5.3.2 第1课时 等比数列的前n项和（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦等比数列前n项和这一核心知识点，通过错位相减法推导公式，明确q=1与q≠1的分类讨论，衔接等比数列定义及通项公式，延伸至Sm+n=Sm+q^mSn、连续m项和的等比关系等性质，构建完整知识支架。 资料以问题链引导公式推导培养逻辑推理，结合高考真题及变式训练提升数学运算，分层练习题设计兼顾基础与综合。课中辅助教师突出重点，课后助力学生巩固查漏，落实核心素养培养。

5．3.2　等比数列的前n项和 第1课时　等比数列的前n项和 学业标准 素养目标 1．掌握等比数列的前n项和公式，能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的求和问题．(重点) 2．掌握等比数列前n项和的性质的应用．(重点) 3．掌握等差数列与等比数列的综合应用．(重点) 1．通过等比数列前n项和公式的推导，培养逻辑推理核心素养． 2．借助等差、等比数列求和公式的综合应用，提升逻辑推理、数学运算核心素养． [对应学生用书P30] 导学1　等比数列的前n项和公式 　如何求等比数列{an}的前n项和Sn? [提示]　设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，前n项和为Sn. Sn写成：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1.① 则qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn-1＋a1qn.② 由①－②得：(1－q)Sn＝a1－a1qn. 当q≠1时，Sn＝； 当q＝1时，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1. 　当q≠1时，Sn＝＝－qn＋，即等比数列{an}的前n项和可以写成Sn＝Aqn＋B(q≠1且AB≠0)的形式，其中A＋B＝0，反之成立吗？ [提示]　成立．即若数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(q≠1且AB≠0)，且A＋B＝0，则数列{an}是等比数列．证明如下：当n＝1时，a1＝S1＝Aq＋B＝A(q－1)；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－Aqn-1＝(q－1)·Aqn-1，又∵a1＝A(q－1)满足an＝(q－1)Aqn-1，∴an＝A(q－1)qn-1，故数列{an}是等比数列． ◎结论形成 1．等比数列的前n项和公式 2．等比数列的前n项和的变式 (1)等比数列{an}的前n项和为Sn， 公比q≠1时，Sn＝＝＝＝－；当q＝1时，Sn＝__na1__． (2)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，上式可写成Sn＝__－Aqn＋A__．由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数． 当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1的相应函数是正比例函数(常数项为0的一次函数). 3．等比数列的前n项和公式的函数特征 对于q≠1的等比数列{an}的前n项和Sn＝＝－qn＋，若设a＝，则Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠1).由此可知，当a≠0，q≠1时，数列{Sn}是函数y＝－aqx＋a图象上一群孤立的点． 对于各项均为同一常数的等比数列，即q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1.由此可知，数列{Sn}是函数y＝a1x图象上一群孤立的点． 导学2　等比数列前n项和的性质 　等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，Sm＋n与Sm及Sn有怎样的关系？为什么？ [提示]　Sm＋n＝Sm＋qmSn. 证明如下： 左边＝Sm＋n＝(a1＋a2＋…＋am)＋(am＋1＋am＋2＋…＋am＋n)＝Sm＋(a1qm＋a2qm＋…＋anqm) ＝Sm＋(a1＋a2＋…＋an)qm＝Sm＋qmSn＝右边， ∴Sm＋n＝Sm＋qmSn. 　在等比数列{an}中，若连续m项的和不等于0，则它们仍组成等比数列．即Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列．怎样证明这个关系？ [提示]　∵在等比数列{an}中有am＋n＝amqn， ∴Sm＝a1＋a2＋…＋am， S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm＝(a1＋a2＋…＋am)qm＝Sm·qm. 同理S3m－S2m＝Sm·q2m，…， 在Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍组成等比数列． ◎结论形成 等比数列前n项和的性质 (1)连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m)不为零，则它们仍构成__等比__数列．(注意：q≠－1或m为奇数) (2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比). (3)若{an}是项数为偶数、公比为q的等比数列，则＝q. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若等比数列的首项a1＝1，公比为2，则前n项和Sn＝.(　　) (2)已知等比数列的a1，q，an，则Sn＝.(　　) (3)等比数列1，－1，1，－1，…的前n项和等于0.(　　) (4)设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则Sn＝.(　　) 解析　(1)Sn＝. (2)Sn＝(q≠1). (3)Sn＝＝. (4)不要忽略当q＝1时，Sn＝na1. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，则公比q＝(　　) A．3　　　 B．4　　　 C．5　　　 D．6 解析　3S3－3S2＝3a3＝a4－a3⇒a4＝4a3⇒q＝4. 答案　B 3．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝(　　) A． B． C． D． 解析　an＝， 所以Sn＝＝＝. 答案　C 4．在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝______；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝__________． 解析　∵a4＝q3＝－4，∴q＝－2， ∴an＝×(－2)n-1，∴|an|＝2n-2， ∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝＝2n-1－. 答案　－2　2n-1－ [对应学生用书P32] 题型一　等比数列前n项和公式基本运算 　[教材例1提升]在等比数列{an}中． (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)S3＝，S6＝，求an； (3)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n. [解析]　(1)由题意知 解得或 从而Sn＝×5n+1－或 Sn＝. (2)∵S6≠2S3，∴q≠1，又S3＝，S6＝， ∴ ②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2. 将q＝2代入①中得a1＝， ∴an＝a1qn-1＝·2n-1＝2n-2，即an＝2n-2. (3)由Sn＝，an＝a1·qn-1以及已知条件得 ∴a1＝3，2n-1＝＝32，∴n＝6. 等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可以看作一个整体． [触类旁通] 1．(多选)(2025·全国二卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0，若S3＝7，a3＝1，则(　　) A．q＝　　　　　　　 B．a5＝ C．S5＝8 D．an＋Sn＝8 解析　对A，由题意得结合q>0，解得或(舍去)，故A正确； 对B，a5＝a1q4＝4×＝，故B错误； 对C，S5＝＝＝，故C错误； 对D，an＝4×＝23-n，Sn＝＝8－23-n， 则an＋Sn＝23-n＋8－23-n＝8，故D正确； 故选AD. 答案　AD 题型二　等比数列前n项和性质的应用　(一题多变) 　(1)(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120　　　　　　　 B．85 C．－85 D．－120 (2)已知等比数列{an}的前4项和为1，且公比q＝2，则前12项的和为________． [解析]　(1)S6＝21S2，∴1－q6＝21(1－q2)， ∴q4＋q2－20＝0， ∴q2＝4，＝1＋q4＝17， ∴S8＝17×(－5)＝－85，选C. (2)因为S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝q4S4＝24＝16，所以S8＝17. 又因为S4，S8－S4，S12－S8成等比数列， 所以(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)， 即162＝S12－17，所以S12＝273. [答案]　(1)C　(2)273 [母题变式] 1．(变结论)若例2(2)条件不变，则等比数列{an}的通项公式为______． 解析　由S4＝1，q＝2，得＝1， 即(24－1)a1＝1，所以a1＝. 所以an＝a1·qn-1＝·2n-1. 答案　an＝·2n-1 2．(变条件、变结论)若例2(2)的条件“前4项和为1，且公比q＝2”改为“前4项和为S4，公比为q”，探究S4与S12的关系． 解析　由S12＝S4＋a5＋a6＋a7＋…＋a12 ＝S4＋q4(a1＋a2＋…＋a8) ＝S4＋q4(S4＋a5＋a6＋a7＋a8) ＝S4＋q4[S4＋q4(a1＋a2＋a3＋a4)] ＝S4＋q4S4＋q8S4＝S4(1＋q4＋q8). [素养聚焦]　本题主要考查等比数列的前n项和性质的应用，突出考查数学运算与逻辑推理核心素养． 等比数列前n项和性质的应用技巧 (1)在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差或比进行简化运算．若项数为2n，则＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则＝q(S偶≠0). (2)涉及Sn，S2n，S3n，…的关系或Sn与Sm的关系考虑应用以下两个性质： ①等比数列前n项和为Sn(且Sn≠0)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn(q≠－1)； ②等比数列{an}的公比为q，则Sn＋m＝Sn＋qnSm. [触类旁通] 2．(2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于________． 解析　法一(基本量法)　设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0，又S4＝4，S8＝68，所以q≠1.由S4＝4得＝4　①，由S8＝68得＝68　②，得＝，即＝1＋q4＝17，所以q4＝16，又q>0，所以q＝2. 法二(等比数列前n项和性质法)　设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn，因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0，因为S4＝4，S8＝68，所以S8－S4＝64，因为S4，S8－S4，S12－S8，…成等比数列，且公比为q4，所以q4＝＝＝16，又q>0，所以q＝2. 答案　2 题型三　等比数列前n项和的综合应用 　已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5. (1)求{an}的通项公式． (2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1. [解析]　(1)设等差数列{an}公差为d， 因为a2＋a4＝2a3＝10， 所以a3＝5＝1＋2d，所以d＝2.所以an＝2n－1. (2)设{bn}的公比为q，b2·b4＝a5⇒qq3＝9， 所以q2＝3， 所以{b2n－1} 是以b1＝1的首项，q′＝q2＝3为公比的等比数列，所以b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝＝. 等比数列前n项和的应用技巧 (1)求和时注意利用定义判断数列是否为等比数列，确定首项与公比是关键． (2)等比数列的前n项和的应用往往结合等差数列的项的性质，要综合应用数列知识解题． [触类旁通] 3．记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式． (2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列． 解析　(1)设公比为q，因为S2＝2，S3＝－6， 所以S3－S2＝a3＝－6－2＝－8， 又S2＝a1＋a2＝2， 可得q2＋4q＋4＝0，所以q＝－2. 又a3＝a1q2＝－8，所以a1＝－2， 所以an＝a1·qn-1＝(－2)n. (2)由(1)得Sn＝＝ ＝[(－2)n－1]， 则Sn＋1＝[(－2)n+1－1]，Sn＋2＝[(－2)n+2－1]， 所以Sn＋1＋Sn＋2＝[(－2)n+1－1]＋[(－2)n+2－1]＝[2(－2)n－2]＝[(－2)n－1]， 又2Sn＝[(－2)n－1]，即Sn＋1＋Sn＋2＝2Sn， 所以Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列． 知识落实 技法强化 (1)等比数列的前n项和公式及函数特征． (2)等比数列前n项和的性质． (1)注意方程思想与整体思想在解决等比数列基本运算中的应用． (2)在解决与等比数列前n项和有关的问题时，要有分类意识对公比讨论． 学科网（北京）股份有限公司 $