5.3.1 第1课时 等比数列的定义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

　　　　　　　　　 5.3　等比数列　 　　　　　　　　5.3.1　等比数列 　第1课时　等比数列的定义 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念，掌握等比数列通项公式的意义. 2.掌握等比数列的通项公式及其推导过程，能利用公式进行简单运算. 逐点清（一）　等比数列的定义 [多维理解] 　　一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即=q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比. |微|点|助|解| （1）定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项. （2）等比数列的公比q可正可负，但不能为0，等比数列中任一项不为0. （3）常数列（除0，0，0，…外）都是公比为1的等比数列. [微点练明] 1.以下条件中，能判定数列是等比数列的有 （　　） ①数列1，2，6，18，…； ②数列{an}中，已知=2，=2；③常数列a，a，…，a，…；④数列{an}中，=q（q≠0），其中n∈N+. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：选A　①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；③中，当a=0时，不是等比数列；④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列.故选A. 2.下列通项公式中代表等比数列的是 （　　） A.an=c　 B.an=n+1 C.an=n2　 D.an=2n 解析：选D　利用逐个检验，A中，c如果为0，显然不是等比数列；B、C不符合常数；D中，==2为常数，符合. 3.判断下列数列是否为等比数列，并写出公比. （1）1，3，32，33，…，3n-1，…； （2）-1，1，2，4，8，…； （3）a1，a2，a3，…，an，…. 解：（1）记数列为{an}，显然a1=1，a2=3，…，an=3n-1，….∵==3（n≥2，n∈N+）， ∴数列为等比数列，且公比为3. （2）记数列为{an}，显然a1=-1，a2=1，a3=2，…，∵=-1≠=2，∴此数列不是等比数列. （3）当a=0时，数列为0，0，0，…是常数列，不是等比数列；当a≠0时，数列为a1，a2，a3，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a. 逐点清（二）　等比数列的通项公式 [多维理解] 1.等比数列的通项公式 （1）一般地，如果等比数列{an}的首项是a1，公比是q，那么等比数列的通项公式为an=a1qn-1. （2）等比数列通项公式的推广和变形：an=amqn-m. 2.an=a1可变形为an=Aqn，其中A=；点（n，an）是曲线y=·qx上一群孤立的点. （1）当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，数列{an}是递增数列. （2）当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，数列{an}是递减数列. （3）当q=1时，{an}是常数列；当q<0时，数列{an}是摆动数列. |微|点|助|解| （1）在已知首项a1，公比q的条件下，利用通项公式可求出等比数列中的任意一项. （2）可以利用通项公式判断数列是否为等比数列. （3）an=a1·qn-1=a2·qn-2=a3·qn-3=…. （4）等比数列的通项公式an=a1qn-1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量. （5）等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an=·qn，而y=·qx（q≠1）是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y=·qx的图象上的孤立点. [微点练明] 1.在等比数列{an}中，a1=，q=，an=，则项数n为 （　　） A.3 B.4 C.5 D.6 解析：选C　因为an=a1qn-1，所以×=，即=，解得n=5. 2.已知等比数列{an}满足a1=3，且4a1，2a2，a3成等差数列，则此数列的公比等于 （　　） A.1 B.2 C.-2 D.-1 解析：选B　设等比数列{an}的公比为q，因为4a1，2a2，a3成等差数列，所以4a1q=4a1+a1q2，即q2-4q+4=0，解得q=2. 3.已知等比数列{an}为递增数列，且=a10，2（an+）=5an+1，则数列{an}的通项公式为an=　　　　.  解析：设等比数列{an}的公比为q，由2（an+an+2）=5an+1⇒2q2-5q+2=0⇒q=2或q=，由=a10=a1q9>0⇒a1>0，又数列{an}递增，所以q=2.=a10⇒（a1q4）2=a1q9⇒a1=q=2，所以数列{an}的通项公式为an=2n. 答案：2n 4.在等比数列{an}中，已知a2+a5=18，a3+a6=9，an=1，求n. 解：设公比为q，由题意，得 由得q=，∴a1=32. 又an=1，∴32×=1，即26-n=20，∴n=6. 逐点清（三）　等比数列的判定与证明 [典例]　已知数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，且对任意n∈N+，有an+1=kSn+1（k为常数）. （1）当k=2时，求a2，a3的值； （2）试判断数列{an}是否为等比数列?请说明理由. 解：（1）由题意可得，a2=2S1+1=3，a3=2S2+1=2×（1+3）+1=9. （2）当n≥2时，an=kSn-1+1.由an+1=kSn+1，an=kSn-1+1两式相减得an+1=（k+1）an. 当k=-1时，{an}不是等比数列；当k≠-1时，可得=k+1（n≥2），当n=1时，a1=1，a2=k+1，所以=k+1，故对任意的n∈N+都有=k+1，此时数列{an}是等比数列.综上，当k=-1时，{an}不是等比数列；当k≠-1时，{an}是等比数列. 　　|思|维|建|模|　判断数列是等比数列的常用方法 （1）定义法：若数列{an}满足=q（n∈N+，q为常数且不为零）或=q（n≥2，且n∈N+，q为常数且不为零），则数列{an}是等比数列. （2）通项公式法：若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1（a1≠0，q≠0），则数列{an}是等比数列. （3）等比中项法：若=anan+2（n∈N+且an≠0），则数列{an}为等比数列. 　　[针对训练] 　已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2（n+1）an.设bn=. （1）求b1，b2，b3； （2）判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； （3）求{an}的通项公式. 解：（1）由条件可得an+1=an. 将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以a2=4. 将n=2代入得，a3=3a2，所以a3=12. 从而b1=1，b2=2，b3=4. （2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下： 由条件可得=，即bn+1=2bn， 又b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列. （3）由（2）可得=2n-1，所以an=n·2n-1. 学科网（北京）股份有限公司 $