第02讲 一次函数的图像与性质（课件）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习课件聚焦一次函数核心考点，严格对接课标要求，涵盖概念识别、图像性质、与方程不等式关系三大模块，分析近三年中考考法分布，归纳出待定系数法、图像平移、最值问题等11类常考题型，体现备考的系统性与针对性。 课件亮点在于“考情预测+真题实战+思维进阶”模式，如通过2025年江苏苏州真题解析一次函数与几何图形交点问题，培养学生运算能力与推理意识，针对k,b符号与象限关系等易错点设计对比训练，帮助学生掌握解题技巧，教师可依托资料制定精准复习计划，助力学生高效冲刺中考。

第02讲 一次函数的图像与性质 第三章 函数 3大考点 5大重难突破 2大中考命题点 11题型探究 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 一次函数相关概念 理解一次函数（含正比例函数）的定义，能识别一次函数的表达式形式（y=kx+b，k≠0） 直接判断函数类型（如区分一次函数与其他函数），或根据定义求参数取值（如 2025・浙江温州卷），难度较低。 一次函数的图像与性质 掌握一次函数的图像（直线）、斜率k（增减性）、截距b（与y轴交点）的性质；能根据条件画一次函数图像。 由k、b判断函数图像经过的象限 （如 2025・山东青岛卷）； 2. 利用增减性比较函数值大小 （如 2025・湖北武汉卷）； 3. 结合图像求与坐标轴的交点坐标（高频基础考点）。 一次函数与方程（组）、不等式（组） 理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的关系，能利用函数图像求解方程 / 不等式的解。 1. 由函数图像求方程的解（如直线与x轴交点对应方程的解，2025・四川成都卷）； 2. 结合图像解不等式（如比较函数值大小对应的自变量范围，2025・广东深圳卷）； 3. 一次函数与二元一次方程组的综合（两直线交点对应方程组的解，2025・江苏苏州卷）。 考情剖析•命题前瞻 考点 课标要求 考法分析 命题预测 命题趋势：一次函数是中考数学的核心基础内容，命题呈现 “基础为主、适度综合、联系实际” 的特点： 1）基础题型占比高：以选择题、填空题为主，考查一次函数的象限分布、增减性、截距等核心性质（如由k、b判断图像经过的象限），难度适中，是得分重点。 2）与几何 / 函数综合：常结合数轴、三角形、坐标系等知识，考查 “函数图像的几何意义”（如直线与坐标轴围成的三角形面积），或与二次函数、反比例函数结合考查图像交点，侧重数形结合能力。 备考建议： 夯实核心概念：牢记一次函数y=kx+b中k（增减性、斜率）、b（与y轴交点）的意义，熟练掌握 “k正函数递增、k负函数递减”“b的符号决定与y轴交点位置” 等结论，确保基础题不丢分。 强化数形结合训练：多练习 “由函数表达式画图像”“由图像求k、b的值”“分析图像与坐标轴围成的图形面积” 等题目，提升从图像中提取信息的能力。 关注综合题型：针对性练习一次函数与几何（如三角形、坐标系）、其他函数（如反比例函数）的综合题，总结 “交点坐标求解”“函数值大小比较” 的通用方法。 知识导航•网络构建 知识导航•网络构建 知识 • 核心梳理 考点一 一次函数相关概念 判断一个函数是不是一次函数，就是判定它能不能化成的形式，其特征为： 1）k≠0； 2）x的次数为1； 3）常数b可以取任意实数. 正比例函数的定义： 一般地，形如（𝒌为常数，𝒌≠𝟎）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 一次函数的定义： 一般地，形如 （𝒌，𝒃是常数，𝒌≠𝟎） 的函数，叫做一次函数. 当b=0时，即 一种特殊的一次函数 一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 【注意】 【小技巧】 真题 • 实战精炼 本题考查了正比例函数的定义，形如𝒚=𝒌𝒙（𝒌为常数且𝒌≠𝟎）的函数是正比例函数； 根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可． 解析 考点一 一次函数相关概念 1．（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． D 解： A：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意； B：，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意； C：，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意； D：，该函数可化简为，符合（）的形式，是正比例函数，符合题意； 真题 • 实战精炼 考点一 一次函数相关概念 2．（2025·广西·中考真题） 已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 D 解：∵ 一次函数的图象经过点， ∴ 将，代入解析式，得： ， 解得：， 3．（2025·贵州毕节·三模）若函数是关于x的正比例函数，则k满足的条件为 ． 解：由题意得， 解得， 真题 • 实战精炼 考点一 一次函数相关概念 4．（2025·江苏苏州·模拟预测） 下列各点中，在一次函数图象上的是（   ） A． B． C． D． C 当时，． 故不在一次函数图象上； 当时，． 故不在一次函数图象上； 当时，． 故在一次函数图象上； 当时，． 故不在一次函数图象上； 解：   k＞0 k＜0 图像 b＞0 b＝0 ≠b＜0 b＞0 b＝0 b＜0             趋势 从左向右看图像呈上升趋势 从左向右看图像呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大 y随x增大而减小 与y轴交点的位置 正半轴 原点 负半轴 正半轴 原点 负半轴 经过 的象限 第一、二、 三象限 第一、三象限 第一、三、 四象限 第一、二、 四象限 第二、四象限 第二、三、 四象限 拓展 1）直线与直线平行， 2）直线与直线垂直－1 知识 • 核心梳理 考点二 一次函数的图像与性质 1 一次函数的图像与性质（含正比例函数） 知识 • 核心梳理 考点二 一次函数的图像与性质 一次函数的性质主要是指函数的增减性，即y随x的变化情况，它只与k的符号有关，与b的符号无关. 2. 待定系数法求一次函数解析式一般步骤： 1）设：设一次函数的解析式为； 2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 3）解：解二元一次方程组，求出k、b； 4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 【补充说明】 知识 • 核心梳理 考点二 一次函数的图像与性质 3. 一次函数的平移变换 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 一次函数图象平移后，k值不变，因此可求出原函数图象上任意一点平移后得到的点的坐标，再利用待定系数法即可求出平移后的解析式. 平移口诀：左加有减（只改变x），上加下减（只改变y） 【总结】 真题 • 实战精炼 本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知k>0，即可得出y随x的增大而增大． 解析 考点二 一次函数的图像与性质 1．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 解：，， 随的增大而增大， ，∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 真题 • 实战精炼 考点二 一次函数的图像与性质 2．（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 解：函数为一次函数，其图象是一条直线， 令，则，解得， 即函数与x轴的交点为；   令，则， 即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配． A 真题 • 实战精炼 考点二 一次函数的图像与性质 3．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 解：设过点，的直线解析式为， 把点，分别代入， 得，∴，∴， ∵过点，的直线向上平移3个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 当时，则， 即在直线上，故B选项符合题意，故A选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故D选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故C选项不符合题意； B 真题 • 实战精炼 本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 根据函数的性质，当𝒌>𝟎时，y随x的增大而增大解答即可． 解析 考点二 一次函数的图像与性质 4．（2025·湖北·中考真题） 已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是 ． 解： ∵一次函数中随的增大而增大， ∴， 故可取． （答案不唯一） 图示   与一次方程的关系 方程的解直线与x轴交点的横坐标.  与二元一次方程组的关系 方程组​​的解直线与直线的交点坐标 与一元一次不等式的关系 1）不等式的解集 直线位于x轴上方的部分对应的x的取值范围； 2）不等式的解集 直线位于x轴下方的部分对应的x的取值范围； 3）不等式的解集 直线位于直线上方的部分对应的x的取值范围. 知识 • 核心梳理 考点三 一次函数与方程（组）、不等式（组） 真题 • 实战精炼 题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移， 把一次函数y=kx+b的图象向右平移3个单位得y=k(x-3)+b的图象，可得函数y=k(x-3)+b与x轴的交点坐标为(2,0)，再结合图象可得答案． 解析 考点三 一次函数与方程（组）、不等式（组） 1．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A．B． C． D． 解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， C 真题 • 实战精炼 考点三 一次函数与方程（组）、不等式（组） 2．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是 ． ∵直线与直线交于点， ∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式， 即方程组的解为点A的坐标． 真题 • 实战精炼 考点三 一次函数与方程（组）、不等式（组） 3．（2025·江苏扬州·二模）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点、点．则关于x的方程的解为 ． 解：方程的解即为当时方程的解， ∵一次函数的图象与y轴交于点， ∴当时，， 一次函数的图像与性质 命题点一 ►题型01 正比例函数的图像与性质 ►题型02 探究一次函数经过的象限与系数之间的关系 ►题型03 探究一次函数的增减性与系数之间的关系 ►题型04 根据增减性比较函数值 ►题型05 待定系数法求函数解析式 一次函数的图像与性质 命题点一 ►题型07 一次函数与坐标轴交点问题 ►题型08 与一次函数性质有关的开放性问题 ►题型09 一次函数最值问题 ►题型06 一次函数与图形变换 ►题型01 正比例函数的图像与性质 对于正比例函数，只要知道比例系数k的正负，不需画出图像就能判断其图像的大致位置以及函数的增减性.反之，若知道正比例函数的增减性，也可以推断出函数的比例系数k的正负. 本题考查了正比例函数的图象和性质，根据正比例函数的图象和性质判断即可求解， 掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键． 解析 【典例1】（2025·吉林长春·中考真题）已知点、在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． ►题型01 正比例函数的图像与性质 解： ∵点、在同一正比例函数的图象上， ∴，，∴， ∵， ∴正比例函数的图象经过二、四象限， 当时，当时， ∵， ∴，， ∴选项正确，选项错误， y O x ►题型01 正比例函数的图像与性质 【变式1】（2025·江西·中考真题）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解：如图，根据题意得， ∴， 根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，反之图象越陡，值越大， ∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲 A 本题考查了正比例函数图象的性质，根据−𝟐<𝟎，可得y随x的增大而减小，图象经过第二、四象限，据此可判断A、D，求出当𝒙=𝟏时和当𝒙=𝟎时的函数值即可判断B、C． 解析 ►题型01 正比例函数的图像与性质 【变式2】（2025·广西·三模）关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过第二、四象限 A 解： A、在中，当时，，则点不在函数的图象上，原说法错误，符合题意； B、在中，，则y随x的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、在中，当时，，则原函数的图象经过原点，原说法正确，不符合题意； D、在中，，则图象经过第二、四象限，原说法正确，不符合题意； ►题型01 正比例函数的图像与性质 【变式3】（2025·辽宁鞍山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标是1，过点A作轴于点D，以为边作正方形，连接，若直线与围成的阴影三角形的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．m的值为 B．正方形的边长是 C．的面积是 D．直线的解析式是 解：依题意得：，， 当时，， ∴， ∴在正方形中，， ∴， 设直线的解析是， 将点B的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析是 当时，， 即：， ∴ ， ∴直线与围成的阴影三角形的面积为： ， 解得：(舍去)， ∴m的值为2，正方形的边长是2， 直线的解析式是， ， ∴， ∴的面积是， ∴选项A、B、C错误，选项D正确， D ►题型02 探究一次函数经过的象限与系数之间的关系 图像如果过第一、三象限，那么k＞0； 图像如果过第二、四象限，那么k＜0 ►题型02 探究一次函数经过的象限与系数之间的关系 【典例2】（2025·江苏扬州·中考真题） 已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D 解：∵，∴， 当时，，，与矛盾， 当时，，  ，与矛盾， 当时，，，与矛盾， 当时，，，与矛盾， ∴，∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， ►题型02 探究一次函数经过的象限与系数之间的关系 【变式1】（2025·江苏南通·中考真题） 已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴ 时， 时， 【变式2】（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 . （写出一个即可）． 2 解：由题意，平移后的解析式为：， ∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限， ∴，∴； ∴的值可以是2； （答案不唯一，满足即可） ►题型03 探究一次函数的增减性与系数之间的关系 若x增大y也增大，则k＞0； 若x增大y反而减小，则k＜0 本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把𝒙=−𝟏代入函数𝒚=𝒌𝒙+𝟐(𝒌≠𝟎)，从而判断函数值y的取值范围，即可得出结果． 解析 ►题型03 探究一次函数的增减性与系数之间的关系 【典例3】（2025·山东东营·中考真题） 一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 解： ∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴当时，， 选项中只有3符合要求 A ►题型03 探究一次函数的增减性与系数之间的关系 【变式1】（2025·安徽·中考真题）已知一次函数的图象经过点M，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 解：∵一次函数过， 把代入得，即． 又随的增大而增大，． 选项A：点，代入得:， 把代入得:，化简得，解得，不满足，舍去． 选项B：点，代入得， 把代入得， 化简得，不满足，舍去． 选项C：点，代入得， 把代入得， 化简得，解得，不满足，舍去． 选项D：点，代入得， 把代入得，化简得，解得，满足． 综上，只有选项D符合条件，故选：． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，掌握对于一次函数𝒚=𝒌𝒙+𝒃， 当𝒌>𝟎时， y随x的增大而增大， 当𝒌<𝟎时， y随x的增大而增减小是解题的关键． 先由待定系数法求出一次函数的解析式，再根据𝒌的符号判断增减性． 解析 ►题型03 探究一次函数的增减性与系数之间的关系 【变式2】（2025·湖南衡阳·一模）如果一次函数（k是常数，）的图象经过点，那么y的值随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 减小 解：∵一次函数（k是常数，）的图象经过点， ∴， 解得：， ∴y的值随x的增大而减小， ►题型04 根据增减性比较函数值 【典例4】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知点A，B均在一次函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知一次函数（为常数，且）的图象经过点，点和在该函数图象上，则下列与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． A 解：一次函数中， 即函数值随的增大而减小， ， ， C 解：将点代入一次函数得 ，解得:． ∵， ∴y的值随x的增大而减小． ∵，∴． 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 解析 ►题型04 根据增减性比较函数值 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知点，在一次函数的图象上，且则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． D 解： 点，在一次函数的图象上， ，， ， ， ， 异号， ►题型04 根据增减性比较函数值 【变式3】（2025·安徽滁州·二模）已知一次函数的图象经过点和，其中，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． D 解：将和代入得， 解得， ， ， ， ►题型05 待定系数法求函数解析式 ►题型05 待定系数法求函数解析式 【典例5】（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 解：设直线的解析式为，代入 ∴∴ ∴直线的解析式为∵， A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为， 此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为， 此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， ►题型05 待定系数法求函数解析式 【典例5】（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 解：设直线的解析式为，代入 ∴∴ ∴直线的解析式为∵， C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意， A ►题型05 待定系数法求函数解析式 【变式1】（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 解： 满足公式， 由表格数据可得， 解得 即， B 当温度t为时， ， ►题型05 待定系数法求函数解析式 【变式2】（2025·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是 ． 或 解：∵，∴， ∵，∴， ∴为等边三角形，∴， 过点作轴，则：， ， ∴或， 设直线的解析式为， ∴当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时； 综上：或； ►题型06 一次函数与图形变换 1）平移口诀： 左加有减（只改变x），上加下减（只改变y） 2) 翻折口诀： 关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. ►题型06 一次函数与图形变换 【典例6】（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解：依题意， 将直线向上平移d个单位长度后得 ∵点，点， 且直线向上平移d个单位长度后与线段有交点， ∴把代入得，解得； 把代入得，解得； 则， D 直线 ►题型06 一次函数与图形变换 【变式1】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可） 解：直线经过点， ，即 设直线分别交x轴和y轴与、两点， 当时，；当时，， 即，，∴， ， 过点分别作直线轴，直线轴， 交x轴于，交y轴于如图， 则轴，，∴， ∴ ∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时， 在如图所示位置， ∵点在上， ∴当， 则点在点的右上方， 此时， 6 （答案不唯一，大于5均可）． ►题型06 一次函数与图形变换 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点，将该直线沿轴向上平移6个单位长度后，与轴交于点，若点与关于原点对称，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 A 解：∵直线（为常数）与y轴交于点A， 当时，，∴， 将该直线沿y轴向上平移6个单位长度后，得到， ∵将该直线沿y轴向上平移6个单位长度后，与y轴交于点， ∴， ∵点与A关于原点O对称， ∴，解得：， ►题型06 一次函数与图形变换 【变式3】（2025·广东汕头·一模） 若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 A 解：直线与轴的交点为，与轴的交点为； 点关于直线的对称点为， 点关于直线的对称点为， 把点、代入， 得：， 解得：，， ►题型06 一次函数与图形变换 【变式4】（2025·河南濮阳·一模）如图，两座城市和在平面直角坐标系中的坐标为、，铁路所在的直线为，计划在铁路上修建一个站点，使站点到两城市的距离和最小，则站点的坐标为 ． 解：作点关于直线对称的点，连接，如图： ∵点与点关于直线对称，∴， 故， 当点、、三点共线时，的值最小， 最小值为线段的长， 即点是与直线的交点； ∵点关于直线对称点坐标为， ∴点 关于直线对称的点的坐标为， 设直线的解析式为， 将， 代入解析式，得 ，解得：， ∴直线的解析式为； ∵点是直线与直线的交点，故联立方程组 得：， 解得：， 即点的坐标为． ►题型07 一次函数与坐标轴交点问题 【典例7】（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是 ． 解：当时， ， ， ∵直线与直线的交点在轴上， ∴， ∴． 【变式1】（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为 ． ►题型07 一次函数与坐标轴交点问题 G ∟ 解：一次函数中，令，得， 令，则，解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， 过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶ ∵，∴， ∵，， ∴， 在和中 E ∵，， ∴， ∴A点坐标为， 将代入反比例函数 解得， ∴， ∴，， ►题型07 一次函数与坐标轴交点问题 【变式2】（2025·江苏扬州·三模）已知直线 与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点坐标为（   ） A． B． C． D． 解：直线与轴、轴分别交于点和点， 时，，时，， ，，． 由折叠的性质得：，， ． 设， 则． 在中，， 即， 解得：，． B ►题型08 与一次函数性质有关的开放性问题 【典例8】（2025·四川广安·中考真题）已知一次函数，当时，y的值可以是 ．（写出一个合理的值即可） 解：当时，， ∴的值可以是， 【变式1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）写出一个图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大的一次函数表达式 . 解：设一次函数解析式， 当时，， ∴与y轴交点为， ∵图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大， ∴， ∴解析式可以为：， （答案不唯一） （答案不唯一） ►题型08 与一次函数性质有关的开放性问题 【变式2】（2025·河南周口·模拟预测）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征．甲：“函数值 y随自变量x增大而减小．”乙：“函数图象经过点．”请你写出一个同时满足这两个特征的函数表达式 ．（写出一个符合条件的表达式即可） 解：根据题意，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”； 可设函数为：， 又满足乙：“函数图像经过点”， 把代入得：， ∴， 则函数关系式为， （答案不唯一） ►题型08 与一次函数性质有关的开放性问题 【变式3】（2025·陕西西安·二模）已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B．若反比例函数的图象与线段有交点，请写出一个符合要求的k的值 ．（写出一个即可） 解：对于， 当时，， 当时，， ∴点， ∴线段上点的横坐标， 当时，， 把，代入得： ， 即符合要求的k的值可以为． （答案不唯一） ►题型09 一次函数最值问题 【典例9】（2025·黑龙江大庆·三模） 已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是 ． 1或 解：当时，一次函数中，y随x的增大而增大， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 当时，一次函数中，y随x的增大而减小， 当时，的最大值是， ，此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 综上所述，的最小值是1或； ►题型09 一次函数最值问题 【变式1】（2025·甘肃天水·一模） 当时，一次函数有最大值4，则负整数m的值为 ． 解：由题知，当，即时，此时随着的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值为，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 则， 当，即时，此时随着的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值为，即， 解得（不符合题意，舍去）或，则， 综上所述，负整数m的值为， ►题型09 一次函数最值问题 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测） 已知正比例函数，当时，函数的最大值为8，则k的值为（   ） A．3 B． C．1或 D．或3 D 解：当时，即，函数y随x的增大而增大， 当时，． ，解得； 当时，即，函数y随x的增大而减小， 当时， ． ，解得； 的值为或3． 一次函数与方程（组），不等式（组） 命题点二 ►题型01 求直线围成的图形面积 ►题型02 一次函数与方程（组），不等式（组） ►题型01 求直线围成的图形面积 ►题型01 求直线围成的图形面积 【典例1】（2025·江苏苏州·模拟预测）直线和直线相交于点，分别与轴相交于点和点．求的面积． 解：根据题意得方程组，解得， ∴， 在直线中，当时，，解得， ∴， 在直线中，当时，，解得， ∴， 如图所示，过点作于点，      ∴，， ∴． ►题型01 求直线围成的图形面积 【变式1】（2025·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为 ． 或 解：设点在直线上，其友好点也在直线l上， 设直线l的解析式为，将点和代入解析式得： ，解得， ∴直线l的表达式为， 当时，，即直线l与y轴交点为， 当时， ，解得，即直线l与x轴交点为， ∴， ∴， ∴直线的表达式或． 故答案为：或． ►题型01 求直线围成的图形面积 【变式2】（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点 A、B，直线 ： ()与x轴、y轴分别交于点 C、D，点在直线l₂上． (1)直线 过定点吗？_______；（填“过”或“不过”） (2)若点 B、O关于点D对称，求此时直线的解析式； (3)若直线将的面积分为两部分，请求出m的值． ►题型01 求直线围成的图形面积 【变式2】（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点 A、B，直线 ： ()与x轴、y轴分别交于点 C、D，点在直线l₂上． (1)直线 过定点吗？_______；（填“过”或“不过”） （1）解：在中，令得， ∴直线过定点， 过 (2)若点 B、O关于点D对称，求此时直线的解析式； （2）在中，令得，∴， ∵点B、O关于点D对称， ∴D是的中点，∴， ∵点在直线上， ∴，解得：， ∴直线的解析式为为； ►题型01 求直线围成的图形面积 【变式2】（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点 A、B，直线 ： ()与x轴、y轴分别交于点 C、D，点在直线l₂上． (3)若直线将的面积分为两部分，请求出m的值． （3）在中，令 得：， ∴在直线上， ∴直线：与直线： 的交点为， 在中，当时，； 当时，， 解得：， ∴，， ∴， 当时，如图： 此时， ∴，∴， ∴，∴， 点在直线上， ∴， ∴； ►题型01 求直线围成的图形面积 【变式2】（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点 A、B，直线 ： ()与x轴、y轴分别交于点 C、D，点在直线l₂上． (3)若直线将的面积分为两部分，请求出m的值． （3）在中， 令得， ∴在直线上， ∴直线：与直线： 的交点为， 在中， 当时，； 当时，， 解得：， ∴，， ∴， 当时，如图：  此时， ∴，∴， ∴，∴， ∵点在直线上， ∴， ∴；综上所述，m的值为4或 ►题型01 求直线围成的图形面积 【变式3】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于B，C两点，直线与直线相交于点A，P为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴，垂足为Q．设P点的横坐标为t，与重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示，小明在做题的过程中用墨弄污了一部分，请据此回答下面的问题：  (1)利用图中残留的信息，推测的面积为_____； (2)求直线的解析式； (3)若． ①判断点P在点A的左侧还是右侧； ②求此时t的值． （1）解：由图可得当时， ， ►题型01 求直线围成的图形面积 【变式3】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于B，C两点，直线与直线相交于点A，P为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴，垂足为Q．设P点的横坐标为t，与重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示，小明在做题的过程中用墨弄污了一部分，请据此回答下面的问题：  (1)利用图中残留的信息，推测的面积为_____； (2)求直线的解析式； （2）解：由图可得当时，， ∴，即点B的坐标为； 又∵， 即， 解得， 把代入得到， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴直线的解析式为； ►题型01 求直线围成的图形面积 【变式3】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于B，C两点，直线与直线相交于点A，P为线段上一动点（不与点B重合），过点P作轴，垂足为Q．设P点的横坐标为t，与重叠部分的面积为S．S关于t的函数图象如图2所示，小明在做题的过程中用墨弄污了一部分，请据此回答下面的问题： (3)若． ①判断点P在点A的左侧还是右侧；②求此时t的值． （3）解：①过A点作轴于点D 则，  ∴ ， 当时，， 由图象可得S随x的增大而减小， ∴点P在点A的右侧； ②当时， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得（负值舍去）． ►题型02 一次函数与方程（组），不等式（组） 【典例2】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（     ） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 解：、根据图象可知，，， ∴，原选项不符合题意； 、∵一次函数经过点，点， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为， 当时，，∴， ∴，， ∴，∴为的中点，原选项符合题意； 、方程的解是，原选项不符合题意； 、当时，，原选项符合题意； ►题型02 一次函数与方程（组），不等式（组） 【变式1】（2025·浙江·一模） 在平面直角坐标系中，直线，，围成三角形的面积为 ． 解：设直线，交于点， 直线，交于点， 直线，交于点， 联立直线，的解析式组成方程组得： ，解得：， 点的坐标为， 同理：点的坐标为， 点的坐标为． 过点作轴于点， 过点作轴于点， 则，，如图所示 直线，， 围成三角形的面积为． ， ， ►题型02 一次函数与方程（组），不等式（组） 【变式2】（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． ∵在平面直角坐标系中， 函数的图象经过点和， ∴，解得； （1）解： ►题型02 一次函数与方程（组），不等式（组） 【变式2】（2025·北京·中考真题） (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． （2）解：由（1）可得函数的解析式为， 函数的解析式为， 当时，则， 当时，则， ∵当时，对于x的每一个值， 函数的值 既小于函数的值， 也小于函数的值， ∴，且，∴， 当，时 和恒成立， 故符合题意； 当时，则且， 当时，则， 解不等式得， 解不等式， ∴； 当时，则， 解不等式得，解不等式得，此时不符合题意； 综上所述，． ►题型02 一次函数与方程（组），不等式（组） 【变式3】（2025·河南安阳·模拟预测）已知方程组 (1)列表取值：二元一次方程有无数组解，请补充下面表格，使上下每一对x，y的值都是二元一次方程的解，则_______，_______． x （1）解：在中， 当时， ， ∴，即； 在中， 当时，， ∴，即； (2)实践操作：把x的值作为点的横坐标，所对应的y的值作为点的纵坐标，描出表格中的值所对应的点，并把这些点按照横坐标从小到大的顺序依次连接起来．你有什么发现 （2）解：如图所示，即为所求． 发现这些点在一条直线上． ►题型02 一次函数与方程（组），不等式（组） 【变式3】（2025·河南安阳·模拟预测）已知方程组 (1)列表取值：二元一次方程有无数组解，请补充下面表格，使上下每一对x，y的值都是二元一次方程的解，则_______，_______． (3)类比探究：你能用同样的方法在同一坐标系中画出以二元一次方程的解为横、纵坐标的点并连成线吗？参考表格： y           （3）解：列表如下： 0 1 2 3 由图象可知，（2）和（3）中的图象的交点坐标为_______； ►题型02 一次函数与方程（组），不等式（组） 【变式3】（2025·河南安阳·模拟预测）已知方程组 (4)发现特征：解二元一次方程组结合图象写下你的发现． （4）解： 得：，解得， 把代入①得，，解得， ∴原方程组的解为, 我发现： 方程组的解中x的值是交点的横坐标，y的值是交点的纵坐标． 由图象可知，（2）和（3）中的图象的交点坐标为_______； ►题型02 一次函数与方程（组），不等式（组） 【变式4】（2025·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知函数 和． (1)若这两个函数的图象交于点，求证：点一定不在直线上； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于的值，直接写出的取值范围． （1）解：由函数和 得：， ∴， 当时，， 由， 故， 故点一定不在直线上． （2）解：由为函数和交点的横坐标， 且当时，对于的每一个值， 函数的值都大于的值， ∴， 解得， 当时，不符合题意； 当，恒成立； 当时，，解得， ． ►突破一 一次函数与规律探索问题 1）自变量 x 的起始值： 若序号从 0 开始，注意 x=0 时 y=b，避免代入错误。 2）验证环节不可省略： 部分规律前几组符合等差，后续可能变化，需验证确保正确性。 3）区分一次函数与其他规律： 若 y 的差值不是定值，则不是一次函数，可能是二次函数或等比数列。 【易错点】 ►突破一 一次函数与规律探索问题 【典例1】（2025·山东烟台·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为 ． 解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得： ∴解得： ∴ ． 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ ►突破一 一次函数与规律探索问题 【变式1】（2025·四川德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是 ． 解：如图，设直线与轴交于点，分别过作轴， 轴，垂足分别为点， 由直线得，当时，， ∴点，∴， ∵，，∴，， 由勾股定理得， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴，即的纵坐标为， 同理的纵坐标为， ∵， ∴在直线上， ∴的纵坐标为， ． ►突破一 一次函数与规律探索问题 【变式3】（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ． 解： ∵点的坐标为，  ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， ►突破二 一次函数与新定义问题 【典例2】（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）． 解：（1）①对于， 由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得，解得：， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． ③ ►突破二 一次函数与新定义问题 【典例2】（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． （2）若一次函数𝒚=𝒌𝒙+𝒃(𝒌≠𝟎)是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件； 探究2： （3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． （2）∵一次函数是“不动点函数”， ∴代入点，得:， 整理得， 当即且时，为任意实数； 当即时，； （3）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴； ►突破二 一次函数与新定义问题 【典例2】（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究3： （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． （4）根据题意得，， ∴令， 整理得， 解得，， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． ►突破二 一次函数与新定义问题 【变式1】（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”， 至多有个“整点”，求的取值范围． ►突破二 一次函数与新定义问题 【变式1】（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点 和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为 ． （1）解：关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数， 点和关于点的对称点分别是，； 设函数关于点的“对称函数”为， 将，代入得， ，解得， 函数关于点的“对称函数”为． ►突破二 一次函数与新定义问题 【变式1】（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； （2）解：函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的， 而反比例函数关于原点中心对称， 函数的图象关于点中心对称， 存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身． ►突破二 一次函数与新定义问题 【变式1】（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． （3）解：将化成顶点式，其顶点为， 、关于点对称， 的顶点为， 的解析式为 ①如图，当时，：，：  联立，解得， 当时，，，有整点， 当时，，，有整点，，， 当时，，，有整点， 故当时，求内的“整点”个数有5个； ►突破二 一次函数与新定义问题 【变式1】（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． （3）解：将化成顶点式 ，其顶点为， 、关于点对称， 的顶点为， 的解析式为 ①如图，当时，：， ： 联立， 解得， 当时，，，有整点， 当时，，， 有整点，，， 当时，，，有整点， 故当时，求内的“整点”个数有5个； ►突破二 一次函数与新定义问题 【变式1】（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． ②∵的顶点为， ∴的解析式为， ∵函数与的图象关于点成中心对称， ∴点必为区域内的“整点”， 当区域内恰有个“整点”时， 其它个“整点”是对关于点对称的点， 即和，和，和，和， 此时，当过时，满足题意，即， 解得：， 当过时，即， 解得：， 此时区域内有个整点，如图， ►突破二 一次函数与新定义问题 【变式1】（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，在前面个“整点”的基础上增加了、、及 个“整点”， 此时， 如图，的取值范围是． ►突破二 一次函数与新定义问题 【变式2】（2025·湖南长沙·中考真题）我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（    ） ②函数一定不是“对偶函数”；（    ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（    ） (2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； (3)若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． ►突破二 一次函数与新定义问题 【变式2】（2025·湖南长沙·中考真题）我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（    ） ②函数一定不是“对偶函数”；（    ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（    ） （1）解：， 且，， ，， ，， ①函数（k是非零常数）的图象上，， 满足，，故①正确； ②由题意可得，， 则点与点且是一对“对偶点”， 函数的图像如下图： 函数中不存在“对偶点”， 一定不是“对偶函数”，故②正确； 由题意可得， 则 ∴“对偶点”在反比例函数图象上， ∴函数的图象上存在一对“对偶点”， 至少存在两对“对偶点”说法错误，故③错误； 函数的图象如图， √ √ × ►突破二 一次函数与新定义问题 【变式2】（2025·湖南长沙·中考真题）我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (2)若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； （2）由题意可得，， 点与点且是一对 “对偶点”，由于是“对偶函数”， 则其图象上必存在一对“对偶点”． 从而有， 两式相减可得，同理可得． 两个一次函数为，， 由于，都是常数，且， 两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如下图所示求得其面积之和； ►突破二 一次函数与新定义问题 【变式2】（2025·湖南长沙·中考真题）我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (3)若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． （3）由题意可得，且时，有， 以上两式相减可得， 从而将， 代入①整理可得， 此关于的一元二次方程必有实数根， 由于时，（不符合题意）． 从而必有，解得． ►突破三 一次函数与反比例函数、二次函数综合 【典例3】（2025·江苏无锡·中考真题）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 解：①设函数上点坐标轴为 ， ∵关于轴对称 ∴点坐标为 若点或点的纵坐标称相等， ∴ 解得：， 则存在这样的点，使得他们关于轴对称， ∴函数与函数具有“对偶关系” 所以①错误；故不符合题意； ②当时， 则， 解得； ，解得； 横坐标是相反数， 所以②正确，故符合题意； ►突破三 一次函数与反比例函数、二次函数综合 【典例3】（2025·江苏无锡·中考真题）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ ③当时， 则，解得； 因为是函数与函数的“对偶值”， 所以函数的，代入得： ， 解得， 所以③正确，故符合题意； ④设点坐标为，则点坐标为  ， ∵横坐标是相反数关系，纵坐标相等 ∴，整理得， ∵，对于函数，y随m的增大而增大， 当时，； 当时，； ∴，而不是，所以④错误，故不符合题意； B 【变式1】（2025·四川乐山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、 (1)求、的值和反比例函数的表达式； (2)若在轴上存在点，使得的面积为6，求的值． ►突破三 一次函数与反比例函数、二次函数综合 （1）解：∵一次函数的图象与反比例函数 的图象 交于点、， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：如图所示，设直线交x轴于C， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 【变式2】（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．  (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集为 ； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． ►突破三 一次函数与反比例函数、二次函数综合 （1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，，∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴，解得， ∴一次函数解析式: ； （2）解：由函数图象可知， 当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围: ， ∴不等式的解集: ； 【变式2】（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． ►突破三 一次函数与反比例函数、二次函数综合 （3）解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接，则，  由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长 ， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， C D ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值， 即此时的周长有最小值 最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为， 则，∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 综上所述，当点C的坐标为时， 的周长有最小值，最小值为． 【变式3】（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离； (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． ►突破三 一次函数与反比例函数、二次函数综合 （1）解：∵二次函数的图像经过三点， ∴，∴， ∴抛物线解析式为； 【变式3】（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点． (2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离 ►突破三 一次函数与反比例函数、二次函数综合 （2）解：设直线的解析式为， ∵， ∴，∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴交于E，连接， 设，则， ∴ ； ∵， ∴ ， ∴当有最大值是，有最大值， ∵，， ∴当，即时， 有最大值，最大值为， ∴的最大值为； ∵， ∴， ∵， ∴； 设点P到直线的距离为h， ∴， ∴， ∵当有最大值时，h有最大值， ∴h的最大值为， ∴点P到直线的最大距离为； 【变式3】（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点． (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． ►突破三 一次函数与反比例函数、二次函数综合 （3）解：如图3-1所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作交直线于G，  ∵抛物线解析式:， ∴抛物线对称轴为直线， ∴，∴； ∵， ∴； 设点Q的坐标为，则； 由旋转的性质可得， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D的横坐标为， 纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为；如图3-2所示 ►突破三 一次函数与反比例函数、二次函数综合 【变式3】（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点． (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 当点Q在x轴上方时，过点Q作轴， 分别过点A，点D作直线的垂线， 垂足分别为R、S，设点Q的坐标为， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴，又∵， ∴， ∴ ， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点D在抛物线上， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴此时点的坐标为； 综上所述，存在点Q使， 此时点Q的坐标为或． 本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等等， （2）的关键在于把求点P到的距离的最大值转换成求的面积的最大值， （3）的关键在于通过“一线三垂直”模型构造全等三角形． 【点睛】 ►突破四 一次函数与图形变换综合 【典例4】（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换： ①沿轴翻折； ②沿函数的图像翻折； ③绕原点按顺时针方向旋转； ④绕点按顺时针方向旋转． 其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 解：令则， ∴， 即， 令，则， 即，  ∵沿轴翻折， ∴沿轴翻折得 设的解析式为， 把，代入 得， ∴， 则， ∴沿轴翻折不过点， ∴①不符合题意； ►突破四 一次函数与图形变换综合 【典例4】（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换： ①沿轴翻折； ②沿函数的图像翻折； ③绕原点按顺时针方向旋转； ④绕点按顺时针方向旋转． 其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ②令则，解得， 即经过点， 令，则 即经过点， 连接，如图所示：  ∵，，， 则， ， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴与关于直线对称， 故沿函数的图像 翻折过点， ∴②符合题意； ③ 依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点， 当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点； 当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点；过程如下：  ∴，此时点， 把代入， 得 ∴不在， 即绕原点按顺时针方向旋转不经过点， 故③不符合题意； ►突破四 一次函数与图形变换综合 【典例4】（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换： ①沿轴翻折； ②沿函数的图像翻折； ③绕原点按顺时针方向旋转； ④绕点按顺时针方向旋转． 其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ►突破四 一次函数与图形变换综合 【典例4】（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换： ①沿轴翻折； ②沿函数的图像翻折； ③绕原点按顺时针方向旋转； ④绕点按顺时针方向旋转． 其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ∵绕点按顺时针方向旋转，且， ∴记为T点，连接， ∴， ∴， 则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点绕点按顺时针方向旋转， 与点P重合， 故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点， ∴④符合题意． B ►突破四 一次函数与图形变换综合 【变式1】（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠， 点B恰好落在点处， ∴， ∴， ∴，∴； （2）设， 根据折叠的性质，得，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得，故直线的解析式为． ►突破四 一次函数与图形变换综合 【变式1】（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示：  当时，， ∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：，∴t的取值范围为． ►突破四 一次函数与图形变换综合 【变式2】（2025·辽宁铁岭·三模）定义：是自变量的函数，当时，函数，当时，将函数沿直线翻折，得函数，函数合起来称为函数关于直线的“折美函数”．例如：图1为函数的图象，当时，得函数，函数，函数和函数合起来称为函数关于直线的“折美函数”，其图象如图2所示． (1)请直接写出函数关于直线的“折美函数”表达式，并写出相应的自变量的取值范围； (2)直线与函数关于直线（即轴）“折美函数”图象的两个交点之间的距离为4，求的值； (3)函数关于直线的“折美函数”中． ①请求出的值及的自变量取值范围． ②若直线与函数关于直线的“折美函数”有两个交点，请求出的取值范围． ►突破四 一次函数与图形变换综合 【变式2】（2025·辽宁铁岭·三模）定义：是自变量的函数，当时，函数，当时，将函数沿直线翻折，得函数，函数合起来称为函数关于直线的“折美函数”．例如：图1为函数的图象，当时，得函数，函数，函数和函数合起来称为函数关于直线的“折美函数”，其图象如图2所示． (1)请直接写出函数关于直线的“折美函数”表达式，并写出相应的自变量的取值范围； （1）解：函数沿直线翻折， 当时，； 时，； ►突破四 一次函数与图形变换综合 【变式2】（2025·辽宁铁岭·三模）定义：是自变量的函数，当时，函数，当时，将函数沿直线翻折，得函数，函数合起来称为函数关于直线的“折美函数”． (2)直线与函数关于直线（即轴）“折美函数”图象的两个交点之间的距离为4，求的值； （2）解：如图，设直线与函数的交点坐标为， 则直线与函数关于直线”折美函数”图象的交点坐标为， ∵直线与函数关于直线（即轴）“折美函数”图象的两个交点之间的距离为4， ∴， 将代入，解得，， ∴； ►突破四 一次函数与图形变换综合 【变式2】（2025·辽宁铁岭·三模）定义：是自变量的函数，当时，函数，当时，将函数沿直线翻折，得函数，函数合起来称为函数关于直线的“折美函数”． (3)函数关于直线的“折美函数”中． ①请求出的值及的自变量取值范围． （3）解：①∵， 函数关于直线的“折美函数”中． ∴，． ∴， 整理得，， 解得：，， ∴的自变量取值范围． 如图2，直线与(𝟐−√𝟓<𝒙<𝟐+√𝟓)有交点 所以直线与函数关于直线的“折美函数”有两个交点， 将代入，得， 代入，得， ∴此时直线与函数关于直线的 “折美函数”有两个交点，的取值范围是： 或． ►突破四 一次函数与图形变换综合 【变式2】（2025·辽宁铁岭·三模）定义：是自变量的函数，当时，函数，当时，将函数沿直线翻折，得函数，函数合起来称为函数关于直线的“折美函数”． (3)函数关于直线的“折美函数”中． ②如图1，直线与没有交点 即， ， ②若直线与函数关于直线的“折美函数”有两个交点，请求出的取值范围． ►突破五 一次函数与几何综合 【典例5】（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为．下列结论： ①纸片的面积是； ②点E的坐标为； ③若直线既平分矩形的面积又平分的面积，则直线的解析式为； ④若点M是直线上的一个动点，连接EM，设，点C到的距离为n，则m与n之间的关系式为． 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ►突破五 一次函数与几何综合 【典例5】（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为．下列结论： 其中正确结论的个数是（   ） ①纸片的面积是； 解：如图，延长交轴于， ∵一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分． 点A的坐标为， 点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为， ∴，，，，， ∴，， 纸片面积为：，故①符合题意； ∴，故②符合题意； ②点E的坐标为； ►突破五 一次函数与几何综合 【典例5】（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为．下列结论： 其中正确结论的个数是（   ） ③若直线既平分矩形的面积又平分的面积，则直线的解析式为； 如图，连接交于点， 连接交于点， ∵矩形和平行四边形， ∴直线即直线既平分矩形的面积又平分的面积， ∵，，， ∴，， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为 故③符合题意； ►突破五 一次函数与几何综合 【典例5】（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一张纸片被y轴分成矩形和平行四边形两部分．点A的坐标为，点B，C分别在x轴和y轴上，点D的坐标为．下列结论： A．1 B．2 C．3 D．4 其中正确结论的个数是（   ） ④若点M是直线上的一个动点，连接EM，设，点C到的距离为n，则m与n之间的关系式为． 如图，连接，过作于，由题意可得： ，而的面积为， ∴，∴， ∵当最小时，最大， ∴当时，最小， ∵，∴， 解得：，此时， ∴m与n之间的关系式为，故④符合题意； D 【变式】2（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接．  (1)求证：； ►突破五 一次函数与几何综合 （1）证明：对于直线， 令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∵，∴； （2）解：∵点的坐标为， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴， ∴四边形面积 ∵，∴当， 四边形面积有最大值，最大值为． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. ►突破五 一次函数与几何综合 【变式3】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接．(1)求A，B两点的坐标；(2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． （1）解：令，则， 解得， 点A的坐标为， 令，则， 点B的坐标为； （2）解：如图，过点C作，垂足为E， ，， ， 令，则， 点D的坐标为， 点C的坐标为， 点C在一次函数的图象上， ， 解得． E ∟ ►突破五 一次函数与几何综合 【变式4】（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． （1）解：把代入反比例函数，则， 则反比例函数解析式为：， 把代入， 则，∴， 把，代入， 则，解得：， 则一次函数的解析式为： ►突破五 一次函数与几何综合 【变式4】（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接． (2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标． （2）解：令时，则，∴， ∵点D与点A关于点O对称， ∴ 设点， ∵，∴ 又∵，， ∴， ，， ∵与相似，， ∴分两种情况：或， 当时，即， 解得：， 此时，点， 当，即， 解得：，此时， 综上：当点P在x轴的负半轴上， 且与相似， 点P的坐标为或 感谢聆听! $