5.4 数列的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

5.4　数列的应用 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学]

[课时目标]

1.进一步了解等差、等比数列模型，掌握单利、复利的概念.

2.了解零存整取、定期自动转存、分期付款等三种模型及应用.

 

1.单利、复利

 

2.几种存款模型

（1）零存整取模型：每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本金与利息和（以下简称本利和），这是整取.规定每次存入的钱不计复利，若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，那么到期整取时本利和为y=nx+x=x（元）.

（2）定期自动转存模型：储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行按存款到期时的1年期定期存款利率自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和.若储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，那么储户所得本利和为Q=P（1+r）n.

（3）分期付款模型：分期付款中，一般规定每次付款额相同，每期付款的时间间隔相同，每月利息按复利计算，各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和.

|微|点|助|解|

（1）单利和复利分别以等差数列和等比数列为数学模型.

（2）零存整取、活期储蓄、定期储蓄（即整存整取）等都是计单利的储蓄模型.

（3）定期自动转存是计复利的储蓄类型.

（4）复利计算是把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时第一期本金的数额是不同的.

 

基础落实训练

1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）“零存整取”储蓄业务的数学模型是等差数列. （　　）

（2）“定期自动转存”储蓄业务的数学模型是等比数列. （　　）

（3）同一笔钱用单利计息和复利计息的收益是一样的. （　　）

答案：（1）√　（2）√　（3）×

2.现存入银行10 000元钱，年利率是3.60%，那么按照复利，第5年末的本利和是 （　　）

A.10 000×1.0363　　　　 B.10 000×1.0364

C.10 000×1.0365 D.10 000×1.0366

解析：选C　由复利公式得S=10 000×（1+3.60%）5=10 000×1.0365.

 

题型（一）　银行存款模型

 [例1]　比较下面两种储蓄方式，哪种方式更简便合算?

（1）将1 000元本金存入银行一年后（年利率为5.67%），再把本息自动转存两次，存满三年后，可得本利和多少元?

（2）将1 000元本金存入银行三年期定期整存整取种类（年利率为6.21%），三年后可得本利和多少元?

解：（1）1 000元本金参加一年整存整取，到期可得本利和为1 000×（1+5.67%）=1 056.70（元）.

转存一次时，本金为1 056.70元，

所以到期本利和为1 056.70×（1+5.67%）≈1 116.61（元）.

再转存一次时，本金为1 116.61元，

所以到期本利和为1 116.61×（1+5.67%）≈1 179.92（元）.

即存一年，再转存两次，三年后本利和约为1 179.92元.

（2）1 000元本金参加三年期整存整取，到期可得本利和为A=p（1+r·n），这里r表示利率，n是计息期限，p是本金，

即A=1 000×（1+6.21%×3）=1 000×1.186 3=1 186.30（元）.

所以利用第二种储蓄方式更简便合算.

　　|思|维|建|模|

　　储蓄方法一是复利问题，各年底本利和构成等比数列an=1 000（1+5.67%）n，这里求的是a3=1 000×1.056 73≈1 179.92元.储蓄方法二也可以看作是零存整取中的一次存款到期后的本利和.零存整取是等差数列求和在经济方面的应用.其公式为：利息=本金×利率×存期，本利和=本金×（1+存期×利率）.

　　[针对训练]

1.某人从2023年起，每年1月1日到银行新存入2万元（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为              （　　）

（单位：万元，参考数据：1.029≈1.195，1.0210≈1.219，1.0211≈1.243）

A.2.438 B.19.9 

C.22.3 D.24.3

解析：选C　由题意，2023年存的2万元共存了10年，本息和为2（1+0.02）10万元，2024年存的2万元共存了9年，本息和为2（1+0.02）9万元，…，2032年存的2万元共存了1年，本息和为2（1+0.02）万元，所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为2（1+0.02）10+2（1+0.02）9+…+2（1+0.02）=2×≈≈22.3万元.

2.某人从1月起每月第一天存入100元，到12月最后一天取出全部本金和利息，已知月利率是0.165%，按单利计息，那么实际取出多少钱?

解：实际取出的钱等于本金+利息.

到12月最后一天取款时，

第1个月存款利息为100×12×0.165%，第2个月存款利息为100×11×0.165%，