5.3.2 第2课时 数列求和-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

第2课时　数列求和 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学]

题型（一）　分组转化法求和

 [例1]　已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且2a2+a4=13，S7=49.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn=an+，求数列{bn}的前n项和Tn.

解：（1）设等差数列{an}的公差为d，

又2a2+a4=13，S7=49，

所以解得a1=1，d=2，

所以{an}的通项公式an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1.

（2）由（1）知bn=an+=2n-1+22n-1，所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=（1+2）+（3+23）+（5+25）+…+（2n-1+22n-1）=（1+3+5+…+2n-1）+（2+23+25+…+22n-1）=+=+n2.

　　|思|维|建|模|

分组法求数列的前n项和的方法技巧

　　如果一个数列是等差数列与等比数列的代数和，求其前n项和需要先分组再利用公式求和.

　　[针对训练]

1.设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=2+Sn（n∈N+）.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bn=2n-1+a2n，求数列{bn}的前n项和Tn.

解：（1）因为数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=2+Sn（n∈N+），

当n=1时，a2=2+a1=2+2=4，

当n≥2时，由an+1=2+Sn可得an=2+，

上述两个等式作差可得an+1-an=an，可得an+1=2an，又因为a2=2a1，所以数列{an}为等比数列，且首项为2，公比为2，所以an=2×2n-1=2n.

（2）由（1）可得bn=2n-1+a2n=2n-1+4n，

所以Tn=（1+41）+（3+42）+（5+43）+…+[（2n-1）+4n]=[1+3+5+…+（2n-1）]+（4+42+43+…+4n）=+=n2+.

 

题型（二）　裂项相消法求和

[例2]　设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4=10，S7=28.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求数列的前n项和Tn.

解：（1）∵{an}是等差数列，设公差为d，

∴⇒∴an=n.

（2）由（1）得an=n，则==，∴Tn= ==-.

　　|思|维|建|模|

　　对于通项公式是分式的一类数列，在求和时常用“裂项法”.可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项.

　　[针对训练]

2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-4n，n∈N+.

（1）证明：数列{an}是等差数列；

（2）已知bn=，求数列{bn}的前n项和.

解：（1）证明：∵Sn=n2-4n，n∈N+，①

∴当n=1时，a1=S1=-3；

当n≥2时，Sn-1=（n-1）2-4（n-1）=n2-6n+5.②

由①-②得an=Sn-Sn-1=2n-5.

当n=1时，a1=-3满足上式，

∴数列{an}的通项公式为an=2n-5，n∈N+.

∴an+1-an=2，为常数，∴数列{an}是等差数列.

（2）由（1）知bn==，