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等，利用影长计算乙物体的高二乙物体的影长物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 2)落在墙上的影长即为对应的此部分物体的高度. ►题型02 平行投影计算 【典例2】（2025·广东肇庆·三模）如图所示，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处．若测得台阶，且，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树高AB为 ． 解：作于，于，则四边形是矩形，  ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴， ∴， 解：如图，太阳光线与相切于、， 过作于，连接、， ，，  ∵太阳光线与相切于、， ∴，，而， ∴， ∴点、、共线，即为的直径， ∵，，， ∴四边形为矩形，∴， 在中，， ∴， ∴，， ►题型02 平行投影计算 【变式1】（2025运城七校模拟）太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影的长是，则皮球的直径长是（    ） A． B． C． D． B ∴， 即皮球的直径长为， 如图， 过点G作于点Q，于点P， 根据题意得出，四边形是矩形，米， 根据实际高度和影长成正比例，得出， ∴，∴， ∴，∴米． ►题型02 平行投影计算 【变式2】（2024·广西桂林·一模）某学校旁有一根电线杆和一块长方形广告牌，有一天小明发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知米，长方形广 告牌的长米，高米，米，则电线杆的高度是 米． 课题 测量校园内一棵大树的高度 测量工具 测角仪、皮尺 测量图例   测量方法 某一时刻，大树在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，甲同学在点处竖立一根标杆，同一时刻标杆在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，丙同学站在点处，他的眼睛在点处，观察得知，树顶的仰角为． 测量数据 标杆米，标杆的影长为2米，米，米，仰角 说明 点，，，在同一水平直线上，，，，图中所有的点都在同一平面内．（参考数据：，，） ►题型02 平行投影计算 【变式3】（2025·山西朔州·模拟预测）某校数学实践活动小组要测量校园内一棵大树的高度，王华同学带领甲、乙、丙三位小组成员进行此项实践活动，并做出下面的实践报告单． (1)请你根据所学知识用直尺和圆规在图中画出点的位置；（不写画法，保留作图痕迹） (2)根据报告单的测量数据，计算这棵大树的高度．（结果精确到0.1米） （1）解：如图，点即为所求： （2）解：如图，延长交于点，则，米， 由题意知，， ， ，即． 设米，则米， 米，米， 在中，， ，解得， 米，答：这棵大树的高度约为9.5米． ►题型03 中心投影计算 【典例3】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为． 解：∵，∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∴， 80 ►题型03 中心投影计算 【变式1】（2025长春模拟）如图，小莉用灯泡O照射一个矩形硬纸片，在墙上形成矩形影子，现测得，纸片的面积为，则影子的面积为 ． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的面积：矩形的面积=， ∵矩形的面积为， ∴矩形的面积为． ►题型03 中心投影计算 【变式2】（2025·山西长治·二模）某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 解：设米， 由题意得， 米， ， ， ， 米，米，米， ∴(米）， 米， ，， ， ， ， 解得． 答：路灯的高度约为7.7米． ►题型03 中心投影计算 【变式3】（2025·江西九江·模拟预测）如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆，垂直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上． (1)请在图中画出路灯灯泡P的位置； (2)哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请你根据以上信息： ①求与四边形的面积比． ②求灯泡P距离地面的高度． （1）解：如图所示，连接、并延长，相交于点， 则点即是灯泡的位置 （2）解：①∵，，∴， ∵米， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵（米）， ∴相似比为， ∴， ∴； ►题型03 中心投影计算 【变式3】（2025·江西九江·模拟预测）如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆，垂直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上． (1)请在图中画出路灯灯泡P的位置； (2)哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请你根据以上信息： ①求与四边形的面积比． ②求灯泡P距离地面的高度． ②如图，过作，则即是灯泡距离地面的高度，  ∵ ∴，∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（米）， 答：灯泡距离地面的高度是米． 视图 命题点二 ►题型01 三视图的识别 ►题型02 三视图的补全与绘制 ►题型03 由三视图还原 ►题型04 三视图的相关计算 ►题型01 三视图的识别 【典例1】（2025·四川·中考真题）以下几何体的主视图是圆的是（    ） A． B． C． D． 解：主视图是从几何体正面观察得到的平面图形，分析各选项：   A． 几何体为球体，从正面观察球体，其主视图为圆，此选项符合题意；   B． 几何体为正四面体，从正面观察正四面体，其主视图为三角形，此选项不符合题意；   C． 几何体为正方体，从正面观察正方体，其主视图为正方形，此选项不符合题意；   D． 几何体为正八面体，从正面观察正八面体，其主视图为菱形（或正方形），非圆，此选项不符合题意．   A ►题型01 三视图的识别 【变式1】（2025·宁夏·中考真题）如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（    ） A．主视图不变 B．左视图不变 C．俯视图不变 D．三种视图都不变 解：​选项A：主视图是从正面观察物体所得到的图形．橡皮擦沿垂直于书本右边缘的方向（即左右方向）平移时，其在正面视角中的水平位置发生了改变，导致主视图呈现的图形位置随之变化，因此主视图是会改变的，该选项错误． 选项B：左视图是从左面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，左视图主要反映的是橡皮擦的侧面高度和宽度，而平移方向（左右方向）不会影响侧面的形状和大小，左视图的形状和大小均未发生变化，因此左视图不变，该选项正确． 选项C：俯视图是从上面观察物体所得到的图形．橡皮擦左右平移时，其在水平面上的位置发生了改变，俯视图中图形的位置也会随之变化，因此俯视图是会改变的，该选项错误． 选项D：由上述分析可知，主视图和俯视图会因平移导致的位置变化而改变，只有左视图不变，并非三种视图都不变，该选项错误． B ►题型01 三视图的识别 【变式2】（2025·四川广元·中考真题）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图不相同的是（   ） A． B． C． D． 解： A．主视图是三角形，左视图是矩形，符合题意； B．主视图和左视图都是两个共底的三角形，不符合题意； C．主视图和左视图都是长方形，不符合题意； D．主视图和左视图都是等底等宽的三角形和矩形，不符合题意； A ►题型01 三视图的识别 【变式3】（2025·山东青岛·中考真题）如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（   ） A． B． C． D． 解：由题意得图②的左视图是 ． A ►题型01 三视图的识别 【变式4】（2025·河北·中考真题）一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（    ） A． B． C． D． 解：从左侧看下方是一个长方形，上面中间是一个小正方形， A ►题型02 三视图的补全与绘制 【典例2】（2025·四川凉山·中考真题）如图，由5个相同的小正方体搭成的几何体，下列叙述正确的是（    ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．主视图、左视图和俯视图都不相同 解：该几何体的三视图如下所示：   ∴主视图与左视图相同，主视图与俯视图不相同，左视图与俯视图不相同， A ►题型02 三视图的补全与绘制 【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图所示的立体图形由相同大小的正方体木块搭成．判断拿走图中的哪一个木块后，此图形主视图的形状会改变（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解：由图形可知， 拿走甲后主视图的形状发生了变化，故A符合题意； 拿走乙后主视图的形状不发生变化，故B不符合题意； 拿走丙后主视图的形状不发生变化，故C不符合题意； 拿走丁后主视图的形状不发生变化，故D不符合题意； A ►题型02 三视图的补全与绘制 【变式2】（2025·安徽滁州·三模）如图是由9个相同的小正方体组成的几何体的俯视图，每个数字表示的是下方小正方体的个数，则该几何体的左视图是（   ） A． B． C． D． 解：从左面看易得第一列有2个正方形，中间列有3个正方形，最右边一列有1个正方形． 即 的左视图是 ． C ►题型02 三视图的补全与绘制 【变式3】（2025河北省模拟）如图1是由9个大小相同的小正方体组成的几何体． (1)在图2和图3中分别画出图1所示几何体的主视图和俯视图； (2)若从图1所示几何体中拿走n块小正方体后，左视图没有发生变化，则n的最大值是_______． （1）解：如图所示： （2）解：如图所示， ， ►题型03 由三视图还原 1)视图中有两个是矩形的几何体是柱体； 2)视图中有两个是三角形的几何体是锥体； 3)视图有两个是梯形的几何体是台体； 4)视图中有两个是圆的几何体是球. ►题型03 由三视图还原 【典例3】（2025·山东潍坊·中考真题）某物体的三视图如图所示，则该物体可能是（    ） A． B． C． D． 解：由图可知，该物体可能是   B ►题型03 由三视图还原 【变式1】（2025·云南·中考真题）下列图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（    ） A．正方体 B．长方体 C．圆锥 D．圆柱 解：根据主视图和左视图为长方形判断出是柱体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱． D ►题型03 由三视图还原 【变式2】（2025·江西萍乡·二模）如图所示的是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，则容器中水面的高度随时间变化的图象可能是（    ） A． B． C． D． 解：该三视图表示的容器上面是圆台，上面细，下面粗，圆台下面是圆柱，随着时间的增加，水面高度逐渐增加，开始时是匀速增加。上面细，高度增加得越来越快，即B选项符合题意． B ►题型03 由三视图还原 【变式3】（2025·河南安阳·二模）某设计师结合数学知识设计了一款沙发，沙发的三视图如图1所示，将沙发侧面示意图简化后，得到图2所示图形．为了解沙发的相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系中，其中曲线是反比例函数的一段图象，线段是一次函数的一段图象，点的坐标为，沙发腿轴，与轴交于点．请你根据图形解决以下问题： (1)请求出反比例函数和一次函数的表达式；（不要求写的取值范围） (2)过点向轴作垂线，交轴于点．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子的长、宽、高至少分别是多少？ （1）解：将点代入， 得 ， 反比例函数表达式为， 将点代入：， 得：， 解得：， 一次函数表达式为． ►题型03 由三视图还原 【变式3】（2025·河南安阳·二模）某设计师结合数学知识设计了一款沙发，沙发的三视图如图1所示，将沙发侧面示意图简化后，得到图2所示图形．为了解沙发的相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系中，其中曲线是反比例函数的一段图象，线段是一次函数的一段图象，点的坐标为，沙发腿轴，与轴交于点．请你根据图形解决以下问题： (1)请求出反比例函数和一次函数的表达式；（不要求写的取值范围） (2)过点向轴作垂线，交轴于点．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子的长、宽、高至少分别是多少？ （2）， 把代入，得， ，即， ， ， 点的坐标为， 将代入，得， 点的坐标为，， 根据图1可知，沙发的长是． 综上，长方体箱子的长、宽、高至少分别是，． ►题型04 三视图的相关计算 1）根据三视图判断出原几何体的形状是柱体、锥体、台体、球体，还是组合体； 2）画出原几何体的图形，并确定原几何体各面的形状以及各边的边长； 3）将几何体进行合理的分割、填补，将其补形为规则的几何体； 4）根据柱体、锥体、台体、球的体积公式和表面积公式进行求解. ►题型04 三视图的相关计算 【典例4】（2025·青海西宁·二模）如图是一个几何体的三视图，根据图纸标注的数据，求得这个几何体的侧面积是（    ） A． B． C． D． 解：由三视图可知，该几何体是一个圆锥， 且底面圆的半径是，母线长是， 底面的周长是， 侧面积为：， B ►题型04 三视图的相关计算 【变式1】（2025·陕西汉中·模拟预测）一个立体图形由若干个完全相同的小正方体构成，其俯视图和左视图如图所示，则构成该立体图形最少需要这样的小正方体（    ）个． A．9 B．10 C．12 D．15 解:由图可得有以下情况： 最少有12个， C ►题型04 三视图的相关计算 【变式2】（2025·湖北·一模）如图是一个几何体的三视图(图中尺寸单位：)．这个几何体的名称是 ； 根据图上的数据，计算这个几何体的表面积为 （结果保留）． 解∶根据题意，得∶ 底面圆周长为，底面圆面积为， ∴， ∴ ， ►题型04 三视图的相关计算 【变式3】（2025·广东韶关·三模）北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”收获无数“迷弟”“迷妹”而出现“一墩难求”的现象，为了满足需求，其中一间正规授权生产厂通过技术改造来提高产能，两次技术改造后，由日产量1000个扩大到日产量1440个． (1)求这两次技术改造日产量的平均增长率； (2)这个生产厂家还设计了三视图如图所示的“冰墩墩”盲盒，（单位：），请计算此类盲盒的表面积． （1）解：设这两次技术改造日产量的平均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 答：这两次技术改造日产量的平均增长率为． （2）解：由三视图可知，这个盲盒为圆柱纵切的一半， 其中底面圆半径为，高为， ∴盲盒的表面积， 答：此类盲盒的表面积为． ►突破一 投影与相似三角形综合 【典例1】（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图   测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． ►突破一 投影与相似三角形综合 【典例1】（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图   测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． （1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； ►突破一 投影与相似三角形综合 【典例1】（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图   测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (2)求纪念碑的高度． （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，， ， ， 设，则， ， ， ，， ，， 解得：，答：纪念碑的高度为 ►突破一 投影与相似三角形综合 【典例1】（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图   测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． （3）解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为，则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． ►突破一 投影与相似三角形综合 【变式1】（2025·广东揭阳·三模）综合与实践  主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点离地面高度为4米，，之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为（点，的对应点分别为，）．如图（2），点的正上方有一路灯，夜晚在路灯的照射下木棍在地面上的投影为（点，的对应点分别为，）． 操作与探究： (1)分别在图（1）、图（2）中画出木棍在地面上的投影和；（用直尺作图，线条用实线） (2)在（1）的条件下，测得米，为验证木棍，投影线，，影长组成的四边形是轴对称图形，请你帮助证明； (3)在（1）的条件下，发现图（2）中木棍，投影线，，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯距地面的高度． （1）解：如图，线段与线段为所求作图形； （2）证明：如图，过点作交于点． 则， 依题意 四边形为平行四边形． 米， 又米， ， ，即 ►突破一 投影与相似三角形综合 【变式1】（2025·广东揭阳·三模）综合与实践  主题：利用投影生成轴对称图形． 素材：一根5米长的木棍倾斜固定在半空，点离地面高度为4米，，之间的水平宽度为4米．如图（1），白天的某一时刻，阳光下（图中虚线为太阳光线）木棍在地面上投影为（点，的对应点分别为，）．如图（2），点的正上方有一路灯，夜晚在路灯的照射下木棍在地面上的投影为（点，的对应点分别为，）． 操作与探究： (3)在（1）的条件下，发现图（2）中木棍，投影线，，影长组成的四边形也是轴对称图形，请求出路灯距地面的高度． （3）解：如图，路灯在点正上方． ，，三点在同一直线上，且， 过点作于点，于点， 则四边形是矩形． 米，米 米，米． 四边形是轴对称图形， （米）． ， 米 （米） 答：路灯距地面高度为米. ►突破一 投影与相似三角形综合 【变式2】（2025·河北邯郸·二模）如图1是某风力发电机实物图，图2是它在某一时刻太阳光线下的平面示意图，其中，，表示三个风叶，每个风叶长均为米，任意两风叶之间的夹角相等，风力发电机的柱高为米，，为太阳光线，表示三个风叶在太阳光线下的影长．（其中所有点、线均在同一平面内，，，在同一条直线上） (1)当地面时，求的长； (2)若太阳光线与地面的夹角与（1）相同，则的最大值是____米． （1）解：， ， 米， ， 地面， ，， 如解图①，延长交于点， ，， 米， 米， 过点作于点， ， ∴，则， ∴四边形是矩形， ， （米）； ►突破一 投影与相似三角形综合 【变式2】（2025·河北邯郸·二模）如图1是某风力发电机实物图，图2是它在某一时刻太阳光线下的平面示意图，其中，，表示三个风叶，每个风叶长均为米，任意两风叶之间的夹角相等，风力发电机的柱高为米，，为太阳光线，表示三个风叶在太阳光线下的影长．（其中所有点、线均在同一平面内，，，在同一条直线上） (1)当地面时，求的长； (2)若太阳光线与地面的夹角与（1）相同，则的最大值是 米． （2）解：， 由（1）知，要求的最大值，即求的最大值，如解图②，连接，  当与太阳光线平行，即太阳光线时，太阳光线照射风叶的范围最大，即最大，由（1）得米， ∴米， ∴，此时最大，最大值为． ►突破一 投影与相似三角形综合 【变式3】（2025·河北沧州·模拟预测）光伏发电是将太阳光能转化为电能的清洁、安全，可再生的发电方式，嘉嘉发现家乡有光伏发电试点，如图1，她据此作出如图2所示的示意图，其中为地面，为相邻的太阳能光伏板横截面，测得米，到地面的距离米，到地面的距离米，米，此时垂直立于地面的1米的杆的影长为0.65米．（参考数据：） (1)太阳能光伏板垂直于太阳光线时太阳能利用率最高，通过计算确定此时太阳能利用率是否最高； (2)通过计算确定此时太阳能光伏板是否遮挡了． （1） ∵垂直于太阳光线时此时太阳能利用率不是最高 ►突破一 投影与相似三角形综合 【变式3】（2025·河北沧州·模拟预测）光伏发电是将太阳光能转化为电能的清洁、安全，可再生的发电方式，嘉嘉发现家乡有光伏发电试点，如图1，她据此作出如图2所示的示意图，其中为地面，为相邻的太阳能光伏板横截面，测得米，到地面的距离米，到地面的距离米，米，此时垂直立于地面的1米的杆的影长为0.65米．（参考数据：） (1)太阳能光伏板垂直于太阳光线时太阳能利用率最高，通过计算确定此时太阳能利用率是否最高； (2)通过计算确定此时太阳能光伏板是否遮挡了． （2）过点作交所在直线于点 ∴米 米 米 ∴ 米 米， 此时太阳能光伏板没有遮挡 ►突破一 投影与相似三角形综合 【变式4】（2025·广西玉林·一模）小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为、，这两面墙间距米，经观测，太阳光线常从院墙方向照进院子中，房子墙壁下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边紧贴着左侧院墙，米．图3是院子的左视图，已知弧所在的圆的圆心O恰好在墙壁上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离，外边缘B到墙壁的距离，．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙落在地面上的影子是，． (1)根据以上数据求圆心O到地面的距离； (2)小明说：“当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧的半径．”，你认为他的说法正确吗？请说明理由． (3)如图4，从某一时刻开始，过点G的太阳光线正好落在花圃边沿H处，随着时间的推移，光线逐渐向左移动．假设太阳光线可照射在花圃上的宽度为l米，影长为n米（），试判断l与n有什么关系？并说明理由． (4)在（3）的条件下，若要求太阳光线照在花圃上的宽度不得小于米，则n的取值范围是多少？ ►突破一 投影与相似三角形综合 【变式4】（2025·广西玉林·一模）小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为、，这两面墙间距米，经观测，太阳光线常从院墙方向照进院子中，房子墙壁下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边紧贴着左侧院墙，米．图3是院子的左视图，已知弧所在的圆的圆心O恰好在墙壁上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离，外边缘B到墙壁的距离，．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙落在地面上的影子是，． (1)根据以上数据求圆心O到地面的距离； （1）解：由题意可得： ，， 设， ∵，∴， ∵， ∴， 解得：， ∴圆心O到地面的距离为； ►突破一 投影与相似三角形综合 【变式4】（2025·广西玉林·一模）小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为、，这两面墙间距米，经观测，太阳光线常从院墙方向照进院子中，房子墙壁下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边紧贴着左侧院墙，米．图3是院子的左视图，已知弧所在的圆的圆心O恰好在墙壁上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离，外边缘B到墙壁的距离，．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙落在地面上的影子是，． (2)小明说：“当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧的半径．”，你认为他的说法正确吗？请说明理由． （2）解：小明的说法正确。理由如下： 如图，设光线的延长线交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当遮阳棚边缘B的影子正好落在圆心O处时，围墙的影子顶部F与围墙顶端G的距离正好等于弧的半径，小明的说法正确. ►突破一 投影与相似三角形综合 【变式4】（2025·广西玉林·一模）小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为、，这两面墙间距米，经观测，太阳光线常从院墙方向照进院子中，房子墙壁下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边紧贴着左侧院墙，米．图3是院子的左视图，已知弧所在的圆的圆心O恰好在墙壁上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离，外边缘B到墙壁的距离，．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙落在地面上的影子是，． (3)如图4，从某一时刻开始，过点G的太阳光线正好落在花圃边沿H处，随着时间的推移，光线逐渐向左移动．假设太阳光线可照射在花圃上的宽度为l米，影长为n米（），试判断l与n有什么关系？并说明理由． （3）解：当重合时，过作交于，过作于， ∴，，  ∴，∴， ∵，结合题意可得四边形为矩形， ∴，， 如图，当光线时，  同理可得：， ∴，解得：， 整理得：， 如图，当时， ∵， ∴， ∴， 综上：或； ►突破一 投影与相似三角形综合 【变式4】（2025·广西玉林·一模）小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为、，这两面墙间距米，经观测，太阳光线常从院墙方向照进院子中，房子墙壁下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边紧贴着左侧院墙，米．图3是院子的左视图，已知弧所在的圆的圆心O恰好在墙壁上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离，外边缘B到墙壁的距离，．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙落在地面上的影子是，． (3)如图4，从某一时刻开始，过点G的太阳光线正好落在花圃边沿H处，随着时间的推移，光线逐渐向左移动．假设太阳光线可照射在花圃上的宽度为l米，影长为n米（），试判断l与n有什么关系？并说明理由． 如图，当时，光线时 同理可得：， ∴，∴， ∴， ∵， ∴， ►突破一 投影与相似三角形综合 【变式4】（2025·广西玉林·一模）小明家有一栋附带小庭院的楼房，为提高居住的舒适度，他在楼房的窗子上方安装一个圆弧形遮阳棚（如图1所示）．图2是安装遮阳棚一侧的院子的俯视图，设房子墙壁与院墙分别为、，这两面墙间距米，经观测，太阳光线常从院墙方向照进院子中，房子墙壁下方紧挨着矩形花圃（花圃高度忽略不计），花圃的另一边紧贴着左侧院墙，米．图3是院子的左视图，已知弧所在的圆的圆心O恰好在墙壁上，测得遮阳棚的顶部到地面的距离，外边缘B到墙壁的距离，．在太阳光的照射下，遮阳棚对面院墙落在地面上的影子是，． (4)在（3）的条件下，若要求太阳光线照在花圃上的宽度不得小于米，则n的取值范围是多少？ （4）解：当时，， ∴， 此时：， 当时，， ∴， 解得：， ∴， 综上：太阳光线照在花圃上的宽度不得小于米时，. 感谢聆听! $