5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

　第2课时　等差数列前n项和的应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 进一步理解等差数列前n项和，能构造等差数列求和模型，解决实际问题；能够利用等差数列的前n项和的函数性质求其前n项和的最值. 题型（一）　等差数列前n项和的最值问题 1.等差数列前n项和公式的函数特征 由Sn=na1+d=dn2+n，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且不含常数项，即Sn=An2+Bn（A≠0）；当d=0时，Sn=na1，Sn是关于n的一次函数. 2.等差数列前n项和的最值 （1）若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项（或0），所以将这些项相加即得{Sn}的最小值. （2）若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项（或0），所以将这些项相加即得{Sn}的最大值. 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值. [例1]　在等差数列{an}中，a10=18，前5项的和S5=-15. （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取得最小值. 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得∴an=3n-12. （2）法一　Sn==（3n2-21n）=-，∴当n=3或4时，前n项和取得最小值，最小值为S3=S4=-18. 法二　设Sn最小，则即解得3≤n≤4，又n∈N+，∴当n=3或n=4时，前n项和取得最小值，最小值为S3=S4=-18. 　　[变式拓展] 1.在本例中，根据第（2）题的结果，若Sn=0，求n. 解：法一　因为S3=S4=-18为Sn的最小值，由二次函数的图象可知，其对称轴为x=，所以当x=0和x=7时，图象与x轴的交点为（0，0），（7，0），又n∈N+，所以S7=0，所以n=7. 法二　因为S3=S4，所以a4=S4-S3=0，故S7=×7×（a1+a7）=7a4=0，所以n=7. 2.将本例变为：等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3=S11，则当n为多少时，Sn最大? 解：法一　要求数列前多少项的和最大，从函数的观点来看，即求二次函数Sn=an2+bn的最大值，故可用求二次函数最值的方法来求当n为多少时，Sn最大.由S3=S11，可得3a1+d=11a1+d，即d=-a1. 从而Sn=n2+n=-（n-7）2+a1，又a1>0，所以-<0.故当n=7时，Sn最大. 法二　由于Sn=an2+bn是关于n的二次函数，由S3=S11，可知Sn=an2+bn的图象关于n==7对称.由法一可知a=-<0，故当n=7时，Sn最大. 　　|思|维|建|模| 等差数列前n项和的最值问题的三种解法 （1）利用an：当a1>0，d<0时，前n项和有最大值，可由an≥0且an+1≤0，求得n的值；当a1<0，d>0时，前n项和有最小值，可由an≤0且an+1≥0，求得n的值. （2）利用Sn：由Sn=n2+n（d≠0），利用二次函数配方法求取得最值时n的值. （3）利用二次函数的图象的对称性. 　　[针对训练] 1.[多选]设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1>0且S6=S9，则 （　　） A.d>0 　　　B.a8=0 C.S7或S8为Sn的最大值 　　　D.S5>S6 解析：选BC　a1>0且S6=S9，∴6a1+d=9a1+d，化为a1+7d=0，可得a8=0，d<0.S7或S8为Sn的最大值，S5<S6.故选BC. 题型（二）　等差数列前n项和的实际应用 [例2]　2024年两会报告中提出“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”，所谓新质生产力，是创新起主导作用、以科技创新作为核心要素的先进生产力质态.今年全国两会，“新质生产力”已经成为C位热词.某创新公司为落实两会精神，准备年初用980万元购买新设备用来创新，第一年使用的各种创新费用120万元，以后每年还要持续增加创新费用40万元，公司每年经过创新后的收益为500万元. （1）问创新公司第几年开始获利? （2）经过多少年创新公司获得的年平均利润最大?最大年平均利润是多少? 解：（1）依题意，每年的创新费用构成以120万元为首项，40万元为公差的等差数列， 前n年的利润f（n）=500n--980=-20n2+400n-980.由f（n）>0，得n2-20n+49<0，解得10-<n<10+，则n∈N+，则2<n<18，所以创新公司第3年开始获利. （2）由（1）知，经过n年创新公司获得的年平均利润为 =400-20≤400-20×2=120，当且仅当n=，即n=7时取等号， 所以经过7年创新公司获得的年平均利润最大，最大年平均利润是120万元. |思|维|建|模|　应用等差数列解决实际问题的一般思路 　　[针对训练] 2.老张为锻炼身体，增强体质，计划从下个月1号开始慢跑，第一天跑步3公里，以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若老张打算用20天跑完98公里，则预计这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为 （　　） A.8 B.9 C.13 D.14 解析：选B　由已知可得这20天日跑步量成等差数列，记为{an}， 设其公差为d，前n项和为Sn，且a1=3， 则S20=20a1+d， 即20×3+d=98，解得d=， 所以an=a1+（n-1）d=3+（n-1）·=+. 由an>5，得+>5，解得n>11， 所以这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为20-11=9，故选B. 题型（三）　求数列{|an|}的前n项和 [例3]　已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n，求数列{|an|}的前n项和Tn. 解：a1=S1=-×12+×1=101. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=-3n+104. ∵n=1也适合上式， ∴数列{an}的通项公式为an=-3n+104. 由an=-3n+104≥0得n≤34， 即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0. 法一　①当n≤34时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n. ②当n≥35时，Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=（a1+a2+…+a34）-（a35+a36+…+an）=2（a1+a2+…+a34）-（a1+a2+…+an）=2S34-Sn=2-=n2-n+3 502. 故Tn= 法二　①当n≤34时，同法一. ②当n≥35时， Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=（a1+a2+…+a34）-（a35+a36+…+an）=-=n2-n+3 502.故Tn= 　　|思|维|建|模| 由等差数列{an}求数列{|an|}的前n项和的技巧 　　常先由Sn的最值判断出哪些项为正，哪些项为负或先求出an，由an≥0得n的取值范围判断出哪些项为正，哪些项为负. （1）等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{|an|}就等于数列{an}，可以直接求解. （2）若前k项为负，从k+1项开始以后的项非负，则{|an|}的前n项和Tn= （3）若前k项为正，以后各项非正，则Tn= （4）也可以分别求出an≥0与an<0的和再相减求出|an|的和. 　　[针对训练] 3.已知数列{an}的前n项和Sn=14n-n2+1，若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|，则T30= （　　） A.578 B.579 C.580 D.581 解析：选B　当n=1时，a1=S1=14，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=15-2n（n≥2），经检验n=1时，不成立，故得到an=令an<0，则15-2n<0，解得n>，且n≥2，n∈N+.当n≤7时，Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+an=+1=（14-n）n+1；当n≥8时，Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= a1+…+a7-（a8+a9+…+an）=S7-（Sn-S7）=2S7-Sn=100-（14n-n2+1）=n2-14n+99.故Tn=T30=579.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $