精品解析：陕西西安市新城区西安秦川机械厂子弟中学2025-2026学年九年级下学期三月学情自测数学试题

2025-2026学年九年级下学期三月学情自测数学试题 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列图形中，以直线为轴旋转一周，可以形成圆柱的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据面动成体进行判断即可． 【详解】解：将长方形绕着一条边所在的直线旋转一周，可以得到圆柱体， 故选：A． 【点睛】本题考查点、线、面、体，理解“点动成线，线动成面，面动成体”是正确解答的前提． 3. 如图，在中，，的平分线交于D．若，，则的面积为（　　） A. B. 12 C. 16 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理可得，作，交于点，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图：作，交于点， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4. 将不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，关键是正确计算出不等式的解集．首先解出不等式的解集，再在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：， 把解集在数轴上表示如下： ． 故选：B 5. 将一次函数向上平移2个单位长度得到的新函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，根据直线向上平移个单位所得直线解析式为求解． 【详解】解：一次函数向上平移2个单位长度得到的新函数关系式为， 故选B． 6. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，当，，三点共线时，的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据旋转的性质得出，等边对等角得出，根据三角形外角的性质得出，根据等角对等边得出，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，则， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，，， ∵， ∴， ∵，，三点共线， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的形状，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 7. 如图，已知菱形的两条对角线分别为和，则这个菱形的边长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设交于点O，根据菱形的性质可得，，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：设交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， 即这个菱形的边长为． 8. 已知抛物线不经过第二象限，与轴交于，两点，其顶点．这条抛物线关于轴对称的抛物线顶点为，若四边形是正方形，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，熟悉掌握二次函数的性质是解题的关键． 利用抛物线的式子求出顶点坐标的位置和与轴上的交点坐标，利用正方形对角线相等的性质列式运算即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵抛物线不经过第二象限，与轴交于，两点，其顶点为， ∴，顶点在轴上方， ∴， 把代入可得：， 解得：，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，第1个图形中三角形的个数是个；第2个图形中三角形的个数是个；第3个图形中三角形的个数是个；……进而可推导一般性规律为第n个图形中三角形的个数是个，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，第1个图形中三角形的个数是个； 第2个图形中三角形的个数是个； 第3个图形中三角形的个数是个； …… ∴可推导一般性规律为第n个图形中三角形的个数是个， 故答案为：． 11. 在“6·18年中大促”活动中，某网店所有商品打五折销售．明明的妈妈在该网店购买一件冲锋衣，加上邮费（邮费相当于原价的）共付132元，这件冲锋衣的原价是______元/件． 【答案】240 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设这件冲锋衣的原价是x元，根据题意得出，解之即可得出结论． 【详解】解：设这件冲锋衣的原价是x元， 根据题意得：， 解得：， ∴这件冲锋衣的原价是240元． 故答案为：240． 12. 如图，是的直径，、在上，若，则的度数为 ______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，先根据直径所对的圆周角是直角得到，则由三角形内角和定理可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得 【详解】解：为直径， ， ， ， ． 故答案为：20． 13. 已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小．则k的值可以为_____________．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数，当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴k的值可以为1（答案不唯一）． 14. 如图，在正方形中，是的中点，与交于点，则的值为_______，若阴影部分的面积为3，则正方形的边长是________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．根据正方形的性质得出，进而得出，根据阴影部分面积求出，再根据中线的性质得出，得出正方形的面积为18，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的边长为． 故答案为：；． 三．解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及二次根式的化简、零指数幂、化简绝对值等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．原式利用二次根式性质，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果． 【详解】解： ． 16. 计算：． 【答案】． 【解析】 【分析】根据整式的混合运算法则，结合平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中. 【答案】，3. 【解析】 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】原式====， ∵|x|=2时， ∴x=±2， 由分式有意义的条件可知：x=2， ∴原式=3． 【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 18. 如图，是的对角线．请用尺规作图法．在线段上求作一点E，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点E即为所求． 【解析】 【分析】本题主要查了尺规作图—作已知直线的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 作的垂直平分线交于点E，结合垂直平分线的性质以及三角形外角的性质，可得，易知，结合，即可获得答案． 【详解】略 19. 已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，求证：． 【答案】 证明：在和中，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据“”可得，即得，由邻补角的定义得到，然后根据内错角相等，两直线平行即可得到结论． 【详解】略 20. 某种品牌的护眼罩分为三种型号，分别用表示，假设它们被购买者选中的可能性均相同． （1）小明选择A型号的护眼罩的概率是______； （2）小明和小强分别购买了一种型号的护眼罩，用列表法或画树状图法，求小明和小强选择了同一种型号护眼罩的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．解题的关键是根据题意找到关系进行求解． （1）根据概率所求情况数与总情况数之比，即可解答； （2）根据题意，画树状图，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵护眼罩分为三种型号，被购买者选中的可能性均相同， ∴小明选择型号的护眼罩的概率是． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中小明和小强选择了同一种型号护眼罩的结果有3种， ∴小明和小强选择同一种型号眼罩的概率． 21. 某天早上李伟在家里发现阳光通过窗口照射到室内，会在地面上留下亮区．李伟想通过已经掌握的知识求出家里窗户的高度．于是李伟利用家里的工具测得：此时阳光通过窗口照射到地面上留下宽的亮区，测得亮区到窗口下的墙脚距离，整个窗口高度，请你帮求李伟通过已学知识求出窗口底边离地面的高的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，需要注意太阳光是平行光线． 根据题意易证，利用相似三角形的性质，对应线段成比例求解即可． 【详解】解：光线是平行的，即， ∴， ∴， ∴ ∴． 22. 五一节期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，如图是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象． （1）求出段图象的函数表达式； （2）他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？ 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，掌握待定系数法求解函数解析式是解本题的关键； （1）设段图象的函数表达式为，再建立方程组解题即可； （2）把代入（1）中的函数解析式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设段图象的函数表达式为 把、代入，得 解得 所以段图象的函数表达式为 【小问2详解】 当时，他们离家的距离， 此时，离目的地的距离是； 23. 综合实践活动既能够让学生接触实际，又能够培养学生的实践能力，从而达到增强学生的知识体系、认知水平、思维能力及创新意识的目的．某校在一学期结束后，想要了解学生参加综合实践活动的情况，随机调查了该校部分学生，对他们这学期参加综合实践活动的天数进行了统计．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）所抽取学生这学期参加综合实践活动天数的众数是________天，中位数是________天； （2）求所抽取学生这学期参加综合实践活动天数的平均数； （3）若该校有1200名学生，请估计这学期参加综合实践活动的天数为8天的学生人数． 【答案】（1）6，6 （2）天 （3）300名 【解析】 【分析】本题主要考查了众数、中位数、加权平均数的概念及应用，以及用样本估计总体的方法．掌握通过条形统计图获取数据，根据相关定义和公式进行计算是解本题的关键． （1）从条形统计图可知，参加活动天数为6天的人数最多，所以众数是6天；总人数为人，40是偶数，将天数从小到大排列后，第20、21个数据都是6，所以中位数是天； （2）根据加权平均数的定义，平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数；利用平均数的定义计算即可； （3）先求出样本中参加综合实践活动的天数为8天的学生人数所占比例，即：，再用该校总人数1200乘以该比例，即可得到参加活动天数为8天的学生的估计人数． 【小问1详解】 解：由统计图可得： 所抽取学生这学期参加综合实践活动天数的众数是6， 总人数为人，40是偶数，将天数从小到大排列后，第20、21个数据都是6， ∴中位数是， 故答案为：6；6； 【小问2详解】 解：所抽取学生人数为（人）， 所抽取学生这学期参加综合实践活动天数的平均数为（天）． 【小问3详解】 解：估计这学期参加综合实践活动的天数为8天的学生人数为（名）． 24. 如图，为的直径，C为上一点，点D为的中点，连接，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）延长交的延长线于点F，若，，求的半径和的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图： ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）的半径为，． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得到，进而得到，证明，即可得出结论； （2）由解直角三角形得到，由勾股定理得到，即的半径为，证明，得到，即，求出，即可得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： 在中，， ∵， ∴， ∴，即的半径为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 25. 小宝以新区音乐喷水池底上的直线为x轴，喷管所在的竖直直线为y轴，两直线的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，利用数学模型推演喷泉水柱的行进路线．表示水柱上点的铅直高度，表示水柱上的点到轴的水平距离．其中一个喷头喷出的水柱形似抛物线（），水柱从点处喷出，点在水柱上． （1）求水柱所在抛物线的解析式及水柱最高点的铅直高度； （2）在喷水池内放置了一尾汉白玉金鱼，鱼嘴中心点距喷水管的水平距离为，铅直高度为，水柱能否恰巧从点处落入金鱼口中？若能，请说明理由；若不能，请在保持铅直高度不变的情况下设计应该放置的位置． 【答案】（1）， （2）水柱不能恰巧从点处落入金鱼口中，应放置在距喷水管的水平距离为处 【解析】 【分析】（1）把，点代入，解方程组求出、的值，可得抛物线的解析式，把解析式化为顶点式，即可求出最高点的铅直高度； （2）把代入解析式，求出值，即可得出不能否恰巧从点处落入金鱼口中，令，求出的值即可求出点的位置． 【小问1详解】 解：∵点，点在抛物线上， ∴， ∴， ∴水柱所在抛物线的解析式为， ∵， ∴水柱最高点的铅直高度为． 【小问2详解】 解：水柱不能恰巧从点处落入金鱼口中．理由如下： ∵当时，， ∴水柱不能恰巧从点处落入金鱼口中， 令， ∴． 解得：，（不合题意，舍去）． ∴在保持铅直高度不变的情况下，应放置在距喷水管的水平距离为处． 26. 在正方形中，点F为边上一点（点F不与点B、C重合），连接，过点A作，交射线于点E，取中点G，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）当，请直接写出的值． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在正方形中，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2） 证明：如图，连接，，作于点M， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵点G为的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，再通过证明，即可得证； （2）连接，，作于点M，由正方形的性质可得，，由直角三角形的性质可得，证明，得出，解直角三角形得出，再由平行线分线段成比例定理得出，证明出，从而可得为的中位线，即可得出，从而即可得出结果； （3）由全等三角形的性质可得，解直角三角形得出，，求出，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在中，，， ∴，， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理、直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下学期三月学情自测数学试题 一．选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 下列图形中，以直线为轴旋转一周，可以形成圆柱的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，的平分线交于D．若，，则的面积为（　　） A. B. 12 C. 16 D. 20 4. 将不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一次函数向上平移2个单位长度得到的新函数关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，当，，三点共线时，的值为( ) A. B. C. D. 7. 如图，已知菱形的两条对角线分别为和，则这个菱形的边长为（　　） A. B. C. D. 8. 已知抛物线不经过第二象限，与轴交于，两点，其顶点．这条抛物线关于轴对称的抛物线顶点为，若四边形是正方形，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：__________． 10. 观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是________． 11. 在“6·18年中大促”活动中，某网店所有商品打五折销售．明明的妈妈在该网店购买一件冲锋衣，加上邮费（邮费相当于原价的）共付132元，这件冲锋衣的原价是______元/件． 12. 如图，是的直径，、在上，若，则的度数为 ______． 13. 已知反比例函数，当时，y随x的增大而减小．则k的值可以为_____________．（写出一个即可） 14. 如图，在正方形中，是的中点，与交于点，则的值为_______，若阴影部分的面积为3，则正方形的边长是________． 三．解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算： 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中. 18. 如图，是的对角线．请用尺规作图法．在线段上求作一点E，使．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，求证：． 20. 某种品牌的护眼罩分为三种型号，分别用表示，假设它们被购买者选中的可能性均相同． （1）小明选择A型号的护眼罩的概率是______； （2）小明和小强分别购买了一种型号的护眼罩，用列表法或画树状图法，求小明和小强选择了同一种型号护眼罩的概率． 21. 某天早上李伟在家里发现阳光通过窗口照射到室内，会在地面上留下亮区．李伟想通过已经掌握的知识求出家里窗户的高度．于是李伟利用家里的工具测得：此时阳光通过窗口照射到地面上留下宽的亮区，测得亮区到窗口下的墙脚距离，整个窗口高度，请你帮求李伟通过已学知识求出窗口底边离地面的高的长度． 22. 五一节期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，如图是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象． （1）求出段图象的函数表达式； （2）他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？ 23. 综合实践活动既能够让学生接触实际，又能够培养学生的实践能力，从而达到增强学生的知识体系、认知水平、思维能力及创新意识的目的．某校在一学期结束后，想要了解学生参加综合实践活动的情况，随机调查了该校部分学生，对他们这学期参加综合实践活动的天数进行了统计．根据统计的结果，绘制出如图所示的统计图． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）所抽取学生这学期参加综合实践活动天数的众数是________天，中位数是________天； （2）求所抽取学生这学期参加综合实践活动天数的平均数； （3）若该校有1200名学生，请估计这学期参加综合实践活动的天数为8天的学生人数． 24. 如图，为的直径，C为上一点，点D为的中点，连接，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）延长交的延长线于点F，若，，求的半径和的长． 25. 小宝以新区音乐喷水池底上的直线为x轴，喷管所在的竖直直线为y轴，两直线的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，利用数学模型推演喷泉水柱的行进路线．表示水柱上点的铅直高度，表示水柱上的点到轴的水平距离．其中一个喷头喷出的水柱形似抛物线（），水柱从点处喷出，点在水柱上． （1）求水柱所在抛物线的解析式及水柱最高点的铅直高度； （2）在喷水池内放置了一尾汉白玉金鱼，鱼嘴中心点距喷水管的水平距离为，铅直高度为，水柱能否恰巧从点处落入金鱼口中？若能，请说明理由；若不能，请在保持铅直高度不变的情况下设计应该放置的位置． 26. 在正方形中，点F为边上一点（点F不与点B、C重合），连接，过点A作，交射线于点E，取中点G，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）当，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $