5.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

5.2.2　等差数列的前n项和

　 　第1课时　等差数列的前n项和公式

[教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学]

[课时目标]

1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前n项和公式.

3.理解并应用等差数列前n项和的性质.

 

1.等差数列的前n项和公式

|微|点|助|解|

（1）公式Sn=反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和.

（2）由公式Sn=na1+d知d=0时，Sn=na1；d≠0时，等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”.

（3）公式里的n表示的是所求等差数列的项数.

2.等差数列前n项和的常见性质

（1）若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.

（2）若Sn，S2n，S3n，…分别为等差数列{an}的前n项，前2n项，前3n项，…和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…也成等差数列，公差为n2d.

（3）设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则=.

（4）若等差数列的项数为2n，则S2n=n（an+an+1），S偶-S奇=nd，=（S奇≠0）.

（5）若等差数列的项数为2n+1，则=（2n+1）an+1（an+1是数列的中间项），S偶-S奇=-an+1，=（S奇≠0）.

（6）在等差数列中，若Sn=m，Sm=n，则=-（m+n）.

|微|点|助|解|

　　上述性质可用于小题，大题中要先证再用.性质（2）不要误解为Sn，S2n，S3n，…成等差数列.

基础落实训练

1.已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=-2，则前10项和S10= （　　）

A.-20 B.-40

C.-60 D.-80

解析：选D　由公式Sn=na1+d得S10=10×1+×（-2）=-80.

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18-a5，则S8等于 （　　）

A.72 B.54

C.36 D.18

解析：选A　由a4=18-a5，可得a4+a5=18，所以S8==4（a4+a5）=4×18=72，故选A.

3.已知等差数列{an}，若a2=10，a5=1，则{an}的前7项的和是 （　　）

A.112 B.51

C.28 D.18

解析：选C　由题意知，解得则S7=7a1+d=28，故选C.

 

题型（一）　等差数列前n项和的基本运算

[例1]　（1）已知{an}为等差数列，公差d=2，前n项和为Sn，an=11，Sn=35，求a1，n；

（2）在等差数列{an}中，已知a2+a5=19，S5=40，求a10.

解：（1）由题设可得

解得或

（2）由题设可得

即解得

故a10=2+3×（10-1）=29.

 

　　[变式拓展]

　本例（1）中，将“d=2”改为“a1=3”，其他条件不变，求n和公差d.

解：法一　由

得解得

法二　∵a1=3，an=11，Sn=35，∴35==7n，即n=5.

又11=3+（5-1）d，∴d=2.

　　|思|维|建|模|

（1）利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.

（2）结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m+n=p+q（m，n，p，q∈N+），则am+an=ap+aq，特别地，m+n=2r，则2ar=am+an，常与求和公式Sn=结合使用.

　　[针对训练]

1.（2024·全国甲卷）等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=1，a3+a7= （　　）

A.-2 B.

C.1 D.