5.3.2 等比数列的前n项和-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册练习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第三册人教B版 5.3.2等比数 效果评价 1.已知数列{a}是公比为正数的等比 数列，Sn是其前n项和，=2，a4=8,则S3= () A.63 B.31 C.15 D.7 2.在正项等比数列{a}中，a=6,前三 项和S=18,则公比g的值为() A.1 B月 C.-1 D 3.已知等比数列{a}的前n项和为Sn, S3=2,S6=6,则a+as+a（） A.2 B.4 C.6 D.8 4.已知{a}是各项均为正数的等比数 列，其前n项和为Sn,a=1,且2a4与5的 等差中项为4，则S等于（) A圣 B子 cy D装 5.已知数列{a}的前n项和Sn=2-+1, 则数列{a}的前10项中所有奇数项之和与 所有偶数项之和的比为() A B.2 c盟 D湖 (14)练 列的前n项和 6.已知等比数列{a}的公比为g,前n 项和为S,则下列命题中错误的是() A.S=S,+ang B.S=S1+qSn C.S2,S4-S2,S6-S4成等比数列 D“9=号”是“S,s,S成等差数 列”的充要条件 7.(多选题)已知{a}是各项为正数的 等比数列，a4,-2.记S是数列a的 前n项和，Tn是数列{a}的前n项和，则 下列说法正确的是() A.数列{a}的公比为2 B224 C.数列{log0}为等差数列 D.数列loga,}的前n项和为n2-3n+24 2 8在等比数列a中，g=,Sm-150, 则a2+a4+a6+…+a1o的值是 9.已知等比数列{a}的前n项和为Sn, 若Sm=5x3-+t,则t= 10.公比为2的等比数列{a}的前n项 和为Sn,若S223-S20=1,则a22= 11.我国古代数学著作《算法统宗》记 载：遥望巍巍塔七层，灯光点点倍加增.意 思是：塔总共七层，相邻两层，下一层灯数 是上一层灯数的两倍.若要满足总灯数不少 于千盏灯，则顶层最少有 盏灯. 12.已知等差数列{a}的前n项和为 Sn,且a=2,S4=2as. (1)求数列{a}的通项公式。 (2)设数列{b}满足b=2,求{b}的 前n项和Tn 第五章数列。 13.已知数列{a}为等差数列，公差为 d,a=d=2;数列{b为各项均为正数的等 比数列，b2+b3=6,b4+b=24 (1)求数列{a}和{b}的通项公式. (2)若cm=a+bn,求数列{cn}的前n项 和Sn 提升练习 14.记Sn为等比数列{a}的前n项和， 若S=5,a+a4=6,则aw（) A.-64 B.-32 C.32 D.-32或32 15.已知数列{a}的前n项和为Sn,且 满足Sn=2a。-2，则a2ms=（） A.22024 B.2205 C.22026 D.22026-2 练(15】"5.3等比数列 5.3.1等比数列 效果评价 1.A【解析】由题意，知数列{a}为等比数列，当 a=1时，得aas=ai=1,故充分性成立；当a1as=1时，aG= aa5=1,解得a=±1，故必要性不成立，“=1”是 “aas=1”的充分不必要条件.故选A. 2.B【解析】0,0,0，…是常数列，但不是等比数 列，故①错误，②正确：等比数列的单调性还要看首项 的正负情况，故③错误，④正确.故选B 3.D【解析】等比数列{a满足a.≠0，q≠0， =a=路2故选D a2+a4+…+axa+a4+…+a 4.B【解析】在等比数列{a}中，首项a<0,若a> an,即ag>ag1.a<0,.g<g-,即g-(q-1)<0.数 列{a}对任意正整数n都有a>a,∴.q>0,q-1<0.解 得0<g<1.故选B. 5.C【解析】由题意，可知(a+1)2=(a-1)(a+4),解 得0=5，故等比数列的首项为4，公比9=引号，则 道项公式为a=4多”：故进C 6.A【解析】{a}是等比数列，且a4,as是方程 a4+ag=8, x2-8x+2=0的两根， 且a>0,as>0.根据等比 a4g=2, 数列的性质，a4a=0s,=6=2,且as>0,a=V2,.a ==V2.故选A. 7.BD【解析】设{a}的公比为q,.=asg=4g= 64,.q=16,q2=4,.a=asg2=16,故A错误；数列(a 是等比数列，.a≠0，∴aa1≠0.又12=g2,数列 ACn-l {a,a}是等比数列，故B正确；当q=-1时，a+an1=a, a,=0,此时{a+a+}不是等比数列，故C错误；a<a< ,故aga,化简，得agg-1>0, 故9>0， a1(g-1)>0, a(q-1)>0,.a1-a=aq-ag-=a4g-1(q-1)>0，故a+1>an (n∈N),∴.数列{a}是递增数列，故D正确.故选BD. 参考答案。 8.号【解析】设等比数列a的公比为q,由+ a=1,a4+s=8,得g=+=8,解得q=2,因此a4+s= a+az a(1-3a=8,a号放答案为弩 9.2【解析】a4=2a6,a=1,∴.(g3)=2g,得q=2. 10.-3【解析】设该数列的公比为q,则由题意， 可得-1×g=-9,解得g=9,即q2=3,b=-1×g=-3. 11.108【解析】由题意，等比数列{a}中，a+a4= 4,as+a=12.设等比数列{a}的公比为g,则g2=s+0= a1+a4 号-3，放a+a=a+a)=9x12-108. 12.解：(1)设等比数列{a}的公比为q,a=5, q=2=-3,as=ag1=405. a (2){a}是等比数列，又a=625,n=4,q=5, ∴.a4=u193,即ax5=625,解得1=5. 13.证明：(1)10≠0,10=10=10， 10 因此，数列{bn}是公比q=10的等比数列. (2).a>0,.Igam-Iga,=1g 4u=1gg, 因此，数列{bn}是公差d=lgg的等差数列. 提升练习 14.【解析】awta,=6as,a(g2+y)6a,解得g= 2.存在两项an,a,使得Vaan=41,∴Vd×2mn2=4a1, mn6,+片名mw上名5+品+0)= m n 6 6(54)=2 15.3【解析】由题意，可知a+=夸，a 含，专-3xg+2.k=3 5.3.2等比数列的前n项和 效果评价 1.D【解析】设等比数列的公比为q,由题意q>0, a=qa,8=2q,解得q=2,于是4==1，故S,=a(1-7) 1-g 51 高中数学选择性必修第三册人教B版 =1x(1-2=7.故选D 1-2 2.A【解析】等比数列{a}中，a=6,前三项和S= 18,则+9+a,=18,于是}+上-2-0，解得1=-2或 1=1.又：该等比数列为正项数列，公比9的值为 9 1.故选A, 3.D【解析】{a}是等比数列，S,S。-S,Sg-S6 成等比数列.S,=2,S6-S3=4,∴Sg-S6=8,即a+s+=8 故选D. 4.B【解析】设等比数列{a}的公比为q,9>0, 2a4与ak的等差中项为4，∴2a4+s=2×4=8.又a=1, .2g+q2-8=0,∴.(q+4)(g-2)=0,解得9=2或q=-4(舍 去)，.{a}的通项公式为a,=1×2-3=2m-3,S=a+a2+a= 5.C【解析】当n≥2时，a,=S,-Sn=22,又a=S=2, 即前10项分别为2,1,2,4,8,16,32,64,128,256， 数列a网的前10项中5=片=1g3341,524 24-2450=12.8-品放益c 1-4 3 6.C【解析】Sn1-S,=a,又等比数列{a}的公比 为q,.a+1=a9,Sn1-S.=ag,即Sn1=Sn+ag,故A正 确；S1+qSn=a+q(a+a2+a+…+a)=4+a1g+a2+a9+…+ a=a+a+a3+…+a1=Sn+l,,.Sn1=S1+qSn,故B正确；当 q=-1时，S2=S4-S2=S6-S4=0,显然此时S2,S4-S2,S6-S4 不能成等比数列，故C错误；若Sn,Sn2,Sl成等差数 列，则Sn2-Sn=Sn1-Sn2,∴.an2+a1=-a2,即2an2=-al, =分小9=号”是“5，小，8成等差数列 1 的充要条件，故D正确.故选C. 7.ABC【解析】已知数列{a,}为各项为正数的等 比数列，子，=2，a=0,解得=2，故A正确： 由条件，得a,=2×2-5=24,∴a=(24)2=2-8=4-4,故{a2) 也为等此数列.且公比为4，故58,41 8’ (52 4"-1 8 一=24，故B正确；由 26×(4-1) 3 于1og01-loga,=log2L=1(常数)，故C正确；loga,= 1og24=n-4,故S=(1+2+…tn）-4n=n+-8n=n27n, 2 2 故D错误.故选ABC 8.50【解析】设T1=a+a+s+…+ag,T=+a4+a6+…+ 、T=a+a4+a6+…+am=1. am,小Ta+a+as+…+a, 2Sm=7+7=27+7g=37= 150,.T2=2+a4+a6+…+a100=50. 9-?【解析】设等比数列a)的公比为g(9≠ 1),则S=42=4,即等比数列{a}的前 1-91-g1-9 n项和Sn要满足S=AB-A(AB≠0)·又S=5×3a-+i= 哥x3,-3 5 10.号【解析】公比为2的等比数列(a, S2w=侧+3ta@=e+写+=7ae=,则= 2 4 4 11.8【解析】设第8-n(neN,1≤n≤7)层的灯 数为a,eN,由题意，可知数列{a}是公比为2的等比 数列，则22≥1000，解得4≥1000=7.9，且 1-2 127 a∈N,∴.顶层最少有8盏灯. 12.解：(1)设{a}的公差为d,由a=2,S4=2as, 可得4x2+4X3d=2(2+4d),解得d=2,a,=a+(n-1)d=2n. 2 (2)由(1)，可知b=2=4“,易知{b}是公比为4 的等比数列，可得T,=4(1-4)-4-4 1-4 3 13.解：(1).数列{a}为等差数列，公差为d, a1=d=2,.∴.an=2n. 又数列{b}为各项均为正数的等比数列，设公 比为g,g>0,g2-b02=bh=24=4,q=2. b2+b3b2+b36 又b2+b=b2+b9=b2+2b2=6,得b2=2, ∵.bn=b92-2X2m-2=2 (2)由(1)，得cm=2n+2-1, 则Sn=(2+4+6+…+2n)+(1+2+22+…+2-1) =n(2+2n）,1-2 2 1-2 整理，得S,=n(n+1)+2-1. 提升练习 14.C【解析】设等比数列{a}的公比为q,由题 a1(1-g8) 意，知g≠1，则由冬-5，得已五5，则1w5, 54 1-9 ∴.q4=4,即g2=2.a+a4=(1+g2)=3=6,∴=2，∴.a0= ag=2×42=32.故选C. 15.B【解析】当n=1时，a=2,当n≥2时，由S= 2a-2,得Sn-1=2a-1-2,两式相减，得a=2a1,.数列 {a}是以2为首项、2为公比的等比数列，.a,=2”,a=2, 适合上式，∴.2s=22.故选B. >"阶段性练习卷（二) 1.B【解析】由题意，知a=1=号-7， a 解得g2=2. ∴.a+5+a=(a1++a5)g2=21×2=42.故选B. 2.C【解析】4+9=5+8，∴.a4=,s=-18.又5+ 0-3,可解得2-6， a5=3, 或 设等比数列{a}的公 as=3 ag=-6. 4=-6, 比为q,则当 【aw=3 时，94.1 2,a+a=g+aw2 a +3x=: 当/%3， ag=-6 时，产2=-2，a+au=学+-子+ (-6)x(-2)=2引.故选C 2 3.D【解析】设第n个单音的频率为a,由题意， =/2(n≥2)，.{a为等比数列.a寸，a=a a,-1 (代/2)=2f故选D. 参考答案。 4.A【解析】由于公比为g的等比数列{a}的首项 a>0,.as>0,a>0.若as>a,则a92>m,∴q2>1,即q>1 或q<-1,.公比为q的等比数列{a}的首项a>0,则 g>1”是“as>a”的充分不必要条件.故选A. 5.D【解析】a=og.(n+1)=lgtD(m≥2，neN), Ign ∴aaa…a=log2(k+1)·又aaa…a4为整数， .k+1必须是2的n次幂(n∈N),即k=2m-1..k∈ [1,2022]内所有的“幸运数”的和S=(2-1)+(22- 1)+(2-1)+(2*-1)+…+(2°-1)=21-2)-10=2036. 1-2 故选D. 6.D【解析】等比数列{a}的各项均为正数，a>l, a6+a>a6+1>2,∴.(a6-1)(a-1)<0. a>1,若a6<1,则一定有a<1,a6+a<2,不符合题 意；.a6>1,a<1,.0<q<1,故A,B正确；.a6+1>2, .a>l,T2=a·…·a2=(a6)>1,故C正确；T13= aa·a1=a<1,故D错误.故选D. 7.BC【解析】令b,=L,则b1=4=L(neN), bn antl g -是等比数列，放A正确；若a0,则1g4无意 义，故B错误；当q=-1时，a+an=0,此时{a+ai}不 是等比数列，故C错误；若S。=3+r,则a=S,=1+r,a= S2-S=3+-(1+r)=2,a=S3-S2=9+r-(3+r)=6,由{a}是等 比数列，得a成=aa,即4=6(1+r),解得r=了，故D正 确.故选BC 8.ABC【解析】根据条件，可得a=ag,则a= ag209,am1=aq2.又a>l,，则a2mm=aiq9>l, ∴.q>0.若q≥1，则am=a4g20%1,2m=ag2001, .(a20a-1)(a2r1)>0与条件(a-1)(a20e-1)<0矛盾， 0<g<1,故A错误；由a>1,0<g<1,可得等比数 列{a}单调递减，又(a-1)(am1-1)<0,可得> 1,0<2e<l,.T2是Tn的最大值，故B错误；由a> 1,0<q<1,可得等比数列(a}单调递减，可得a2m> 1,0<a2m<1,2m2m2=ai1,aim1∈(0,1)，故C错误； T400=a12·a40w0=(a1a400）2n=(a20ma2021）20n>1,T400= T49a4o>1,由上可知0<a4o<1,可得T49>1,由此类 53