陕西省咸阳市永寿县蒿店中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年陕西省咸阳市永寿县蒿店中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）下列式子中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）若有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 3．（3分）下列因式分解正确的是（　　） A．ax+ay﹣a＝a（x+y） B．a2+b＝a（a+b） C．a2+a+1＝（a+1）2 D．﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a） 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）若x2﹣2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值是（　　） A．5或﹣3 B．5 C．3或﹣5 D．±4 6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝31°，点E在BC边上，连接DE，那么∠A的度数为（　　） A．87° B．62° C．90° D．93° 7．（3分）关于x的方程的解为正数．则a的取值范围为（　　） A．a＜10 B．a＜10且a≠7 C．a＜0 D．a＜0且a≠﹣3 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，连接EF．下列结论：①∠EAF＝45°；②ED＝CD；④BE2+DC2＝DE2，其中正确的是（　　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④ 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9．（3分）多项式中各项的公因式是　 　 ． 10．（3分）若分式值为0，则x的值为 　 　 ． 11．（3分）已知分式和，a是这两个分式的最简公分母，b是这两个分式中分母的公因式，则＝　 　 ． 12．（3分）A、B两地铁路全长540km，从A地到B地乘坐甲列车比乘坐乙列车多用0.5h，已知甲列车行驶的平均速度是乙列车行驶的平均速度的0.8倍．求乙列车行驶的平均速度． 13．（3分）如图，在等边△ABC中，点D是BC边上固定一点，连接AD，PD．当AP＝1时，当AP＝3时，PD有最小值　 　 ． 三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程） 14．（5分）因式分解：x2（3x﹣2）+（2﹣3x）． 15．（5分）解方程：． 16．（5分）已知ab＝﹣3，a+b＝2．则代数式a2b+ab2的值为 　 　 ． 17．（5分）解不等式组并将其解集表示在数轴上． 18．（5分）利用因式分解进行简便运算：8992+202×899+1012（结果用科学记数法表示）． 19．（5分）某学校为了让学生热爱劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，甲班挖1000千克土豆与乙班挖800千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖80千克土豆，分别求甲、乙两班平均每小时各挖多少千克的土豆． 20．（5分）已知关于x的分式方程有增根，求a的值． 21．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2 22．（7分）骑行被称为黄金有氧运动，能让全身内脏器官得到锻炼，有益于心肺耐力，这款自行车的进价为400元/辆，标价为720元/辆．活动期间要降价销售，商店老板每辆最多可以降价多少元？ 23．（7分）阅读以下材料． 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2． 再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝ 　 　 ； （2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4． 24．（8分）有一长为300m的春游队伍和一位带队老师，他们以v（m/s）的速度向东行进，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处并排行进的带队老师有一物品要送到排头，老师的往返速度均为2v（m/s），当老师返回排尾后 （1）分别求老师这次往返的时间t往，t返；（用含v的代数式表示） （2）求老师这次往返队伍的过程中队伍行进的路程． 25．（8分）工程队对一条长3200米的道路进行绿化整修，按原计划修了800米后，临时增加了工人，实际共用28天完成了全部工程． （1）求原计划每天绿化道路多少米？ （2）若原计划每天支付工人工资500元，增加工人后每天支付给工人的工资增加了40%，则完成此项工程 26．（10分）【问题呈现】 如图，△ABC为等边三角形，AB＝12，点E是平面上一点，连接EB，连接AF． 【初步探究】 （1）如图1，当点E在DB上时，DE＝3，求线段AF的长； 【拓展延伸】 （2）如图2，当点E在△ABC外部时，连接CE 2024-2025学年陕西省咸阳市永寿县蒿店中学八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D C A A B D 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）下列式子中，是分式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可． 【解答】解：A、不是分式； B、不是分式； C、是分式； D、不是分式； 故选：C． 2．（3分）若有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，由此计算即可． 【解答】解：若有意义， 则2﹣x≥6， 解得x≤2， 故选：D． 3．（3分）下列因式分解正确的是（　　） A．ax+ay﹣a＝a（x+y） B．a2+b＝a（a+b） C．a2+a+1＝（a+1）2 D．﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a） 【分析】根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可． 【解答】解：根据因式分解的方法，逐项分析判断如下： A、ax+ay﹣a＝a（x+y﹣1），不符合题意； B、a2+b不能进行因式分解，选项错误； C、多项式不能进行因式分解，不符合题意； D、﹣a2+b2＝（b﹣a）（b+a），选项正确； 故选：D． 4．（3分）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】先把除法运算化为乘法运算，然后进行整式的乘法运算，从而可对A选项进行判断；利用通分和同分母的减法运算可对B选项进行判断；利用分式的基本性质可对C选项进行判断；先把除法运算化为乘法运算，然后进行分式的乘法运算，从而可对D选项进行判断． 【解答】解：A．a2÷＝a5•a＝a3，所以A选项不符合题意； B． ﹣＝＝，所以B选项不符合题意； C． ＝﹣； D．a÷b••＝，所以D选项不符合题意． 故选：C． 5．（3分）若x2﹣2（m﹣1）x+16是完全平方式，则m的值是（　　） A．5或﹣3 B．5 C．3或﹣5 D．±4 【分析】利用完全平方式的特征解答即可． 【解答】解：∵若x2﹣2（m﹣7）x+16是完全平方式， ∴﹣2（m﹣1）＝±5， ∴m＝5或﹣3． 故选：A． 6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝31°，点E在BC边上，连接DE，那么∠A的度数为（　　） A．87° B．62° C．90° D．93° 【分析】根据线段垂直平分线的性质及角平分线的定义进行计算即可． 【解答】解：因为DE垂直平分BC， 所以DB＝DC． 因为∠C＝31°， 所以∠DBC＝∠C＝31°． 因为BD平分∠ABC， 所以∠ABC＝2∠DBC＝62°， 所以∠A＝180°﹣31°﹣62°＝87°． 故选：A． 7．（3分）关于x的方程的解为正数．则a的取值范围为（　　） A．a＜10 B．a＜10且a≠7 C．a＜0 D．a＜0且a≠﹣3 【分析】先解分式分式方程，然后根据分式方程的解为正数，列出关于a的不等式求解即可． 【解答】解：原分式方程整理得： ， 8﹣a+5＝x﹣3， x＝10﹣a， 检验，当x＝10﹣a＝8，故a≠7， ∵关于x的方程的解为正数， ∴x＝10﹣a＞0，即a＜10． 综上，a的取值范围为a＜10且a≠5． 故选：B． 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，连接EF．下列结论：①∠EAF＝45°；②ED＝CD；④BE2+DC2＝DE2，其中正确的是（　　） A．①② B．③④ C．①②③ D．①③④ 【分析】根据等腰直角三角形求出∠ABC＝∠C＝45°，根据旋转得出BF＝DC，∠CAD＝∠BAF，∠DAF＝90°，∠FBA＝∠C，即可判断①，证△EAF≌△EAD，即可判断③和②，由BF＝DC，∠FBE＝90°，根据勾股定理即可判断④，即可得答案． 【解答】解：在Rt△ABC 中，AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝45°， ∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB， ∴△AFB≌△ADC， ∴BF＝DC，∠CAD＝∠BAF， ∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°， ∴∠BAE+∠DAC＝45°， ∴∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠DAC+∠BAE＝45°，故①正确； 即∠FAE＝∠DAE＝45°， 在△FAE和△DAE中 ， ∴△FAE≌△DAE（SAS）， ∴∠FEA＝∠DEA， 即EA平分∠CEF，故③正确； ∴EF＝ED， 而EF＞BF，BF＝CD， ∴ED＞CD，故②错误； ∵将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB， ∴∠C＝∠FBA＝45°，BF＝DC， ∵∠ABC＝45°， ∴∠FBE＝45°+45°＝90°， 在Rt△FBE中，由勾股定理得：BE2+BF2＝EF4， ∵BF＝DC，EF＝DE， ∴BE2+DC2＝DE6，故④正确； ∴正确的有①③④ 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9．（3分）多项式中各项的公因式是x ． 【分析】根据公因式定义解答即可． 【解答】解：多项式中各项的公因式是x， 故答案为：x． 10．（3分）若分式值为0，则x的值为 　﹣1　 ． 【分析】直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案． 【解答】解：若分式值为0， 则x+3＝0且x≠0， 解得：x＝﹣6． 故答案为：﹣1． 11．（3分）已知分式和，a是这两个分式的最简公分母，b是这两个分式中分母的公因式，则＝x2﹣2x ． 【分析】根据题意求出a、b，再代入即可． 【解答】解：由已知可得a＝2x（x﹣2），b＝2， 则＝＝x（x﹣2）＝x2﹣4x． 故答案为：x2﹣2x． 12．（3分）A、B两地铁路全长540km，从A地到B地乘坐甲列车比乘坐乙列车多用0.5h，已知甲列车行驶的平均速度是乙列车行驶的平均速度的0.8倍．求乙列车行驶的平均速度． 【分析】设乙列车行驶的平均速度为xkm/h，则甲列车行驶的平均速度为0.8xkm/h，根据A、B两地铁路全长540km，从A地到B地乘坐甲列车比乘坐乙列车多用0.5h，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设乙列车行驶的平均速度为xkm/h，则甲列车行驶的平均速度为0.8xkm/h， 由题意得：﹣＝0.5， 解得：x＝270， 经检验，x＝270是原方程的解， 答：乙列车行驶的平均速度为270km/h． 13．（3分）如图，在等边△ABC中，点D是BC边上固定一点，连接AD，PD．当AP＝1时，当AP＝3时，PD有最小值　　 ． 【分析】如图，过点A作AJ⊥BC于点J，．求出AJ，DJ的长可得结论． 【解答】解：如图，过点A作AJ⊥BC于点J，． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°，AB＝BC＝AC， ∵当AP′＝1时，P′D＝BD， ∴△BDP′是等边三角形， ∴BD＝BP′， ∴CD＝AP′＝1， ∵当AP″＝3时，PD有最小值， ∴P′P″＝BP″＝2， ∴AB＝BC＝5， ∵AJ⊥BC， ∴BJ＝CJ＝3.5， ∴DJ＝CJ＝CD＝1.7， ∵AJ＝＝＝， ∴AD＝＝＝． 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程） 14．（5分）因式分解：x2（3x﹣2）+（2﹣3x）． 【分析】将原式写成x2（3x﹣2）﹣（3x﹣2），提取公因式（3x﹣2），再利用平方差公式，将式子进行因式分解即可． 【解答】解：x2（3x﹣7）+（2﹣3x） ＝x5（3x﹣2）﹣（4x﹣2） ＝（3x﹣8）（x2﹣1） ＝（2x﹣2）（x﹣1）（x+6）． 15．（5分）解方程：． 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：， 方程两边乘x﹣3，得：3﹣2x＝﹣x﹣2（x﹣2）， 解得：x＝1， 检验：当x＝2时，x﹣2≠0， ∴原分式方程的解为x＝2． 16．（5分）已知ab＝﹣3，a+b＝2．则代数式a2b+ab2的值为 　﹣6　 ． 【分析】依据题意，由因式分解的方法将a2b+ab2变形得ab（a+b），再将已知条件代入即可得解． 【解答】解：由题意，a2b+ab2＝ab（a+b）， ∵ab＝﹣5，a+b＝2， ∴a2b+ab7＝﹣3×2＝﹣2． 故答案为：﹣6． 17．（5分）解不等式组并将其解集表示在数轴上． 【分析】分别解两个不等式得到x≥﹣1和x＜2，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集． 【解答】解：， 解①得x≥﹣2， 解②得x＜2， 所以不等式组的解集为﹣1≤x＜8， 在数轴上表示为： 18．（5分）利用因式分解进行简便运算：8992+202×899+1012（结果用科学记数法表示）． 【分析】先将所求式子变形，然后根据完全平方公式计算即可． 【解答】解：8992+202×899+1012 ＝8995+2×101×899+1012 ＝（899+101）4 ＝10002 ＝1000000 ＝1×102． 19．（5分）某学校为了让学生热爱劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，甲班挖1000千克土豆与乙班挖800千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖80千克土豆，分别求甲、乙两班平均每小时各挖多少千克的土豆． 【分析】设乙班平均每小时挖x千克的土豆，则甲班平均每小时挖（x+80）千克的土豆，根据甲班挖1000千克土豆与乙班挖800千克土豆所用的时间相同，列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设乙班平均每小时挖x千克的土豆，则甲班平均每小时挖（x+80）千克的土豆， 由题意得：＝， 解得：x＝320， 经检验，x＝320是原方程的解， ∴x+80＝400， 答：甲班平均每小时挖400千克的土豆，乙班平均每小时挖400千克的土豆． 20．（5分）已知关于x的分式方程有增根，求a的值． 【分析】根据题意，解分式方程，求得x＝，结合分式方程有增根，则，即可得到结果． 【解答】解：， x+2﹣a＝3（x﹣1）， x+2﹣a＝2x﹣3， x＝， ∵分式方程有增根， ∴， ∴a＝3． 21．（6分）先化简，再求值：，其中x＝2 【分析】先根据乘法的分配律计算，再约分，接着进行分式的减法运算得到原式＝y﹣x，然后把x、y的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝ ＝y﹣x， 当x＝2，y＝3时． 22．（7分）骑行被称为黄金有氧运动，能让全身内脏器官得到锻炼，有益于心肺耐力，这款自行车的进价为400元/辆，标价为720元/辆．活动期间要降价销售，商店老板每辆最多可以降价多少元？ 【分析】设商店老板每辆可以降价x元，根据利润＝售价﹣进价结合利润不低于进价的40%，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【解答】解：设商店老板每辆可以降价x元，依题意 720﹣x﹣400≥400×40%， 解得：x≤160， ∴商店老板每辆最多可以降价160元 答：商店老板每辆最多可以降价160元． 23．（7分）阅读以下材料． 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2． 再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝ 　（1﹣x+y）2或（x﹣y﹣1）2 ； （2）因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4． 【分析】（1）将x﹣y＝A，利用完全平方公式因式分解即可； （2）将m＝a2﹣4a先多项式乘以多项公式，整理后再结合完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：（1）令x﹣y＝A， 则原式＝A2﹣2A+5＝（A﹣1）2， 将A还原，原式＝（5﹣x+y）2或（x﹣y﹣1）6， 故答案为：（1﹣x+y）2或（x﹣y﹣4）2； （2）令m＝a2﹣4a， 则原式＝（m+2）（m+6）+7＝m2+8m+16＝（m+6）2＝（a2﹣8a+4）2＝[（a﹣4）2]2＝（a﹣4）4． 24．（8分）有一长为300m的春游队伍和一位带队老师，他们以v（m/s）的速度向东行进，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处并排行进的带队老师有一物品要送到排头，老师的往返速度均为2v（m/s），当老师返回排尾后 （1）分别求老师这次往返的时间t往，t返；（用含v的代数式表示） （2）求老师这次往返队伍的过程中队伍行进的路程． 【分析】（1）利用路程＝速度×时间，结合路程之差（或路程之和）等于队伍的长度，可列出关于t往（t返）的一元一次方程，解之即可用含v的代数式表示t往（t返）； （2）利用路程＝队伍的速度×（t往+t返），即可求出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：2v•t往﹣v•t往＝300，2v•t返+v•t返＝300， ∴t往＝，t返＝； （2）根据题意得：v•（t往+t返）＝v•（+）＝400（m）． 答：老师这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为400m． 25．（8分）工程队对一条长3200米的道路进行绿化整修，按原计划修了800米后，临时增加了工人，实际共用28天完成了全部工程． （1）求原计划每天绿化道路多少米？ （2）若原计划每天支付工人工资500元，增加工人后每天支付给工人的工资增加了40%，则完成此项工程 【分析】（1）设原计划每天绿化道路x米，根据题意列方程即可； （2）根据题意列式计算即可． 【解答】解：（1）设原计划每天绿化道路x米， ． 解得x＝100， 经检验，x＝100是原分式方程的解． 答：原计划每天绿化道路100米． （2）800÷100＝8（天），28﹣8＝20（天）， 500×5+500×（1+40%）×20＝18000（元）． 答：完成此项工程，共需支付工人工资18000元． 26．（10分）【问题呈现】 如图，△ABC为等边三角形，AB＝12，点E是平面上一点，连接EB，连接AF． 【初步探究】 （1）如图1，当点E在DB上时，DE＝3，求线段AF的长； 【拓展延伸】 （2）如图2，当点E在△ABC外部时，连接CE 【分析】（1）如图1，延长FE交AG于H点，得到BE＝3，根据等边三角形的性质得到∠BAG＝30°，根据旋转的性质得到∠BEF＝60°，EF＝BE＝3，FH＝EF+EH＝3+EH，根据勾股定理得到，； （2）如图2，连接FB，根据旋转的性质得到EF＝EB，∠FEB＝60°，根据等边三角形的性质得到FB＝EB，求得∠FBA＝∠EBC，根据全等三角形的性质得到结论． 【解答】解：（1）如图1，延长FE交AG于H点， ∵AB＝12，点D是AB的中点， ∴BE＝3， ∵△ABC为等边三角形，AG⊥BC， ∴∠BAG＝30°， ∵EB绕点E顺时针旋转60°得到线段EF， ∴∠BEF＝60°，EF＝BE＝3， ∴∠AEH＝∠BEF＝60°，∠AHE＝90°， 在Rt△AEH中，∵AE＝AB﹣BE＝9， ∴， ∴， ∴， 在Rt△AFH中，； （2）如图2，连接FB， 在等边△ABC中，∠ABC＝60°， ∵EB绕点E顺时针旋转60°得到线段EF， ∴EF＝EB，∠FEB＝60°， ∴△EBF是等边三角形， ∴FB＝EB， ∴∠FBE＝∠ABC＝60°， ∴∠FBE+∠EBA＝∠ABC+∠EBA， 即∠FBA＝∠EBC， 在△FBA和△EBC 中， ∴△FBA≌△EBC（SAS）， ∴AF＝CE． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/3/30 8:36:39；用户：聂伟；邮箱：15284038568；学号：44743775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $