5.3.1 等比数列（一）导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

山东省2024级 高二数学 课时学案 编制人： 审核人： 班级 小组 姓名 使用时间 年 月 日 编号： 选修3-08 课题： 等比数列(一) 【课标要求】 通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义,结合具体情境，发现等比关系. 【学习目标】 1.通过生活中的实例，总结出等比数列的概念，会用符号表示，会根据定义判定数列是等比数列； 2.通过小组合作探究，能推导出等比数列的通项公式，能用等比数列的通项公式进行有关运算； 【基础自学】 自学任务一：等比数列的概念 阅读并勾画课本29页至32页，思考并完成情境： 情景1：如图所示,有些细胞在分裂时,会从1个变成2个,2个变成4个,4个变成8个……，这里细胞的个数构成数列 1，2，4，8，16，32，… ① 情境2：《庄子》中说“一尺之棰,日取其半,万事不竭.” 其意思是:一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完.如果记木棒的长度为1,则不断取一半的过程中,每日截去一半之后木棒的长度构成数列 1/2，1/4，1/8，… ② 情境3： 我们都知道,如果将钱存在银行里,就会获得利息.例如,如果某年年初将1000元钱存为年利率为3%的5年定期存款,且银行每年年底结算一次利息,则这5年中,每年年底的本息和构成数列 1000×1.03，1000× 1.032，…，1000×1.035. ③ 问题1：情境中的三个数列具有什么共同点，请类比等差数列归纳出等比数列的概念，并在课本上圈出概念里的关键词. 问题2：等比数列的概念用符号语言表示为 _____________，其公比是____________________. 思考： （1）等比数列的项可以等于0吗？ （2）公比可以吗？ （3）常数列既是等差又是等比数列这种说法是否正确？ 问题3：如何判断等比数列的增减性？ 【自学评测一】 1.（多选）下列各数列一定是等比数列的是(   ) 2.在正项等比数列中，，则数列的公比是（  ） A．4 B．2 C．1 D． 3.在等比数列中，如果公比，那么等比数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定数列的增减性 自学任务二：等比数列的通项公式 已知一个等比数列的首项和公比q， 问题4：类比等差数列通项公式的推导方法，结合等比数列的定义，求等比数列的通项公式. 【自学评测二】 4.若等比数列的首项为，末项为，公比为，则这个数列的项数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5.在等比数列中 【合作探究】 探究任务：等比数列的通项公式 例1．判断以下数列是否是等比数列，如果是，指出公比；如果不是，说明理由. （1）1,10,100,1000,10000； （2） ； （3） 常数列a，a，a，…，a，… ； （4）数列{an}中，已知＝2，＝2 ； （5）数列{an}中，＝q(q≠0,q为常数)，其中n∈N＋； （6） 例2. 已知一个等比数列的首项为，公比. （1） 求；（2）判断18是否是这个数列中的项.如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由. 例3. 已知数列的通项公式为，判断这个数列是否是等比数列.如果是，求出公比；如果不是，说明理由. 跟踪练习：已知的通项公式为an=kqn，其中k，q都是不为0的常数，求证：为等比数列. 例4.已知等比数列的公比为q，求证：对于任意的正整数m,n，有. 跟踪练习：已知等比数列中，求 【课堂随测】 A组 1. 写出满足下列条件的一个数列，是无穷递减数列，且从第二项起，每一项都是它前一项的3倍.（答案不唯一） 2.在等比数列中，如果公比，那么等比数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定数列的增减性 B组 3.在等比数列中，则的值是 . 4. 已知数列是公比的等比数列，则①②③④这四个数列中,是等比数列的有 .（填写序号） 5.等比数列{}中，且，求的通项公式. 6.在数列中，若，且.证明:数列是等比数列. 学科网（北京）股份有限公司 $