6.1.4 第1课时 导数的四则运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

 　　　　　　 6.1.4　求导法则及其应用

第1课时　导数的四则运算 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学]

[课时目标]

理解和、差、积、商的求导法则，能利用导数的四则运算法则，求简单函数的

导数，进一步理解导数的运算与几何意义的综合应用.

 

 　　如果f（x），g（x）都可导，则

|微|点|助|解|

1.公式推广

函数和、差的导数可以推广到n个函数.设f1（x），f2（x），…，fn（x）在x处可导，则[f1（x）±f2（x）±f3（x）±…±fn（x）]'=f'1（x）±f'2（x）±…±f'n（x）.

2.结构特征

积的导数公式，中间用“加号”，前导后不导+前不导后导；商的导数公式，分母平方，分子用“减号”.

基础落实训练

1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）'=ex. （　　）

（2）函数f（x）=xex的导数f'（x）=ex（x+1）. （　　）

（3）当g（x）≠0时，'=. （　　）

答案：（1）×　（2）√　（3）√

2.设y=-2exsin x，则y'等于 （　　）

A.-2excos x B.-2exsin x

C.2exsin x D.-2ex（sin x+cos x）

解析：选D　∵y=-2exsin x，∴y'=-2exsin x-2excos x=-2ex（sin x+cos x）.

3.函数y=的导数是 （　　）

A.- B.-sin x

C.- D.-

解析：选C　y'='===-.

4.已知f（x）=ax3+3x2+2，若f'（-1）=4，则实数a=　　　　. 

解析：∵f'（x）=3ax2+6x，∴f'（-1）=3a-6=4，∴a=.

答案：

 

题型（一）　利用导数四则运算法则求导数

[例1]　求下列函数的导数：

（1）y=+；

（2）y=x3·10x；

（3）y=cos x·ln x.

解：（1）y=+=2x-2+3x-3，

y'=-4x-3-9x-4.

（2）y'=（x3）'·10x+x3·（10x）'=3x2·10x+x3·10xln 10.

（3）y'=（cos x）'·ln x+cos x·（ln x）'=-sin xln x+.

　　|思|维|建|模|

求函数导数的策略

（1）先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数运算法则求导数.

（2）对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.

　　[针对训练]

1.若函数f（x）=在x=a处的导数值与函数值互为相反数，则a的值为　　　　. 

解析： ∵f（x）=，∴f（a）=，又∵f'（x）='=，∴f'（a）=.

由题意知f（a）+f'（a）=0，∴+=0，

∴2a-1=0，∴a=.

答案：

2.求下列函数的导数：

（1）y=x5+x3；（2）y=3x+lg x；

（3）y=3x2+xcos x；（4）y=；（5）y=xtan x.

解：（1）y'='='+'=x4+4x2.

（2）y'=（3x+lg x）'=（3x）'+（lg x）'=3xln 3+.

（3）y'=（3x2+xcos x）'=（3x2）'+（xcos x）'=6x+cos x-xsin x.

（4）y'='===.

（5）因为y=xtan x=，所以y'='=

==.

 

题型（二）　导数四则运算法则在切线问题中的应用

 [例2]　已知f（x）=ln x+x2.