5.3.1 第1课时 等比数列的定义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

　　　　　　　　　 5.3　等比数列　

　　　　　　　　5.3.1　等比数列

　第1课时　等比数列的定义 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学]

[课时目标]

1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念，掌握等比数列通项公式的意义.

2.掌握等比数列的通项公式及其推导过程，能利用公式进行简单运算.

 

逐点清（一）　等比数列的定义

 

[多维理解]

　　一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即=q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比.

|微|点|助|解|

（1）定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项.

（2）等比数列的公比q可正可负，但不能为0，等比数列中任一项不为0.

（3）常数列（除0，0，0，…外）都是公比为1的等比数列.

[微点练明]

1.以下条件中，能判定数列是等比数列的有 （　　）

①数列1，2，6，18，…； ②数列{an}中，已知=2，=2；③常数列a，a，…，a，…；④数列{an}中，=q（q≠0），其中n∈N+.

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

解析：选A　①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；③中，当a=0时，不是等比数列；④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列.故选A.

2.下列通项公式中代表等比数列的是 （　　）

A.an=c　 B.an=n+1

C.an=n2　 D.an=2n

解析：选D　利用逐个检验，A中，c如果为0，显然不是等比数列；B、C不符合常数；D中，==2为常数，符合.

3.判断下列数列是否为等比数列，并写出公比.

（1）1，3，32，33，…，3n-1，…；

（2）-1，1，2，4，8，…；

（3）a1，a2，a3，…，an，….

解：（1）记数列为{an}，显然a1=1，a2=3，…，an=3n-1，….∵==3（n≥2，n∈N+），

∴数列为等比数列，且公比为3.

（2）记数列为{an}，显然a1=-1，a2=1，a3=2，…，∵=-1≠=2，∴此数列不是等比数列.

（3）当a=0时，数列为0，0，0，…是常数列，不是等比数列；当a≠0时，数列为a1，a2，a3，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a.

 

逐点清（二）　等比数列的通项公式

[多维理解]

1.等比数列的通项公式

（1）一般地，如果等比数列{an}的首项是a1，公比是q，那么等比数列的通项公式为an=a1qn-1.

（2）等比数列通项公式的推广和变形：an=amqn-m.

2.an=a1可变形为an=Aqn，其中A=；点（n，an）是曲线y=·qx上一群孤立的点.