5.1.2 数列中的递推-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

5.1.2　数列中的递推 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学]

[课时目标]

1.理解数列的递推公式是数列表示方法中的一种.

2.掌握由数列的递推公式求数列的通项公式的方法.

3.理解数列的前n项和，会由数列的前n项和公式求数列的通项公式.

1.数列的递推关系

如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或递归公式）.

|微|点|助|解|

（1）通项公式与递推公式的区别：①通项公式反映的是an与n的关系，递推公式反映的是项与项之间的关系；②若已知n的值，则由通项公式可直接求出an的值，而通过递推公式只能间接求出an的值.

（2）利用递推公式求一个数列，必须具备：①数列第1项或前几项，②递推关系，这两个条件缺一不可.

2.数列的前n项和

（1）数列的前n项和：

一般地，给定数列{an}，称Sn=a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和.

（2）数列的前n项和Sn与通项an的关系：

an=.

|微|点|助|解|

（1）对于由an=Sn-Sn-1（n≥2）求得的an的表达式，若令n=1求得的a1与利用a1=S1求得的a1相同，则说明an=Sn-

Sn-1（n≥2）也适合n=1的情况，数列的通项公式可用an=Sn-Sn-1表示.

（2）对于由an=Sn-Sn-1（n≥2）求得的an的表达式，若令n=1求得的a1与利用a1=S1求得的a1不相同，则说明an=Sn-Sn-1（n≥2）不适合n=1的情况，此时数列的通项公式采用分段形式表示，即an=

基础落实训练

1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）递推公式也是表示数列的一种方法. （　　）

（2）所有数列都有递推公式. （　　）

（3）仅由数列{an}的关系式an=an-1+2（n≥2，n∈N+）就能确定这个数列. （　　）

答案：（1）√　（2）×　（3）×

2.在数列{an}中，a1=-1，=an-3，则a3等于 （　　）

A.-7 B.-4

C.-1 D.2

解析：选A　a2=a1-3=-1-3=-4，a3=a2-3=-4-3=-7.

3.数列{an}的前n项和Sn，若Sn-Sn-1=2n-1（n≥2），且S2=3，则a1+a3的值为 （　　）

A.1 B.3

C.5 D.6

解析：选C　∵Sn-Sn-1=2n-1（n≥2），且S2=3，

∴S1=0，S3=8，

∴a1=0，a2=3，a3=5，a1+a3=5.

4.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=-2n2，则an=　　　　. 

解析：当n=1时，a1=S1=-2；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-4n+2.显然n=1时符合，故an=-4n+2.

答案：-4n+2

 

 

 

 

 

题型（一）　数列的递推公式及应用

[例1]　已知数列{an}中，a1=1，a2=2，以后各项由an=an-1+an-2（n≥3）给出.

（1）写出此数列的前5项；

（2）通过公式bn=（n≥1）构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项.

解：（1）∵an=an-1+an-2（n≥3），且a1=1，a2=2，∴a3=a2+a1=3，a4=a3+a2=3+2=5，a5=a4+a3=5+3=8.

故数列{an}的前5项依次为a1=1，a2=2，a3=3，a4=5，a5=8.

（2）∵bn=，且a1=1，a2=2，a3=3，a4=5，a5=8，∴b1==，b2==，b3==，b4==.

故数列{bn}的前4项依次为b1=，b2=，b3=，b4=.

　　|思|维|建|模|

由递推关系写出数列的项的方法

（1）根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可；

（2）若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an=2an+1+1；

（3）若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an+1=.

　　[针对训练]

1.已知数列{an}的第1项a1=1，以后的各项由公式an+1=给出，试写出这个数列的前5项.

解：∵a1=1，an+1=，

∴a2==，a3===，