5.2.1 第1课时 等差数列的定义-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

011 课堂检测 固双基 1.数列1,3,6,10,15，…的递推公式是 ()5.已知数列{an}满足a1=1,an+1=a.+(2n+ A.a=1,an+1=a +n,nEN, 1),写出它的前5项，并归纳出数列的一个通 B.a1=1,am=an-1+n,n∈N+,n≥2 项公式 C.a1=1,an+1=an+(n+1),n∈N+,n≥2 D.a1=1,an=an-1+(n-1),n∈N+,n≥2 2.已知数列{an}中，a1=1,a2=3,an=am-1+ 1(n≥3)，则，= An A得 B. 3 C.4 D.5 3.（2025·甘肃天水一中高二月考)在数列{a, 中，1=-2，a1=1-1,则4209的值为 A.-2 B青 C. n 4.(2024·四川成都高一期末)已知数列{an}的 夯基提能作亚 前n项和为Sn=2”-1,则此数列的通项公式 请同学们认真完成练案[2] 为 5.2 等差数列 5.2.1 等差数列 第1课时 等差数列的定义 素养目标定方向 课程目标 学法指导 1.借助教材实例理解等差数列、等差中项的概1.通过生活中的实例，找到数量关系，并发现其数 念（逻辑推理） 字规律，归纳出等差数列的概念 2.借助教材实例了解等差数列与一次函数的关2.通过项与项之间的关系，明确等差数列“等差” 系.（数学抽象）》 的含义，找到基本量 3.会求等差数列的通项公式，并能利用等差3.通过等差数列的直观表示，探求等差数列与一 数列的通项公式解决相关问题. 次函数的关系。 012 必备知识探新知 知识点一等差数列的定义 般地，如果一个数列 起，每一项与」 的差都等于 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ,公差通常用字母d表示. 知识解读：对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”因为首项没有“前一项”； (2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因 为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，注意不要漏掉这一条件 (3)求公差d时，可以用d=an-a-1来求，也可以用d=a.1-an来求.注意公差是每一项与其 前一项的差，且用d=an-an-1求公差时，要求n≥2，n∈N* 知识点二等差数列的通项公式 一般地，若等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则通项公式为 知识解读：等差数列的通项公式an中共含有四个变量，即a1,d,n,an,如果知道了其中任意三 个量，就可由通项公式求出第四个量， 知识点三等差数列的通项公式 由于an=a,+(n-1)d=dn+(a1-d),所以当d≠0时，等差数列{an}的第n项an是一次函数 f(x)=d+(a1-d)(x∈R)当x=n时的函数值，即an= 知识解读：理解等差数列与一次函数的关系要注意以下两点： (1)等差数列与一次函数的异同点 等差数列 一次函数 解析式 an=kn+b(k≠0，n∈N*)】 f(x)=kx+b(k≠0) 定义域为N*,图像是一系列孤立的点（在直 不同点 定义域为R,图像是一条直线 线f(x)=kx+b上) 等差数列通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式，等差数列的图像是相 相同点 应的一次函数图像上的一系列孤立的点 (2)等差数列的公差d即为相应的直线的斜率，由斜率公式知d=a-0(p,g∈N“),且d>0 P-q 时等差数列单调递增；d<0时等差数列单调递减；d=0时等差数列为常数列. 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一等差数列的通项公式 例1.(1)(2025·吉林长春高二检测)2020是等差数列4,6,8，的 A.第1008项 B.第1009项 C.第1010项 D.第1011项 (2)已知等差数列1，-3，-7，-11，…，求它的通项公式及第20项. ●013 [分析](1)4,6,8→公差→通项公式→解方程得n. (2)首项1与第二项-3→公差→通项公式→第20项. 规律方法： 等差数列通项公式的 四个主要应用 (1)已知an,a1,n,d 中的任意三个量，求 出第四个量 (2)由等差裁列的通 项公式可以求出该裁 列中的任意项，也可 以判断某一个裁是不 是该裁列中的项. ●[规律方法] (3)根据等差数列的 两个已知条件建立关 》对点训练1 于“基本量”a和d (1)在等差数列{an}中，已知a2=2,a5=8,则ag= () 的方程组，求出a1和 A.8 B.12 d,从而确定通项公 C.16 D.24 式，求得所要求的项 (4)若裁列{an}的通 (2)等差数列{an}中， 项公式是关于n的一 ①已知a3=-2,d=3,求am的值； 次函数或常数函数， ②若a5=11,an=1,d=-2,求n的值. 则可判断数列{an}是 等差数列. 014 题型二等差数列的判定或证明 例2已知等差数列0的首项为a.公差为d,在数列6，巾， bn=3an+4,试判断{bn}是不是等差数列. [分析]可以利用a1和d写出{bn}的通项公式，也可以直接 利用定义判断b.+1-bn是不是常数. 规律方法： 等姜数列的判定方法 方法 内容 an-am-l=d(n≥2)或 定义法 an+1-an=d(d为常 数)曰{an}是等差数列 [规律方法] 通项公 an=hn+b(k,b为常 式法 )对点训练2 裁)白an}是等差数列 若数列{an}的通项公式为an=10+lg2”,试证明：数列{an} 2an=an-l+an+l(n≥ 等差中 为等差数列. 项法 2)或2an+l=an+an+2 曰an}是等差数列 ●015 题型三构造等差数列求通项公式 例3.(1)若数列a,的各项均为正数，且满足a1=a,+2a,+1,4=l, 求a 在数列引u,中，凸=1，日满足0三十2：习 [分析]利用题中所给关系的结构特征，构造等差数列，利用所构造的 等差数列求an 规律方法： 构造法求裁列通项的 求解策略 给出数列的递推公式 求通项公式时，根据 递推公式的结构特点 灵活地应用“平方 法”“开方法”“取 [规律方法] 倒数法”等，往往会 》对点训练3 构造出一个新数列满 已知数列o,满足a-分a-。,试探究a,的适项公式 足等差裁列的条件 从而利用新数列的通 项公式，间接求出所 求裁列的通项公式 016 ●易错警示 求等差数列的公差时因考虑不周致误 例4、首项为-24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是 Ad>号 B.d<3 Cs D.8<d≤3 [错解】a0=a+91=-24+91>0,怎得1>故造 [误区警示]该等差数列的首项为负数，从第10项起开始为正数，说明公差为正数，且第9项 为非正数，第10项为正数，解决此类问题时容易忽视第9项的要求. [正解] 课堂检测固双基 1.数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列 :5.判断下列数列是否为等差数列？ (1)an=3n+2; A.是公差为2的等差数列 (2)an=n2+n. B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 2.等差数列-3,1,5，…的第15项的值是（) A.40 B.53 C.63 D.76 3.等差数列1，-1，-3，-5，…，-89，它的项数 为 A.92 B.47 C.46 D.45 4.以下选项中构不成等差数列的是 A.2,2,2,2 B.3m,3m+a,3m+2a,3m+3a C.cos 0,cos 1,cos 2,cos 3 夯基提能作业 D.a-1,a+1,a+3 请同学们认真完成练案[3]-4n+6<0,即函数fn)在[2，+0)上单调递减，f(n)≤f2) 2 =3, 综上所述，当a=2时，织二取最大值3，放A≥3 对点训练4：行之当n≥2时，4+2a+34,+ (n-1)aa-1+nan=2"-1, a1+2a+3a3+…+(n-1)a4-1=2"-1-1, 两式相减得na.=(2”-1)-(2-1-1)=2"-1, 所以a.-2二m≥2.当n=1时，4，=1满足上式， -1 综上所述，a=n 存在nEN,使得a,≤”+.入成立的充要条件为存在nE n N,使得A≥2 +1: 2" =所以-2a+1. 设6，=2 6m2"-可 n+2 n+1 即61≥6，所以6.单调递增，b,的最小项6，=弓，即 有人≥6，=方A的最小值为 例5：(-3，+∞)正解一：由数列am}为递增数列，知 au+1-an=(n+1)2+t(n+1)-(n2+tn)=2n+1+t>0恒成 立，即t>-(2n+1)恒成立. 而neN*,所以t>-3,故t的取值范围是(-3，+o). 正解二=R+m=(a+号P-子 由于neN,且数列{an}为递增数列，结合二次函数的图 像可得-专<子，解得>-3， 故t的取值范围是(-3，+∞) 课堂检测固双基 1.B由题可知a1=1,an-a-1=n(n≥2). 2.An=3时，a3=a2+ +1=3+1=4: a =4时风=0+女4+了号 5时分号宁器 故选A. 3Ba=-2,a1=1-1 、1+=2,=1-=1-2= -3=3, 4=1-1=1-3=-2 ∴.数列{a,}是周期T=3的周期数列， .a2019=a=3 4.a=2"-1当n=1时，a1=S1=2-1=1, 当n≥2时，an=Sn-S-1=2"-1-(2"-1-1)=2"-1 又2-1=1，所以an=2"-1. 5.a1=1,am+l=am+(2n+1), .a2=a1+(2×1+1)=4, a3=a2+(2×2+1)=4+5=9, 15 a4=a3+(2×3+1)=9+7=16, a5=a4+(2×4+1）=16+9=25. 故该数列的一个通项公式是an=n2. 5.2等差数列 5.2.1等差数列 第1课时等差数列的定义 必备知识探新知 知识点一从第2项它的前一项同一个常数公差 知识点二an=a1+(n-1)d 知识点三f(n) 关键能力攻重难 例1：(1)B数列4,6,8，…的通项公式为an=2n+2. 则2n+2=2020. 解得n=1009. (2)由题意可知a1=1,a2=-3,所以公差d=a2-a1=-4. 所以an=a1+(n-1)d=1-4(n-1)=5-4n. 所以a20=5-4×20=-75. 即该数列的通项公式为a.=5-4n,第20项为-75. 对点训练1：(1)C设公差为d,首项为a1, 则[s60 .ag=a1+8d=16. (2)①由a3=a1+(3-1)d,得a1=a3-2d=-8, am=-8+(n-1)×3=3n-11. ②an=a1+(n-1)d, 所以a5=a1+4d, 所以11=a1-4×2,所以a1=19, 所以am=19+(n-1)×(-2) =-2n+21, 令-2n+21=1,得n=10. 例2：方法一：由题意可知an=a,+(n-1)d(a1,d为常 数)，则bn=3an+4=3[a1+(n-1)d]+4=3a1+3(n-1)d+4 =3dn+3a1-3d+4 由于bn是关于n的一次函数或常数函数（当d=0时），故 b}是等差数列. 方法二：根据题意，知bn+1=3am+1+4,则bn+1-b。=3am+1 +4-(3a.+4)=3(a+1-am)=3d(常数). 由等差数列的定义知，数列{b}是等差数列. 对点训练2：am=10+lg2”=10+nlg2, .a+1-a.=[10+(n+1)g2]-(10+ln2)=lg2(n∈ N), ∴.数列{an}是首项为a1=10+lg2,公差为lg2的等差 数列. 例3：(1)由am+1=am+2an+1,可得am+1=(√an+1)2. :an>0,.√a+l=√am+1, 即√ai-√an=l. ∴.{√an}是首项为a=1,公差为1的等差数列。 .√an=1+(n-1)=n.∴.a.=n2。 2浦可得古分 “{侣}是首项为行=1，公老为宁的等差数列 a =1+2m-0=" 2 2 :.an=n+I 3变形为1-L 对点训练3：将am+1=3-a, 1 an+1 an =-3 令b.=人，则b1-b.=-3 a 数列6.构成等差数列，首项6，=。=2，公差d=-了 a 6=4+(a-0d=2-号n-)-7号 3 a.=7-n 创4：D由题在知3480解得子<d≤3，故选D -24+8d≤0. 课堂检测固双基 1.Aam=2n+5.a4-l=2n+3(n≥2)， .am-am-1=2n+5-2n-3=2(n≥2)， ∴.数列{an}是公差为2的等差数列 2.B设这个等差数列为an}, 其中a1=-3,d=4,∴.a15=a1+14d=-3+4×14=53 3.Ca1=1,d=-1-1=-2,∴.am=1+(n-1)·(-2)= -2n+3, 由-89=-2n+3,得n=46. 4.CC项不满足等差数列的定义， 5.(1)am+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(常数)，n为任意正 整数，所以此数列为等差数列. (2)因为a.+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2(不 是常数)，所以此数列不是等差数列. 第2课时等差数列的性质 必备知识探新知 知识点二(1)n-m(2)a。+a,2a。 知识点三a.-1a,-k+ 知识点四(1)dcd2d(2)pd,+qd2 关键能力攻重难 例1：(1)Aa,b的等差中项为 1 1 +b_B+万月-25-D+5+E-5 十 2 2 (2)B由题意得2(3x+3)=x+(6x+6),所以x=0. 所以等差数列的前三项为0,3,6，公差为3， 所以等差数列的第四项为9.故选B. (3)因为。方成等差数列。 所以子=亡+化商得2c=a+, xb+cta+bbc+e+atab b(a+c)+ota_2ac+ota ac ac =(a+c)=(a+c) =2.a+c ac b(a+c) b 2 所以+9，a+,a+也成等差数列. a’b 对点训练1：①C2所以a=,6s3 2b=x+2x, 2 16 所以号=号 (2)B在等差数列{an}中，若a2=4,a4=2,则a4= 之(a+a,)=2(4+a)=2,解得a。=0放选B 3)由已知，+ea中6或等若数列，可得子。寸 1 1 a+b' 所以2」 2b+a+c c+a=(b+c)(a+b)' 所以(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b), 所以a2+c2=2b, 所以a2,b2,c2也成等差数列， 例2：解法一：设等差数列{an}的公差为d, a15=a1+14d,ao=a1+59d, 64 ∫a1+14d=8, a15 la1+59d=20, 解得{ 4 d=15 a,=a+74d=倍+74×音=24 解法二：{an}为等差数列， .a15,a0,a45,a0,a5也为等差数列. 设其公差为d,则a1s为首项，ao为第4项， .a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4. a5=a0+d=20+4=24. 解法三：raw=as+(60-15)dd=05-号 =aw+(75-60)d=20+15×青=24 对点训练2：7解法一：设等差数列{an}的公差为d, 由题意，得+d=3, 「a1=2 1a1+7d=6, 1 d=2 5+9=7. a0=a1+9d=之+2 解法二：设等差数列{an}的公差为d, as-4=6d=3,d=2 ∴ao=a,+2d=6+2×7=7. 例3：(1)A:{an}是等差数列，2ag=a5+a13, 故a13=2×6-3=9. (2)35方法一：设数列{a.},{bn}的公差分别为d1,d2,因 为a3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2)=(a1+b)+2(d+d2)= 7+2(d1+d2)=21, 所以d,+d,=7,所以a+b=（a1+b3)+2(d+d)= 21+2×7=35. 方法二：因为数列an},{bn}都是等差数列. 所以数列{a.+b.}也构成等差数列，所以2(a3+b)= (a1+b)+(a5+b),所以2×21=7+a5+bs,所以a5+b5=35. (3)D方法一：a3+a4+a5+a6+a7=750, .∴.5a5=750, .a5=150,.a2+ag=2a5=300. 方法二：a3+a4+a5+a6+a,=750, .a1+2d+a1+3d+a1+4d+a1+5d+a1+6d=750, .a1+4d=150,.a2+ag=a1+d+a1+7d=2(a1+4d)