5.2.1 第3课时 等差数列的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

　第3课时　等差数列的综合问题 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标]　进一步理解等差数列，灵活应用等差数列的通项公式和性质解题. 题型（一）　等差数列项的设法与求解 [例1]　已知三个数成等差数列，它们的和为21，它们的平方和为155，求这三个数. 解：法一　设这三个数首项为a1，公差为d， 则 解得或 所以这三个数依次为5，7，9或9，7，5. 法二　设这三个数为a-d，a，a+d， 则 解得或 所以这三个数依次为5，7，9或9，7，5. 　　[变式拓展] 　本例条件变为：已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求这四个数. 解：设这四个数分别为a-3d，a-d，a+d，a+3d，则 又该数列是递增数列， 所以d>0，所以a=±，d=， 所以此等差数列为-1，2，5，8或-8，-5，-2，1. 　　|思|维|建|模| 　　利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化计算，其设元技巧为 （1）某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为a-d，a+d，公差为2d； （2）三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a-d，a，a+d，公差为d； （3）四个数成等差数列且知其和，常设成a-3d，a-d，a+d，a+3d，公差为2d. 　　[针对训练] 1.已知递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式. 解：设等差数列的前三项分别为a-d，a，a+d，由题意，得 即解得 ∵等差数列{an}是递增数列，∴d=4. ∴等差数列的首项为3，公差为4. ∴an=3+4（n-1）=4n-1. 题型（二）　由等差数列构造新数列 [例2]　已知{an}为等差数列，且a1=2，a2=3，若在每相邻两项之间插入三个数，使它们和原数列的数构成一个新的等差数列，求： （1）原数列的第12项是新数列的第几项? （2）新数列的第29项是原数列的第几项? 解：（1）设新数列为{bn}， 则b1=a1=2，b5=a2=3， 根据bn=b1+（n-1）d，有b5=b1+4d， 即3=2+4d，所以d=， 所以bn=2+（n-1）×=. 又因为an=a1+（n-1）×1=n+1=， 所以an=b4n-3， 即原数列的第n项为新数列的第4n-3项. 当n=12时，4n-3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项. （2）由（1）知an=b4n-3，令4n-3=29，得n=8， 即新数列的第29项是原数列的第8项. 　　|思|维|建|模| 　　对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断： （1）定义：an+1-an是否为常数； （2）通项公式是否为关于n的一次函数. 　　[针对训练] 2.在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入2个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，则b97是数列{an}的第 （　　） A.32项 B.33项 C.34项 D.35项 解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，等差数列{bn}的公差为d1，等差数列{an}各项为a1，a1+d，a1+2d，…，等差数列{bn}各项为a1，a1+d1，a1+2d1，a1+3d1，a1+4d1，…，显然有a1+d=a1+3d1⇒d=3d1⇒d1=d，b97=a1+96d1=a1+32d=a33，故选B. 3.有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为 （　　） A.15 B.16 C.17 D.18 解析：选B　易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，所以通项公式为an=12n-10，所以12n-10≤190，解得n≤，又n∈N+，所以n的最大值为16. 题型（三）　等差数列的综合应用 [例3]　首项为a1，公差为d的整数等差数列{an}满足下列两个条件： ①a3+a5+a7=93； ②满足an>100的n的最小值是15.试求公差d和首项a1的值. 解：由a3+a5+a7=93得a5=31， ∴an=a5+（n-5）d>100，n>+5. ∵n的最小值是15，故14≤+5<15， ∴6.9<d≤， ∵d为整数，∴d=7，∴a1=a5-4d=3. 　　|思|维|建|模| 解决等差数列综合问题的方法 （1）结合等差数列的性质或利用等差中项. （2）利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式. （3）利用函数或不等式的有关方法解决. 　　[针对训练] 4.已知{an}为等差数列，若a1+a5+a9=π，则tan（a4+a6）的值为 （　　） A.- B.- C.- D. 解析：选C　因为{an}为等差数列，a1+a5+a9=3a5=π，所以a5=，所以tan（a4+a6）=tan 2a5=tan =-. 5.在正项无穷等差数列{an}中，已知a5a7=12，a2+a10=7. （1）求通项公式an. （2）设bn=an+t，且对一切n∈N+，恒有b2n=2bn，求t的值.对一切k，n∈N+，是否恒有bkn=kbn?请说明理由. 解：（1）∵a2+a10=a5+a7=7，又∵a5a7=12， ∴或 当时，an=-n+，不恒为正，舍去. ∴∴an=n+. （2）bn=an+t=n+t+，b2n=n+t+， ∴n+t+=n+2t+1， ∴t=-，∴bn=n. ∵bkn=kn=kbn，∴恒有bkn=kbn. 学科网（北京）股份有限公司 $