5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

　第2课时　等差数列前n项和的应用

[教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学]

[课时目标]

进一步理解等差数列前n项和，能构造等差数列求和模型，解决实际问题；能够利用等差数列的前n项和的函数性质求其前n项和的最值.

题型（一）　等差数列前n项和的最值问题

1.等差数列前n项和公式的函数特征

由Sn=na1+d=dn2+n，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且不含常数项，即Sn=An2+Bn（A≠0）；当d=0时，Sn=na1，Sn是关于n的一次函数.

2.等差数列前n项和的最值

（1）若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项（或0），所以将这些项相加即得{Sn}的最小值.

（2）若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项（或0），所以将这些项相加即得{Sn}的最大值.

特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值.

[例1]　在等差数列{an}中，a10=18，前5项的和S5=-15.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值.

解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得∴an=3n-12.

（2）法一　Sn==（3n2-21n）=-，∴当n=3或4时，前n项和取得最小值，最小值为S3=S4=-18.

法二　设Sn最小，则即解得3≤n≤4，又n∈N+，∴当n=3或n=4时，前n项和取得最小值，最小值为S3=S4=-18.

　　[变式拓展]

1.在本例中，根据第（2）题的结果，若Sn=0，求n.

解：法一　因为S3=S4=-18为Sn的最小值，由二次函数的图象可知，其对称轴为x=，所以当x=0和x=7时，图象与x轴的交点为（0，0），（7，0），又n∈N+，所以S7=0，所以n=7.

法二　因为S3=S4，所以a4=S4-S3=0，故S7=×7×（a1+a7）=7a4=0，所以n=7.

2.将本例变为：等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3=S11，则当n为多少时，Sn最大?

解：法一　要求数列前多少项的和最大，从函数的观点来看，即求二次函数Sn=an2+bn的最大值，故可用求二次函数最值的方法来求当n为多少时，Sn最大.由S3=S11，可得3a1+d=11a1+d，即d=-a1.

从而Sn=n2+n=-（n-7）2+a1，又a1>0，所以-<0.故当n=7时，Sn最大.

法二　由于Sn=an2+bn是关于n的二次函数，由S3=S11，可知Sn=an2+bn的图象关于n==7对称.由法一可知a=-<0，故当n=7时，Sn最大.

　　|思|维|建|模|

等差数列前n项和的最值问题的三种解法

（1）利用an：当a1>0，d<0时，前n项和有最大值，可由an≥0且an+1≤0，求得n的值；当a1<0，d>0时，前n项和有最小值，可由an≤0且an+1≥0，求得n的值.

（2）利用Sn：由Sn=n2+n（d≠0），利用二次函数配方法求取得最值时n的值.

（3）利用二次函数的图象的对称性.

　　[针对训练]

1.[多选]设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1>0且S6=S9，则 （　　）

A.d>0 　　　B.a8=0

C.S7或S8为Sn的最大值 　　　D.S5>S6

解析：选BC　a1>0且S6=S9，∴6a1+d=9a1+d，化为a1+7d=0，可得a8=0，d<0.S7或S8为Sn的最大值，S5<S6.故选BC.

 

题型（二）　等差数列前n项和的实际应用