5.3.1 第1课时 等比数列的定义-【成才之路·学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步新课程学习指导(人教B版)

032 5.3 等比数列 5.3.1等比数列 第1课时 等比数列的定义 素养目标定方向 课程目标 学法指导 1.要从现实生活的大量实例中体会等比关 1.借助教材实例理解等比数列、等比中项的概念 系，感受等比数列在生活实践中和数学文 (数学抽象) 化中的广泛性。 2.借助教材掌握等比数列的通项公式.（数学2.类比等差数列，感受“差”与“比（商）”的联 抽象) 系，进而认识到“等差”与“等比”的结构和 3.会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列 概念的一致性. 的通项公式解决相关的问题.（数学运算) 3.进一步体会基本量思想与方程思想在等比 数列中的应用. 必备知识探新知 知识点一 等比数列的定义 般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的比都等于 ,那么这个 数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ,公比通常用字母 表示（显然q≠0）. 定义还可以叙述为：在数列a,}中，若=q(g为常数且g≠0)，则{a,}是等比数列. a 知识解读：对等比数列定义的理解 (1)由等比数列的定义知，数列除末项外的每一项都可能为分母，故每一项均不为0，因此公比 也不为0，由此可知，若数列中含有“0”，则该数列不可能是等比数列 (2)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.同时注意公比是每一项与其前一项的比，前后次 序不能颠倒， (3)定义中的“同一常数”是定义的核心之一，一定不能把“同”字省略，这是因为如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比都是一个与无关的常数，但是这些常数不相同，那么此数 列也不是等比数列.当且仅当这些常数相同时，数列才是等比数列， (4)等比数列的定义可作为判定或证明等比数列的依据，即判断“或，（≥2）是否为非零 an-1 常数g 知识点二等比数列的通项公式 等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则这个等比数列的通项公式是an= （41,9≠0). ●033 知识解读：关于等比数列通项公式的推导，除了教材第29页的方法（归纳法和累乘法）外，我们 还有如下方法. 迭代法根据等比数列的定义，得an=an-19=(a.-29)q=an-292=(an-39)q2=an-393=…= a2g-2=(a19)g-2=a1g-1(n≥2)；当n=1时，上面等式也成立.故当n∈N时，a.= a192-1 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一等比数列的概念运用 例给出下列数列： ①2,2,4,8,16,32， ②在数列1a,}中，%=2.4=2： 01 'a3 ③常数列c,c,c,…,c. 其中等比数列的个数为 】对点训练1 (2024·北京东城区高二期末)定义函数f八x)=[x],其中[x]表示规律方法： 由等比裁列的通项公式可 不超过x的最大整数，比如[π]=3.根据以上定义，当x=√3+1时，数 她若已知a1,9,n,0,中的 列x-f(x),f八x),x （）三个，便可通过建立方程或 A.是等差数列，也是等比数列 方程组求出另一个，这是解 B.是等差数列，不是等比数列 这类问题的基本思想方法. C.是等比数列，不是等差数列 但对于具体问题，则应具体 D.不是等差数列，也不是等比数列 观察和分析，我到较为简捷 的解题方法，如整体思想、 题型二等比数列通项公式及应用 例2在等比数列1a中， 设而不求思想.同时还应注 意等比定理的运用，即q= (1)a1=3,a3=27,求an; ==4=…= (2)a2+a5=18,a3+a6=9,0n=1,求n. a a2 3 an-1 [分析]（1)已知等比数列的通项公式an=a1g”-1代入a1,a3,求 =a2+a+a4+…+0n a1+a2+a3+.+an-1 出q,最后求出an (1)根据已知条件，建立 (2)已知项的和，代入等比数列的通项公式，求出a1,g,由an= 关于a1,9的方程组，求出 1求n. a1,9后再求an,这是常规 方法 (2)充分利用各项之间的 关系，直接求出9后，再求 a1,最后求an,这种方法带 有一定的技巧性，能简化 运算 [规律方法] 034 》对点训练2 (1)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2-a5=42,则a6=() A.14 B.12 C.6 D.3 (2)已知等比数列{an},若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求ar 题型三等比数列的判定与证明 例3.已知数列1a,满足a,=1,a1=2a,+1,6=a,+1(aeN). (1)求证：{bn}是等比数列； (2)求{a}的通项公式 【分析1()欲证a,是等比数列须证会为席数.义.=a+16 a.+1+1,故只需将条件式变换为an+1+1与a.+1的关系式即可获证 规律方法： (2)只要求出了{bn}的通项公式，就可以求出{a}的通项公式. 判定数列是等北裁列 的常用方法 (1)定义法：山= an g(常最)或8=9 an-1 (常裁)(n≥2)与 {an}为等比数列. ·[规律方法] (2)等比中项法： )对点训练3 ai+1=an,an+2（an≠ 已知数列o.的前n项和为S,S.=（a.-1)(neN)。 0,n∈N")台an}为等 比数列， (1)求a1,a2; (3）通项法：an= (2)求证：数列{an}是等比数列. a9-1(其中a1,9为 非零常数，n∈N) 曰{an}为等比裁列. 035 ●易错警示 忽略等比数列中所有项均不为零致错 例 .已知等比数列{an}中的前三项为a,2a+2,3a+3,则实数a的值为· 错解]因为2a+2为等比中项，所以(2a+2)2=a(3a+3),整理得a2+5a+4=0,解得a= -1或a=-4. 答案为a=-1或-4. [误区警示]因为等比数列中各项均不为零，所以解题时一定要注意将所求结果代入题中验 证，若所求结果使数列中的某些项为零，则该结果不合题意，要舍去， [正解] 课堂检测固双基 1.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=5.数列{an}满足a1=-1,且an=3an-1-2n+3 6,则a等于 (neN,且n≥2). A.64 B.81 (1)求a2,a3,并证明数列{an-n}是等比 C.128 D.243 数列； 2.在等比数列{an}中，a3+a4=4,a2=2,则公比 (2)求数列{a,}的通项公式 q等于 () A.-2 B.1或-2 C.1 D.1或2 3给出下列命题：0若。=。则-0,6，-e成 等比数列(abc≠0)；②若b2=ac,则a,b,c成 等比数列；③若an+1=an9(g为常数)，则{an} 是等比数列.其中正确的命题有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4等北数列a中4-名-写公比g-子则a- 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[7]20时=-8=--60m+a02x3=3+: 2 当n>20时，S%=-S0+(S.-Sn）=Sn-2520 =-0+2ax3-2×(-60×202”4x3到= 2 3-+1260 2 数列{IanI}的前n项和 +a0. $= 3f-12.+1260.(a>20. 对点训练4：(1)2436a1=-10,d=2, 所以an=-10+2(n-1)=2n-12. a6=0, 故S3=1-101+1-81+1-61=24, Ss=lal+la2l lagl +..la6l+lal+lasl=-a-az- .…-a6+a7+ag=36. (2)①因为在等差数列{an}中，a1+a5=8,a4=2, 所以2a+4d=8, a1+3d=2, 解得a1=8,d=-2, 所以an=8+(n-1)×(-2)=10-2n. ②由am=10-2n≥0，得n≤5， a5=0,a6=-2<0, 因为Tn=la1I+la2I+la3I+…+IanI,所以当n≤5时， T,=8m+nm2-Dx(-2)=9n-n2. 2 当n>5时， T,=-[8n+nm2Dx(-2)]+2×(9x5-5)=n2-9n 2 +40. r9n-n2,n≤5， 所以T.=-9n+40,n>5. 例5：1。 -11-1 n(n+2)=2nn+2) 数列{2}的前n项和=(-+分片 1.1 1 32n+3 n+2)=4-2(m+1)(n+2) 课堂检测固双基 1.B设等差数列{an}的公差为d,则由题可得 r3a1+3d=6,「d=-3, 15a+10d=-5a=5, 所以S6=6a+15d=6×5+15×(-3)=-15,故选B. 2.Can=120+5(n-1)=5n+115, 由an<180得n<l3且neN, 由n边形内角和定理得， (n-2)×180=nx120+nn,-1x5. 2 解得n=16或n=9 .n<13,∴.n=9. 3.C设公差为d,因为a,+a。=2a+5d=4,a,=3,所以d= 子所以a,=了+(a-)×号=7，所以n=56 16 4.Ca1+a4+a7=39,a3+a6+ag=27,.a1+a4+a7=3a4= 39,a3+a6+ag=3a6=27,即a4=13,a6=9. ∴.d=-2,a1=19. ∴s=19x9+9X5x(-2)=9 n(n+1) 5.因为am= na行t…*nn=2 1 2 2 11) 所以6，=2= 2 8 2 2 因此数列么的前n项和为5=8（片-）+8（分号）+ …+8(hh)=81-中i)n0r 5.3等比数列 5.3.1等比数列 第1课时等比数列的定义 必备知识探新知 知识点一第2项同一个常数公比q 知识点二a1g”- 关键能力攻重难 例1：0①不是等比数列，因为≠ a ②不一定是等比数列，因为不知道2的值事实上，即使号 =2,数列{an}也未必是等比数列. ③不一定是等比数列，当c=0时，数列不是等比数列. 对点训练1：D[5+1]=2, 所以x-f(x)=5-1,即三个数为5-1,2,5+1. 而5+1+5-1=25≠4，(5+1)(5-1)=2≠4，所以数列 x-f代x)f代x),x不是等差数列，也不是等比数列. 例2：(1)a3=a1g, 所以27=3g2,所以9=±3， an=3"或a.=-（-3)”; (2)设公比为9，由题意，得 ∫a9+a19=18 ① la192+a93=9 ② 得=分4=2 1 又a=132×(分)-t=1, 即26-"=2°，n=6. 对点训练2：(1)D设等比数列{a.}的公比为q,9≠0，由 题意，9≠1. :前3项和为a1+a2+a3= 1-9）=168,42-a3=a· 1-9 9-a1·9=a1·g(1-g3）=42, q=2,41=96, 1 则a6=4·g=96×32=3, 故选D. (2)解法一：由等比数列的定义知a=a19,a3=a19,代人 已知得， 4 fa1+a19+a19=7, la1·a19·a1g2=8, 即01+g+9)=7,a(1+9+g)=70. laiq'=8, la19=2②. 由2得a=子代A①得2对-9+2=0， g=2,或g=宁当g=2时，4=1,4，=2当g=2时， a1=4,an=23-m. 解法二：a1a3=a,.a1a2a3=a=8,a2=2. 从面+5解之得4，=1,4，=4，或a=4,4=1,当 laa3=4, 。1 a=1时，9=2；当a=4时，9=2故a=2-,或a,=2- 例3：(1)证明：an1=2an+1,.ar+1+1=2(an+1),即bn+1 =2bm 6=,+1=2≠06，≠0会-26，是等比 数列. (2)由(1)知{b}是首项b1=2,公比为2的等比数列， bn=2×2"-1=2",即an+1=2".an=2“-1. 对点训练3：()由8=分a-). 得a=子(a-),所以a=-分 又s=(a-). 即a,+4兮(a,-1),得a=子 (2)当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =ga-)-分a-. 得。2方又a2 1 1 an-1 所以a,是首项为-号，公比为-的等比数列 例4：-4同上解， 但当a=-1时，第二、三项均为零， 故a=-1应舍去， 综上，a=-4. 课堂检测固双基 1.A设等比数列的公比为q, a1+a2=3,a2+a3=q(a1+a2）=6,.9=2. 又a1+a2=a1+a19=3,.3a1=3..a1=1, a7=2=64. 2.B在等比数列an}中，a3+a4=4,a2=2,.a3+a4=a29+ a2g=2g+2g=4,即g+g-2=0.解得g=1或9=-2.故 选B. 3.B①显然正确；②中当abc=0时不成立；③中当q=0时不 成立.故选B. 44由0=ag,得时号×号，(=是故 n=4. 5.(1)a1=-1,an=3am-1-2n+3, .a2=3a1-2×2+3=-4,∴.a3=3a2-2×3+3=-15. a+l-(n+l)_3a,-2(n+1)+3-(n+1) an-n an-n 16 _3a,-3n=3(n=1,2,3,…. a -n 又a1-1=-2,.{a,-n}是以-2为首项，以3为公比的等 比数列. (2)由(1)知a.-n=-2·3-1, 故an=n-2·3"-1 第2课时 等比数列的性质 必备知识探新知 知识点一等比数列±√aba,G,b 知识点二1.（1)g-m(2)a。·a,a22.an-1a-k+1 3.(1)g1q1(2)g·92 0<g<1(2)/%c0, 知识点三(1)<0， (3)常数列 l9>1 关键能力攻重难 例1：(1)C三个实数a,b,c成等比数列，则b2=ac=(3- 5)(3+5)=9-5=4,则b=±2. (2)B因为an=(n+8)d,又因为a=a1·ak, 所以[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d, 解得k=-2(舍去)或k=4. 对点训练1：(1)B设公差为d,由题意得a=a1·a, a1=1,.(1+d)2=1+4d,.d2-2d=0,d≠0， ..d=2. S。=10×1+10×9x2=100,故选B. 2 （2)-4由题意知{2=c, [26=a+c, 消去a得4b2-5bc+c2=0, 因为b≠c,所以c=4b,所以a=-2b, 代人a+3b+c=10中解得b=2,所以a=-4. 例2：A由8a,-a=0,可知g=g2=8,解得g=2. 又a1>0,所以数列{an}为递增数列. 对点训练2：D如等比数列{(-1)"}的公比为-1，为摆动 数列，不具有单词性：等比数列{（宁）门的公比为宁，是递减数 列：等比数列{-（分）广}的公比为7是递增数列 例3：(1)-2等比数列{a.}, .aa4a5=a3a6=a3a6,解得=1 而aa10=a29a29=(a2)2g5=--8,可得g5=(g)3=-8, 即g3=-2, a=a2·g3=1×(-2)=-2 故答案为-2 (2)C方法一：由a5·am-5=22"得a19·a92-6=ag2-2 =22",所以(a9-1)2=(2")2. 又an>0,所以a19”-1=2" 故log2a1+log2a3+…+lbg2a2m-1=log2（a1·a3·…。 02m-1） =loga (ai()=loge [dig] =log2(a19"-1)"=l0g2(2")"=n2. 方法二：由等比中项的性质，得a5·a2-5=(an)2=22,注 意到a.>0,所以an=2”. 利用特殊值法，如令n=2,则log2a1+log2a3=log2(2·23) =1og24=4.只有C选项符合. 方法三：由等比中项的性质，得a5·a2-5=（an)2=22,注