专题04 等差数列的前n项和（高效培优讲义）数学人教B版选择性必修第三册

专题04 等差数列的前n项和 教学目标 1．掌握等差数列前n项和的两个核心公式，能根据已知量选择合适公式进行计算。 2．理解并运用等差数列前n项和的相关性质，解决数列相关推导与计算问题。 3．掌握判断等差数列前n项和最值的方法，能准确求解其最大值与最小值。 教学重难点 重点：掌握等差数列前n项和公式及性质，能熟练进行计算与应用。 难点：灵活运用前n项和性质解题，结合数列特征分析并求解前n项和最值。 知识点01 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 公式 等差数列前n项和的函数特点： 对于等差数列,如果是确定的,前项和. 若取,上式可写成. 当(即)时,是关于的二次函数式(常数项为0).数列的图象是抛物线上的一群孤立的点. 【即学即练】 1．记为等差数列的前项和.若，则 【答案】100 【详解】因为为等差数列的前项和，设等差数列的公差为. 所以，故 又，故， 所以. 故答案为：100. 2．如果等差数列的前n和项满足：，，那么的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由， ， 可得，， 则． 故选：C. 知识点02 等差数列前n项和的性质 （1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列. （2）数列是等差数列(为常数)即不含常数项的二次函数式 （3）等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则 ② 【即学即练】 3．已知等差数列的前项和分别为，且，则 ． 【答案】/ 【详解】由可得， 又， 故， 故答案为： 4．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．16 B．18 C．24 D．26 【答案】B 【详解】因为是等差数列，所以也是等差数列， 即，即，解得. 故选：B. 知识点03 等差数列前n项和的最值 （1）若,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得的最小值. （2）若,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最大值. 【即学即练】 5．已知等差数列的前n项和为，则取得最小值时，n的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【详解】因为为等差数列，， 所以等差数列的前8项为负数，从第9项开始为正数， 所以取得最小值时为8. 故选：A. 6．等差数列的前项和为，，则取最大值时的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，则， 又，则， 则 因此，故取最大值时的n值为7 故选：A. 题型01 求等差数列的前n项和 【例1】已知正项等差数列中，，，若，则（   ） A．10 B．13 C．15 D．17 【答案】C 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，得， 解得或（舍），， 设等差数列的前n项和为，则， 故，，即. 故选：C. 【例2】已知等差数列的公差为，，则的前项和 ． 【答案】 【详解】由于，故， 所以， 故答案为：66 【变式1-1】等差数列前项和为，且，则（    ） A． B． C．52 D．104 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， ，，，即. 等差数列前项和，而， 故. 故选：C 【变式1-2】已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．11 C．15 D．20 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列通项公式，，，代入， 得， 化简得，即，故. 等差数列前项和，由等差数列性质， 得. 故选：C 【变式1-3】记等差数列的前n项和为，若，，则 ． 【答案】36 【详解】设等差数列的公差为，则由题意得，，， 得， 则. 故答案为： 题型02 等差数列前n项和的基本量计算 【例3】已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．3 B．0 C． D．6 【答案】C 【详解】由等差数列性质得：， 所以， ，， ． 故选：C 【例4】已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】B 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由题知，解得， 从而. 故选：B 【变式2-1】记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得,解得， 又，解得, 故选：C 【变式2-2】记为等差数列的前项和，若，则的值为 . 【答案】3 【详解】记为等差数列的前项和， 因为，所以，所以， 则. 故答案为：3. 【变式2-3】等差数列的前项和为，，，，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】已知数列为等差数列，且，， 则，，即， ，， ，满足，故. 故选：B 可由与构造关于的方程组即可求解 题型03 等差数列片段和性质 【例5】已知等差数列的前项和为，，，则 . 【答案】9 【详解】在等差数列中，，，所以，， 故构成公差为2的等差数列， 所以，即. 故答案为：9 【例6】已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为.因为是等差数列的前项和， 所以， ， ， . 所以. 所以. 所以成等差数列. 由，得，所以. 所以，所以是公差为的等差数列. 所以. 所以. 故选：A. 【变式3-1】设是等差数列的前项和，若，，则（   ） A．8 B．10 C．14 D．18 【答案】D 【详解】方法一：因为是等差数列，前项和是， 所以仍成等差数列， 由，知 ，， 所以成等差数列，所以，解得. 方法二：设等差数列的首项为，公差为， 则， 所以，得，解得， 所以， 故选：D. 【变式3-2】已知等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】56 【详解】因为是等差数列，所以成等差数列， 则，即，解得. 故答案为： 【变式3-3】已知等差数列的前项和为，且，，则 ， . 【答案】 【详解】由于，. 故的公差满足 从而，得，所以，得. 这意味着，所以. 从而，代入得. 故答案为：； 等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列. 题型04 等差数列的奇数项和和偶数项和 【例7】在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于（   ） A．51 B．100 C．150 D．200 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C. 【例8】已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【详解】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 项数. 故选：C. 【变式4-1】已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】项数为的中奇数项共有项, 其和为 项数为的中偶数项共有项, 其和为 所以解得 故选: A. 【变式4-2】一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．20 【答案】B 【详解】根据等差数列的性质得：，， 解得：，故该数列的项数为. 故选：B 【变式4-3】若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（   ） A．4 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【详解】由题设，则，显然， 所以，可得，则共有项. 故选：C 等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则 ② 题型05 等差数列的前n项和的比值（含同下标和不同下标） 【例9】两个等差数列和的前项和分别为、，且则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】两个等差数列和的前项和分别为、， ， . 故选：A. 【例10】已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因分别是等差数列的前项和，由， 可设，，则， 于是， ， 则. 故选：A. 【变式5-1】已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为 . 【答案】/ 【详解】等差数列与的前项和分别为，，且， 则. 故答案为：. 【变式5-2】若两个等差数列和的前项和分别是和，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，由已知条件不妨设， 所以. 故选：D. 【变式5-3】等差数列，的前项和分别记为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以 所以. 故选：D 题型06 等差数列前n项和的最值问题 【例11】已知等差数列的公差，前项和为，且，则（   ） A．，或， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】因为等差数列的公差，且， 所以等差数列单调递减， 当时，成立； 当时，，， 若此时等号成立，即，此时； 当时，， 若此时等号成立，即，此时； 综上，，或，. 故选：A 【例12】在数列中，，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和的最大值． 【答案】(1) (2)40 【分析】 【详解】（1）数列满足，，是等差数列， 设的公差为d，则，即，解得， ，． （2）令，得，解得， 所以当或5时，有最大值， 且最大值为． 【变式6-1】设是等差数列的前n项和，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意等差数列的公差， 则，当时等号成立． 故选：B 【变式6-2】已知等差数列的前项和为，若，，则取得最小值时的值为 ． 【答案】8 【详解】由已知数列为等差数列，则，又，所以， 所以，数列为递增数列， 则当时，，当时，， 所以当时，取得最小值. 故答案为：. 【变式6-3】已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为且，若对任意的恒成立，则公差d的取值范围为 ． 【答案】 【详解】数列是公差为d的等差数列，设， 由，得，解得，则， 由对任意的恒成立，得. 所以公差d的取值范围为． 故答案为： 求等差数列的前项和的最值通常有两种思路 （1）将配方。转化为求二次函数的最值问题,借助函数单调性来解决; (2)邻项变号法：当时,满足的项数使取最大值. 当时,满足的项数使取最小值. 题型07 等差数列前n项和的二次函数特征 【例13】（多选）等差数列的前项和为，若，则（   ） A．的公差为2 B． C．的最大值为32 D．使得的的最大值为11 【答案】BD 【详解】设数列的公差为，由题意得，解得， 所以. 对于A，公差，故A错误； 对于B，，则，故B正确； 对于C，，故的最大值为，故C错误； 对于D，由，解得，又因为，所以使得的最大值为11，故D正确. 故选：BD. 【例14】设等差数列的前n项和为，若> 0，，则 时，n的最大值为（    ） A．14 B．13 C．11 D．7 【答案】B 【详解】∵等差数列的前n项和是二次函数，且得， ∴，即, 所以n的最大值为13， 故选：B 【变式7-1】（多选）已知是等差数列的前项和，则下列选项中可能是所对应的图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】设等差数列的公差为，则等差数列的前项和公式为， 当时，是过原点的直线上的点，所以选项B正确， 当时，是关于的二次函数，且该二次函数的图象过原点， 则是过原点的抛物线上的点，所以选项A、D正确． 故选：ABD． 【变式7-2】在等差数列中，，且，是其前项和，则（   ）. A．都小于0，都大于0 B．都小于0，都大于0 C．都小于0，都大于0 D．都小于0，都大于0 【答案】B 【详解】等差数列中，，故， 且，故， 所以, , 结合，可知， 都小于0，都大于0. 故选：B 【变式7-3】（多选）已知等差数列的前n项和为,公差,若存在正整数m,k（）,使得,则（   ） A． B．当时, C．存在最小值 D．当为偶数时, 【答案】AB 【详解】设,由（）,可知二次函数的图象关于直线对称, 所以,即,A正确. 因为,所以当时,,B正确. 取,则,但不存在最小值,C错误. 若为偶数,不妨设,由,可得,即, 则,即,即,所以不成立,D错误. 故选：AB. 题型08 求数列{|an|}的前n项和 【例15】在等差数列中，，，求（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以， 故， 所以 . 故选：C. 【例16】在等差数列中， (1)求的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为. 因为在等差数列中，， 所以，解得. 所以的通项公式为. （2）令，解得，令，解得. 当时，，则. 此时. 当时， 因此，的前项和 【变式8-1】（多选）已知数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A． B．取得最大值时， C． D． 【答案】AC 【详解】因为数列的前项和， 则， ， 当时也成立，所以，故A正确； 由，得，当时，当时，， 所以取得最大值时，或，故B错误； 因为当时，，当时， 所以，故C正确； 因为 ，故D错误. 故选：AC. 【变式8-2】在数列 中，已知 ，则 . 【答案】 【详解】由，得， 所以数列是公差为4的等差数列，且， 所以，， 当时，，时，， 所以 . 故答案为： 【变式8-3】已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式． (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 因为，所以． 又因为，则， 所以数列的通项公式． （2）由（1）知，． 当时，， ； 当时，， ． 综上，. 若为等差数列,求数列的前项和的方法: （1）首先由通项公式求出数列正项和负项的临界项数; （2）①若,则数列的前项和 ②若,则数列的前项和 题型09 等差数列前n项和的实际应用 【例17】已知某砖塔有15层．该塔底层（第一层）的底面面积为，所有层的底面面积之和为，且该塔自下而上每层底面面积依次构成递减的等差数列，则该塔自下而上数第6层的底面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，且，由题意得，， 而，可得，则解得， 故. 故选：B 【例18】甲、乙两物体分别从相距的两处同时出发相向运动，甲第一分钟运动，以后每分钟比前一分钟多运动，乙每分钟运动.甲、乙开始运动后 分钟相遇？ 【答案】6 【详解】设n分钟后相遇，依题意得， 整理得，解得或 (舍去)， 所以甲、乙开始运动后分钟相遇． 故答案为：6. 【变式9-1】据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯 盏． 【答案】26 【详解】依题意，9层塔从上层到下层挂灯盏数依次排成一列可得等差数列， 所以，解得， 所以，即塔的底层共有灯26盏． 故答案为：26. 【变式9-2】现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是（   ） A．2千克 B．3千克 C．5千克 D．7千克 【答案】C 【详解】依题意设十个盒子的质量构成的等差数列为，首项为，公差为（）， 则这十个盒子的质量分别为：， 则前三位盒子总质量为：， 后三位盒子总质量为：， 依题意可得：，化简得：， ，即， 由，且， 所以，有，解得， 又因为是关于的减函数， 当取最大值时，取得最小值，. 故选：C. 【变式9-3】某村超体育场观众席位初始设有座位3006个，共计9排. 自第二排起，每一排的座位数均比前一排多3个. 后来因村超赛事热度急剧攀升，需对观众席进行改造. 改造内容包括每一排增加相同数量的座位，以及从最后一排向外扩充座位的排数. 由于场地限制，具体改造方案为:①原有座位每一排均增加个座位；②在原有9排基础上， 从最后一排向外扩充3排 (即改造后共12排)， 且扩充的每一排座位数仍保持比前一排多3个的规律. (1)该体育场观众席第一排原有多少个座位？ (2)若要求改造后的总座位数不少于4200个，求的最小值. 【答案】(1)322 (2)12 【分析】 【详解】（1）设第一排原有个座位，由题意可知，解得. 故该体育场观众席第一排原有322个座位. （2）由（1）知，第一排原有322个座位，则改造后第一排的座位数为个. 因为改造后为12排，且扩充的每一排座位数仍保持比前一排多3个的规律， 所以改造后第12排的座位数为个. 所以改造后的总座位数为. 由题意知，解得. 因为为整数，所以的最小值为12. 一、单选题 1．已知等差数列的前项和为，则（    ） A．2 B．14 C．20 D．28 【答案】B 【详解】因为等差数列的前项和为，设公差为， 则，即, 所以, 故选：B 2．等差数列的前n项和为，已知，，当时，则n=（    ） A．13 B．12 C．24 D．25 【答案】D 【详解】，．， 则，． 故选：D. 【点睛】等差数列常用结论： 若等差数列的项数为偶数，则； 若等差数列的项数为奇数，则. 3．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．13 B．15 C．17 D．19 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， 故. 故选：C. 4．设等差数列的前项和分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以． 故选：A 5．等差数列的前项和为，若，则使得的最小的为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【详解】在等差数列中，∵， 所以使得的最小的为15. 故选：C. 6．已知为等差数列的前项和，为其公差，且，给出以下命题：①；②；③满足成立的最小的值为18；④使得取得最大值时的为9.其中正确命题的序号为（   ） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】由题意可得，所以，，故①②对； 由，可知， 所以满足成立的最小的值为18，③对； 由可知，等差数列的前项为正，从第10项开始为负，所以使得取得最大值时的为9.故④对.综上，正确命题的序号为①②③④. 故选：D 7．已知等差数列满足，在和之间插入k个1，得到新数列，则的前90项和为（   ） A．168 B．188 C．212 D．222 【答案】D 【详解】设新数列的前90项包含原数列的前项， 因为和之间插入k个1，所以在前插入的1的总数为， 则新数列到为止的前的总项数为， 当时，可得； 当时，可得， 所以新数列的前90项包含原数列的前项和78个1， 因为等差数列满足， 所以新数列的前90项和为. 故选：D. 二、多选题 8．已知等差数列的前项和为，若，则下列一定为负数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由可得，故A正确； 又，因，，则，不能判断该项的正负，故B不合题意； 因，故C正确； 对于D，，因，故，即D正确. 故选：ACD. 9．设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．当时，的最大值为12 D．数列前项和为，最大 【答案】ABD 【详解】因为等差数列中，， 所以， 又，所以，故A正确； 因为当时，，当时，， 所以的最大值为，故B正确； 因为， 所以，故C错误； 因为，所以， 令，所以数列为递减数列， ，. 由得 ， 所以数列的前项和最大时，， 即数列前项和为，最大，故D正确. 故选：ABD. 10．记为数列的前n项和，已知，是公差为d的等差数列，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．是等差数列 D．“”是“”的充要条件 【答案】ACD 【详解】根据题意，是公差为d的等差数列， 则，则， 当时， ， 当时，满足上式，所以， 则， 所以是等差数列，C正确； 若，则，所以，A正确； 若，，B错误； 因为 ， 所以“”是“”的充要条件，D正确. 故选：ACD 三、填空题 11．春节贴春联是中华传统习俗，某手工春联作坊从腊月廿一开始每日量产春联，每日比前一日多产出5副，腊月廿一至腊月廿九不间断生产，累计产出春联360副，则腊月廿七产出的春联为 副． 【答案】50 【详解】由题意得每日生产的春联符合等差数列， 且公差，，即，解得， 则腊月廿七产出的春联为， 故答案为：50. 12．已知数列满足，则 . 【答案】82 【详解】已知数列 满足 ，（）， 由递推式可得： ， ， ， . 将以上各式相加，左边消去相同项后得： ， 又 ，所以当时，， 又当时，依然成立， 所以， 令 ，得： . 故答案为：82 13．已知等差数列的首项为为其前项和，若也是等差数列，则 . 【答案】/ 【详解】设等差数列的公差为，等差数列的公差为，而， 则，，而， 由，得；由，得， 联立解得，此时，都是等差数列，符合题意， 所以. 故答案为： 四、解答题 14．记为等差数列的前项和，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意得，， 联立，解得， 则，故， 且，故. （2）由（1）得， 当且时，，当且时，， 当且时，， 当且时，， 即， 综上，. 15．记是公差不为的等差数列的前项和，若. (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的可能取值有哪些？ 【答案】(1) (2)或 【分析】 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由=，解得：， 又因为，所以，， 数列的通项公式为：. （2）由等差数列的前n项和公式可得：， 则不等式，即：，整理可得：， 解得：，又为正整数，故或. 16．已知数列的前项和，且. (1)证明：为等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为数列的前项和，且， 所以，且，所以. 当时， 所以， 所以. 因为，所以，即. 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列； （2）由（1）知，所以. 所以. 当时，； 当时，. 所以. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 等差数列的前n项和 教学目标 1．掌握等差数列前n项和的两个核心公式，能根据已知量选择合适公式进行计算。 2．理解并运用等差数列前n项和的相关性质，解决数列相关推导与计算问题。 3．掌握判断等差数列前n项和最值的方法，能准确求解其最大值与最小值。 教学重难点 重点：掌握等差数列前n项和公式及性质，能熟练进行计算与应用。 难点：灵活运用前n项和性质解题，结合数列特征分析并求解前n项和最值。 知识点01 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 公式 _______ _______ 等差数列前n项和的函数特点： 对于等差数列,如果是确定的,前项和. 若取,上式可写成. 当(即)时,是关于的_______函数式(常数项为0).数列的图象是抛物线上的一群_______的点. 【即学即练】 1．记为等差数列的前项和.若，则 2．如果等差数列的前n和项满足：，，那么的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 知识点02 等差数列前n项和的性质 （1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成_______数列. （2）数列是等差数列(为常数)即不含_______的二次函数式 （3）等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则_______ ② 【即学即练】 3．已知等差数列的前项和分别为，且，则 ． 4．已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．16 B．18 C．24 D．26 知识点03 等差数列前n项和的最值 （1）若______________,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得的最_______值. （2）若______________,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最_______值. 【即学即练】 5．已知等差数列的前n项和为，则取得最小值时，n的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 6．等差数列的前项和为，，则取最大值时的为（    ） A． B． C． D． 题型01 求等差数列的前n项和 【例1】已知正项等差数列中，，，若，则（   ） A．10 B．13 C．15 D．17 【例2】已知等差数列的公差为，，则的前项和 ． 【变式1-1】等差数列前项和为，且，则（    ） A． B． C．52 D．104 【变式1-2】已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．11 C．15 D．20 【变式1-3】记等差数列的前n项和为，若，，则 ． 题型02 等差数列前n项和的基本量计算 【例3】已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．3 B．0 C． D．6 【例4】已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 【变式2-1】记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】记为等差数列的前项和，若，则的值为 . 【变式2-3】等差数列的前项和为，，，，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 可由与构造关于的方程组即可求解 题型03 等差数列片段和性质 【例5】已知等差数列的前项和为，，，则 . 【例6】已知等差数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】设是等差数列的前项和，若，，则（   ） A．8 B．10 C．14 D．18 【变式3-2】已知等差数列的前项和为，若，则 . 【变式3-3】已知等差数列的前项和为，且，，则 ， . 等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列. 题型04 等差数列的奇数项和和偶数项和 【例7】在等差数列中，已知，公差，那么这个数列前100项的和等于（   ） A．51 B．100 C．150 D．200 【例8】已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【变式4-1】已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【变式4-2】一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．20 【变式4-3】若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（   ） A．4 B．5 C．9 D．11 等差数列奇偶项和的性质： ①若项数为,则 ② 题型05 等差数列的前n项和的比值（含同下标和不同下标） 【例9】两个等差数列和的前项和分别为、，且则等于（   ） A． B． C． D． 【例10】已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为 . 【变式5-2】若两个等差数列和的前项和分别是和，已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】等差数列，的前项和分别记为，，若，则（   ） A． B． C． D． 题型06 等差数列前n项和的最值问题 【例11】已知等差数列的公差，前项和为，且，则（   ） A．，或， B．， C．， D．， 【例12】在数列中，，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和的最大值． 【变式6-1】设是等差数列的前n项和，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知等差数列的前项和为，若，，则取得最小值时的值为 ． 【变式6-3】已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为且，若对任意的恒成立，则公差d的取值范围为 ． 求等差数列的前项和的最值通常有两种思路 （1）将配方。转化为求二次函数的最值问题,借助函数单调性来解决; (2)邻项变号法：当时,满足的项数使取最大值. 当时,满足的项数使取最小值. 题型07 等差数列前n项和的二次函数特征 【例13】（多选）等差数列的前项和为，若，则（   ） A．的公差为2 B． C．的最大值为32 D．使得的的最大值为11 【例14】设等差数列的前n项和为，若> 0，，则 时，n的最大值为（    ） A．14 B．13 C．11 D．7 【变式7-1】（多选）已知是等差数列的前项和，则下列选项中可能是所对应的图象的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】在等差数列中，，且，是其前项和，则（   ）. A．都小于0，都大于0 B．都小于0，都大于0 C．都小于0，都大于0 D．都小于0，都大于0 【变式7-3】（多选）已知等差数列的前n项和为,公差,若存在正整数m,k（）,使得,则（   ） A． B．当时, C．存在最小值 D．当为偶数时, 题型08 求数列{|an|}的前n项和 【例15】在等差数列中，，，求（   ） A． B． C． D． 【例16】在等差数列中， (1)求的通项公式； (2)求的前项和. 【变式8-1】（多选）已知数列的前项和，则下列说法正确的是（    ） A． B．取得最大值时， C． D． 【变式8-2】在数列 中，已知 ，则 . 【变式8-3】已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式． (2)若，求数列的前n项和． 若为等差数列,求数列的前项和的方法: （1）首先由通项公式求出数列正项和负项的临界项数; （2）①若,则数列的前项和 ②若,则数列的前项和 题型09 等差数列前n项和的实际应用 【例17】已知某砖塔有15层．该塔底层（第一层）的底面面积为，所有层的底面面积之和为，且该塔自下而上每层底面面积依次构成递减的等差数列，则该塔自下而上数第6层的底面面积为（    ） A． B． C． D． 【例18】甲、乙两物体分别从相距的两处同时出发相向运动，甲第一分钟运动，以后每分钟比前一分钟多运动，乙每分钟运动.甲、乙开始运动后 分钟相遇？ 【变式9-1】据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯 盏． 【变式9-2】现有十个盒子，总质量为35千克，这十个盒子的质量按从大到小的顺序排列，构成一个等差数列，且排在前三位的三个盒子的总质量不低于排在后三位的三个盒子的总质量的两倍，则质量最重的盒子最少是（   ） A．2千克 B．3千克 C．5千克 D．7千克 【变式9-3】某村超体育场观众席位初始设有座位3006个，共计9排. 自第二排起，每一排的座位数均比前一排多3个. 后来因村超赛事热度急剧攀升，需对观众席进行改造. 改造内容包括每一排增加相同数量的座位，以及从最后一排向外扩充座位的排数. 由于场地限制，具体改造方案为:①原有座位每一排均增加个座位；②在原有9排基础上， 从最后一排向外扩充3排 (即改造后共12排)， 且扩充的每一排座位数仍保持比前一排多3个的规律. (1)该体育场观众席第一排原有多少个座位？ (2)若要求改造后的总座位数不少于4200个，求的最小值. 一、单选题 1．已知等差数列的前项和为，则（    ） A．2 B．14 C．20 D．28 2．等差数列的前n项和为，已知，，当时，则n=（    ） A．13 B．12 C．24 D．25 3．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．13 B．15 C．17 D．19 4．设等差数列的前项和分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 5．等差数列的前项和为，若，则使得的最小的为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 6．已知为等差数列的前项和，为其公差，且，给出以下命题：①；②；③满足成立的最小的值为18；④使得取得最大值时的为9.其中正确命题的序号为（   ） A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 7．已知等差数列满足，在和之间插入k个1，得到新数列，则的前90项和为（   ） A．168 B．188 C．212 D．222 二、多选题 8．已知等差数列的前项和为，若，则下列一定为负数的有（   ） A． B． C． D． 9．设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．当时，的最大值为12 D．数列前项和为，最大 10．记为数列的前n项和，已知，是公差为d的等差数列，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．是等差数列 D．“”是“”的充要条件 三、填空题 11．春节贴春联是中华传统习俗，某手工春联作坊从腊月廿一开始每日量产春联，每日比前一日多产出5副，腊月廿一至腊月廿九不间断生产，累计产出春联360副，则腊月廿七产出的春联为 副． 12．已知数列满足，则 . 13．已知等差数列的首项为为其前项和，若也是等差数列，则 . 四、解答题 14．记为等差数列的前项和，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 15．记是公差不为的等差数列的前项和，若. (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的可能取值有哪些？ 16．已知数列的前项和，且. (1)证明：为等差数列； (2)设，求数列的前项和. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $