第五章 专题微课 数列的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

专题微课　数列的综合问题

[建构知识体系]

数列的综合问题

[融通学科素养]

1.浸润的学科素养

（1）通过对数列的概念与表示的理解，以及对数列与函数的关系、数列通项公式的认识，渗透数学抽象、逻辑推理等核心素养.

（2）通过对等差、等比数列概念、通项公式、前n项和公式学习运用，强调基本量之间的等量关系，聚焦逻辑推理和数学运算的核心素养.

2.渗透的数学思想

（1）在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了累加法和累乘法.

（2）在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了倒序相加法和错位相减法.

（3）等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意三个求其余两个，用到了方程思想.

（4）在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n项和最值问题时，都用到了函数思想.

 

题型（一）　数列与不等式的交汇问题

 [例1]　设数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，Sn=nan-n（n-1），n∈N+.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：≤Tn<.

解：（1）∵Sn=nan-n（n-1），

当n≥2时，Sn-1=（n-1）an-1-（n-1）（n-2），

∴an=Sn-Sn-1=nan-（n-1）an-1-n（n-1）+（n-1）（n-2），

∴（n-1）an-（n-1）an-1-（n-1）[n-（n-2）]=0，∴（n-1）an-（n-1）an-1-3（n-1）=0，则an-an-1=3，又a1=1，

∴{an}是以1为首项，3为公差的等差数列，故an=1+（n-1）×3=3n-2.

（2）证明：由（1）得bn===，∴Tn==.

∵Tn单调递增，∴Tn≥T1==，又>0，故Tn<，综上≤Tn<.

　　|思|维|建|模|

数列与不等式的交汇问题

（1）以一元一次、一元二次不等式或基本不等式为工具考查数列中项的问题.

（2）对于数列中的恒（能）成立问题、不等式证明问题常转化为最值问题求解.

　　[针对训练]

1.已知数列{an}满足a1=1，且点在直线y=x+1上.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{anan+1}前n项和为Tn，求能使Tn<3m-12对n∈N+恒成立的m（m∈Z）的最小值.

解：（1）因为点在直线y=x+1上，则=+1，即-=1，

又=1，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.

故=1+（n-1）×1=n，即an=.

（2）由（1）得anan+1==-，所以Tn=-+-+…+-=1-<1，

要使Tn<3m-12对n∈N+恒成立，则3m-12≥1，即m≥，又m∈Z，所以m的最小值为5.

 

题型（二）　数列的新定义问题