5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

5.3.2　等比数列的前n项和

[课时目标]

1.探索并掌握等比数列的前n项和公式；理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.

2.掌握等差数列与等比数列的综合应用，理解几种简单的求和方法.

第1课时　等比数列的前n项和 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学]

 1.等比数列的前n项和公式

|微|点|助|解|

　　一般地，使用等比数列求和公式时需注意

①一定不要忽略q=1的情况.

②知道首项a1、公比q和项数n，可以用；

知道首尾两项a1，an和q，可以用.

③在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个.

2.等比数列前n项和的性质

（1）数列{an}为公比不为-1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…仍构成等比数列.

（2）若{an}是公比为q的等比数列，则Sn+m=Sn+qnSm（n，m∈N+）.

（3）若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：

①在其前2n项中，=q；

②在其前2n+1项中，S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==（q≠-1）.S奇=a1+qS偶.

（4）若一个非常数列{an}的前n项和Sn=Aqn-A（A≠0，q≠0，且q≠1，n∈N+），则数列{an}为等比数列，即Sn=Aqn-A（A≠0，q≠0，且q≠1，n∈N+）⇔数列{an}为等比数列.

|微|点|助|解|

　　当q=-1且n为偶数时，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…不是等比数列；当q=-1，且n为奇数时，Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…是等比数列.

基础落实训练

1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn=来求. （　　）

（2）若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn=na. （　　）

（3）若某数列的前n项和公式为Sn=-aqn+a（a≠0，q≠0且q≠1，n∈N+），则此数列一定是等比数列.              （　　）

答案：（1）×　（2）√　（3）√

2.等比数列{an}中，公比q=-2，S5=44，则a1的值为 （　　）

A.4 B.-4

C.2 D.-2

解析：选A　由S5==44，得a1=4.

3.数列{2n-1}的前99项和为 （　　）

A.2100-1 B.1-2100

C.299-1 D.1-299

解析：选C　数列{2n-1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99==299-1.

4.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 012，偶数项之和为2 024，则这个数列的公比为              （　　）

A.8 B.-2

C.4 D.2

解析：选D　设公比为q，由题意知S偶=qS奇，即2 024=1 012q，∴q=2.

5.等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn=　　　　. 

解析：当x=1时，Sn=n；当x≠1时，Sn=.

答案：

题型（一）　等比数列前n项和的基本运算

[例1]　求下列等比数列前n项和：

（1），…，求S8；

（2）a1+a3=10，a4+a6=，求S5.

解：（1）因为a1=，q=，

所以S8==.

（2）法一　由题意知解得

从而S5==.

法二　由（a1+a3）q3=a4+a6，得q3=，从而q=.又a1+a3=a1（1+q2）=10，

所以a1=8，从而S5==.

　　|思|维|建|模|

　　在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解.在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.（注意：q=1和q≠1的讨论）

　　[针对训练]

1.在等比数列{an}中，若Sn=189，q=2，an=96，求a1和n.

解：法一　∵an=96，q=2，∴a1·2n=192.①