5.2.1 第1课时 等差数列的定义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

　　　　　　        5.2　等差数列

　　　　　　　　　5.2.1　等差数列

　　　第1课时　等差数列的定义 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学]

[课时目标]

1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念.掌握等差数列通项公式的意义.

2.理解等差中项，能运用通项公式解决一些简单的问题.

 

逐点清（一）　等差数列的定义

 [多维理解]

　　一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an+1-an=d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差.

|微|点|助|解|

对等差数列概念的解读

（1）作差的起始项：“从第2项起”，因为第1项没有前一项；

（2）作差的顺序：“每一项与它的前一项的差”，即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒；

（3）等差的含义：“同一个常数”指所有的差都相等，即a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…=d，其中d是与n无关的常数；

（4）公差d的取值范围：可正、可负、也可为0（常数列是公差为0的等差数列），它是一个与n无关的常数，因此公差d的取值范围为（-∞，+∞）.

[微点练明]

1.下列说法正确的是 （　　）

A.若a-b=b-c，则a，b，c成等差数列

B.若an+1-an=n（n∈N+），则{an}是等差数列

C.等差数列是相邻的后项与前项之差等于非零常数的数列

D.等差数列的公差是该数列中任意相邻两项的差

解析：选A　对于A，由a-b=b-c，可得b-a=c-b，因此a，b，c成等差数列，故A正确；对于B，n不是固定常数，因此该数列不是等差数列，故B不正确；对于C，公差d可以等于0，故C不正确；对于D，d=an-an-1（n≥2，n∈N+），而an-1-an=-d（n≥2，n∈N+），但-d不是等差数列的公差，故D不正确.

2.若a，b，lg 6，2lg 2+lg 3依次成等差数列，则实数a的值为　　　　. 

解析：因为a，b，lg 6，2lg 2+lg 3依次成等差数列，

所以公差d=2lg 2+lg 3-lg 6=lg 2+（lg 2+lg 3）-lg 6=lg 2+lg（2×3）-lg 6=lg 2，

所以a=2lg 2+lg 3-3lg 2=lg 3-lg 2=lg.

答案：lg

3.判断下列数列是否是等差数列.如果是，写出它的公差.

（1）95，82，69，56，43，30；

（2）1，1.1，1.11，1.111，1.111 1，1.111 11；

（3）1，-2，3，-4，5，-6；

（4）1，.

解：（1）由82-95=69-82=56-69=43-56=30-43=-13，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数-13，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为-13.

（2）通过观察可知，1.1-1=0.1，1.11-1.1=0.01，…该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列.

（3）通过观察可知，-2-1=-3，3-（-2）=5，…该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列.

（4）由-1=-=-=-=-=-=-，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数-，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为-.

 

逐点清（二）　等差数列的通项公式

[多维理解]

1.等差数列的通项公式

已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d.

|微|点|助|解|

（1）已知首项a1和公差d，便可写出通项公式.

（2）等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一.

 

2.等差数列与一次函数的关系

等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d，如果记f（x）=dx+a1-d，则等差数列的通项公式an=f（n），而且：①当公差d=0时，f（x）是常数函数，此时数列{an}是常数列（因此，公差为0的等差数列是常数列）；②当公差d≠0时，f（x）是一次函数，而且f（x）的增减性依赖于公差d的符号，an相应的函数是一次函数；点（n，an）分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点.因此，当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列.

[微点练明]

1.已知等差数列-5，-2，1，…，则该数列的第20项为 （　　）

A.52 B.62

C.-62 D.-52

解析：选A　由题意设等差数列的首相和公差分别为a1，d，

所以a1=-5，d=-2-（-5）=3，