5.2.1 第1课时 等差数列的定义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

　　　　　　 5.2　等差数列 　　　　　　　　　5.2.1　等差数列 　　　第1课时　等差数列的定义 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念.掌握等差数列通项公式的意义. 2.理解等差中项，能运用通项公式解决一些简单的问题. 逐点清（一）　等差数列的定义 [多维理解] 　　一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an+1-an=d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差. |微|点|助|解| 对等差数列概念的解读 （1）作差的起始项：“从第2项起”，因为第1项没有前一项； （2）作差的顺序：“每一项与它的前一项的差”，即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒； （3）等差的含义：“同一个常数”指所有的差都相等，即a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…=d，其中d是与n无关的常数； （4）公差d的取值范围：可正、可负、也可为0（常数列是公差为0的等差数列），它是一个与n无关的常数，因此公差d的取值范围为（-∞，+∞）. [微点练明] 1.下列说法正确的是 （　　） A.若a-b=b-c，则a，b，c成等差数列 B.若an+1-an=n（n∈N+），则{an}是等差数列 C.等差数列是相邻的后项与前项之差等于非零常数的数列 D.等差数列的公差是该数列中任意相邻两项的差 解析：选A　对于A，由a-b=b-c，可得b-a=c-b，因此a，b，c成等差数列，故A正确；对于B，n不是固定常数，因此该数列不是等差数列，故B不正确；对于C，公差d可以等于0，故C不正确；对于D，d=an-an-1（n≥2，n∈N+），而an-1-an=-d（n≥2，n∈N+），但-d不是等差数列的公差，故D不正确. 2.若a，b，lg 6，2lg 2+lg 3依次成等差数列，则实数a的值为　　　　.  解析：因为a，b，lg 6，2lg 2+lg 3依次成等差数列， 所以公差d=2lg 2+lg 3-lg 6=lg 2+（lg 2+lg 3）-lg 6=lg 2+lg（2×3）-lg 6=lg 2， 所以a=2lg 2+lg 3-3lg 2=lg 3-lg 2=lg. 答案：lg 3.判断下列数列是否是等差数列.如果是，写出它的公差. （1）95，82，69，56，43，30； （2）1，1.1，1.11，1.111，1.111 1，1.111 11； （3）1，-2，3，-4，5，-6； （4）1，. 解：（1）由82-95=69-82=56-69=43-56=30-43=-13，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数-13，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为-13. （2）通过观察可知，1.1-1=0.1，1.11-1.1=0.01，…该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列. （3）通过观察可知，-2-1=-3，3-（-2）=5，…该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列. （4）由-1=-=-=-=-=-=-，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数-，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为-. 逐点清（二）　等差数列的通项公式 [多维理解] 1.等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项是a1，公差是d. 递推公式 通项公式 an+1-an=d an=a1+（n-1）d |微|点|助|解| （1）已知首项a1和公差d，便可写出通项公式. （2）等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一. 等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d 四个参数 a1，d，n，an “知三求一” 知a1，d，n求an 知a1，d，an求n 知a1，n，an求d 知d，n，an求a1 2.等差数列与一次函数的关系 等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d，如果记f（x）=dx+a1-d，则等差数列的通项公式an=f（n），而且：①当公差d=0时，f（x）是常数函数，此时数列{an}是常数列（因此，公差为0的等差数列是常数列）；②当公差d≠0时，f（x）是一次函数，而且f（x）的增减性依赖于公差d的符号，an相应的函数是一次函数；点（n，an）分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点.因此，当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列. [微点练明] 1.已知等差数列-5，-2，1，…，则该数列的第20项为 （　　） A.52 B.62 C.-62 D.-52 解析：选A　由题意设等差数列的首相和公差分别为a1，d， 所以a1=-5，d=-2-（-5）=3， 所以an=a1+（n-1）d=-5+3（n-1）=3n-8， 所以a20=3×20-8=52.故选A. 2.数列{an}是首项为1，公差为d（d∈N+）的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是 （　　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：选B　∵数列{an}是首项为1，公差为d（d∈N+）的等差数列，∴an=1+（n-1）d.∵81是该数列中的一项，∴81=1+（n-1）d，即n=+1.∵d，n∈N+，∴d是80的因数，故d不可能是3，故选B. 3.在等差数列{an}中，a1+a3+a5=9，a6=9，则其公差d=　　　　.  解析：由a1+a3+a5=9，得a3-2d+a3+a3+2d=9，故a3=3，所以d===2. 答案：2 4.（1）若{an}是等差数列，a15=8，a60=20，求a75. （2）已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断-34是该数列的项吗? 解：（1）设{an}的公差为d. 由题意知解得 ∴a75=a1+74d=+74×=24. （2）依题意得 ∴ 解得或 ∵数列{an}是递减等差数列，∴d<0. 故取a1=11，d=-5， ∴an=11+（n-1）·（-5）=-5n+16. 即等差数列{an}的通项公式为an=-5n+16. 令an=-34，即-5n+16=-34，得n=10. ∴-34是数列{an}的第10项. 逐点清（三）　定义法判断等差数列 [典例]　已知数列{an}中，a1=2，an=2-（n≥2，n∈N+），设bn=（n∈N+）. （1）求证：数列{bn}是等差数列； （2）求{an}的通项公式. 解：（1）证明：因为an=2-，所以an+1=2-.则bn+1-bn=-=-==1，所以{bn}是首项为b1==1，公差为1的等差数列. （2）由（1）知bn=n，所以bn==n（n∈N+），解得an=1+，所以{an}的通项公式为an=1+（n∈N+）. 　　[变式拓展] 　本例条件“an=2-（n≥2，n∈N+）”变为“an+1=”，那么数列是否为等差数列?请说明理由. 解：数列是等差数列，理由如下： ∵a1=2，an+1=， ∴==+，∴-=，即数列是首项为=，公差为d=的等差数列. 　　|思|维|建|模| 定义法判定等差数列的策略 （1）条件：an+1-an=d（常数）（n∈N+）或an-an-1=d（常数）（n>1，n∈N+）. （2）结论：{an}是等差数列. （3）应用范围：通常用于解答题. 　　[针对训练] 　已知在数列{an}中，a1=1，an=2an-1+1（n≥2，n∈N+），记bn=log2（an+1）. （1）判断{bn}是否为等差数列，并说明理由； （2）求数列{an}的通项公式. 解：（1）{bn}是等差数列，理由如下： b1=log2（a1+1）=log22=1，当n≥2时，bn-bn-1=log2（an+1）-log2（an-1+1）=log2=log2=1，∴{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知，bn=1+（n-1）×1=n，∴an+1==2n，∴an=2n-1. 学科网（北京）股份有限公司 $