5.2.1 第3课时 等差数列的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

　第3课时　等差数列的综合问题 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学]

[课时目标]　进一步理解等差数列，灵活应用等差数列的通项公式和性质解题.

 

题型（一）　等差数列项的设法与求解

[例1]　已知三个数成等差数列，它们的和为21，它们的平方和为155，求这三个数.

解：法一　设这三个数首项为a1，公差为d，

则

解得或

所以这三个数依次为5，7，9或9，7，5.

法二　设这三个数为a-d，a，a+d，

则

解得或

所以这三个数依次为5，7，9或9，7，5.

　　[变式拓展]

　本例条件变为：已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求这四个数.

解：设这四个数分别为a-3d，a-d，a+d，a+3d，则

又该数列是递增数列，

所以d>0，所以a=±，d=，

所以此等差数列为-1，2，5，8或-8，-5，-2，1.

　　|思|维|建|模|

　　利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化计算，其设元技巧为

（1）某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为a-d，a+d，公差为2d；

（2）三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a-d，a，a+d，公差为d；

（3）四个数成等差数列且知其和，常设成a-3d，a-d，a+d，a+3d，公差为2d.

　　[针对训练]

1.已知递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式.

解：设等差数列的前三项分别为a-d，a，a+d，由题意，得

即解得

∵等差数列{an}是递增数列，∴d=4.

∴等差数列的首项为3，公差为4.

∴an=3+4（n-1）=4n-1.

题型（二）　由等差数列构造新数列

[例2]　已知{an}为等差数列，且a1=2，a2=3，若在每相邻两项之间插入三个数，使它们和原数列的数构成一个新的等差数列，求：

（1）原数列的第12项是新数列的第几项?

（2）新数列的第29项是原数列的第几项?

解：（1）设新数列为{bn}，

则b1=a1=2，b5=a2=3，

根据bn=b1+（n-1）d，有b5=b1+4d，

即3=2+4d，所以d=，

所以bn=2+（n-1）×=.

又因为an=a1+（n-1）×1=n+1=，

所以an=b4n-3，

即原数列的第n项为新数列的第4n-3项.

当n=12时，4n-3=45，故原数列的第12项为新数列的第45项.

（2）由（1）知an=b4n-3，令4n-3=29，得n=8，

即新数列的第29项是原数列的第8项.

　　|思|维|建|模|

　　对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断：

（1）定义：an+1-an是否为常数；