5.3.1 第2课时 等比数列的性质-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

036 第2课时 等比数列的性质 素养目标定方向 课程目标 学法指导 1.掌握等比数列的性质.（逻辑推理)〉 要善于从指数函数的角度 2.能利用等比数列的性质解决相关问题（数学运算） 看待等比数列的性质和 3.体会等比数列与指数函数的关系.（直观想象) 特征. 必备知识 探新知 知识点一等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成 那么G叫做a与b的等比中项. 由等比中项的定义可知：名名G=G: 反之.若公-(w≠0，则-名即 成等比数列. 综上，a,G,b成等比数列→G2=ab(ab≠0). 知识解读：l.在等比数列{an}中，任取相邻的三项an-1,an,an+1,则an是an+1与an-1的等比中 项.由此可得等比数列的第二种判定方法一等比中项法，即判断山=0（≥2）是否成立. a。 an-1 2.“a,G,b成等比数列”与“G2=ab”是不等价的.前者可以推出后者，但后者不能推出前者.如 G=a=0,b=1,满足G2=ab,而0,0,1不成等比数列.因此“a,G,b成等比数列”是“G=ab”的充分 不必要条件 知识点二等比数列的项之间的关系 1.（1)两项关系 通项公式的推广： an=am· (m,n∈N*). (2)多项关系 项的运算性质 若m+n=p+g(m,n,p,g∈N*), 则anm·an=· 特别地，若m+n=2p(m,n,peN*), 则am·an=: 2.等比数列的项的对称性 有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积（若有中间项则等于中间项的 平方)，即a·a.=a·=a:·=学(n为正奇数). 037 3.等比数列的运算数列的性质 (1)若{an}是公比为g的等比数列，则 ①{c·an}(c是非零常数)是公比为 的等比数列； ②1Ia.}是公比为 的等比数列： (2)若{an},{bn分别是公比为91,92的等比数列，则数列{a.·bn}是公比为 的等比数列 知识点三等比数列的单调性 已知等比数列{an}的首项为a1,公比为g,则 4当>0或 时，等比数列{an}为递增数列； lg>1 2)当%，>0， 或 时，等比数列{an}为递减数列； 0<q<1 (3)当g=1时，等比数列{an}为 (这个常数列中各项均不等于0)； (4)当g<0时，等比数列{αn}为摆动数列（它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项 与偶数项异号). 知识解读：等比数列与指数函数的关系 等比数列a,的通项公式a,=41g,还可以整理为a,=2·g,当g>0且 q≠1时，等比数列{a,的第n项a,是指数函数f(x)=2·q(x∈R)当x=n时的函数 a4.a (3,a) 值，即a=a(如图所不.因比等比数到a的图很是面成)=号·9eR)图像 012345x 上的一些孤立的点。 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一等比中项的应用 例1.(1)若三个实数a,b,c成等比数列，其中a=3-5,c=3+5,则6= A.2 B.-2 C.±2 D.4 (2)设等差数列{an}的公差d不为0，a1=9d,若a.是a1与a2的等比中项，则k等于() A.2 B.4 C.6 D.8 》对点训练1 (1)等差数列{an}的公差不为零，首项a1=1,a2是a1和a的等比中项，则数列{an}的前10项 之和是 A.90 B.100 C.145 D.190 (2)互不相等的实数a,b,c成等差数列，c,a,b成等比数列，且a+3b+c=10,则a= 038 题型二等比数列的单调性 例2在等比数列a,中，已知a>0,8,-4=0,则数列a,为( A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定单调性 ·[规律方法] 】对点训练2 (2024·山东潍坊期中)在等比数列{an}中，如果公比为q,且q<1,那么 规律方法： 由等比裁列的通项公 等比数列{an}是 式可知，公比影响数 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定单调性 列各项的符号：一般 题型三等比数列性质的应用 例3.(1)(2023·乙卷（理）)已知a,}为等比数列，aa,a=4,,4an= 地，q>0时，等比数 列各项的符号相同： -8,则a= q<0时，等比数列各 (2)(2024·江西省六校联考)已知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,项的符号正负交替. …,且a5·a2m-5=22"(n≥3)，则当n≥1时，loga1+loga3+…+ l0g2a2n-1= () A.n(2n-1) B.(n+1)2 C.n D.(n-1)2 [分析] 观察已知条件与所求式子的特征→利用等比数列的性质求解 。[规律方法] 》对点训练3 (1)在等比数列{an}中，已知a,a12=5,则asaya1oa= 规律方法： (2)数列{an}为等比数列，且aag=64,a3+a,=20,则a1= （1)若{an是等比数 (3)若等比数列{an}的各项均为正数，且aoa1+aga2=2e3,则lna1+列，m,n,p,n,g∈ lna2+…+lna2o= N,,且m+n=p+ 题型四等比数列与等差数列的综合应用 q,则am·an= 例4.已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个，4 数之积为-128，求这四个数 (2)若{an}是等比数 [分析]求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但列，m,n,k∈N,且 较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数.设未知数时，可以根据前三个数m+n=2k,则am·a 成等差来设，也可以依据后三个数成等比来设，还可以依据中间（或首尾）两=. 数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷， 039 [点评](1)根据四个数中前3个成等差、后三个成等比列方程时，可以 据后三个成等比用a,q表示四个数，也可以据前三个成等差，用a,d表示四 规律方法： 个数，由于中间两数之积为16，将中间两个数设为。，a叫这样既可使未知量减 等比数列中的设项方 法与技巧 少，同时解方程也较为方便 （1)若三个数成等比 (2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为x,则第二个数为16 裁列，可设三个裁为 a,ag,ag2或a,a,ag. 则第-个数为程，最后一个数为名，再利用首尾两数之积为-128可列出 9 (2)若四个裁成等比 关于的方程号·？-=-128，解之得x=±8，则更简接[规律方法) 数列，可设为a,ag, ag,ag;若四个裁均 》对点训练4 为正（负)数，可设 （1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数 &,8,a4,ag g3’q1 列，则这四个数为 (2)三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列三个数，又可成为等比 数列，这三个数的和为6，则这三个数为 ●易错警示 忽略等比数列中的项的符号致错 例5在等比数列1a.中，aoc,=81,则a,a的值为 A.9 B.-9 C.±9 D.18 [错解]a3a=a4a6=a1ag, ∴.(a1ag)2=81,.a1ag=±9，故选C. [误区警示]本题易忽略在等比数列中，奇数项（或偶数项）符号相同 这一条件，而得到a1a,=±9. [正解] 040 课堂检测固双基 1.已知{an,{bn}都是等比数列，那么( )5.已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们 A.{an+bn},{an·bn}都一定是等比数列 的平方和为91，求这三个数 B.{an+bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一 定是等比数列 C.{an+bn}不一定是等比数列，但{an·bn} 定是等比数列 D.{an+bn},{an·bn}都不一定是等比数列 2.在等比数列{an}中，an<an+1,且a2a1=6, a4+,=5,则2“等于 a11 A.6 c日 n 3.已知{an}是等比数列，且an>0,a2a4+2aa+ a4a6=25,那么a3+a5= A.5 B.10 C.15 D.20 4.已知等比数列{an}中，a4=7,a6=21,则a12= 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[8] 5.3.2 等比数列的前n项和 素养目标定方向 课程目标 学法指导 1.充分类比等差数列求和的方法，结合等比数列 1.借助教材实例了解等比数列前n项和公式 的性质，体会错位求和的含义与操作过程中蕴 的推导过程.（逻辑推理） 含的求和思想， 2.借助教材掌握a1,an,9,n,Sn的关系.（数 2.充分挖掘等比数列前n项和公式的特征，构建 学运算) 等比数列通项与前n项和的一次线性表示. 3.掌握等比数列的前n项和公式、性质及其 3.类比指数函数的性质，感受等比数列前n项和 应用.（数学运算) 公式与指数函数的联系，fa1+a19+a19=7, la1·a19·a1g2=8, 即01+g+9)=7,a(1+9+g)=70. laiq'=8, la19=2②. 由2得a=子代A①得2对-9+2=0， g=2,或g=宁当g=2时，4=1,4，=2当g=2时， a1=4,an=23-m. 解法二：a1a3=a,.a1a2a3=a=8,a2=2. 从面+5解之得4，=1,4，=4，或a=4,4=1,当 laa3=4, 。1 a=1时，9=2；当a=4时，9=2故a=2-,或a,=2- 例3：(1)证明：an1=2an+1,.ar+1+1=2(an+1),即bn+1 =2bm 6=,+1=2≠06，≠0会-26，是等比 数列. (2)由(1)知{b}是首项b1=2,公比为2的等比数列， bn=2×2"-1=2",即an+1=2".an=2“-1. 对点训练3：()由8=分a-). 得a=子(a-),所以a=-分 又s=(a-). 即a,+4兮(a,-1),得a=子 (2)当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =ga-)-分a-. 得。2方又a2 1 1 an-1 所以a,是首项为-号，公比为-的等比数列 例4：-4同上解， 但当a=-1时，第二、三项均为零， 故a=-1应舍去， 综上，a=-4. 课堂检测固双基 1.A设等比数列的公比为q, a1+a2=3,a2+a3=q(a1+a2）=6,.9=2. 又a1+a2=a1+a19=3,.3a1=3..a1=1, a7=2=64. 2.B在等比数列an}中，a3+a4=4,a2=2,.a3+a4=a29+ a2g=2g+2g=4,即g+g-2=0.解得g=1或9=-2.故 选B. 3.B①显然正确；②中当abc=0时不成立；③中当q=0时不 成立.故选B. 44由0=ag,得时号×号，(=是故 n=4. 5.(1)a1=-1,an=3am-1-2n+3, .a2=3a1-2×2+3=-4,∴.a3=3a2-2×3+3=-15. a+l-(n+l)_3a,-2(n+1)+3-(n+1) an-n an-n 16 _3a,-3n=3(n=1,2,3,…. a -n 又a1-1=-2,.{a,-n}是以-2为首项，以3为公比的等 比数列. (2)由(1)知a.-n=-2·3-1, 故an=n-2·3"-1 第2课时 等比数列的性质 必备知识探新知 知识点一等比数列±√aba,G,b 知识点二1.（1)g-m(2)a。·a,a22.an-1a-k+1 3.(1)g1q1(2)g·92 0<g<1(2)/%c0, 知识点三(1)<0， (3)常数列 l9>1 关键能力攻重难 例1：(1)C三个实数a,b,c成等比数列，则b2=ac=(3- 5)(3+5)=9-5=4,则b=±2. (2)B因为an=(n+8)d,又因为a=a1·ak, 所以[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d, 解得k=-2(舍去)或k=4. 对点训练1：(1)B设公差为d,由题意得a=a1·a, a1=1,.(1+d)2=1+4d,.d2-2d=0,d≠0， ..d=2. S。=10×1+10×9x2=100,故选B. 2 （2)-4由题意知{2=c, [26=a+c, 消去a得4b2-5bc+c2=0, 因为b≠c,所以c=4b,所以a=-2b, 代人a+3b+c=10中解得b=2,所以a=-4. 例2：A由8a,-a=0,可知g=g2=8,解得g=2. 又a1>0,所以数列{an}为递增数列. 对点训练2：D如等比数列{(-1)"}的公比为-1，为摆动 数列，不具有单词性：等比数列{（宁）门的公比为宁，是递减数 列：等比数列{-（分）广}的公比为7是递增数列 例3：(1)-2等比数列{a.}, .aa4a5=a3a6=a3a6,解得=1 而aa10=a29a29=(a2)2g5=--8,可得g5=(g)3=-8, 即g3=-2, a=a2·g3=1×(-2)=-2 故答案为-2 (2)C方法一：由a5·am-5=22"得a19·a92-6=ag2-2 =22",所以(a9-1)2=(2")2. 又an>0,所以a19”-1=2" 故log2a1+log2a3+…+lbg2a2m-1=log2（a1·a3·…。 02m-1） =loga (ai()=loge [dig] =log2(a19"-1)"=l0g2(2")"=n2. 方法二：由等比中项的性质，得a5·a2-5=(an)2=22,注 意到a.>0,所以an=2”. 利用特殊值法，如令n=2,则log2a1+log2a3=log2(2·23) =1og24=4.只有C选项符合. 方法三：由等比中项的性质，得a5·a2-5=（an)2=22,注 意到am>0,所以an=2" 于是log2a1+log2a3+…+log2a2m-1=1+3+…+(2n-1) =n2 方法四：1·a2m-1=a3·a2m-3=a5·a2-5=…=(an)2= 22",所以log2a1+log2a3+…+log2a2m-1=log(a1a3…a-1）= log[(a1a2m-1)(aa2m-3)…(a2m-1a1)]=log22=n2. 对点训练3：(1)25解法一：a,a2=aa1=aga10=5, agaoaoau =52=25. 解法二：由已知得a1g·a1g"=ag7=5, .asayaroa1=a19·a19·a19·a190=a14·g4=(a, g7)2=25. (2)1或64a1a=a3a,=64,a3,a7是方程x2-20x+ 64=0的两根. 解得=4，或，=16， la7=16,la,=4. ①若a3=4,a1=16,则由，=a39得，g=4, .a1=a9=16×4=64. ②若a,=4,6=16,则由4=a9得，g= au=a,9=4×}=1放au=64,或au=l (3)50由a1oa1+aa2=2e3,可得a1oa1=e3. 令S=lna1+lna2+…+lnao,则2S=(lna1+lnao)+ (lna2+na1g)+…+(lna20+lna1）=20ln(a1a20) =20n(a1oa1)=20lne3=100,所以S=50. 例4：设四个数为20-a, a,ag, rd=16, 9 则由题意得 2a -a）·ag=-128, 解得或G48 lg=4. 因此所求的四个数为-4,2,8,32或4，-2，-8，-32. 对点训练4：(1)3,6,12,24设这四个数分别为a,ag,ag2, ag3,则a-1,ag-1,ag2-4,ag-13成等差数列， 四-)=(a-+(g4, 12(ag2-4)=(ag-1)+(ag3-13), 整理得9-13。解得=2a=3. la9(g-1)2=6,1 因此所求四个数为3,6,12,24. (2)-4,2,8由已知，可设这三个数为a-d,a,a+d,则 a-d+a+a+d=6,∴.a=2, 这三个数可表示为2-d,2,2+d, ①若2-d为等比中项，则有(2-d)2=2(2+d),解之得 d=6,或d=0(舍去).此时三个数为-4,2,8. ②若2+d是等比中项，则有(2+d)2=2(2-d),解之得 d=-6,或d=0(舍去).此时三个数为8,2，-4. ③若2为等比中项，则22=(2+d)·(2-d),.d=0(舍 去) 综上可知此三数为-4,2,8. 例5：A因为an}为等比数列，所以aa7=a4a6=a1ag: 所以(a1a)2=81,即a1a,=±9. 因为在等比数列{a.}中，奇数项（或偶数项）的符号相同， 所以a1,ag同号，所以a1ag=9. 课堂检测固双基 1.C当两个数列都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等 -16 比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不 是等比数列.两个等比数列的积一定是等比数列. 2.B aza=aado,.aad =6, 又a4+ag=5,且an<amtl,.a4=2,a,=3, 哈-受号成陆B 3.A由等比数列的性质，得a4a6=a2,a,a4=a32, .(a3+a5)2=a32+2a3a5+a52 =a2a4+2aa5+a4a6=25, ∴.a3+a5=±5..an>0,∴.a3+a5=5 4.567解法一：可知a4,a6,ag,a10、a2成等比数列. 其公比为经-头-3所以ae=a·3=7×3=567. 4 解法二：设等比数列{a.}的公比为q,则8s=g=3. a12=a4·q=7×34=567. 解法三：由，=7：得97，两式相比得(=3. la6=21,la19=21, a2=a1·g"=(a1·g）·g=a6·(g2)3=21×33=567. 5.解法一：设三个数依次为a,ag,ag2, 由题意得0，·ag·叫=27， 1a2+a2g+a2g=91, ag)'-27, 1a2(1+g2+g)=91, 即g3, 1a2(1+g2+g)=91, 9 六1+0+9g7 g-82+9=0,解得分=9或分=g 5q=3或9=±分 若q=3,则a1=1;若g=-3,则a1=-1; 若9=3，则a,=9若9=-分，则4=-g 故这三个数为：1,3,9或-1,3，-9或9,3,1或-9,3，-1. 解法二：设这三个数分别为日，a,a四 9 ·a·ag=27, 9 ra=3, 由题意，得 a +ad+a2G=91, .9g-82g2+9=0, 即得=g或=9 9=±3或9=±3， 故这三个数为：1,3,9或-1,3，-9或9,3,1或-9,3，-1. 5.3.2等比数列的前n项和 必备知识探新知 知识点一na1 a(1-g") a-anq 1-9 na 1-q 关键能力攻重难 8- 1 例1：①显然9≠1由=1-9=经，得0方