5.3.1 第3课时 等比数列的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

　第3课时　等比数列的综合问题 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 进一步理解等比数列，能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题，掌握等差、等比数列的区别与联系. 题型（一）　等比数列的实际应用 [例1]　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值. （1）用一个式子表示n（n∈N+）年后这辆车的价值. （2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱? 解：（1）从第一年起，每年车的价值（万元）依次设为a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1=13.5，a2=13.5（1-10%），a3=13.5×（1-10%）2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1=13.5，公比q=1-10%=0.9， ∴an=a1·qn-1=13.5×（0.9）n-1. ∴n年后车的价值为an+1=13.5×（0.9）n万元. （2）由（1）得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9（万元）， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元. 　　|思|维|建|模| 解等比数列应用题的步骤 （1）审题：解决数列应用题的关键是读懂题意； （2）建立数学模型：将实际问题转化为等比数列的问题； （3）解数学模型：注意隐含条件，数列中n的值是正整数； （4）还原：最后转化为实际问题作出回答. 　　[针对训练] 1.某公司的月销售额近几年下跌严重，从某年的6月销售额128万元，到8月跌至32万元，你能求出该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比吗?若按此计算，什么时候月销售额跌至8万元? 解：设每月平均下降的百分比为x，则每月的销售额构成了等比数列{an}，且a1=128，则a2=a1（1-x），a3=a1（1-x）2=128（1-x）2=32，解得x=50%.设an=8，即an=128（1-50%）n-1=8，解得n=5，即从该年6月算起第5个月，也就是在该年的10月，该公司的月销售额跌至8万元. 题型（二）　等比数列的函数特性 [例2]　[多选]已知正项等比数列{an}的公比为q（q>0），前n项积为Tn，且满足a7>1，a7a8<1，则下列说法正确的是 （　　） A.0<q<1 B.q>1 C.T14<1<T13 D.存在最大值 解析：选ACD　由已知a7a8=a7a7q=q<1，又a7>1，q>0，所以0<a8<1，0<q<1，A正确，B错误；T13=（a1a13）（a2a12）（a3a11）·…·（a6a8）a7=·a7=>1， T14=（a1a14）（a2a13）（a3a12）·…·（a6a9）（a7a8）=<1，所以T14<1<T13，C正确；因为0<q<1且a1>0，所以等比数列{an}是递减数列，于是a1>a2>…>a7>1>a8>a9>…，则Tn的最大值为T7，D正确. 　　|思|维|建|模| （1）具备“an=kan（k≠0）”形式，如an=2n-1，an=3×为等比数列. （2）等比数列的单调性由a1和q共同决定，如a1>0，q>1或a1<0，0<q<1，{an}递增；a1>0，0<q<1或a1<0，q>1，{an}递减. 　　[针对训练] 2.已知等比数列{an}满足a1>0，公比q>1，且log2a1+log2a2+…+log2a2 024<0，log2a1+log2a2+…+log2a2 025>0，则当a1a2·…·an最小时，n= （　　） A.1 012 B.1 013 C.2 022 D.2 023 解析：选A　由题意知log2a1+log2a2+…+log2a2 024<0，故log2（a1a2·…·a2 024）<0，则0<a1a2·…·a2 024<1，即0<<1，结合等比数列{an}满足a1>0，公比q>1，可知0<a1 012a1 013<1，由log2a1+log2a2+…+log2a2 025>0，得log2（a1a2·…·a2 025）>0，即得a1a2·…·a2 025>1，故>1，即a1 013>1，由此可得0<a1<a2<…<a1 012<1<a1 013<…，故当a1a2·…·an最小时，n=1 012. 题型（三）　等差、等比数列的综合问题 [例3]　已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+1=3Sn+1，其中n∈N+. （1）求数列{an}的通项公式； （2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在不同三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列?若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由. 解：（1）因为Sn+1=3Sn+1，故Sn=3Sn-1+1，故an+1=3an（n≥2），而{an}为等比数列，故其公比为3. 又S2=3S1+1， 故3a1+a1=3a1+1，故a1=1， 故an=1×3n-1=3n-1. （2）由题设可得dn==， 若数列{dn}中存在不同三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列， 则=×. 因为m，k，p为等差数列， 所以（k+1）2=（m+1）×（p+1）， 即k2=mp，故=mp， 故m=p，即m=p=k，这与m，k，p不同矛盾， 故数列{dn}中不存在不同三项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 　　|思|维|建|模| 　　解决等差、等比数列综合问题的关键是明确公差（公比）、首项，灵活应用公式求解. 　　[针对训练] 3.设{an}是公比大于1的等比数列，已知a1+a2+a3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列. （1）求数列{an}的通项公式； （2）令bn=log2a3n+1，n=1，2，3，…，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：（1）由已知得 解得a2=2. 设数列{an}的公比为q，由a2=2可得a1=，a3=2q，由a1+a2+a3=7，可得+2+2q=7，即2q2-5q+2=0，解得q=2或q=，由题意得q>1，∴q=2，∴a1=1. 故数列{an}的通项公式为an=2n-1. （2）由于bn=log2a3n+1，由（1）得a3n+1=23n， ∴bn=log223n=3n. ∵bn+1-bn=3，∴{bn}是等差数列， ∴Tn=b1+b2+…+bn==. 学科网（北京）股份有限公司 $