5.2.2 等差数列的前n项和(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第三册同步学习指导(人教B版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ５． ２． ２　 等差数列的前ｎ项和 !"#$%&'( 课程目标 １．借助教材实例了解等差数列前ｎ项和公式的推导过程．（逻辑推理） ２．借助教材掌握ａ１，ａｎ，ｄ，ｎ，Ｓｎ的关系．（数学运算） ３．掌握等差数列的前ｎ项和公式、性质及其应用．（数学运算） 学法指导 １．等差数列是“中心对称”的，因此在求和的时候可以从中心对称的角度来思考，这就是倒序相加 法的本质，采取图示的方法有助于理解公式的推导．也正是因为中心对称的缘故，等差数列的前 ｎ项和可以有多种表达形式． ２．等差数列的通项是“一次函数”，其前ｎ项和是“二次函数”，要能够从二次函数的角度看待等差 数列前ｎ项和的性质与本质特征，同时也可以构建等差数列通项公式与前ｎ项和的联系． )*+,%-.+ 等差数列的前ｎ项和公式的推 导（倒序相加法） 　 　 设Ｓｎ是等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，ｄ为｛ａｎ｝ 的公差， Ｓｎ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋…＋ ａｎ． 倒序得Ｓｎ ＝ 　 ａｎ ＋ ａｎ － １ ＋…＋ ａ２ ＋ ａ１， 两式相加得２Ｓｎ ＝（ａ１ ＋ ａｎ）＋（ａ２ ＋ ａｎ － １）＋ …＋（ａｎ ＋ ａ１）． 由等差数列的性质得ａ１ ＋ ａｎ ＝ ａ２ ＋ ａｎ － １ ＝ ａ３ ＋ ａｎ － ２ ＝…＝ ａｎ ＋ ａ１， 所以有Ｓｎ ＝ 　 　 　 　 ①． 又ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ，代入①式，得Ｓｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ②． 知识解读：（１）等差数列的前ｎ项和公式中， 涉及ａ１，ａｎ，Ｓｎ，ｎ，ｄ五个量，通常已知其中三个量， 结合通项公式，可求另外两个量，即“知三求二” 的方程思想． （２）Ｓｎ ＝ ｎ（ａ１ ＋ ａｎ）２ 反映了等差数列的前ｎ项 和与它的首项、末项之间的关系；Ｓｎ ＝ ｎａ１ ＋ ｎ（ｎ －１） ２ ｄ反映了等差数列的前ｎ项和与它的首 项、公差之间的关系． （３）当已知首项、末项和项数时，用公式①较为 简便；当已知首项、公差和项数时，用公式②较为简 便．在运用公式①时，注意结合等差数列的性质． 知识拓展：等差数列前ｎ项和的性质 性质１：等差数列的依次ｋ项之和仍然是等差 数列，即Ｓｋ，Ｓ２ｋ － Ｓｋ，Ｓ３ｋ － Ｓ２ｋ，Ｓ４ｋ － Ｓ３ｋ，…成等差数 列，且公差为ｋ２ｄ． 性质２：Ｓｎ{ }ｎ 是等差数列． 性质３：在等差数列｛ａｎ｝中，若ａｎ ＝ ｍ，ａｍ ＝ ｎ， 则ａｍ ＋ ｎ ＝０；若Ｓｎ ＝ ｍ，Ｓｍ ＝ ｎ（ｍ≠ｎ），则Ｓｍ ＋ ｎ ＝ －（ｍ ＋ ｎ）． 性质４：若｛ａｎ｝和｛ｂｎ｝均为等差数列，前ｎ项 和分别是Ｓｎ和Ｔｎ，已知ＳｎＴｎ，则有 ａｎ ｂｎ ＝ Ｓ２ｎ － １ Ｔ２ｎ － １ ． 性质５：（１）项数为２ｎ的等差数列｛ａｎ｝，有 Ｓ２ｎ ＝ ｎ（ａｎ ＋ ａｎ ＋ １），Ｓ偶－ Ｓ奇＝ ｎｄ，Ｓ奇Ｓ偶＝ ａｎ ａｎ ＋ １ ． （２）项数为２ｎ － １的等差数列｛ａｎ｝，有Ｓ２ｎ － １ ＝（２ｎ － １）ａｎ（ａｎ 为中间项），Ｓ奇－ Ｓ偶＝ ａｎ，Ｓ奇Ｓ偶 ＝ ｎｎ －１． 性质１表示等差数列的前ｋ项、第（ｋ ＋ １）项 至第２ｋ项、第（２ｋ ＋ １）项至第３ｋ项仍成等差数 列，而不是Ｓｋ，Ｓ２ｋ，Ｓ３ｋ成等差数列                                       ． !"' ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 等差数列的前ｎ项和公式与函 数的关系 　 　 由于Ｓｎ ＝ ｎａ１ ＋ ｎ（ｎ －１）２ ｄ ＝ ｄ ２ ｎ ２ ＋ ａ１ － ｄ( )２ ｎ， 当ｄ≠０时，此公式可看作二次项系数为ｄ２， 一次项系数为ａ１ － ｄ( )２ ，常数项为０的　 二次函 数　 　 　 　 ，其图像为抛物线ｙ ＝ ｄ２ ｘ ２ ＋ ａ１ － ｄ( )２ ｘ上的点集，坐标为（ｎ，Ｓｎ）（ｎ∈Ｎ ＋）． 因此，由二次函数的性质可以得出结论：当ｄ ＞０时，Ｓｎ有最　 　 　 　 　 值；当ｄ ＜ ０时，Ｓｎ有最 　 　 　 　 值． 知识解读：从函数的角度认识等差数列的前 ｎ项和，可以有以下发现． （１）Ｓｎ ＝ ｎａ１ ＋ ｎ（ｎ －１）２ ｄ可变形为Ｓｎ ＝ １ ２ ｄｎ ２ ＋ ａ１ － ｄ( )２ ｎ，令１２ ｄ ＝ Ａ，ａ１ － ｄ２ ＝ Ｂ，则Ｓｎ ＝ Ａｎ２ ＋ Ｂｎ（Ａ，Ｂ为常数），并且有如下结论：数列｛ａｎ｝是 等差数列Ｓｎ ＝ Ａｎ２ ＋ Ｂｎ（Ａ，Ｂ为常数）． （２）Ｓｎｎ ＝ ａ１ ＋ ｄ ２ （ｎ － １），这说明 Ｓｎ{ }ｎ 是等差 数列                       ． /012%345 题型探究 题型一 有关等差数列前ｎ项和公式的计算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）ａ１ ＝ １２，Ｓ４ ＝ ２０，求Ｓ６； （２）ａ１ ＝ ３２，ｄ ＝ － １ ２，Ｓｎ ＝ －１５，求ｎ及ａ１２； （３）ａ１ ＝ １，ａｎ ＝ －５１２，Ｓｎ ＝ －１ ０２２，求ｄ． ［分析］　 在等差数列的前ｎ项和公式中有五 个基本量ａ１，ａｎ，ｄ，ｎ，Ｓｎ，只要已知任意三个量，就 可以求出其他两个量． 　 　 ［尝试作答            ］ 　 　 ［规律方法］　 等差数列前ｎ项和公式的运算 方法与技巧 类型 “知三求二型” 基本量 ａ１，ｄ，ｎ，ａｎ，Ｓｎ 方法 运用等差数列的通项公式和前ｎ项和 公式建立方程（组），通过解方程（组） 求出未知量 思想 方程的思想 注意 ①利用等差数列的性质简化计算； ②注意已知与未知条件的联系； ③有时运用整体代换的思想． 　 　 对点训练? 已知等差数列｛ａｎ｝中， （１）等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，且ａ３ ＋ ａ８ ＝ １３，Ｓ７ ＝ ３５，则ａ８ ＝ （Ｂ ） Ａ． ８ Ｂ． ９ Ｃ． １０ Ｄ． １１ （２）记等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若 Ｓ２ ＝ ４，Ｓ４ ＝ ２０，则该数列的公差ｄ为 （Ｃ ） Ａ． ７ Ｂ． ６ Ｃ． ３ Ｄ． ２ （３）（２０２３·甲卷（文））记Ｓｎ 为等差数列 ａ{ }ｎ 的前ｎ项和．若ａ２ ＋ ａ６ ＝ １０，ａ４ａ８ ＝ ４５，则Ｓ５ ＝ （Ｃ ）                                            Ａ． ２５ Ｂ． ２２ Ｃ． ２０ Ｄ． １５ !"( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 题型二 等差数列前ｎ项和的性质 ２．（１）已知等差数列｛ａｎ｝前ｎ项和为Ｓｎ，Ｓ４ ＝ ４０，Ｓｎ ＝２１０，Ｓｎ － ４ ＝ １３０，则ｎ ＝ （Ｂ ） Ａ． １２　 　 　 　Ｂ． １４　 　 　 　Ｃ． １６　 　 　 　 Ｄ． １８ （２）（２０２３·河南信阳高一联考）两个等差数 列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝，若ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａｎｂ１ ＋ ｂ２ ＋…＋ ｂｎ ＝ ７ｎ ＋２ ｎ ＋３ ，则 ａ７ ｂ７ ＝ （Ｃ ） Ａ． ５１１４ Ｂ． ５１ ８ Ｃ． ９３ １６ Ｄ． ９３ １２ （３）项数为奇数的等差数列，奇数项之和为 ４４，偶数项之和为３３，求这个数列的中间项及 项数． ［分析］　 （１）求ｎ想到Ｓｎ ＝ ｎ（ａ１ ＋ ａｎ）２ ＝ ｎ（ａｍ ＋ ａｎ － ｍ ＋ １） ２  Ｓｎ － Ｓｎ － ４ ＝ ａｎ ＋ ａｎ － １ ＋ ａｎ － ２ ＋ ａｎ － ３，ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋ ａ４ａ１ ＋ ａｎ． （２）求值想到Ｓｎ ＝ ｎ（ａ１ ＋ ａｎ）２ 若ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ则ａｍ ＋ ａｎ ＝ ａｐ ＋ ａｑａｎｂｎ ＝ Ｓ２ｎ － １ Ｓ′２ｎ － １ ． （３）已知等差数列的奇数、偶数项的和，求特 殊项与项数，可从整体上直接考虑奇、偶数项的和 与特殊项及项数的关系． 　 　 ［尝试作答           ］ 　 　 ［规律方法］　 等差数列前ｎ项和的性质主要 有以下两类： （１）在等差数列｛ａｎ｝中，Ｓｎ，Ｓ２ｎ － Ｓｎ，Ｓ３ｎ － Ｓ２ｎ，… 成等差数列． （２）在等差数列｛ａｎ｝中：①若项数为２ｎ ＋ １（ｎ ∈Ｎ ＋），则Ｓ奇Ｓ偶＝ ｎ ＋１ ｎ ，其中Ｓ奇＝（ｎ ＋１）ａｎ ＋ １，Ｓ偶＝ ｎ·ａｎ ＋ １；②若数列项数为２ｎ（ｎ∈Ｎ ＋），则Ｓ偶－ Ｓ奇 ＝ ｎｄ． 对点训练? （１）已知某等差数列｛ａｎ｝共 有１０项，其奇数项之和为１５，偶数项之和为３０， 则其公差为 （Ｃ ） Ａ． ５ Ｂ． ４ Ｃ． ３ Ｄ． ２ （２）等差数列｛ａｎ｝的前ｍ项和为３０，前２ｍ 项和为１００，则它的前３ｍ项和为 （Ｃ ） Ａ． １３０ Ｂ． １７０ Ｃ． ２１０ Ｄ． ２６０ 题型三 等差数列前ｎ项和的最值 ３．在等差数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ ２５，Ｓ１７ ＝ Ｓ９，求Ｓｎ 的最大值． ［分析］　 本题可用二次函数求最值或由通 项公式求ｎ，使ａｎ≥０，ａｎ ＋ １ ＜ ０或利用等差数列的 性质求出大于或等于零的项． 　 　 ［尝试作答           ］ 　 　 ［规律方法］　 解等差数列的前ｎ项和最大 （最小）值问题的常用方法有： （１）二次函数法：由于Ｓｎ ＝ ｄ２ ｎ ２ ＋ ａ１ － ｄ( )２ ｎ 是关于ｎ的二次式，因此可用二次函数的最值来 确定Ｓｎ的最值，但要注意这里的ｎ∈Ｎ ＋ ． （２）图像法：可利用二次函数图像的对称性 来确定ｎ的值，使Ｓｎ达到最大（或最小）                                                                        ． !") ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # （３）通项法：由于Ｓｎ ＝ Ｓｎ － １ ＋ ａｎ，所以当ａｎ≥０ 时，Ｓｎ≥Ｓｎ － １；当ａｎ≤０时，Ｓｎ≤Ｓｎ － １，因此当ａ１ ＞ ０， 且ｄ ＜０时，使ａｎ≥０的最大的ｎ的值，使Ｓｎ最大； 当ａ１ ＜ ０，ｄ ＞０时，满足ａｎ≤０的最大的ｎ的值，使 Ｓｎ最小． 对点训练? （１）设数列｛ａｎ｝为等差数 列，其前ｎ项和为Ｓｎ，已知ａ１ ＋ ａ４ ＋ ａ７ ＝ ９９，ａ２ ＋ ａ５ ＋ ａ８ ＝ ９３，若对任意ｎ∈Ｎ，都有Ｓｎ≤Ｓｋ成立，则 ｋ的值为　 　 　 　 ． （２）已知等差数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ １３，Ｓ３ ＝ Ｓ１１ ．那 么当ｎ ＝ 　 　 　 　 ，Ｓｎ取最大值． 易错警示 　 　 由和求项注意验证首项 ４．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ｎ２ ＋ ３ｎ ＋ ２， 判断｛ａｎ｝是否为等差数列． ［错解］　 ∵ ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝（ｎ２ ＋ ３ｎ ＋ ２）－ ［（ｎ －１）２ ＋ ３（ｎ －１）＋２］＝２ｎ ＋２． ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝［２（ｎ ＋ １）＋ ２］－（２ｎ ＋ ２）＝ ２（常 数）， ∴数列｛ａｎ｝是等差数列． ［误区警示］　 ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １是在ｎ≥２的条件 下得到的，ａ１是否满足需另外计算验证． 　 　 ［正解                                     ］ 6789%:;< １．在等差数列｛ａｎ｝中，已知ａ４ ＋ ａ８ ＝ １６，则该数列 前１１项的和Ｓ１１ ＝ （Ｂ ） Ａ． ５８　 　 　 Ｂ． ８８　 　 　 Ｃ． １４３　 　 　 Ｄ． １７６ ２．已知｛ａｎ｝为等差数列，其前ｎ项和为Ｓｎ，若ａ３ ＝ ６，Ｓ３ ＝ １２，则公差ｄ等于 （Ｃ ） Ａ． １ Ｂ． ５３ Ｃ． ２ Ｄ． ３ ３．设等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若Ｓｍ － １ ＝ － ２，Ｓｍ ＝０，Ｓｍ ＋ １ ＝ ３，则ｍ ＝ （Ｃ ） Ａ． ３ Ｂ． ４ Ｃ． ５ Ｄ． ６ ４．（２０２３·新高考Ⅰ）记Ｓｎ 为数列ａ{ }ｎ 的前ｎ项 和，设甲：ａ{ }ｎ 为等差数列；乙： Ｓｎ{ }ｎ 为等差数 列，则 （Ｃ ） Ａ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 Ｂ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 Ｃ．甲是乙的充要条件 Ｄ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 ５．在等差数列｛ａｎ｝中，Ｓｎ为该数列的前ｎ项和． （１）已知ａ５ ＝ １１，ａ８ ＝ ５，求ａｎ； （２）已知ａ２ ＋ ａ４ ＝ ４，ａ３ ＋ ａ５ ＝ １０，求Ｓ１０ ． 请同学们认真完成练案［５                               ］ !"* =300. (2) S.=n.+n(n-1)(---15,整理得n}-7n 对点训练3:(1)A (a+a+a)+(a+a+a。)= 2(a+a+a). -60=0. 即58+(a.+a.+a)=88. 所以a.+a.+a.=30. (2) 24 方法-:a+3 +a.=l20.5a=12 0. f(-)-4. '.=242- =(a+ )-==24 n(a+a)n(-512+1)-1022.解得n 方法二:'a+3a+a5=120..+3(a +7d)+(a+ (3)由s.- 14d)=120. 2 =4. '.a.+7d=24. 2a-=a.+7d=24 又由a.=a+(n-1)d.即-512=1+(4-1)d.解得$ 例4:设四个数分别为a-3d.a-d.a+d.a+3d. =-171. ② l(a-d)(a+d)=40 对点训练1:(1)B 设等差数列a.的公差为d. ra,+a=a.+2d+a+7d-2a+9d=13. 则 或11.8.5.2. 对点训练4:设这三个数为a+d.a.a-d(d>0) '.= +7d=2+7-9.故选B 是6.4.2. (2)C S=a.+a=2a+d=4 ① 例5:B S -4a.+6d-20 ② 课堂检测·固双基 由①②解得a-d=3.故选C. 1.C 因为la.是等差数列,a.与a。的等差中项为l,a。与a; (3)C 等差数列ta.]中,a.+a.=2a.=10. 的等差中项为2,所以a.+a=2.a+a:=4.两式相减得a- a =2d-4-2,解得d=1. 所以a.=5. 101(a+a)= a.=5a.=45. 2.0 a+a+a.+aso...+a+a+a= 故=9. “) 0...a.+ao=0. 3.4 a+a.=2a.,a+a。+a:=3á: 则$.-5a54-10 10-20. .3(+a)+2(a+n+a)=6a +6a =6(+ ) 2 =24. 故选C .a+a=4. 4.90 因为数列a.,b.都是等差数列,所以a.+b。也构成 例2:(1)B S-$=a.+a:+a+a=80 S=a.+a+a+.=40 了等差数列,所以(a+b)-(a+b)=(a;+b)-(a+ 两式相加得4(a.+a.)=120...a+a.=30 b).所以a+b-90 a(a a)-210..n=14. 5.设等差数列的前三项分别为a-d.a,a+d,由题意, 由s= (2)0 l(a-)(a+d)=231. 即3=21. (3)设等差数列a.共有(2n+1)项,则奇数项有(n+1) 项,偶数项有n项,中间项是第(n+1)项,即a.... ·等差数列a.是递增数列.:a=4. .等差数列的首项为3.公差为4 (n+1)a.._n4144 *{ #() 'a=3+4(n-1)=4n-1. n. 5.2.2 等差数列的前n项和 过.得n3. 必备知识·探新知 :2n+1=7. n(a+a) 知识点1a.+a.+...+a。+a n 又s=(n+1)·a.=44. ...=11. .n(n-1)d 2 故这个数列的中间项为11,共有7项 知识点2 二次函数 小 大 对点训练2:(1)C共有10项..S-S.=5d..5d= 关键能力·攻重难 .15..d=3. 例1:(1)5. =4a 4x(4-1)=4a +6d-2+6d-20, (2)C 由S.$-S.,$-$成等差数列,且$=30.$ 2。 =20.得2(S-$)=S+S-S .d=3. 即2(100-30)=30+S-100. 解得S-210 2 例3:方法一:由S=S。,得 -129- 5 x17+7(17-1)d=25×9+号(9-1)d. 解得{=2. 过1=2# 解得d=-2. 3.C=$ -$=2=$ -$=3公差d=a- $$.=25n+号(n-1)(-2)=-(n-13)*+169, 2 由二次函数的性质得当n=13时,S.有最大值169 '.=-24(m-1)·1=2.解得m=5 方法二:先求出d=-2(同方法一). 4.C 若fa.)是等差数列,设数列ta.)的首项为a.,公差为d a=25>0. 则s.-nan(n-1)d. {=13 ---号na- 2 ,得 la..=25-2n<0. # 2 故{为等差数列, 2.当n=13时,3.有最大值169 方法三:先求出d=-2(同方法一). 即甲是乙的充分条件。 由S=S,得a。+a...+a=0. 又a。+a,=a:+a=a+as=a+a. 故a。+a=0. 则-st(n-1)D.即s,-nS.+a(n-1)D. :d=-2<a0.>0<0. 故n=13时,S.有最大值169 当n→2时,有S.=(n-1)S.+(n-1)(n-2)D. 方法四:先求出d=-2(同方法一).则S.的图像如图 上两式相减得;a.=S.-$..=S.+2(n-1)D. 所示, 当n=1时,上式成立,所以a.=a.+2(n-1)D 则aì-a.=a.+2nD-[a.+2(n-1)D]=2D(常数) 所以数列[a.]为等差数列 即甲是乙的必要条件. 综上所述,甲是乙的充要条件 故本题选C. 5.(1)设公差为d.由题意得[g+4d=11. 9+17-13. la.+7d=5. 由S。=S.知,图像的对称轴n= 2 解得[:=19. 1--2. 故当n=13时,3.取得最大值169. 对点训练3:(1)20方法一:对任意n=N*.都有S.<S .=a.+(n-1)d=19-2(n-1)-21-2 成立,即S.为S.的最大值.因为a.+a.+a,=99,a:+a+a” (2)由题意,得[+d+a+3d=4. 93.所以a.=33.a=31.故公差d=-2..=a.+(n-4) d= la +2+a+4d=10. 41-2n.当5.取得最大值时,对任意aeN满足[=0. la.o 解得 解得 n=20. f□=~4. l-3. 即满足对任意neN”.都有S.<S.成立的k的值为20 方法二:同方法一可得公差d=-2.a.=a+(n-4)d= .$=(-4)x1010x9 2×3=95. 等差数列习题课 +40n=-(n-20)^+400,即当n=20时,S.取得最大值,从而 关键能力·攻重难 满足对任意aeN,都有S.三S.成立的k的取值为20 例1:(1)153 由a=-7.a=a.+2.得a-a.=2.则 (2)7 $-S,所以其对称轴为n-3-11-7.知n-7时 a,a,.,a是首项为-7.公差为2的等差数列. 2 所以$,=17x(-7) 17×(17-1)x2-153. s.取最大值. 2 例4:a.=S.=6. (2)4700 由a.=-7,a.=a.+2,可得a-a.=2,故 n2时,a.=S-S=(n+3n+2)-[(n-1),,.,是首项为-7.,公差为2的等差数列,共 50项. 3(n-1)+2]=2n+2. 50x(50-1)2= (n=1).显然a-a.-6-6-0,a.-a= [6. '.a+a.+a.+..+a=50x(-7)+= .a.= 12n+2.(n2). 2 2100. 2.a.不是等差数列 同理,a,,a,..,a是首项为3.公差为2的等差数列. 课堂检测·固双基 .11(a+a)_11(a+a)11x16-88. 共50项. 50×(50-1)x2= 1.B S= .:++a++=50x3+ 2 2 ra.+2d=6. 2 600.故$=2100+2600=4 700. 2.C 由题意得 ” 3nn-1)(-)-15. 对点调练1:(1):S.=n. -130-